精品解析：北京市育才学校2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期 北京育才学校高三数学 期中考试试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列，，，则等于（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 4. 已知，则函数的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5. 已知向量，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为（ ） A. 12里 B. 24里 C. 48里 D. 96里 8. 在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数若存在最小值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 复数满足，则_________________. 12. 若向量满足，且的夹角为，则___________，___________. 13. 在的展开式中，若二项式系数的和等于，则________，此时的系数是_______.（用数字作答） 14. 已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式___________. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①当时，对任意，有1个极值点； ②当时，存在，使得存在极值点； ③当时，对任意，有一个零点； ④当时，存在，使得有3个零点. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 16. 已知函数. （1）求的单调递减区间 （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数在处有极值-1. （1）求实数a，b的值; （2）求函数的单调区间. 18. 在中，，，分别为角，，的对边，，，且. （1）求角的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，为锐角；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 19. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： （1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； （3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 20. 已知函数. （1）求函数的图象在点处的切线的方程； （2）当时，求证：； （3）讨论函数（且为常数）零点的个数. 21. 有穷数列中，令，当p=q时，规定. （1）已知数列，写出所有的有序数对，且，使得； （2）已知整数列为偶数，若，满足：当为奇数时，；当为偶数时，.求的最小值； （3）已知数列满足，定义集合.若且为非空集合，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期 北京育才学校高三数学 期中考试试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合一元二次不等式解法化简集合，根据并集的定义求结论. 【详解】， 又，所以. 故选：D 2. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知的各个函数的性质，可以直接作出判断. 【详解】是奇函数，它在区间上单调递增，在定义域内不是增函数，所以选项A是错误的； 是偶函数，所以选项B是错误的； 既不是奇函数又不是偶函数，所以选项C是错误的； 满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的； 故选：D. 3. 已知等差数列，，，则等于（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由等差中项计算得到答案. 【详解】因为数列是等差数列，所以，即. 故选：C. 4. 已知，则函数的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】因为，当且仅当时，取等号， 所以函数的最小值为0， 故选：B 5. 已知向量，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面共线向量的坐标表示可得，结合二倍角的正切公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以，得， 所以. 故选：A. 6. 已知是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在中，， 先证充分性：在中，取，此时，即“”推不出“”，充分性不成立； 再证必要性：在中，，即“”推出“”，必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为（ ） A. 12里 B. 24里 C. 48里 D. 96里 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，此人天中每天走的路程是公比为的等比数列，再根据等比数列的前项和公式及通项公式求解即可. 【详解】由题意可得，此人天中每天走的路程是公比为的等比数列， 设这个数列为，前项和为， 则，解得， 所以， 即该人第三天走的路程为48里. 故选：C. 8. 在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，由，再利用两个向量的数量积的定义，运算求解即可. 【详解】解：由题意可知，，，. ，. ，， . 故选：D. 【点睛】 本题考查两个向量的加减法法则，以及几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题. 9. 已知函数若存在最小值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可. 【详解】当时，， 故当时，有最小值为； 当时，单调递减，所以，由题意存在最小值， 则，解得，即c的最大值为. 故选：A. 10. 在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果. 【详解】法1：每次跳跃的路径对应的向量为， 因为求跳跃次数的最小值，则只取， 设对应的跳跃次数分别为，其中， 可得 则，两式相加可得， 因为，则或， 当时，则次数为； 当，则次数为； 综上所述：次数最小值为10. 法2：考虑所有边长为5的勾股数，每次正向的位移之和最大为7， 从到的正向的位移，故移动的次数大于， 考虑下面的移动：，4次，4次，则可从从到. 故最小次. 故选：B. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 复数满足，则_________________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法运算得到答案. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 12. 若向量满足，且的夹角为，则___________，___________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】第一空：由数量积的定义即可得解；第二空：利用转换法求向量的模. 【详解】，. 故答案为：1；. 13. 在的展开式中，若二项式系数的和等于，则________，此时的系数是_______.（用数字作答） 【答案】 ①. 6 ②. 135 【解析】 【分析】利用二项式系数的和等于，求解值，利用通项公式求解的系数. 【详解】由二项式系数的和等于，则，； 通项公式为， 令，所以的系数为. 故答案为：；. 14. 已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式___________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据条件得到数列的性质,按性质写出一个数列即可. 【详解】∵，∴数列时一个增数列； ∵，∴ ∴ 故答案为：（答案不唯一） 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①当时，对任意，有1个极值点； ②当时，存在，使得存在极值点； ③当时，对任意，有一个零点； ④当时，存在，使得有3个零点. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①④ 【解析】 【分析】对①：借助导数研究函数的单调性即可得极值点个数；对②：借助导函数的导函数研究导函数可得导函数无零点，故函数不存在极值点；对③：举出反例即可得；对④：将零点个数转化为直线与曲线的交点个数，从而可通过研究过的曲线的切线，结合零点的存在性定理得到直线与曲线的关系. 【详解】对①：当时，，， 则时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故对任意，有1个极大值点，故①正确； 对②：当时，， 若存在极值点，则有变号零点，则必须有解， 令， 则， 故当时，，当时， ， 故在、上单调递增，在上单调递减， 又时，，， 即恒成立，故当时，无解，故②错误； 对③：当时，， 当时，，此时函数无零点，故③错误； 对④：当时，若存在，使得有3个零点， 则直线与曲线有三个不同交点， 由直线过点，曲线过点， 又，是偶函数，且在上单调递减， 故当时，直线与曲线在第二象限必有一交点， 同理，当时，直线与曲线在第一象限必有一交点， 过点作曲线的切线，设切点为， 则切线方程为， 即，则， 由，则，即， 即，即， 故当时，存在， 使曲线有过点的切线，且切点为， 当时，切线斜率为， 则当时，有，又， 则存在，使， 此时函数单调递减，而恒成立， 故存在，使， 即当时，存在，使得有3个零点， 同理可得，当时，存在，使得有3个零点，故④正确. 故答案为：①④. 【点睛】关键点点睛：第④个结论关键点在于将零点个数转化为直线与曲线的交点个数，从而可通过研究过的曲线的切线，结合零点的存在性定理去得到直线与曲线的关系. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 16. 已知函数. （1）求的单调递减区间 （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简得，然后根据正弦函数单调递减区间求解即可； （2）由题意可得当时，，根据正弦函数性质求解即可. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以的单调递减区间为； 【小问2详解】 由题，恒成立，即，， 因为，所以， 由正弦函数性质可知当即时，， 所以，即实数的取值范围是. 17. 已知函数在处有极值-1. （1）求实数a，b的值; （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）由题意，解出的值再检验即可； （2）直接求导，根据导数符合与单调性的关系即可得解. 【小问1详解】 已知函数，则， 由题意，解得 ， 当时，，， 当或时，，当时，， 所以在上均单调递增，在上单调递减， 所以在处有极小值，满足题意， 综上所述，符合题意； 【小问2详解】 由题意，则， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为. 18. 在中，，，分别为角，，的对边，，，且. （1）求角的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，为锐角；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 选条件①，. 选条件②，不唯一， 选条件③，. 【解析】 【分析】（1）根据三角形边角关系及的值即可求解； （2）对给出的三个条件逐一探讨，利用三角形的唯一性可排除条件②.若选①，由余弦定理解得或.分类讨论三角形的形状，再结合面积公式即可求解；若选③，由正弦定理求出的值，由两角和的正弦公式求出的值，结合面积公式即可求解. 【小问1详解】 在中，因为，所以，所以，. 因为，所以，所以. 【小问2详解】 选条件①：，为锐角. 由（1）知，所以. 又，， 由余弦定理可得， 即，解得或. 当时，，为钝角，不符合题意，舍去； 当时，，为锐角，符合题意. 综上，满足条件的存在且唯一确定， 此时的面积为. 选条件②：. 由（1）知，所以. 因为，所以.结合余弦函数在上的单调性可知. 因为，所以或，从而角可能为锐角，也可能为钝角， 所以不唯一，故不能选条件②. 选条件③：. 由（1）知，所以. 因为，由正弦定理可得，所以，. 由正弦定理可得. 又， 所以的面积为. 19. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： （1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； （3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 【答案】（1）人 （2）分布列为： （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图分析数据得频率即可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）确定从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，结合二项分布的概率求解的分布列与数学期望即可； （3）根据超几何分布的概率求解的分布列与数学期望即可得结论. 【小问1详解】 ， 故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人； 【小问2详解】 从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为： ， 的可能取值为、、、， ， ， ， ， 则其分布列为： 其期望为：； 【小问3详解】 ，理由如下： 这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、， ，，， 则，故. 20. 已知函数. （1）求函数的图象在点处的切线的方程； （2）当时，求证：； （3）讨论函数（且为常数）零点的个数. 【答案】（1） （2）证明：当时，要证，只需证， 令，则， 令，则， 由得，，由得，， ∴在为减函数，在上为增函数， ∴， ∴在上为增函数， ∴， ∴，即. （3）当时，函数无零点；当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 【解析】 【分析】（1）求，计算函数图象在处的切线斜率，利用点斜式求切线方程. （2）当时，等价于，构造函数，通过分析单调性可证不等式成立. （3）函数零点个数问题转化为图象交点个数问题，数形结合可得结果. 【小问1详解】 由题意得，，，∴， ∴切线的方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由得，. 令，则， 由得或，由得， ∴在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 当时，，当时，，当，. ∵时，取极小值， ∴当时，直线与的图象没有交点，函数无零点， 当时，直线与的图象有1个交点，函数有1个零点， 当时，直线与的图象有2个交点，函数有2个零点， 当时，直线与的图象有3个交点，函数有3个零点. 综上得，当时，函数无零点；当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 【点睛】思路点睛： 本题考查函数综合问题，具体思路如下： （1）当时，要证，可等价变形为，构造函数，通过二次求导可分析函数的单调性，求函数的最小值，即可证明结论. （2）要求函数（且为常数）零点的个数，分离参数得，问题转化为直线与的图象交点个数问题，通过求导分析单调性数形结合可得结果. 21. 有穷数列中，令，当p=q时，规定. （1）已知数列，写出所有的有序数对，且，使得； （2）已知整数列为偶数，若，满足：当为奇数时，；当为偶数时，.求的最小值； （3）已知数列满足，定义集合.若且为非空集合，求证：. 【答案】（1） 、、、 （2） （3） 对于数列，，不妨设， ①首先考虑的情况， 由于，，故，同理，，， 故. ②再考虑中有连续一段是连续的正整数的情况， 此时, 因为，， 故这说明此连续的 项的和为负. 同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负， 再由①中结论，可得. ③若在①②中，由于， 此时去掉前项，则可转化①②的情况，所以有. ④若，则， 所以此时有， 综上，结论成立. 【解析】 【分析】（1）结合题意，逐个计算即可得； （2）由题意可得，，可得当时，有，当时，，结合，即可得解； （3）将展开，从而得到证明与之间的项之和，，都为正数，即可得证. 【小问1详解】 为时，， 为时，， 为时，， 为时，， 故，且使得的有序数对有、、、； 【小问2详解】 由题意可得，， 又为整数，故，， 则， 同理可得， 即有， 同理可得，当时，有， 即当时，有， 当时，， 故 ； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于将展开，从而得到证明与之间的项之和，，都为正数，即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $