北京市育才学校2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期 北京育才学校高三数学 期中考试试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列，，，则等于（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 4. 已知，则函数的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5. 已知向量，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为（ ） A. 12里 B. 24里 C. 48里 D. 96里 8. 在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数若存在最小值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 复数满足，则_________________. 12. 若向量满足，且的夹角为，则 ___________，___________. 13. 在的展开式中，若二项式系数的和等于，则 ________，此时的系数是_______.（用数字作答） 14. 已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式___________. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①当时，对任意 ，有1个极值点； ②当时，存在 ，使得存在极值点； ③当时，对任意 ，有一个零点； ④当时，存在 ，使得有3个零点. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 16. 已知函数. （1）求的单调递减区间 （2）当时， 恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数在处有极值-1. （1）求实数a，b的值; （2）求函数的单调区间. 18. 在中，，，分别为角，，的对边，， ，且. （1）求角的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，为锐角；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 19. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： （1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； （3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 20. 已知函数. （1）求函数的图象在点处的切线的方程； （2）当时，求证：； （3）讨论函数（ 且为常数）零点的个数. 21. 有穷数列中，令，当p=q时，规定. （1）已知数列，写出所有的有序数对，且，使得； （2）已知整数列为偶数，若，满足：当为奇数时，；当为偶数时，.求的最小值； （3）已知数列满足，定义集合.若且为非空集合，求证：. 2025-2026学年度第一学期 北京育才学校高三数学 期中考试试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. 1 ②. 【13题答案】 【答案】 ①. 6 ②. 135 【14题答案】 【答案】（答案不唯一） 【15题答案】 【答案】①④ 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）的单调递增区间为，单调递减区间为 【18题答案】 【答案】（1） （2）答案详见解析 【19题答案】 【答案】（1）人 （2）分布列为： （3） 【20题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）答案见解析 【21题答案】 【答案】（1） 、、、 （2） （3） 对于数列，，不妨设， ①首先考虑的情况， 由于，，故，同理， ，， 故. ②再考虑中有连续一段是连续的正整数的情况， 此时, 因为，， 故这说明此连续的 项的和为负. 同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负， 再由①中结论，可得. ③若在①②中，由于， 此时去掉前项，则可转化①②的情况，所以有. ④若，则， 所以此时有， 综上，结论成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $