精品解析：黑龙江省大庆市肇源县西北片2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

初三数学试题 第I卷（选择题） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是关键． 最简二次根式：被开方数不能含有能开方的数或因式；被开方数中不能含有分母；分母中不能含有二次根式；由此即可求解． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； C、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A ． 2. 若点在第二象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查象限点的概念，熟悉各象限点的特征是解题的关键． 由题知，解得，接着得到，再根据象限点的特征判断即可． 【详解】解：因为点在第二象限， 所以，解得， 所以，又， 所以点在第三象限． 故选：C． 3. 用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（ ） 0 1 2 3 2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系中描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：如图所示， 点和其它三个点不在同一条直线上， ∴错误的数据是， 故选：A． 4. 对于一次函数，下列结论不正确的是（ ） A. 它的图像与轴交于点 B. 随的增大而增大 C. 它的图像经过第一、二、三象限 D. 它的图像与直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像的性质，掌握一次函数解析式中各项系数与图像的特点是解题的关键． 根据一次函数解析式得到，一次函数图像经过第一、三、四象限，由此即可求解． 【详解】解：一次函数， 当时，， ∴它的图像与轴交于点，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴一次函数图像经过第一、三、四象限，随的增大而增大，故B选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意； ∵一次函数向上平移6个单位，得到一次函数， ∴它的图像与直线平行，故D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 5. 如图，在数轴上，点对应的数是1，点对应的数是3，线段于点，且线段长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴上的点是解题的关键．由勾股定理得，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得，， 在中，， ， 表示的实数为． 故选：A． 6. 如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出的长，由折叠的性质得到，根据列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是的中点．若图中阴影部分面积为9，则正方形的面积是（　　） A. 27 B. 36 C. 40 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，设交于G，交于H，可证明，得到；再证明三点共线，则可证明，得到，根据，得到，则，由勾股定理可得，则正方形的面积是45． 【详解】解：如图所示，设交于G，交于H， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点恰好是的中点， ∴； 由正方形的性质可得， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积是45， 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，有若干个横坐标、纵坐标都是整数的点，我们称它们为“整点”．把这些点按图中箭头标注的顺序排列，第1个点是，第2个点是，第3个点是，第4个点是……根据这个规律，第2025个点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键． 根据图形推导出当时，第个点的坐标为：，再往后推1个点即可得到答案． 【详解】解：由图可知：第4个点的坐标为：， 第8个点的坐标为：， 第12个点的坐标为：， ∴第个点的坐标为：， ∴当时，第个点的坐标为：， ∴第个点的坐标为：． 故选：D． 9. 如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由条件可知， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴． 答案：D． 10. 甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（ ） A. 甲车速度是 B. A、两地的距离是 C. 乙车出发时甲车到达地 D. 甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题． 分析两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了， ∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙， ∴甲的速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则： ， 点可知，休息分钟， ∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从图中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11. 在，，，，这五个实数中，其中是无理数的有几________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数定义，结合数值判断即可． 【详解】解：无理数有三种形式：无限不循环小数、开方开不尽的数、含有的数， 所以无理数有：，， 故答案为：． 12. 已知点与点关于y轴对称，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于对称轴对称的点的坐标特征． 根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出m，n的值，再代入解答即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴， 故答案为：8． 13. 某初中数学小组参加项目学习，他们的项目课题是《测量吊车起重臂顶端与地面的距离》，他们的项目对象是吊车，如图为某吊车操作示意图，吊车作业时是通过液压杆的伸缩使起重臂绕点转动的，从而使得起重臂完成升降作业（起重臂的长度也可以伸缩），如果起重臂米，点到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点到的距离米，则吊车起重臂的顶端到地面的距离___________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 在中， ， （米）， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点，若轴，则线段的值最小时，点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形，垂线段的性质．先根据轴得出y的值，再由垂线段最短即可得出x的值，进而得出结论． 【详解】解：轴，， 点C在直线， 垂线段最短， ∴当时，线段最短， ∵， ， 线段的值最小时，点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为___________． 【答案】或（或） 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 【详解】如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 16. 对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足，则称M为线段的垂点．当或时，称M为线段的等垂点．在平面直角坐标系中，已知点，． （1）如图，时，直线上存在线段的等垂点，则 ____； （2）的顶点坐标分别为，，，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，则t的取值范围是 _____． 【答案】 ①. 或 ②. 【解析】 【分析】（1）设点M是直线上存在的线段的等垂点，根据垂点的定义得到于点Q或于点P，则，分在线段上方和下方，两种情况讨论求解即可； （2）根据新定义结合（1）知，边上（包含顶点）的点的直线与线段垂直，当时，则，此时有最小值，此时，，求出直线的解析式为；再求出平行于直线的直线的解析式为，当点过直线时，此时有最大值，即可得出答案． 【详解】解：（1）当时，点， 设点M是直线上存在的线段的等垂点， 由垂点的定义得， 当时，即， 则，即于点Q， 当时，即， 则，即于点P， 如图，当于点P，且直线在线段上方时， 则， 过点M作轴于点G， 由等垂点的定义得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：； 当直线在线段下方时， 则，过点作轴于点H， 同理可得：， ∴，解得：； 当于点Q，且直线在线段上方时， 同理可得：， ∴，解得：； 当于点Q，且直线在线段下方时， 同理可得：， ∴，解得：； 综上，b的值为或； 故答案为：或； （2）∵边上（包含顶点）存在线段的垂点， 同理（1）知，边上（包含顶点）的点的直线与线段垂直， 如图， 当时，则，此时有最小值， ∴，即， ∴， 解得：； 此时，， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴直线的解析式为； 设平行于直线的直线的解析式为， 当此直线过点B时，则，解得， ∴平行于直线的直线的解析式为， ∵， ∴直线， 当点过直线时，此时有最大值， 则， 解得：，此时，两点重合（不符合题意）， ∴t的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何图形综合，掌握新定义、学会对动点在直线上运动进行几何模型构建，能充分利用数形结合思想解决实际问题是解题的关键． 三、解答题（9小题，共72分） 17. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据立方根定义，算术平方根定义和绝对值的意义，进行求解即可； （2）根据平方根定义解方程即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 方程两边同除以4得：， 开平方得：， ∴，． 18. 已知，，分别求下列代数式的值． （1）． （2）． 【答案】（1） （2）25 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键： （1）利用平方差公式法进行因式分解，整体代入法进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解，整体代入法进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ． 19. 如图，已知的三个顶点分别为、、． （1）请在图中作出关于x轴对称的图形（A、B、C的对应点分别是D、E、F）． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 即为所求： （2）4 【解析】 【分析】本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积公式等知识． （1）分别画出A、B、C三点关于x轴的对称点D、E、F即可解决问题； （2）根据四边形是等腰梯形，利用梯形的面积公式即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形的面积为：． 20. 如图，方格纸中每个小方格的边长均为1． （1）在图1中，以为边画一个，使得，并直接写出的面积． （2）在图2中，画一个，使得． （3）在图3中，画一个，使得，并计算的面积． 【答案】（1） 如答图1， （2） 如答图2， （3） 如答图3， 【解析】 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图、勾股定理逆定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，解决本题的关键是根据网格准确画图． （1）在图1中，画一个以为直角边的等腰直角三角形即可； （2）在图2中，根据网格利用勾股定理即可画一个三角形，使它的三边长分别为：； （3）在图2中，根据网格利用勾股定理即可画一个三角形，使它的三边长分别为：，根据割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：， ， 即为所求（答案不唯一）． 的面积为． 【小问2详解】 解：， 则即为所求（答案不唯一）． 【小问3详解】 解：， 则即为所求（答案不唯一）． ． 21. 小亮和姐姐周末去体育场观看比赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到体育场，到达赛场后观看比赛用了，看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同时，小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返回家中，结果比姐姐早40到家，姐姐从家出发开始计时，两人离家的距离y（）与所用时间t（）之间的关系图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）填空： ______， ______； （2）求出小亮从体育场出发的过程中，小亮与姐姐第一次相遇距出发的时间． 【答案】（1）40，70 （2）8 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由姐姐从离家到回到家，共用，即可求出，而小亮比姐姐早到家，故，即可解答； （2）设小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为，根据题意列方程可解得答案． 【小问1详解】 解：根据已知，姐姐从离家到回到家，共用， ∴， ∵小亮比姐姐早到家， ∴， 故答案为：40，70； 【小问2详解】 设小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为， 根据题意得：， 解得， ∴小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为． 22. 我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． （1）化简：______；______ （2）根据以上规律计算下列式子的值： ． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字类规律探究，熟练掌握分母有理化是解答的关键． （1）利用分母有理化的计算方法求解即可； （2）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵ ∴ ． 23. 如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． （1）求点A，B，C的坐标． （2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． （3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】（1）点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是． （2）点P的坐标是 （3）点P移动的时间是秒或秒． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，非负性的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）利用非负数的性质可以求得的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标； （2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可． 【小问1详解】 解：∵a、b满足， ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是． 【小问2详解】 解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， ∴点P的路程：， ∵ ∴当点P移动4秒时，在线段上， 即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是． 【小问3详解】 解：由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点P在上时． 点P移动的时间是：（秒）， 第二种情况，当点P在上时， 点P移动的时间是：（秒）， 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒． 24. 在中，，点，分别是，上的点，连接． （1）【基础设问】若点为的中点，，，，则是          三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） （2）如图，连接，若平分，，，，则           ． （3）如图，若，，求证：点在的平分线上． （4）【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 【答案】（1）直角 （2）5 （3） 证明：如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点在的平分线上； （4） ①，理由如下： 由题意知，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理逆定理求解即可； （2）先根据角平分线的性质得，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）连接，证明得，即可得出结论； （4）①由得，，由线段垂直平分线的性质得，，进而可推出，进一步可得结论； ②连接，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点为的中点，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； 【小问2详解】 解：平分，，， ， 设，则， 在中，， ， ， 即， 故答案为：5； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：略 ②如图，连接，设，则， ，， ，， 由勾股定理，得，， 即， ， 线段的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定及应用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是能够灵活应用相关知识点． 25. 如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线交于点D． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图1，点E是线段的中点，连接，点F是射线上一点，当，且时，在x轴上找一点P，当的值最小时，求出的面积； （3）如图2，若，过B点作，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查直线与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式及一次函数与几何的综合,勾股定理解直角三角形，熟练掌握直线与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式及一次函数与几何的综合是解题的关键． （1）根据题意列方程即可得出结论； （2）作点E关于x轴的对称点N，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，则与x轴的交点即为P点，进而求出的解析式，最后求解即可； （3）根据题意得到点C的坐标，如图，当点M在轴的左侧，设，过作，再由等面积法求，当点M在轴的右侧时，根据对称性即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴当时，则有， ∴， 当时，则， ∴，； 【小问2详解】 由（1）可得，，， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 过点F作轴于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点H与点B重合， ∴，故点， 作点E关于x轴的对称点N，则，连接， 如图所示： 由轴对称的性质可得垂直平分，则有点P到点N、E的距离相等，再由两点之间线段最短可得即为的最小值，此时与x轴的交点即为P点， ∵解析式为， 将，代入得， ∴解析式为： 联立， 解得：， ∴点， 设的解析式为，则有： ， 解得：， ∴解析式为， ∴令时，则， 解得：， ∴当为最小值时，点P的坐标为, ； 【小问3详解】 存在，理由如下： ∵， ∴直线， ∵， ∴设的解析式为，把代入得， ， 所以直线的解析式为， 当时，即， ∴， ∴， 如图，当点M在轴右侧时， ， ， ， ， 设，过作， 则为等腰直角三角形，， ， 解得， 又， ， ， ，即， 整理得， 解得或（舍去），故此时； 当点M在轴左侧时，设此时对应点为， 则， 即与关于轴对称，故， 综上，存在或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试题 第I卷（选择题） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 若点在第二象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（ ） 0 1 2 3 2 A. B. C. D. 4. 对于一次函数，下列结论不正确的是（ ） A. 它的图像与轴交于点 B. 随的增大而增大 C. 它的图像经过第一、二、三象限 D. 它的图像与直线平行 5. 如图，在数轴上，点对应的数是1，点对应的数是3，线段于点，且线段长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 7. 中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是的中点．若图中阴影部分面积为9，则正方形的面积是（　　） A. 27 B. 36 C. 40 D. 45 8. 在平面直角坐标系中，有若干个横坐标、纵坐标都是整数的点，我们称它们为“整点”．把这些点按图中箭头标注的顺序排列，第1个点是，第2个点是，第3个点是，第4个点是……根据这个规律，第2025个点是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（ ） A. 甲车速度是 B. A、两地的距离是 C. 乙车出发时甲车到达地 D. 甲车出发最终与乙车相遇 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11. 在，，，，这五个实数中，其中是无理数的有几________个． 12. 已知点与点关于y轴对称，则______． 13. 某初中数学小组参加项目学习，他们的项目课题是《测量吊车起重臂顶端与地面的距离》，他们的项目对象是吊车，如图为某吊车操作示意图，吊车作业时是通过液压杆的伸缩使起重臂绕点转动的，从而使得起重臂完成升降作业（起重臂的长度也可以伸缩），如果起重臂米，点到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点到的距离米，则吊车起重臂的顶端到地面的距离___________米． 14. 在平面直角坐标系中，点，若轴，则线段的值最小时，点的坐标为___________． 15. 如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为___________． 16. 对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足，则称M为线段的垂点．当或时，称M为线段的等垂点．在平面直角坐标系中，已知点，． （1）如图，时，直线上存在线段的等垂点，则 ____； （2）的顶点坐标分别为，，，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，则t的取值范围是 _____． 三、解答题（9小题，共72分） 17. 计算． （1）； （2）． 18. 已知，，分别求下列代数式的值． （1）． （2）． 19. 如图，已知的三个顶点分别为、、． （1）请在图中作出关于x轴对称的图形（A、B、C的对应点分别是D、E、F）． （2）求四边形的面积． 20. 如图，方格纸中每个小方格的边长均为1． （1）在图1中，以为边画一个，使得，并直接写出的面积． （2）在图2中，画一个，使得． （3）在图3中，画一个，使得，并计算的面积． 21. 小亮和姐姐周末去体育场观看比赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到体育场，到达赛场后观看比赛用了，看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同时，小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返回家中，结果比姐姐早40到家，姐姐从家出发开始计时，两人离家的距离y（）与所用时间t（）之间的关系图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）填空： ______， ______； （2）求出小亮从体育场出发的过程中，小亮与姐姐第一次相遇距出发的时间． 22. 我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． （1）化简：______；______ （2）根据以上规律计算下列式子的值： ． 23. 如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． （1）求点A，B，C的坐标． （2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． （3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 24. 在中，，点，分别是，上的点，连接． （1）【基础设问】若点为的中点，，，，则是          三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） （2）如图，连接，若平分，，，，则           ． （3）如图，若，，求证：点在的平分线上． （4）【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 25. 如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线交于点D． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图1，点E是线段的中点，连接，点F是射线上一点，当，且时，在x轴上找一点P，当的值最小时，求出的面积； （3）如图2，若，过B点作，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $