精品解析：河北省石家庄市第四十一中学2025--2026学年九年级上学期数学期中试卷

石家庄市第41中学教育集团2025~2026学年度第一学期阶段性 学业质量评价初三数学 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 有一组数据：2，3，4，4，5，这组数据的众数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数的概念，能够找到一组数据中的众数是解决本题的关键．根据众数的概念找到一组数据中的众数即可． 【详解】解：根据数据可知数字4出现次数最多， 故众数为4， 故选：C． 2. 反比例函数y＝-的图象位于（　　） A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限． 【详解】∵y=-，k=-6＜0， ∴函数图象过二、四象限． 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质：当k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限，比较简单，容易掌握． 3. 如图，，且，则的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4. 若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（　　） A. ﹣1 B. 3﹣ C. D. ﹣1或3﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割比的定义：较长边比上最长边的比等于即可解题. 【详解】解：如下图, ∵点C是线段AB的黄金分割点， ∴=, ∵AB＝2 ∴AC=﹣1, 故选A. 【点睛】本题考查了黄金分割点的定义,属于简单题,熟悉黄金分割点的概念以及黄金分割比的比值是解题关键. 5. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．根据锐角三角函数的定义得出，再代入求出答案即可． 【详解】解：，，， ∴， 故选：D． 6. 已知，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，对于方程 ，两根之和 ．直接应用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解： 方程 中，，， ． 故选：D． 7. 如图，与相交于点O，添加一个条件，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项判断即可解得． 【详解】解：在和中，， A、∵，∴，故A不符合题意； B、，∴，故B不符合题意； C、∵∴，故C不符合题意； D、，不能判定，故D符合题意． 故选：D． 8. 已知点均在反比例函数的图像上，则，，从小到大的顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的函数值，通过将每个点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应的纵坐标，然后比较大小即可． 【详解】解：∵ 点在反比例函数上， ， ， ， 故选：． 9. 深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设第二天、第三天下载量的平均增长率为x．根据首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，列方程即可得解． 【详解】解：设第二天、第三天下载量的平均增长率为x． 根据题意，得， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：当位似图形与在y轴同侧时， ∵，相似比为2， ∴； 当位似图形与在y轴两侧时， ∵，相似比为2， ∴； 故选：D． 11. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，、相交于点P，则的值为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接，由题意易知,然后由相似三角形的对应边成比例，易得,即可得,在中，即可求得的值，继而求得答案. 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴ 故选：C． 【点睛】此题考查了解直角三角形，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 12. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点、，与轴交于点，．若的面积为8，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】作轴，轴，结合，可得，，结合，可得，即：，根据的几何意义，即可求解， 本题考查了反比例函数几何意义，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法． 【详解】解：过点、，分别作轴于，轴于， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点、在反比例函数上， ∴，即：，即， ∴，即：， ∴， ∴， ∵反比例函数经过第一象限， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则的值为___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是用字母表示、．设（），则 ，，然后代入表达式 计算即可． 【详解】解：设（），则 ，， ． 取任何不等于的值均可，若 ，． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，点是反比例函数的图像上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于3，则的值等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数，设，则；推出的面积，即可求解； 【详解】解：设，则； ∵的面积， ∴， ∴， 故答案为： 15. 若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】关于的一元二次方程有实数根， 且△， 解得：且 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△时，一元二次方程有实数根”是解题的关键． 16. 如图，在中，，为中点，点在线段上，，，，则线段的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理，三角形外角的性质等知识点．解题的关键在于合理的添加辅助线证得，． 过点作交的延长线于点，设，则，，，进而可得，可知，，根据，设，则，则， 进而的，得，由勾股定理可得，求得的值，即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 设，则，，， ∴， ∴，， 在中，， 设，则，则， ∵为中点，则， ∴， ∴， 在中，，，则， 则， 则， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． （3）． （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程和锐角三角函数的计算，熟练掌握解一元二次方程的方法和熟记锐角三角函数值是解题的关键． （1）用直接开平方法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可； （3）代入特殊角的正切和正弦值计算即可； （4）代入特殊角的正切和余弦值计算即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解：， 或 ∴，； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 近年来网约车给人们的出行带来了便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取的名司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数 众数 方差 甲公司 6 6 乙公司 4 （1）填空：_____，______； （2）求出乙公司的平均月收入以及方差；（） （3）小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选择哪家公司？请说明理由． 【答案】（1），6 （2）， （3） 解：建议选择甲． 理由：因为平均数相同，中位数、众数甲公司均大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定，所以选甲公司． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图信息关联．旨在考查学生的数据处理能力． （1）众数是一组数据中出现次数最多的数值．中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．据此即可求解； （2）根据平均数和方差的求解公式即可求解； （3）因为平均数相同，中位数、众数甲公司均大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定，所以选甲公司． 【小问1详解】 解：由扇形统计图和条形统计图可知： ； 【小问2详解】 解：乙公司平均数：（千元）； 乙公司方差：； 【小问3详解】 略 19. 如图，中，，是斜边上的高． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：如图所示， 是斜边上的高， ， ， ． ， ， ， ； （2） 证明：，， ， ． ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，得到对应边成比例，将式子变形即可得证； （2）先证明，得到对应边成比例，将式子变形得到，进而化简即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，，，点为边的中点． （1）求的长． （2）求的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义得，由勾股定理得，可得答案； （2）如图，过点作于点，根据三角形中线的定义及性质得，，求出及的长，然后由正切函数的定义可得答案． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 如图，过点作于点， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵点为边的中点， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴的正切值为． 【点睛】本题是解直角三角形，考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，三角形中线的性质，中点的定义，三角形的面积公式等知识，通过作辅助线构造直角三角形、掌握三角函数的定义是解题的关键． 21. 如图，一次函数分别交轴、轴于、两点，与反比例函数的图像交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出的的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数解析式、反比例函数解析式、利用函数图像解不等式等相关知识点． 用待定系数法求出解析式即可解出；用割补法求出三角形面积；将原不等式变形为，确定交点坐标，分析出符合要求的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴，， 解得，， 反比例函数的解析式为 ∴，， 代入一次函数，可得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 在中，令，则，即， ∴， ∴ ． 【小问3详解】 由图可得，的的取值范围是或． 【点睛】熟练掌握用待定系数法求函数解析式、以及熟练运用割补法求面积，熟练掌握利用函数图像解不等式是解题的关键． 22. 如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． （1）求平台的高度； （2）求建筑物的高度（即的长）． 【答案】（1）10米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． 【小问2详解】 解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 23. 某市准备在一块长为，宽为的矩形荒地上建造一个市民休闲广场，如图为广场设计图，阴影部分为宽度相同的甬道，甬道把广场分成三个矩形的休闲区（其中一边为）． （1）设甬道宽度为，则_______（用含x的代数式表示）； （2）若休闲区的总面积为，求甬道的宽度； （3）能否设计出符合题目要求，且矩形A的形状与原矩形荒地的形状相似的休闲区？若能，求出此时甬道的宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）甬道的宽度为 （3） 解：假设能满足要求，则， 解得， 因为不符合实际情况，所以不能满足其要求． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似多边形的性质； （1）设甬道宽度为，根据图形可得，，即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，即可求解； （3）根据相似多边形的性质，对应边相等列出比例式，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：设甬道宽度为，依题意， ∴； 【小问2详解】 根据题意得，， 解得（不合题意，舍去）． 答：甬道的宽度为． 【小问3详解】 略 24. 在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图像与边交于点，与边交于点． （1）直接写出与的数量关系． （2）若，面积为3． ①求反比例函数关系式； ②点是轴上一点，当以点、、为顶点的的周长最小时，求出点的坐标； ③是线段边上的点．是否存在点，以、、为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）① ② ③存在，点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像性质，待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，题目属反比例与几何综合题目，难度较大，熟练掌握相关性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）将坐标代入反比例函数解析式，即可得到与的数量关系， （2）①先利用直角坐标系表示得到的值，然后利用三角形相似和直角三角形正切值得到的值，进而得到分别用含的代数式表示的坐标，利用三角形的面积公式得到含的方程，求得，进而得到的坐标，求得反比例函数的解析式．②作点关于轴的对称点，的周长转化为的长，当三点共线时，取得最小值，通过求解的坐标值，得到的解析式，进而得到其与轴的交点的坐标．③此问需要分情况讨论，和两种情况，分别作图，连接，过作，利用三角形相似得到的比值，然后利用，得到，进而得到的值，最后求得点的坐标． 【小问1详解】 解：将和代入反比例函数，得到， 答：与的数量关系为． 【小问2详解】 解：①如图，过点作，垂足为， 在中，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． ②由、的坐标分别为：、， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时的周长最小， ∵的周长为最小，由点的坐标得， 直线的表达式为：， 令，即， 得， 即点的坐标为：． ③点坐标为或， 理由如下：由①知， ， 第一种情况，当时，， 连接，过作，如图， ， ， ， ， ， 即点的坐标为， 第二种情况，当时，， 连接，过作，如图， 在中，， ， 解得：， 同理可得：， ， ， ， 即点的坐标为， 综上，符合条件的点坐标为或． 答：反比例关系式为 ，点的坐标为：，点存在，其坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第41中学教育集团2025~2026学年度第一学期阶段性 学业质量评价初三数学 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 有一组数据：2，3，4，4，5，这组数据的众数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 反比例函数y＝-的图象位于（　　） A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 3. 如图，，且，则的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（　　） A. ﹣1 B. 3﹣ C. D. ﹣1或3﹣ 5. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与相交于点O，添加一个条件，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点均在反比例函数的图像上，则，，从小到大的顺序为（ ） A. B. C. D. 9. 深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 11. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，、相交于点P，则的值为（　　） A. B. C. 2 D. 12. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点、，与轴交于点，．若的面积为8，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则的值为___________（写出一个即可）． 14. 如图，点是反比例函数的图像上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于3，则的值等于___________． 15. 若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是_____． 16. 如图，在中，，为中点，点在线段上，，，，则线段的长为______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． （3）． （4） 18. 近年来网约车给人们的出行带来了便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取的名司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数 众数 方差 甲公司 6 6 乙公司 4 （1）填空：_____，______； （2）求出乙公司的平均月收入以及方差；（） （3）小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选择哪家公司？请说明理由． 19. 如图，中，，是斜边上的高． （1）求证：； （2）求证：． 20. 如图，在中，，，，点为边的中点． （1）求的长． （2）求的正切值． 21. 如图，一次函数分别交轴、轴于、两点，与反比例函数的图像交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出的的取值范围． 22. 如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． （1）求平台的高度； （2）求建筑物的高度（即的长）． 23. 某市准备在一块长为，宽为的矩形荒地上建造一个市民休闲广场，如图为广场设计图，阴影部分为宽度相同的甬道，甬道把广场分成三个矩形的休闲区（其中一边为）． （1）设甬道宽度为，则_______（用含x的代数式表示）； （2）若休闲区的总面积为，求甬道的宽度； （3）能否设计出符合题目要求，且矩形A的形状与原矩形荒地的形状相似的休闲区？若能，求出此时甬道的宽；若不能，请说明理由． 24. 在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图像与边交于点，与边交于点． （1）直接写出与的数量关系． （2）若，面积为3． ①求反比例函数关系式； ②点是轴上一点，当以点、、为顶点的的周长最小时，求出点的坐标； ③是线段边上的点．是否存在点，以、、为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $