精品解析：广东省广州市南海中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

广州市南海中学2025学年高一第一学期期中考试 数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 3. 已知，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则其图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量是（ ） 每户每月用水量 水价 不超过12的部分 3元 超过12但不超过18的部分 6元 超过18的部分 9元 A. 24 m3 B. 22m3 C. 20m3 D. 15 m3 7. 已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（    ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数，的值域是 D. 若函数的定义域为，则的定义域为 10. 已知，且，则下列选项中正确的是（ ） A. 的最大值是1 B. 的最小值是4 C. 的最小值是2 D. 的最小值为4 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数在上递增 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________. 13. 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是_____. 14. 已知函数，，令（即和中的较小者），则函数的值域为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求，；；； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 17. 已知函数 （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数a取值范围． （3），解关于的不等式． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 19. 已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市南海中学2025学年高一第一学期期中考试 数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由集合， 又因为，可得. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件定义可判断选项正误. 【详解】若，则，充分性得证； 若，则，但不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 4. 已知函数，则其图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式结合奇函数定义证明为奇函数，再说明当时，，由此确定结论. 【详解】因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， 所以是奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 当时，， 选项ACD都不能同时满足以上要求，选项B满足以上要求， 故函数的图象大致是选项B中的图象， 故选：B. 5. 幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得或. 故选：B. 6. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量是（ ） 每户每月用水量 水价 不超过12的部分 3元 超过12但不超过18的部分 6元 超过18的部分 9元 A. 24 m3 B. 22m3 C. 20m3 D. 15 m3 【答案】C 【解析】 【分析】分段计算不同用水量的水费即可得到问题答案. 【详解】由题意：当用水量不超过12时，水费小于或等于元； 当用水量超过12但不超过18时，水费不超过：元； 交纳水费为90元时，用水量为：. 故选：C 7. 已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件判断出在上单调递减，再根据的解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】因为对于，都有成立，所以在上单调递减， 又因为，所以，解得， 即a的取值范围为. 故选：B. 8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，做出草图，再分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】根据题意，画出函数示意图： 当时，，即； 当时，，即； 当时，显然成立， 综上. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（    ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数，的值域是 D. 若函数的定义域为，则的定义域为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用全称量词的否定可判断A，根据函数三要素可判断B，通过配方可求二次函数的最值，利用可求的定义域. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，， 则，所以函数的值域为，故C错误； 对于D，若函数的定义域为，则，∴，可得函数的定义域为，故D正确. 故选：AD 10. 已知，且，则下列选项中正确的是（ ） A. 的最大值是1 B. 的最小值是4 C. 的最小值是2 D. 的最小值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】A利用基本不等式即可；B利用1的妙用；C利用公式；D利用判断. 【详解】因，，则，即，等号成立时，A正确； ，等号成立时， 则，B错误； 因，等号成立时，则，C正确； 因，则，等号成立时，D错误. 故选：AC 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数在上递增 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据高斯函数定义分析函数，判断各选项. 【详解】对于A、B：根据定义，表示不超过的最大整数， 所以当是整数时，，， 当不是整数时，设，其中，， 所以，所以，故A错误，B错误； 对于C：当时，，是增函数，C正确； 对于D：因为， 所以，D正确； 故选：CD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用换元法，令，代入方程，化简整理，即可得答案. 【详解】设，，则， 所以，， 令x=t，所以， 故答案为： 13. 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是_____. 【答案】{x|x<-2或x>3} 【解析】 【分析】根据表格中的数据，结合二次函数的图象和性质，画出二次函数的图象，考查轴上方的部分所对应的点的横坐标的取值范围，即为所求不等式的解集. 【详解】根据表格可以画出一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的草图如图. 由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>3}. 【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次函数的图象的关系，属基础题. 14. 已知函数，，令（即和中的较小者），则函数的值域为____________. 【答案】 【解析】 【分析】化简函数的解析式，由此可作出该函数的图象，数形结合可得出函数的值域. 【详解】由，即，即，解得或， 由，即，即，解得， 所以， 在同一个坐标系中画出函数、的图象如图①. 由图①中函数取值的情况，结合函数的定义，得函数的图象如图②. 由图可知，函数的值域为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求，；；； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），，或，. （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据集合的交并补运算求解即可； （2）根据题意得真包含于，进而分与两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：当时，，， 所以，， 或，或. 【小问2详解】 解：因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以 当时，,即，此不等式无解，故不成立； 当时，，解不等式得， 当时，此时有，不满足真包含于，舍去 综上，实数的取值范围 16. 我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 【解析】 【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，万元， 当时，，当且仅当，即时等号成立，万元. 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 17. 已知函数 （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数a取值范围． （3），解关于的不等式． 【答案】（1）4，1 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集得一元二次方程的根，从而利用韦达定理列方程组求得实数的值； （2）由含参不等式恒成立，分离参数结合基本不等式得最值即可得实数a取值范围； （3）根据含参一元二次不等式分类讨论得解集. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以是方程的两根， 所以，解得； 【小问2详解】 因为，则， 所以， 又，当且仅当即时等号成立， 则， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 由得 当时，， 当时，， 当时，或， 当时，， 当时，无解， 当时，， 综上：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式无解； 当时，原不等式的解集为． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）定义域内单调递减，证明：对，且，. 其中，，. 因此，，即对且，有. 所以函数在定义域内单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质及列方程求，，进而求出解析式；（2）利用单调性定义判断函数的单调性；（3）在定义域的区间内，利用奇函数的性质将不等式进行变形，再利用函数的单调性求解. 【小问1详解】 因函数 是定义在上的奇函数，所以，故，即. 又因为，所以，即. 故函数的解析式为， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因，有意义，所以，，解得. 所以 ，即也在的定义域内. 而是定义域上的奇函数，所以. 故不等式即为. 又因在定义域内单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 19. 已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式：． 【答案】（1）函数是奇函数，证明见解析 （2）函数在上单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函的奇偶性和单调性求解即可. 【小问1详解】 函数是奇函数， 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数． 【小问2详解】 函数在上单调递减， 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即， 在上单调递减； 【小问3详解】 因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则， 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $