2027年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02

2027年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．数据，，，，，，的中位数和众数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】这组数据共有7个数，不是整数，所以取第4位数为中位数，即； 数据中84出现的次数最多，故众数为84. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，因为，所以. 又，所以. 3．已知命题：，，则是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知， 命题：，的否定，是，. 4．已知两条不同直线，两个不同平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．在空间中，如果，且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A：空间中垂直于同一条直线的两条直线，可能平行、相交或者异面，故A错误； 对于B：等角定理要求方向相同才平行；两角相等，一组边平行，另一组边可以不平行，故B错误； 对于C：两个平行平面内的直线，可能平行，也可能异面，故C错误； 对于D：如果两个平面平行，一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行，这是面面平行的性质，故D正确. 5．已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化简整理成的标准形式即可求解. 【详解】 . 所以的虚部为. 6．新高考采取等级赋分制，简单来说，就是对考生的卷面成绩进行等级性划分，而后依据考生卷面成绩排名所在的等级区间，赋予其对应等级的分数，高考成绩不是考生实际考的卷面分数，而是经过一定的计算方式之后赋予的等级分数．等级性考试一共分为A、B、C、D、E五大等级，等级分区以及范围如表所示，转换公式，（、分别表示卷面分区间的下限和上限，、分别表示等级分区间的下限和上限，Y表示卷面分，X表示转换分）．甲和乙分别选考化学和政治，卷面分都是81分，经过卷面成绩排名后，甲是等级A（卷面最高分为100，最低分为80），乙是等级B（卷面最高分为82，最低分为61），求甲乙两人的转换分得分为（     ）（四舍五入保留整数） 等级 比例 赋分区间 A 约 B 约 C 约 D 约 E 约 A．87，84 B．90，82 C．84，87 D．87，90 【答案】A 【详解】首先计算甲的转换分：甲为A等级，已知卷面分，卷面分区间下限，上限， A等级赋分区间下限，上限， 代入转换公式得：，解得，四舍五入保留整数为87； 再计算乙的转换分：乙为B等级，已知卷面分，卷面分区间下限，上限， B等级赋分区间下限，上限， 代入转换公式得：，解得，四舍五入保留整数为84； 综上，甲转换分为87，乙转换分为84. 7．声强级是声强与基准声强的比值的常用对数乘以10，即声强级，其中为声强，为基准声强.若人正常交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强是人正常交谈时声强的倍，则这种火箭发射时的声强级约为（　　） A．150dB B．285dB C．145dB D．235dB 【答案】C 【详解】设交谈声强为，火箭声强为， 人正常交谈时的声强级约为45dB，即 又因为一种火箭发射时的声强是人正常交谈时声强的倍， 则 故火箭发射时的声强级约为45＋100＝145dB. 8．某人从标有的张卡片中随机抽取一张，记事件“抽出的卡片上的数为奇数”，“抽出的卡片上的数是的倍数”，事件“抽出的卡片上的数大于”，则下列说法错误的是（） A．事件与互斥 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知样本空间为，，； ，；，， A选项：，所以与互斥，A选项正确； B选项：因为互斥，所以，B选项正确； C选项：，所以，C选项错误； D选项：，，所以，D选项正确. 9．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得， 即，解得， 因为提价销售故，又， 这批台灯的销售单价的取值范围是． 10．已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，旋转所形成的圆柱的侧面积最大是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设矩形的长为，则宽为，利用几何特征可得旋转所形成的圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求侧 面积的最大值. 【详解】不妨设矩形的长为，则矩形的宽为， 则旋转后的圆柱的底面圆半径为，高为， 从而圆柱的侧面积为， 当且仅当时，即时，圆柱的侧面积取得最大值. 11．如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河岸边地出发，航行到河对岸的处，（与河的方向垂直），已知船的速度为，过河需要的时间为，船的行驶方向与水流方向的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】船垂直抵达对岸，说明合速度只有垂直河岸分量；船的静水速度需要分出向西分量抵消水流，利用速度矢量直角三角形求出垂直河岸的速度，再求时间与． 【详解】 设船自身速度的向北分量，向西分量抵消水流向东的速度： 船向西分速度大小，用来抵消水流， 由勾股定理：，，解得， ：船行驶方向（船静水速度方向）与向东水流方向的夹角， 船的速度指向西北方向，船速与向东（水流方向）夹角，这个角是钝角， 对船速矢量：对边向北分量，斜边， ， 过河时间：沿正北方向速度， ， 所以． 12．已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断函数奇偶性以及单调性，将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，只需要即可，并考虑函数定义域即可得到结果. 【详解】因为在上单调递增， 且在上单调递增， 所以在上单调递增， 又定义域为， 且，所以是偶函数， 因为，所以， 又，所以，所以化为， 即在上恒成立， 又函数在上单调递减， 所以时，最小，且为， 所以，， 又时，，不符合题意， 所以或， 即的取值范围是. 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 13．已知平面、、，若，，，则直线、的位置关系是______（填“相交”、“平行”或“异面”） 【答案】 平行 【分析】利用面面平行的性质定理判断即可. 【详解】由，可得直线，， 又，则和没有公共点， 又，同在平面内，因此. 14．已知，则______． 【答案】 【详解】由，可得，， ， ， 所以 . 15． 若是第四象限角，则______； 【答案】/0.8 【分析】根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为， 所以，又是第四象限角， 所以， 所以. 16． 已知函数满足，且，当时，，则________． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求解. 【详解】因为，所以函数为奇函数， 又因为，且当时，， 所以． 三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（10分）已知向量. (1)求； (2)求向量的夹角的余弦值； (3)若与垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3)24 【详解】（1）因为，所以. （2）. （3），. 因为与垂直，所以，得出. 18．（10分）随着新能源汽车普及，各地公共快充桩不断建设．某测评机构统计了6座城市公共快充桩的平均充电功率（单位：）数据如表： 城市 站点位置 快充桩平均充电功率 A市 城东服务区 112.5 B市 城西枢纽 135.2 C市 北站广场 98.7 D市 南环线 141.8 E市 港口园区 105.4 F市 国泰商场 118.6 规定：若城市快充桩平均充电功率大于110kW，定义该城市为快充高性能城市． (1)从以上6座城市中随机选取2座城市进行调研，求选取的2座城市恰有一座是快充高性能城市的概率； (2)甲、乙两家新能源投资公司分别从以上6座城市中随机选取1座城市考察（甲、乙选取互不影响，可以选取同一座城市），求甲、乙两家公司中恰有1家选取到快充高性能城市的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】先确定高性能城市的数量，再分别列出总的基本事件数和每个事件所包含的基本事件数，最后根据古典概型分别求解两问的概率即可. 【详解】（1）根据题意，6座城市中快充高性能城市为A、B、D、F，共4座，非高性能城市为C、E， 从以上6座城市中随机选取2座城市，总基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C）， （B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15 个， 而选取的2座城市恰有1座是高性能城市包含的基本事件有：（A，C），（A，E），（B，C），（B，E），（C，D），（C，F），（D，E），（E，F），共8个， 所以由古典概型概率公式得所求概率为：. （2）甲、乙独立选取，总基本事件数为，恰有1家选到高性能城市分为两类： 第一类：甲选到高性能城市，乙未选到，基本事件数：（A，C），（B，C），（D，C），（F，C），（A，E）， （B，E），（D，E），（F，E），共8个； 第二类：甲未选到高性能城市，乙选到，基本事件数为：（C，A），（E，A），（C，B），（E，B），（C，D）， （E，D），（C，F），（E，F），共8个. 所以由古典概型概率公式得所求概率为： . 19．（10分）已知函数. (1)求函数的最小正周期及对称中心； (2)求函数的单调递增区间； (3)若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，求的值. 【答案】(1)最小正周期为，对称中心为，； (2)单调递增区间为，； (3) 【分析】运用两角差的余弦公式以及二倍角公式将化简为. （1）小问运用最小正周期的公式以及对称中心的公式计算即可； （2）小问令，解出的范围即可； （3）小问经过平移和伸缩变换得到，代入，计算即可. 【详解】（1）， ， ， 最小正周期， 令，，解得，， 此时，故的对称中心为，. （2）令，， 解得，， 故函数的单调递增区间为，. （3）将函数的图象向右平移个单位长度得， ， 将横坐标伸长到原来的2倍得， ， 则. 20．（10分）如图，在直三棱柱中，，，D是棱的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形， 由于D为的中点，故，可得， 所以． 因为，，，平面， 所以平面．因为平面， 故，又平面, 所以平面． (2) 【分析】（1）先利用勾股定理证，再结合直棱柱性质推出平面得到，最后由线面垂直判定定理证明结论； （2）利用等体积转换，以为底、为高，代入三棱锥体积公式计算． 【详解】（1）略 （2）． 21．（12分）如图，某快递小哥从地出发，沿小路以平均速度公里/小时，送快件到处，已知（公里），是等腰三角形，. (1)试问，快递小哥能否在分钟内将快件送到处？ (2)快递小哥出发分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均速度公里/小时，问汽车能否先到达处？ 【答案】(1)不能 (2)能 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理得，再结合条件，即可求解； （2）根据条件，利用余弦定理和正弦定理求出，再结合条件，即可求解. 【详解】（1）因为（公里），，在中，由正弦定理得， 所以，解得（公里）， 又快递小哥的平均速度公里/小时，则， 所以快递小哥不能在分钟内将快件送到处. （2）由题知， 在中，由余弦定理得，解得（公里）， 在中，， 又， 由正弦定理可得，解得（公里）， 又（分钟）， 所以汽车能先到达处. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2027年1月辽宁省学考仿真模拟试卷02 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学·答题卡 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。 ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 3 分，共计 12 分） ) ( 13 ． _______________________ 14 ． _______________________ 15 ． _______________________ 16 ． _______________________ 三、解答题（本题共 5 小题，共 52 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18. （ 10 分） 19 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20. （ 10 分） （ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．数据，，，，，，的中位数和众数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知命题：，，则是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．已知两条不同直线，两个不同平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．在空间中，如果，且，则 C．若，则 D．若，则 5．已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 6．新高考采取等级赋分制，简单来说，就是对考生的卷面成绩进行等级性划分，而后依据考生卷面成绩排名所在的等级区间，赋予其对应等级的分数，高考成绩不是考生实际考的卷面分数，而是经过一定的计算方式之后赋予的等级分数．等级性考试一共分为A、B、C、D、E五大等级，等级分区以及范围如表所示，转换公式，（、分别表示卷面分区间的下限和上限，、分别表示等级分区间的下限和上限，Y表示卷面分，X表示转换分）．甲和乙分别选考化学和政治，卷面分都是81分，经过卷面成绩排名后，甲是等级A（卷面最高分为100，最低分为80），乙是等级B（卷面最高分为82，最低分为61），求甲乙两人的转换分得分为（     ）（四舍五入保留整数） 等级 比例 赋分区间 A 约 B 约 C 约 D 约 E 约 A．87，84 B．90，82 C．84，87 D．87，90 7．声强级是声强与基准声强的比值的常用对数乘以10，即声强级，其中为声强，为基准声强.若人正常交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强是人正常交谈时声强的倍，则这种火箭发射时的声强级约为（　　） A．150dB B．285dB C．145dB D．235dB 8．某人从标有的张卡片中随机抽取一张，记事件“抽出的卡片上的数为奇数”，“抽出的卡片上的数是的倍数”，事件“抽出的卡片上的数大于”，则下列说法错误的是（） A．事件与互斥 B． C． D． 9．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，旋转所形成的圆柱的侧面积最大是（   ） A． B． C． D． 11．如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河岸边地出发，航行到河对岸的处，（与河的方向垂直），已知船的速度为，过河需要的时间为，船的行驶方向与水流方向的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 12．已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 13．已知平面、、，若，，，则直线、的位置关系是______（填“相交”、“平行”或“异面”） 14．已知，则______． 15． 若是第四象限角，则______； 16． 已知函数满足，且，当时，，则________． 三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（10分）已知向量. (1)求； (2)求向量的夹角的余弦值； (3)若与垂直，求实数的值. 18．（10分）随着新能源汽车普及，各地公共快充桩不断建设．某测评机构统计了6座城市公共快充桩的平均充电功率（单位：）数据如表： 城市 站点位置 快充桩平均充电功率 A市 城东服务区 112.5 B市 城西枢纽 135.2 C市 北站广场 98.7 D市 南环线 141.8 E市 港口园区 105.4 F市 国泰商场 118.6 规定：若城市快充桩平均充电功率大于110kW，定义该城市为快充高性能城市． (1)从以上6座城市中随机选取2座城市进行调研，求选取的2座城市恰有一座是快充高性能城市的概率； (2)甲、乙两家新能源投资公司分别从以上6座城市中随机选取1座城市考察（甲、乙选取互不影响，可以选取同一座城市），求甲、乙两家公司中恰有1家选取到快充高性能城市的概率． 19．（10分）已知函数. (1)求函数的最小正周期及对称中心； (2)求函数的单调递增区间； (3)若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，求的值. 20．（10分）如图，在直三棱柱中，，，D是棱的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 21．（12分）如图，某快递小哥从地出发，沿小路以平均速度公里/小时，送快件到处，已知（公里），是等腰三角形，. (1)试问，快递小哥能否在分钟内将快件送到处？ (2)快递小哥出发分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均速度公里/小时，问汽车能否先到达处？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02·参考答案 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D B A C C D A 题号 11 12 答案 B C 二、（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 13.平行 14. 1 15. /0.8 16． 三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．【详解】（1）因为，所以.……（3分） （2）.……（6分） （3），……（8分） 因为与垂直，所以，得出.……（10分） 18．【详解】（1）根据题意，6座城市中快充高性能城市为A、B、D、F，共4座，非高性能城市为C、E， 从以上6座城市中随机选取2座城市，总基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C）， （B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15 个，……（2分） 而选取的2座城市恰有1座是高性能城市包含的基本事件有：（A，C），（A，E），（B，C），（B，E），（C，D），（C，F），（D，E），（E，F），共8个，……（4分） 所以由古典概型概率公式得所求概率为：.……（5分） （2）甲、乙独立选取，总基本事件数为，恰有1家选到高性能城市分为两类： 第一类：甲选到高性能城市，乙未选到，基本事件数：（A，C），（B，C），（D，C），（F，C），（A，E）， （B，E），（D，E），（F，E），共8个；……（7分） 第二类：甲未选到高性能城市，乙选到，基本事件数为：（C，A），（E，A），（C，B），（E，B），（C，D）， （E，D），（C，F），（E，F），共8个.……（9分） 所以由古典概型概率公式得所求概率为： .……（10分） 19． 【详解】（1）， ， ，……（2分） 最小正周期，……（3分） 令，，解得，， 此时，故的对称中心为，.……（4分） （2）令，， 解得，， 故函数的单调递增区间为，.……（5分） （3）将函数的图象向右平移个单位长度得， ，……（7分） 将横坐标伸长到原来的2倍得， ，……（9分） 则.……（10分） 20． 【答案】(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形， 由于D为的中点，故，可得， 所以．……（1分） 因为，，，平面， 所以平面．……（3分）因为平面， 故，……（4分）又平面, 所以平面．……（6分） (2)利用等体积转换，以为底、为高，代入三棱锥体积公式计算． ．……（10分） 21．【详解】【详解】（1）因为（公里），，在中，由正弦定理得， 所以，解得（公里），……（2分） 又快递小哥的平均速度公里/小时，则，……（4分） 所以快递小哥不能在分钟内将快件送到处.……（5分） （2）由题知， 在中，由余弦定理得，解得（公里），……（7分） 在中，， 又，……（8分） 由正弦定理可得，解得（公里），……（9分） 又（分钟），……（11分） 所以汽车能先到达处.……（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $