精品解析：北京市第一七一中学2025--2026学年八年级上学期期中数学试卷

一七一中学教育集团2025-2026学年度第一学期 初二年级数学科目期中调研试题 （考试时间：100分钟 总分：100分） 一、单选题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. 清华大学 B. 北京大学 C. 中国人民大学 D. 浙江大学 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B． 2. “月壤”是月球表面上的一层细腻沙土，平均粒径约为，具有极高的科研价值．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．直接利用科学记数法的表示方法解题即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 用科学记数法表示为． 故选：A． 3. 下面计算正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的计算法则依次计算即可得出正确选项. 【详解】解：A. ，所以A错误； B.，所以B错误； C.，所以C错误； D.，所以D正确； 故答案选：D. 【点睛】本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，而幂的乘方是底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；合并同类项的时候字母部分不变，系数进行计算. 4. 已知长度分别为和的两条线段，能和已知的两条线段构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用．设构成三角形的第三条边长为，根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可求解出第三边长的取值范围． 【详解】解：设构成三角形的第三条边长为， 则，即， ∴第三条线段长可以是， 故选：B． 5. 如图，在△ABC中，E为AC边上一点，若∠1＝20°，∠C＝60°，则∠AEB等于( ) A. 90° B. 80° C. 60° D. 50° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案. 【详解】解：由三角形的外角性质可知，∠AEB＝∠1+∠C＝80°， 故选：B. 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 6. 如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是（ ） A. 正七边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．利用多边形的外角和，除以外角的度数，即可求得边数． 【详解】解：， 所以这个多边形是正十边形， 故选：D． 7. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式，掌握分子分母不含公因式的分式叫做最简分式成为解题的关键． 根据最简分式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、 ，不是最简分式，不符合题意； B、 ，是最简分式，符合题意； C、 ，不是最简分式，不符合题意； D、，不最简分式，不符合题意． 故选B． 8. 在平面直角坐标系中，，，，于点，交轴于点，连接．下列结论中正确的有（ ） ①，②，③，④平分． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，能证得三角形全等是解本题的关键． 根据两点的坐标即可判断出①，通过证得即可判断③，根据全等三角形性质可知，即可判断②；由得出，进而得出，即可判断④． 【详解】解：∵点的坐标分别为， ∴，故①正确； ∵轴轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故③错误； ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为，故②正确； 如图②， 过点作于，于， ， ， ， ， ∴点一定在的角平分线上， ， ∴平分，故④正确． ∴正确的有①②④． 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若分式的值为0，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的基本条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据分子为零，分母不为零列式计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故答案为：2． 10. 分解因式：=____． 【答案】． 【解析】 【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 11. 如图，在和中，，若要利用“”证明，则需要添加条件______________（答案不唯一）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据，且要利用“”证明，则添加，即可作答． 【详解】解：∵，且要利用“”证明， ∴需要添加条件， 故答案为：（答案不唯一） 12. 计算：__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，负指数幂，根据零指数幂，负指数幂化简求解，即可解题． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 若等腰三角形有一个内角为，则它的顶角度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是分情况讨论已知内角是顶角还是底角． 当角为顶角时，直接得出顶角度数；当角为底角时，利用等腰三角形两底角相等及内角和为，计算顶角的度数． 【详解】解：等腰三角形的一个内角为，需分两种情况讨论： 情况一：若这个的角是顶角， 则该等腰三角形的顶角度数为． 情况二：若这个的角是底角， 因为等腰三角形两底角相等， 所以另一个底角也是． 又因为三角形内角和为， 所以顶角的度数为． 综上，该等腰三角形的顶角度数为或． 故答案为：或． 14. 若，，比较大小：P___________Q（用“”或“”或“”填空）． 【答案】 【解析】 【分析】分别对P、Q进行多项式的乘法计算，再对计算的结果进行大小比较． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，完全平方公式的运算，以及有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． 15. 某项工程，甲、乙两队合作需m天完成，甲单独做需要n天完成，那么乙队单独完成的时间是_______天． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式加减的应用，分式的除法，理解题意正确列出算式是解题的关键． 由题意得，甲乙合作的工作效率是，甲单独做的工作效率是，两者相减得出乙单独做的工作效率，然后用工作量除以工作效率即可得出答案． 【详解】解：， ∴乙队单独完成的时间是天． 故答案为：． 16. 用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为、，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积、利用平方根解方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 先根据正方形的面积公式可得，，进而求得的值． 【详解】∵大正方形的面积为，中间空缺的小正方形的面积为， ∴，， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共12道，17-18题每小题4分，19-21题每小题5分，22-25题每小题6分，26-28题7分，共68分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查指数运算规则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法；通过逐步简化表达式，最终得到结果． 【详解】解：原式 ． 18. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式与公式法分解因式，掌握分解因式的方法与步骤是解题的关键． 先提公因式，再按照完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：原式． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式以及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据多项式乘以多项式的法则和完全平方公式计算，再去括号、合并同类项即可． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题． 【详解】解：， 方程两边都乘，得． 去括号得：， 解得． 经检验，是原方程根． 21. 如图，AD平分∠CAE，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求∠D与∠ACD的度数． 【答案】∠D =25°，∠ACD=95°． 【解析】 【分析】根据三角形外角性质即可求出∠D，根据角平分线的定义可得∠CAE=2∠DAE，再根据邻补角的定义求出∠BAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：∵∠DAE是△ABD的外角，∠B=35°，∠DAE=60° ∴∠DAE=∠B+∠D ∴∠D=∠DAE-∠B=25° ∵AD平分∠CAE ∴∠CAE=2∠DAE=120° ∴∠BAC=180°－∠CAE=60° ∵∠B=35° ∴∠ACD=∠BAC+∠B =35°+60°=95° 【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，熟记性质与概念是解题的关键． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，2 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键；先通分合并括号内的表达式，再利用因式分解和约分进行化简，最后代入数值计算． 【详解】解： 原式       ， 当时，原式  ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， （1）请画出关于y轴的对称图形，并写出点的坐标； （2）在y轴上找一点M，使得是以为底边的等腰三角形，则点M的坐标是______． 【答案】（1）图见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）线段的垂直平分线与y的交点即为点 【小问1详解】 解：如图，即为所求，点的坐标； 【小问2详解】 解：如图，点M即为所求，． 故答案为：． 24. 如图，，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见详解； （2）见详解． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）先证明，再根据，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ， ， 在和中， ； 【小问2详解】 证明：， ， ． 25. 如图，小正方形的边长为1，为格点三角形． (1)如图①，的面积为 ； (2)在图②中画出所有与全等，且只有一条公共边的格点三角形． 【答案】(1)6;(2)见解析 【解析】 【分析】（1）利用△ABC所在的正方形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解； （2）分三种情况讨论：分别以AC,AB,BC为公共边，作与余下两边相等的三角形，看是否符合题意即可． 【详解】解：（1）4--=6. （2）如图 【点睛】本题主要考查的是作图-应用设计、全等三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 26. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ， 则和都是“和谐分式”． （1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）： ． （2）将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________，________． （3）如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的整数的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，分式有意义的条件． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，进行化简求解； （3）将原式进行化简，根据题意可得，根据分式有意义的条件进行检验，即可得符合条件的整数的值． 【小问1详解】 解： ，是和谐分式，  ，不是和谐分式，  ，是和谐分式． 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ． 故答案为：，． 【小问3详解】 解：， ∵的值为整数，且为整数， ∴为整数，为整数， 设（为整数）， 则， ∵为整数， ∴为整数， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， 经检验，当或时，分母均不为零，符合题意． ∴符合条件的整数的值为或． 27. 已知，等腰中，是直角，点是边上一动点（不与点，重合），过点作，使得点和点落在两侧，且，连接、，、交于点． （1）当点是边中点时，则的度数是________． （2）若点在边上移动到其它位置（不与点，重合），的度数是否变化？________（填“变”或“不变”），并给以证明． （3）若点的位置满足，依题意补全图，用等式表示线段、的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）不变，理由见解析． （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．解题关键是通过证明三角形全等，结合等腰直角三角形的角度和边的关系来推导结论． （1）由等腰三角形性质得，由证，进而得． （2）同（1）的方法证，进而得． （3）由，由，得进而算出，由得算出，从而得证得． 【小问1详解】 解： 在等腰中，， ，， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， ． 【小问2详解】 不变，理由如下如图： 在等腰中，， ，， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， ． 【小问3详解】 如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （由(1)得）， ， ， ， ． 28. 对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有_______． ②画出点关于四边形的“对称图形”； （2）点是轴上的一动点． ①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围； ②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①点E，点F，②图见解析． （2）①，②或 【解析】 【分析】根据点关于图形的“对称图形”的定义，可以在图形上找几个特殊点（线段的端点），作出点关于这些特殊点的对称点，大体描绘图形的形状． （1）①作出点关于点、的对称点、，得到点关于线段的“对称图形”是一条线段； ②先画出点关于四边形的四个顶点中心对称的对应点，再顺次连接可以得到点关于四边形的“对称图形”是一个正方形； （2）①点关于四边形的“对称图形”也是一个正方形，与关于四边形的“对称图形”大小一样，只是随的变化左右移动，可以用数形结合求解； ②是动线段与动正方形的交点问题，沿用数形结合求解． 【小问1详解】 解：①根据点关于图形的“对称图形”的定义，点关于线段的“对称图形”是线段，如图所示其中点，．故点，在线段上． 故答案为：点，点； ②点关于四边形的“对称图形”为四边形． 【小问2详解】 ①动点关于四边形的“对称图形”为四边形，如图所示．利用中点坐标公式可得到点，，，．四边形随的变化左右移动，当四边形与四边形有公共点时，应满足： ， ， ②要使得点是四边形上的点，需满足： 或， 或． 【点睛】这道题在新定义下考查了点的对称，数形结合的思想，以及运动的观点，建立不等式解决交点问题，熟练掌握新定义，轴对称的性质是解题的就． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一七一中学教育集团2025-2026学年度第一学期 初二年级数学科目期中调研试题 （考试时间：100分钟 总分：100分） 一、单选题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. 清华大学 B. 北京大学 C. 中国人民大学 D. 浙江大学 2. “月壤”是月球表面上的一层细腻沙土，平均粒径约为，具有极高的科研价值．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下面计算正确的是（ ） A. B. C D. 4. 已知长度分别为和的两条线段，能和已知的两条线段构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，E为AC边上一点，若∠1＝20°，∠C＝60°，则∠AEB等于( ) A. 90° B. 80° C. 60° D. 50° 6. 如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是（ ） A. 正七边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形 7. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，，，，于点，交轴于点，连接．下列结论中正确的有（ ） ①，②，③，④平分． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若分式的值为0，则的值是______． 10. 分解因式：=____． 11. 如图，在和中，，若要利用“”证明，则需要添加条件______________（答案不唯一）． 12. 计算：__． 13. 若等腰三角形有一个内角为，则它顶角度数为___________． 14. 若，，比较大小：P___________Q（用“”或“”或“”填空）． 15. 某项工程，甲、乙两队合作需m天完成，甲单独做需要n天完成，那么乙队单独完成的时间是_______天． 16. 用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为、，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则________． 三、解答题（本题共12道，17-18题每小题4分，19-21题每小题5分，22-25题每小题6分，26-28题7分，共68分） 17. 计算：． 18. 分解因式：． 19 化简：． 20. 解方程：． 21. 如图，AD平分∠CAE，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求∠D与∠ACD的度数． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， （1）请画出关于y轴的对称图形，并写出点的坐标； （2）在y轴上找一点M，使得是以为底边的等腰三角形，则点M的坐标是______． 24. 如图，，，． （1）求证：； （2）求证：． 25. 如图，小正方形边长为1，为格点三角形． (1)如图①，的面积为 ； (2)在图②中画出所有与全等，且只有一条公共边的格点三角形． 26. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ， 则和都是“和谐分式”． （1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）： ． （2）将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________，________． （3）如果和谐分式值为整数，求出所有符合条件的整数的值． 27. 已知，等腰中，是直角，点是边上一动点（不与点，重合），过点作，使得点和点落在两侧，且，连接、，、交于点． （1）当点是边中点时，则的度数是________． （2）若点在边上移动到其它位置（不与点，重合），的度数是否变化？________（填“变”或“不变”），并给以证明． （3）若点的位置满足，依题意补全图，用等式表示线段、的数量关系，并证明． 28. 对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有_______． ②画出点关于四边形的“对称图形”； （2）点是轴上的一动点． ①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围； ②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $