第16讲 第七章 平行线的判定与性质 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学讲义以“平行线的判定与性质”为核心，通过知识清单系统梳理5种判定方法和3条性质，用条目化框架呈现知识脉络，明确标注“两直线平行时角有数量关系”等重难点，帮助学生构建清晰的知识体系。 讲义亮点在于分题型精讲，涵盖5类判定应用及综合题型，如“角平分线与平行线结合”例题培养推理意识，素养提升题引导探究图形关系发展几何直观。课后作业分层设计，参考答案详细，助力学生自主复习，教师可实施精准教学。

第16讲 平行线的判定与性质 知识清单 知识点01 平行线的判定 1）判定方法一：同位角相等，两直线平行. 2）判定方法二：内错角相等，两直线平行. 3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行. 4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b 5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2.（用共面知识可证明，此处不证） 知识点02 平行线的性质 1） 两直线平行，同位角相等; 2） 两直线平行，内错角相等; 3）两直线平行，同旁内角互补. 注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系. 题型精讲 题型01 同位角相等，两直线平行 例题1：如图，直线、分别与相交于点、，已知，，试说明：．    【变式训练】 1．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．   求证：    2．如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，，求证：      (1) (2) 题型02 内错角相等，两直线平行 例题2：如图所示，已知，平分，试说明．    【变式训练】 1．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，，求证：．    2．如图，点C，D在上，且，，．求证：    (1)； (2)． 题型03 同旁内角互补，两直线平行 例题3：如图，已知平分平分，且与互余．试说明：．    【变式训练】 1．如图，直线，求证：．    2．如图，已知，求证：∥    题型04 垂直于同一直线的两直线平行 例题4：如图，已知，点D在线段上，求证：//． 【变式训练】 1．已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若，，则a c． 2．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EP⊥AB，∠1＝∠2．求证：CD⊥AB． 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）， ∴DG//AC． ∴∠2＝ ；（ ） ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝ （等量代换）． ∴EF//CD（            ）． ∴∠AEF＝∠ ． ∵EF⊥AB（已知）， ∴∠AEF＝90° ∴∠ADC＝ °（ ）． ∴CD⊥AB （ ）． 题型05 平行线的判定与性质综合 例题5：已知：如图，，．    (1)求证：． (2)若平分，平分，且，求的度数． 【变式训练】 1．如图，．    (1)求证：． (2)若平分，，，求的度数． 2．如图，在四边形中，，点E，F分别在的延长线上，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)如果平分，且，求的度数． 素养提升 1．如图1，中，的平分线交于O点，过O点作平行线交于D、E． (1)请写出图1中线段之间的数量关系？并说明理由． (2)如图2，若的平分线与的外角平分线交于O，过点O作平行线交于D，交于E．那么之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 课后作业 一、单选题 1．下列说法： ①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④同旁内角相等，两直线平行． 正确的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，下列结论中不正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．如图，直线，，下列正确的是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 4．命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 ． 5．如图，，则的度数是 ．    6．如图，已知，    （1）当 时，，理由是： ； （2）在（1）的条件下，若，则 ． 7．若和的两边分别平行，且比的两倍少，则的度数为 三、证明题 8．已知，如图，，，求证：    请完成下面证明过程的填空： ∵（已知） ∴______∥______（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，______） 又∵（已知） ∴（______） ∴（______） 9．如图，，点，，在同一条直线上.    (1)求证：； (2)当，时，求线段的长. 参考答案 题型01 同位角相等，两直线平行 例题1：如图，直线、分别与相交于点、，已知，，试说明：．    【答案】见解析 【分析】根据对顶角相等得出，进而根据，即可得证． 【详解】解：如图所示，    ∵，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了对顶角相等，同位角相等两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【变式训练】 1．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．   求证：    【答案】见解析 【分析】利用全等三角形的判定和性质定理及平行线的判定解答即可． 【详解】证明：， ， ． 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及平行线的判定，正确利用全等三角形的判定定理进行解答是解题的关键． 2．如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，，求证：      (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据得到，然后利用判定定理证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论． （2）根据（1）知，则，再根据平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ ∴； （2）证明：由（1）知， ∴ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型02 内错角相等，两直线平行 例题2：如图所示，已知，平分，试说明．    【答案】见解析 【分析】根据角平分线的定义得出，再推出，利用内错角相等，两直线平行证明即可． 【详解】证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查平行线的判定，关键是根据角平分线的定义得出． 【变式训练】 1．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】先根据根据证明，进而得到，最后根据平行线的判定定理证明即可. 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是证出. 2．如图，点C，D在上，且，，．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理推出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】（1）证明： ， ， ， 在和中 ， ； （2）证明：， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定和平行线的判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键． 题型03 同旁内角互补，两直线平行 例题3：如图，已知平分平分，且与互余．试说明：．    【答案】证明见解析． 【分析】根据余角定义得到，由角平分线定义求出，由此推出． 【详解】解：与互余， 平分平分， ． ． ∴． 【点睛】此题考查了平行线的判定定理，角平分线的定义，余角的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【变式训练】 1．如图，直线，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 2．如图，已知，求证：∥    【答案】见解析 【分析】先根据垂直的定义可得，进而得到，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”即可证明即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∵（已知）， ∴，即． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 【点睛】本题主要考查平行线的判定、垂直定义等知识点，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键． 题型04 垂直于同一直线的两直线平行 例题4：如图，已知，点D在线段上，求证：//． 【答案】见解析 【分析】由，推导，再由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”推导，结合已知条件推导，最后根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明//． 【详解】证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定条件与性质． 【变式训练】 1．已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若，，则a c． 【答案】 【分析】根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 2．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EP⊥AB，∠1＝∠2．求证：CD⊥AB． 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）， ∴DG//AC． ∴∠2＝ ；（ ） ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝ （等量代换）． ∴EF//CD（            ）． ∴∠AEF＝∠ ． ∵EF⊥AB（已知）， ∴∠AEF＝90° ∴∠ADC＝ °（ ）． ∴CD⊥AB （ ）． 【答案】答案见解析 【分析】直接利用“同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行”、平行线的判定与性质、垂直的定义、等量代换等依次判断即可． 【详解】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）， ∴DG//AC． ∴∠2＝∠ACD；（两直线平行，内错角相等） ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠ACD（等量代换）． ∴EF//CD（同位角相等，两直线平行）． ∴∠AEF＝∠ADC ． ∵EF⊥AB（已知）， ∴∠AEF＝90° ∴∠ADC＝90 °（等量代换）． ∴CD⊥AB （垂直定义）． 【点睛】本题考查了垂线的性质、平行线的判定与性质、垂直的定义、等量代换等知识，解题关键是牢记相关概念与性质． 题型05 平行线的判定与性质综合 例题5：已知：如图，，．    (1)求证：． (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质可得，从而可有，即可说明； （2）由，得，由角平分线的定义可求得的度数． 【详解】（1）解：证明：， ， 又， ， ． （2）由（1）得：， ， ，， 平分， ， ， 平分， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．熟记平行线的判定定理与性质定理是解决本题的关键． 【变式训练】 1．如图，．    (1)求证：． (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）与是邻补角，则，结合已知得出，根据内错角相等，两直线平行判定即可； （2）根据可得，由于，所以得到，判定，根据，利用角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】（1）证明：与是邻补角， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 2．如图，在四边形中，，点E，F分别在的延长线上，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)如果平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由同角的补角相等，得，进而得，于是； （2）由平行线性质，得，进而得，于是； （3），由角平分线定义，得，于是． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的性质；掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 1．如图1，中，的平分线交于O点，过O点作平行线交于D、E． (1)请写出图1中线段之间的数量关系？并说明理由． (2)如图2，若的平分线与的外角平分线交于O，过点O作平行线交于D，交于E．那么之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）和的平分线相交于点O， ，所以， 进而，即可求解； （2）和的平分线相交于点O，所以，过O点作平行线交于D、E．得，进而即可求解； 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵过O点作平行线交于D、E． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2），理由如下： ∵和的平分线相交于点O， ∴， ∵过O点作平行线交于D、E． ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及证明，角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 课后作业 一、单选题 1．下列说法： ①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④同旁内角相等，两直线平行． 正确的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理及推论判断求解即可． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故①错误，不符合题意； ②平行于同一条直线的两条直线平行，故②正确，符合题意; ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故③错误，不符合题意； ④同旁内角互补，两直线平行，故④错误，不符合题意； 只有一个正确； 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，熟练掌握平行线的判定与性质；平行公理及推论是解题的关键． 2．如图，下列结论中不正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据平行线的判定与性质进行判断即可． 【详解】解：若，则，故A选项不符合题意； 若，则，故B选项不符合题意； 若，则，故C选项符合题意； 若，则，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 3．如图，直线，，下列正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“同位角相等，两直线平行”，三角形内角和定理作相应判断； 【详解】解：A. ； ∵， ∴． ∴， ∴．原结论错误，本选项不合题意； B. ； ∵， ∴， 而， ∴． 原结论错误，本选项不合题意； C. ， ∵ ∴，结论正确，本选项符合题意； D. ；无法得证，原结论错误，本选项不合题意； 故选：C 【点睛】本题考查平行线的判定；熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 二、填空题 4．命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】根据把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题解答即可． 【详解】∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等． ∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 5．如图，，则的度数是 ．    【答案】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 6．如图，已知，    （1）当 时，，理由是： ； （2）在（1）的条件下，若，则 ． 【答案】 同旁内角互补，两直线平行 【分析】（1），由“同旁内角互补，两直线平行”即可求解； （2）可得，即可求解． 【详解】解：（1）因为当时，， 由“同旁内角互补，两直线平行”得： ， 故答案：，同旁内角互补，两直线平行． （2）因为， 所以， 所以， 故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 7．若和的两边分别平行，且比的两倍少，则的度数为 【答案】或 【分析】根据平行线的性质，分类讨论：当；当，即可． 【详解】∵和的两边分别平行， ∴当时，， ∴；    当时，， ∴；    故答案为：或． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，学会分类讨论的解题思路． 三、证明题 8．已知，如图，，，求证：    请完成下面证明过程的填空： ∵（已知） ∴______∥______（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，______） 又∵（已知） ∴（______） ∴（______） 【答案】，，内错角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：，，内错角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并准确运用． 9．如图，，点，，在同一条直线上.    (1)求证：； (2)当，时，求线段的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形全等的性质得到，再根据内错角相等两直线平行即可得出结论； （2）根据三角形全等的性质得到，，根据即可求出最后结果． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的性质是解答本题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $