北京市育才学校2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期

北京育才学校高三数学

期中考试试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1. 已知集合，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 已知等差数列，，，则等于（   ）

A.  B. 0 C. 2 D. 5

4. 已知，则函数的最小值为（    ）

A.  B. 0 C. 1 D.

5. 已知向量，，若，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知是的内角，则“”是“”的（     ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为（  ）

A. 12里 B. 24里 C. 48里 D. 96里

8. 在直角梯形中，已知，，，，，若为的

中点，则的值为（         ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数若存在最小值，则的最大值为（   ）

A.  B.  C.  D.

10. 在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 复数满足，则_________________.

12. 若向量满足，且的夹角为，则___________，___________.

13. 在的展开式中，若二项式系数的和等于，则________，此时的系数是_______.（用数字作答）

14. 已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式___________.

15. 已知函数，给出下列四个结论：

①当时，对任意，有1个极值点；

②当时，存在，使得存在极值点；

③当时，对任意，有一个零点；

④当时，存在，使得有3个零点.

其中所有正确结论的序号是______.

三、解答题：本大题共6小题，共85分.

16. 已知函数.

（1）求的单调递减区间

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

17. 已知函数在处有极值-1.

（1）求实数a，b的值;

（2）求函数的单调区间.

18. 在中，，，分别为角，，的对边，，，且.

（1）求角的大小；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.

条件①：，为锐角；条件②：；条件③：.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.

19. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：

 

（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；

（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；