精品解析：江苏省连云港市海州区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中学业水平质量监测 高二数学试题 一、单项选择题（共8小题满分40分） 1. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 2. 两条平行线：，：之间的距离等于（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆交于两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，，是圆上的两个动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，抛物线：（），椭圆与抛物线相交于不同的两点A，B，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题，满分18分） 9. 下列说法中，正确的命题是（ ） A. “”是“直线与直线平行”的充要条件 B. 圆圆外切 C. 抛物线上一点到其焦点距离为2 D. 双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为 10. 已知双曲线左，右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，在第一象限，在第四象限，则（ ） A. 该双曲线的渐近线方程为 B. 若，则到轴的最大距离为 C. 若，则的周长为20 D. 点到两条渐近线的距离之积为 11. 过抛物线：（）的焦点的直线交于，两点，其中是的中点，点到轴的距离的最小值为，为坐标原点，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 点的轨迹方程是 三、填空题（共3小题，满分15分） 12. 已知，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________． 13. 已知，动直线：过定点，动直线：过定点.若与交于点（异于点），则面积最大值是______. 14. 已知为双曲线的左焦点，过点作直线与双曲线左支交于，两点，点是双曲线上点关于原点的对称点.若以为直径的圆过点，且，则双曲线的离心率为_____. 四、解答题（共5大题，满分77分） 15. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程． 16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两个不同的点，且满足，求实数的取值范围. 17. 已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.直线与交于，两点，且点为线段的中点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若为坐标原点，求的面积. 18. 已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （i）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值； （ii）设G为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中学业水平质量监测 高二数学试题 一、单项选择题（共8小题满分40分） 1. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为. 故选：D． 2. 两条平行线：，：之间的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线：，即，而与直线：平行， 所以所求距离. 故选：A 3. 圆与圆交于两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两圆方程相减即可求解； 【详解】①，②，. ②−①化简可得， 方程为， 故选：A． 4. 已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆化成标准形式，确定圆心和半径，结合点在圆外及两点距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由圆，则圆， 所以，半径为，且或， 由点在圆外，则， 所以，可得， 综上，或. 故选：D 5. 若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦距为4，求得m的值，利用点差法，结合中点坐标，求得直线的斜率. 【详解】由题可知，解得. 所以双曲线. 若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性知，线段的中点均在轴上，不合题意，所以直线的斜率存在. 设，则，整理得. 因为线段的中点为，所以. 所以. 直线的斜率为2. 故选：D. 6. 若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作图，结合图象求得边界线得方程，可得答案. 【详解】由曲线，整理可得， 则曲线为圆心、半径的圆的上半部分，如下图： 由图可得直线与圆相切，则，解得， 由图可得直线的方程为；； 由图可得直线过，可得方程； 由图可得直线过，可得方程. 由图可得. 故选：A. 7. 已知圆，，是圆上的两个动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设线段的中点为，根据垂径定理得出点的轨迹方程，再利用点到直线的距离公式将目标转化为求点到直线的距离的倍，进而求圆上的动点到定直线的距离的最值问题即可. 【详解】如图， 圆，圆心为点，半径为， 设线段的中点为，得， 因，则， 所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其方程为， 因、可分别看作点到直线的距离， 则可分别看作点到直线的距离的倍， 又点到直线的距离为， 则点到直线的距离的最大值为， 则的最大值为， 则的最大值为 故选：D 8. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，抛物线：（），椭圆与抛物线相交于不同的两点A，B，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形的外接圆就是的外接圆，再在中利用正弦定理求得，再利用椭圆中焦点三角形的性质结合题设条件得到的取值范围，再利用和结合三角恒等变换公式弦切互化分析即可求解. 【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点关于轴对称，四边形是等腰梯形或矩形， 易知四边形的外接圆就是的外接圆， 设四边形的外接圆半径为R，在中， 由正弦定理， 记椭圆的上顶点为M，，则由焦点三角性质可知， 又，所以，，所以， 所以， 所以，即，即， 又，所以，即，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C 二、多项选择题（共3小题，满分18分） 9. 下列说法中，正确的命题是（ ） A. “”是“直线与直线平行”的充要条件 B. 圆圆外切 C. 抛物线上一点到其焦点距离为2 D. 双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,利用两直线平行的判定条件求解即可；对于B，利用圆心距和两个圆半径和的关系求解即可；对于C，利用抛物线的定义求解即可；对于D,利用双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式求解即可. 【详解】对于A，若“直线与直线平行”， 当时，则解得：， 当时，直线，直线，两直线明显不平行， 故“”是“直线与直线平行”的充要条件，故A正确； 对于B，圆圆， 故，故圆与圆外切，故B正确； 对于C，抛物线的准线为：，故到准线的距离为， 即点到其焦点的距离为，故C错误； 对于D, 的渐近线方程为：， 且，故右焦点 故右焦点到一条渐近线的距离为：，故D正确； 故选：ABD 10. 已知双曲线左，右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，在第一象限，在第四象限，则（ ） A. 该双曲线的渐近线方程为 B. 若，则到轴的最大距离为 C. 若，则的周长为20 D. 点到两条渐近线的距离之积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据方程求，即可得渐近线方程，即可判断A；对于B：分析可知点在以为直径的圆上或圆内，联立方程运算求解即可；对于C：根据双曲线的定义运算求解即可；对于D：根据点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由双曲线方程可知：， 且焦点在x轴上，则. 对于选项A：该双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于选项B：若，可知点在以为直径的圆上或圆内， 因为以为直径的圆的方程为， 联立方程，解得， 当时，直线的斜率， 所以到轴的最大距离为，故B错误； 对于选项C：因为，， 则的周长为，故C正确； 对于选项D：设，则，即， 可得点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以点到两条渐近线的距离之积为，故D正确； 故选：ACD. 11. 过抛物线：（）的焦点的直线交于，两点，其中是的中点，点到轴的距离的最小值为，为坐标原点，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 点的轨迹方程是 【答案】ABD 【解析】 【分析】设直线的方程，与抛物线方程联立求出点的坐标，利用最小值求出，再结合抛物线定义逐项求解判断. 【详解】抛物线的焦点，显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得，， 设，则,，弦的中点， 对于A，当时，取得最小值，又点到轴的距离的最小值为， 因此，解得，A正确； 对于B，，，， 因此，B正确； 对于C，，， 则，C错误； 对于D，设，则，消去得，则点的轨迹方程是，D正确. 故选：ABD 三、填空题（共3小题，满分15分） 12. 已知，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由方程表示椭圆的性质列不等式组可得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 13. 已知，动直线：过定点，动直线：过定点.若与交于点（异于点），则面积最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别求得定点和，由两直线垂直的判定方法，求得，得到点在以为直径的圆上，求得，结合基本不等式，即可求得的面积的最大值，得到答案. 【详解】由直线，令，可得，所以直线恒过定点， 由直线，得，所以直线恒过定点， 因为和的直线方程，满足，所以， 又因为和交于点，所以点在以为直径的圆上（除去点和）， 由，可得， 则直角的面积， 当且仅当时，等号成立，所以的面积的最大值为. 故答案为：. 14. 已知为双曲线的左焦点，过点作直线与双曲线左支交于，两点，点是双曲线上点关于原点的对称点.若以为直径的圆过点，且，则双曲线的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意做出图形，由双曲线的定义、余弦定理以及勾股定理可求出双曲线的离心率. 【详解】如图，设双曲线的右焦点，连接、、， 因为点是双曲线上点关于原点的对称点，所以四边形为平行四边形， 因为以为直径的圆过点，所以， 因为，所以， 因为，所以，所以， 设，则， 由双曲线的定义，，， 在中，由余弦定理，, 即，整理得， 所以，， 在中，，所以. 故答案为：. 四、解答题（共5大题，满分77分） 15. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用直线是否经过原点分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【小问1详解】 由直线可得斜率为 根据垂直关系，可设所求直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两个不同的点，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）假设圆心坐标和半径，可得圆方程为，结合圆上的点，直线与圆相切可构造方程组求得的值，进而得到圆标准方程； （2）将直线方程与圆的方程联立，由可得的一个范围及韦达定理的结论，根据向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可构造不等式求得的范围，进而确定最终结果. 【小问1详解】 解：由题意可设圆的圆心，半径为， 则圆的方程为：， 圆过点，， 又圆与直线相切，， 由得：， 圆的标准方程为：. 【小问2详解】 解：设，. 由得：， ，解得：； ，， ，， ， ，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 17. 已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.直线与交于，两点，且点为线段的中点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的顶点即可得出抛物线的焦点，求出即得抛物线方程； （2）设，由中点弦公式计算可得，直线的方程为，直线与抛物线联立方程，利用弦长公式及三角形面积公式列式计算即可求解. 【小问1详解】 由题知，椭圆右顶点坐标为，抛物线开口向右， 所以，故，即， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 如图，由题意，设， 代入抛物线方程，可得， 两式相减可得，即， 由可得，故， 又由点为线段的中点且点在抛物线内， 所以直线的方程为，即. 联立，得，其中， 故， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积. 18. 已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到，再由直线的斜率得到，从而利用三角形的面积公式得到关于的方程，解之即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得，进而得到直线的方程与点的坐标，法一：利用向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证. 【小问1详解】 依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . 【小问2详解】 略 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （i）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值； （ii）设G为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）证明：依题意，设直线的方程为，.   由消去x并整理得. 由直线与双曲线的右支交于两点，可得 . 解得. 则，. 即，而. 所以为定值. （ii） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的顶点和离心率，结合双曲线方程求出 即可. （2）设出直线的方程与双曲线联立，利用韦达定理及斜率公式，推理计算即可. （3）由（2）可得斜率之间的关系，联立方程求出点坐标，再求出三角形面积的函数关系并求出最小值. 【小问1详解】 由题意知，因为， 得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（2）知，直线：，直线：. 则点的横坐标为. 于是. 因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $