精品解析： 广东省广州市八校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年上学期期中八校学业质量诊断调研 初二数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号（即考号，9位数，靠右边填涂）、考试科目等按要求涂写在答题卡上． 2.第Ⅰ卷的答案必须答在选择题答题卡上；第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔或钢笔按各题要求答在答题卡上． 3.考试结束时，将选择题答题卡和第Ⅱ卷答题卷一并交回，试卷和草稿纸自己带走． 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，解题的关键是熟练掌握定义，根据轴对称图形的定义即可得答案． 【详解】解：A．是轴对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，故符合题意； C．是轴对称图形，故不符合题意； D．是轴对称图形，故不符合题意． 故选：B． 2. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A. 3、8、2 B. 2、5、4 C. 6、3、5 D. 9、15、7 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可． 【详解】2+3＜8，A不能组成三角形； 2+4＞5，B能组成三角形； 3+5＞6，C能组成三角形； 7+9＞15，D能组成三角形； 故选A． 【点睛】此题主要考查学生对运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂相乘、除，根据运算法则逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 4. 如图，在△ ABC中，已知点 D、E、F 分别是 BC、AD、CE 的中点，且 S△ ABC=4，S△ BEF=（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，，，，然后求出，再根据列式求解即可． 【详解】解：点是的中点， ，， 点是的中点， ，， ， 点是的中点， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线的性质：三角形的中线吧一个三角形分成两个面积相等的三角形，熟悉相关性质是解题的关键． 5. 如图，三点共线，，则（ ） A. B. C. D. 无法计算 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用. 求出，根据推出，根据全等三角形的性质求出，根据三角形的外角性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】解：由题可得，过点作的垂线段，垂足为，则是边上的高，故C选项符合题意， 故选：C． 7. 如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图作线段． 由作图可知，，进而证明，即可得到． 【详解】解：由作图可知，， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，已知，，要使，则不符合条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定解决此题． 【详解】解：A、∵，∴，即，又由，，根据可判定，故此选项不符合题意； B、由，，，根据可判定，故此选项不符合题意； C、由， ，，这是两边及一边的对角，不能判定，故此选项符合题意； D、由，，，根据可判定，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理：、、、、是解决本题的关键． 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，中， ，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点，，，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的有（ ） ①； ②若，则； ③； ④； ⑤， ⑥ A 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内角和定理可求，由角平分线的定义可求，在由三角形内角和定理可求，故①正确；由角平分线的定义和三角形内角和定理可求，由①可求，由直角三角形的性质可求，故②正确；由直角三角形的性质可得，故③错误；由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，故④错误；由“”可证，可得，由“”可证，可得，即，⑤正确；由角平分线的性质可得，由全等三角形的性质可得，可得，由③可求，故⑥正确，即可求解． 【详解】解：①， ， 又平分，平分， ，， ， ，故①正确； ②，， ， 平分， ， 由①知， ， ， ， ，故②正确； ③由②知， ， ，故③正确； ④如图，延长，交于点， ，，， ， ， ， ，故④错误； ⑤如图，在上截取，连接， ，，， ， ， ， 又，， ， ， ，故⑤正确； 如图，过点N作于P，于Q， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 由③知， ， ， 故⑥正确； 故选：B． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第Ⅱ卷（共120分） 二、填空题（共6小题，每题3分） 11. 若，，则等于_________． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键．将化为，代入即可． 【详解】解：， 故答案为：42． 12. 若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质、三角形三边关系等知识，由题意可知，等腰三角形的腰可以是3或者等腰三角形的底边可以是3，分两种情况求解即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知， ①当等腰三角形的腰是3时， 由等腰三角形周长是13可知，三边长分别为3、3和7， 由于，根据构成三角形的三边关系可知3、3和7不能构成三角形， 此种情况不成立； ②当等腰三角形的底边是3， 由等腰三角形周长是13可知，三边长分别为3、5和5， ∴该等腰三角形的腰长为5， 故答案为：5． 13. 已知三边长均为整数，且周长为偶数，若．则边长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据，可知中一个奇数、一个偶数，再由的周长为偶数，可知为奇数，再根据即可得出的最小值． 【详解】解：∵， ∴中一个奇数、一个偶数， 又∵的周长为偶数，三边长均为整数， ∴为奇数，且为正整数， ∴， ∴的最小值为7． 故答案为：． 14. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】（1，-3） 【解析】 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点A（1，3）关于x轴对称的点的坐标为（1，-3）， 故答案为：（1，-3）． 【点睛】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律． 15. 如图，在中，的面积是42，的垂直平分线分别交边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．根据中垂线的性质，得到，进而得到周长等于，根据三线合一，求出的长，即可得出结果．掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分，点为线段上一动点， ∴， ∴周长等于， ∵，点为边的中点， ∴，， ∴的面积为， ∴， ∴周长的最小值为； 故答案为：． 16. 已知：如图，和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M，与相交于点N，连接，，则下列五个结论： ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分． 其中，正确的是______．（只填写序号） 【答案】②③④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用这些知识点． 当点M是的中点或者平分时，才有，故①错误；根据等边三角形的性质得，，，，则，利用可证，得，利用可证，得，故③正确；根据三角形内角和定理得，而，则，可得，即可得，故②正确；根据得，根据即可得为等边三角形，故④正确；作，，根据得，即可得平分，故⑤正确． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴当点M是的中点或者平分时，才有， 故①错误； ∵和等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 故④正确； 如图所示，作，， ∵， ∴， ∴平分， 故⑤正确， 综上，②③④⑤正确， 故答案为：②③④⑤． 三、解答题（共9小题，共102分） 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，解一元一次方程，先根据多项式乘以多项式化简方程的两边，再解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ 即 解得： 18. 如图，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、平行线的性质，证明是解题关键．首先根据“两直线平行，内错角相等”可得，再根据“”证明，由全等三角形的性质即可得结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）请作出关于轴对称的，并写出的3个顶点坐标：___________，___________，___________； （2）若点为轴上一点，且的面积为15，请直接写出所有满足条件的点的坐标___________． 【答案】（1）图见解析；；； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标——轴对称，三角形面积的计算等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到A、B、C三点的关于x轴的对称点的坐标，依次连接这三个点即可得到所求作的三角形； （2）根据点和点都在轴上，直接利用三角形面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即所求， ∵和关于轴对称，， ∴，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：∵点为轴上一点， ∴设点的坐标为， 在中，点为，点为，点为， ∴，点到轴的距离为， ∵的面积为15， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴满足条件的点的坐标为或． 故答案为：或． 20. 若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，则_______； （2）如果，求的值； （3）如果，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据（且，是正整数），则即可求解； （）根据幂的乘方法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方法则计算即可； 本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 ∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 21. 已知是的一个外角，． （1）尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的外角定理，平行线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的作法和平行线的判定定理． （1）利用角平分线的作法进行操作即可； （2）利用等腰三角形的性质得出两底角相等，利用三角形的外角定理得出，利用角平分线的性质得出，即可判定出两直线平行． 【小问1详解】 解：如图所示，射线即为所求； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴ ∴， ∴ ∴． 22. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）求证：BE=CF； （2）如果AB=8，AC=6，求AE，BE的长． 【答案】（1）证明见解析，（2）AE＝7，BE＝1． 【解析】 【分析】（1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE＝DF，再证明△DBE≌△DCF就可以得出结论； （2）由条件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE＝AF，进而就可以求出结论． 【详解】解：（1）证明： 连接DB、DC， ∵DG⊥BC且平分BC， ∴DB＝DC． ∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF． 在Rt△DBE和Rt△DCF中 ， Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）， ∴BE＝CF． （2）Rt△ADE和Rt△ADF中 ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）． ∴AE＝AF． ∵AC+CF＝AF， ∴AE＝AC+CF． ∵AE＝AB﹣BE， ∴AC+CF＝AB﹣BE， ∵AB＝8，AC＝6， ∴6+BE＝8﹣BE， ∴BE＝1， ∴AE＝8﹣1＝7． 即AE＝7，BE＝1． 【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 23. 中，，，是的中点． （1）如图1，连接，过点作，分别交，于点，． ①若，直接写出的度数为_________； ②求证：． （2）如图2，点，是边上动点，连接，相交于点，已知，连接，求证：． 【答案】（1）①；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线，熟练运用等腰三角形的性质和全等三角形的性质是解题关键． （1）①首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质求得，再结合，可解得，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，即可获得答案；②利用“”证明，由全等三角形的性质可证明； （2）连接，过点作交于点，首先证明为等腰三角形，易得，然后利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而确定，即可证明． 【小问1详解】 解：①，， ， ， ， ，是的中点， ，即， ， 故答案为：； ②证明：，，，是的中点， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ； 【小问2详解】 连接，过点作交于点，    ， ， ， ， 由（1）可知，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 24. 【问题发现】 （1）如图①，在中，过点作，垂足为点，且．若，则的值为_____； 【问题探究】 （2）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，，，连接、，求的周长； 【拓展应用】 （3）如图③，是一个游乐场的平面示意图，A为游乐场大门，其中米，，平分交于点．现分别在、上各取一点、，且满足，计划沿、修建两条轨道交通以方便游客游玩，已知两条轨道造价均为每米350元，求修建这两条轨道总费用的最小值． 【答案】（1）6；（2）25；（3）140000元 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的与性质等知识，解题的关键是： （1）根据线段垂直平分线的性质求解即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，，则可求出的周长为，即可求解； （3）根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，以C为顶点，在下方作，在上截取，连接，则，，，可得是等边三角形，则，证明，得出，则，故当A、Q、E共线时，取最小值为，然后根据每米的造价乘以轨道的长度即可求出总费用． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为：6； （2）∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴，， ∴的周长为， 又， ∴的周长为25； （3）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 以C为顶点，在下方作，在上截取，连接， 则，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当A、Q、E共线时，取最小值为， ∴修建这两条轨道总费用的最小值为元． 25. 等腰，，，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上． （1）如图1，求证： （2）如图2，若，，求B点的坐标 （3）如图3，点，Q、A两点均在x轴上，且．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） （3）的长度不会发生改变，的长度始终是9 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等得出结论即可； （2）先过点B作轴于D，再判定，求得，，进而得出，即可得到B点的坐标； （3）先过N作，交y轴于H，再证明，得出，，然后根据点，，求得，最后判定，得出，即可求得 (定值)． 【小问1详解】 解：如图， ，， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点B作轴于D，则， 在和中， ， ， ，， ， 又∵点B在第三象限， ； 【小问3详解】 解：的长度不会发生改变． 理由：如图，过N作，交y轴于H，则 ， ∵等腰、等腰， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∵点，， ∴，即， ， ， ， , ， ∴在和中， ， ， ， 又， （定值）， 即的长度始终是9． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算，解题时注意∶等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期中八校学业质量诊断调研 初二数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号（即考号，9位数，靠右边填涂）、考试科目等按要求涂写在答题卡上． 2.第Ⅰ卷的答案必须答在选择题答题卡上；第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔或钢笔按各题要求答在答题卡上． 3.考试结束时，将选择题答题卡和第Ⅱ卷答题卷一并交回，试卷和草稿纸自己带走． 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A. 3、8、2 B. 2、5、4 C. 6、3、5 D. 9、15、7 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ ABC中，已知点 D、E、F 分别是 BC、AD、CE 中点，且 S△ ABC=4，S△ BEF=（　　） A. 2 B. 1 C. D. 5. 如图，三点共线，，则（ ） A. B. C. D. 无法计算 6. 在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是（ ） A B. C. D. 8. 如图，已知，，要使，则不符合条件的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 10. 如图，中， ，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点，，，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的有（ ） ①； ②若，则； ③； ④； ⑤， ⑥ A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第Ⅱ卷（共120分） 二、填空题（共6小题，每题3分） 11. 若，，则等于_________． 12. 若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是__________. 13. 已知三边长均为整数，且周长为偶数，若．则边长的最小值是______． 14. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 15. 如图，在中，的面积是42，的垂直平分线分别交边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 16. 已知：如图，和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M，与相交于点N，连接，，则下列五个结论： ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分． 其中，正确是______．（只填写序号） 三、解答题（共9小题，共102分） 17. 解方程： 18. 如图，，，求证：． 19. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）请作出关于轴对称的，并写出的3个顶点坐标：___________，___________，___________； （2）若点为轴上一点，且的面积为15，请直接写出所有满足条件的点的坐标___________． 20. 若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面问题： （1）如果，则_______； （2）如果，求的值； （3）如果，求的值． 21. 已知是的一个外角，． （1）尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）； （2）求证：． 22. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）求证：BE=CF； （2）如果AB=8，AC=6，求AE，BE的长． 23. 中，，，是的中点． （1）如图1，连接，过点作，分别交，于点，． ①若，直接写出的度数为_________； ②求证：． （2）如图2，点，是边上动点，连接，相交于点，已知，连接，求证：． 24. 【问题发现】 （1）如图①，在中，过点作，垂足为点，且．若，则的值为_____； 【问题探究】 （2）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，，，连接、，求的周长； 【拓展应用】 （3）如图③，是一个游乐场平面示意图，A为游乐场大门，其中米，，平分交于点．现分别在、上各取一点、，且满足，计划沿、修建两条轨道交通以方便游客游玩，已知两条轨道造价均为每米350元，求修建这两条轨道总费用的最小值． 25. 等腰，，，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上． （1）如图1，求证： （2）如图2，若，，求B点的坐标 （3）如图3，点，Q、A两点均在x轴上，且．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $