精品解析：福建省永春第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

永春一中2025年11月高二年期中考数学科试卷 （2025.11） 考试时间长度：120分钟，总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，则（ ） A. 11 B. C. 45 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选： 2. 若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，设对应的倾斜角为，则，又的倾斜角为，则，使用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】因为直线的斜率，设对应的倾斜角为，则， 由题意可得，直线的倾斜角为， 故其斜率，解得. 故选：C 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】由直线平行得到，求解并验证即可. 【详解】由直线与直线平行， 可得：， 解得或， 当时，两直线重合，舍去， 当时，经检验符合题意， 故选：C 4. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 5. 已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】联立直线与双曲线，分及讨论即可得. 【详解】联立，消去得， 当时，有，解得， 此时直线与双曲线有且仅有一个公共点； 当时，令， 化简得，即； 综上所述：当或时，直线与双曲线有且仅有一个公共点， 故“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点的坐标为，利用两点间的距离公式代入等式，化简整理得，所以点的轨迹是一个圆，求出圆的半径利用圆面积公式，即可算出所求图形的面积． 【详解】设点的坐标为，∵，，动点满足， ∴，两边平方化简得， ∴点的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 因此，点的轨迹所包围的图形的面积． 故选：D 7. 已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于 两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设,则由直线恰好是以为直径的圆的切线,可得，再利用点差的方法可得，即得，从而可得的关系，即可求得椭圆离心率. 【详解】依题意，设， 直线的斜率一定存在,分别为， 直线恰好是以为直径的圆的切线,则,则, 则，∴， ∵，两式相减得， ∴，即， ∴，∴，∴， ∴椭圆的离心率， 故选:D． 8. 如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点（不含端点），若线段上存在点（不含端点），使得异面直线与成的角，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先取取中点，建立空间直角坐标系，利用异面直线的夹角公式列出等式，结合二次函数的值域即可求出线段长度的取值范围. 【详解】如图，取中点，连接，因平面，平面，故平面平面， 因是以为斜边的等腰直角三角形， 故，又平面，且平面平面，所以平面， 如图分别以和过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 设，设， 故，得 又因为，且异面直线与成的角， 故，即 即因则有， 则故得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查运用建系法求解空间角的问题，属于较难题. 解题关键是根据条件建立空间直角坐标系，利用异面直线的夹角公式列出等式，然后利用二次函数的值域求参数取值范围. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 D. 过点且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线垂直求出的值，可判断选项A错误；根据直线的斜率为计算斜率的取值范围，进而推出直线倾斜角的范围，得到选项B正确；问题转化为两个圆相交问题，根据圆心距和半径的关系得到选项C正确；对于D：分截距是否为0两种情况求解可判断； 【详解】A.由两直线垂直得，，解得或， “或”是“”的必要不充分条件，选项A错误. B.由得，，直线斜率， ∵，∴，即， ∵，∴倾斜角的取值范围是.选项B正确. C.到点距离为的点在圆上， 由题意得，，圆与圆有两个公共点，两圆相交， ∵圆心距， ∴， ∴，即的取值范围是，选项C正确. 对于D：截距为0时，设直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 当截距不为0时，设直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程为或，故D错误； 故选：BC 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，且，是椭圆上与、不重合的点.下列说法正确的是（ ） A. 若（其中），则椭圆的离心率 B. 若，则的最大值为 C. 若，，则 D. 若，直线、的斜率之积为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用椭圆的定义、勾股定理可得出关于、的齐次等式，即可解出椭圆的离心率，可判断A选项；利用基本不等式结合椭圆定义可判断B选项；利用椭圆定义可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】如下图所示： 因为，所以，，则. 对于A，因为，所以，， 又， 所以，，等式两边同时除以可得，即， 解得（负值舍去），故A正确； 对于B，因为，由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，但点不可能在轴上，等号无法取得，故B错误； 对于C，因为，，所以，， 则，故C正确； 对于D，设直线、的斜率分别为、，则， 设、，则， 因为，所以，， 两式相减得，所以，， 而，则，故D不正确. 故选：AC. 11. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为 D. 当时，的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，由向量法结合向量垂直判断A；由几何关系得出与平面所成线面角，得，求出点P的轨迹长判断B；由得点P在上，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置判断C；将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理求解判断D. 【详解】对于A，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 则，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即平面的法向量为， 若平面，则，即， 由，则，即P为中点时，有平面，且，A错误； 对于B，因为平面，连接，则即为与平面所成角， 若与平面所成角为，则，所以， 即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B正确； 对于C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为， 设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同， 于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C错误； 对于D，如图，将平面与平面沿展成平面图形， 线段即为的最小值，利用余弦定理得， 所以，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量计算公式进行计算即可. 【详解】空间向量，得，， 则向量在向量上的投影向量是： . 故答案为：. 13. 2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合两点间线段最短，只需求其中一个点关于直线的对称点，再求对称点与另一点的距离即可. 【详解】 由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为， 则，解得即． 将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又， 所以直线的方程为， 设将军在河边饮马的地点为， 则即为与的交点， ，解得， 所以． 故答案为： 14. 如图，已知圆是椭圆的内接的内切圆，其中是椭圆的左顶点，则______；过点引圆的两条切线，交椭圆于两点，则的面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于空设点在椭圆上及与内切圆的几何关系，从而即可求解；对于空利用直线与椭圆联立从而求出，，即可求解. 【详解】根据题意，得．设所求圆的半径为． 因为与圆相切，设切点为，连接， 设与圆的相切，设切点为，由题知且关于轴对称， 在和，，所以与相似 得，即，解得． 因为在椭圆上，所以，解得或（舍去）． 设过点的直线为，由它与圆相切， 得，可解得． 联立直线与椭圆，得， 解得或． 把代入，可得，利用对称性知， 所以的面积为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：本题主要通过直线与圆相切的几何知识及椭圆几何知识从而建立关于圆半径的等式，从而可求解.利用过点与圆相切从而求出直线斜率及直线方程，然后将直线与椭圆联立从而求出点，再利用三角形面积公式从而求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解； （2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线方程是. 联立，解得， 所以圆心的坐标. 圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是； 【小问2详解】 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设， 即. 所以，解得或. 直线的方程为或 16. 已知动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数. （1）求动点的轨迹； （2）过且斜率为1的直线交动点的轨迹于，两点，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据动点到定点的距离和它到定直线距离之比为常数，建立距离比的等式，化简即可； （2）已知直线过定点和斜率，可得直线方程，与双曲线联立得出关于的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和，两根之积，代入弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是点的集合， 即. 将上式两边平方，并化简，得， 所以点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为、虚轴长为2的双曲线. 【小问2详解】 设点的坐标为，点的坐标为. 又直线过且斜率为1，联立， 得，此时， 由韦达定理可得， 因为， 所以. 17. 如图，三棱锥中，是边长为的正三角形，，底面于点，，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 证明：因为， 所以，所以. 因为为正三角形，所以. 又由已知可知为平面四边形，所以. 因为平面平面， 所以平面； （2） （3）不存在，理由如下： 假如存在平面，则， 又，且， ∴平面，又平面，∴， 由（2）可得：， 因为，所以与不垂直， 所以在棱上不存在点，使得平面. 【解析】 【分析】（1）推导出，又为平面四边形，从而，由此能证明平面； （2）由点在平面上的射影为可得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，运用向量法求出二面角的余弦值； （3）由（2）求出，由，得出在线段上不存在点使得平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以. 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 易知平面的一个法向量为， 设为平面的法向量， ， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以. 由题意及图形知，二面角是钝二面角， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 略 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，. （1）求椭圆的方程； （2）求动点的轨迹方程； （3）过点作椭圆的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？ 【答案】（1） （2） （3）为定值，证明如下： 如图，作出符合题意的图形， 由题设，切线的斜率必定存在，设斜率为，得到切线方程为， 联立方程组， 得到， 因为直线与椭圆相切，所以， 可得， 化简得， 设过的两条切线的斜率分别为， 因为的轨迹方程为，所以解得， 由韦达定理得. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质并结合题意建立方程，求出基本量，进而得到椭圆方程即可. （2）结合题意，设出点的坐标，利用得到，利用得到，再将两式相加即可. （3）设出切线方程并联立方程组得到，再结合判别式得到，最后利用韦达定理求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的短轴长为2，离心率为，所以，， 由椭圆的性质得，且，解得，， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 设， 而关于原点对称，则，可得，， 因为，所以，解得， 可得，因为在椭圆上，所以其坐标满足， 则，化简得， 而，， 因为，所以， 解得，则， 因为在椭圆上，所以其坐标满足， 则，化简得， 两式相加可得，即. 【小问3详解】 略 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量.已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）. （1）求点的坐标. （2）若平面，证明：平面平面. （3）已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，过作平面，垂足为点. ①用表示点的坐标； ②若，求点到平面距离的最大值； ③若，当直线与平面所成的角最小时，求的值. 【答案】（1） （2） 连接，根据球的性质可得平面， 则即为平面的一个法向量. 因为，所以. 平面的一个法向量为， 因为， 所以，故平面平面. （3）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）根据几何特征及边长计算即可； （2）分别得出平面法向量根据证明； （3）①根据几何特征及边长计算即可；②应用点到平面距离公式结合三角函数值域即可得出最值；③结合线面角公式及二次函数值域即可求值. 【小问1详解】 连接，过作，交于点.根据题意易得为等边三角形，所以， 则，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当时，过点作交于， 过点作交于，过点作交 于，过点作交于，过点作交于，则， ， 则， 同理可得当时，. ②因为点在平面内，所以，则平面的一个法向量为. ， 点到平面的距离， 当，即时，取得最大值，最大值为. ③易得平面的一个法向量为. 因为，所以. 设直线与平面所成的角为， 则 ， 令，则， 则 ， 当，即时，最小，即直线与平面所成的角最小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永春一中2025年11月高二年期中考数学科试卷 （2025.11） 考试时间长度：120分钟，总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，则（ ） A. 11 B. C. 45 D. 3 2. 若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 或1 4. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于 两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点（不含端点），若线段上存在点（不含端点），使得异面直线与成的角，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 D. 过点且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程是 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，且，是椭圆上与、不重合的点.下列说法正确的是（ ） A. 若（其中），则椭圆的离心率 B. 若，则的最大值为 C. 若，，则 D. 若，直线、的斜率之积为，则 11. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为 D. 当时，的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是______． 13. 2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为__________． 14. 如图，已知圆是椭圆的内接的内切圆，其中是椭圆的左顶点，则______；过点引圆的两条切线，交椭圆于两点，则的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 16. 已知动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数. （1）求动点的轨迹； （2）过且斜率为1的直线交动点的轨迹于，两点，求. 17. 如图，三棱锥中，是边长为的正三角形，，底面于点，，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，. （1）求椭圆的方程； （2）求动点的轨迹方程； （3）过点作椭圆的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？ 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量.已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）. （1）求点的坐标. （2）若平面，证明：平面平面. （3）已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，过作平面，垂足为点. ①用表示点的坐标； ②若，求点到平面距离的最大值； ③若，当直线与平面所成的角最小时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $