精品解析：云南省昭通市第一中学等三校2026届高三上学期高考备考实用性联考（四）数学试题

2026届云南三校高考备考实用性联考卷（四） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 记的内角的对边分别为，则（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则被整除的余数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量满足，记，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A. 为对立事件 B. C. D. 10. 已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 点是函数的一个对称中心 C. D. 函数有个零点 11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若点，则 C. 直线与间的距离最小值为2 D. 直线与直线相交于点，则三点共线 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则__________． 13. 在棱长为3的正方体中，是棱的中点，为棱的三等分点（靠近点），过三点作正方体的截面，则以为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为__________． 14. 设是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：，上述六个代数式中有个能同时取到2025，则的最大值为__________． 四､解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了1000次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图． （1）估计这1000次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）以频率估计概率，随机对该模型进行4次试验，用表示这4次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望． 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，讨论函数在上的单调性和零点个数． 17. 已知四边形为等腰梯形, ,为的中点（如图甲），以为折痕把折起，使点到达点的位置且平面平面（如图乙）． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 18. 已知双曲线的焦距为,渐近线方程为,左顶点为,过点且与轴不重合的直线交双曲线右支于两点．直线与圆分别交于两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）求证：直线与直线的斜率之积为定值； （3）记三角形的面积为的面积为,求的取值范围． 19. 设次多项式，若其满足． （1）求； （2）对于正整数时，是否恒有成立？ （3）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届云南三校高考备考实用性联考卷（四） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法法则计算得到，从而求出模长. 【详解】由，即，所以． 故选：B． 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用两集合相等可得充要条件. 【详解】解不等式得解集为，解不等式得解集也为， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C． 4. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】设公差为，由可得且， 解得. 故选：D 5. 记的内角的对边分别为，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理得，进而求得的正余弦值，再根据，即可求解． 【详解】在中，由正弦定理得，即， 解得， ， 则． 故选：B． 6. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，根据对称性可知四边形为矩形，从而得到，再由椭圆的定义，即可求出、，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可求出离心率. 【详解】不妨假设在第一象限，因为，所以．由图形的对称性知四边形为矩形， 因为的面积为，所以的面积为， 所以，即． 又因为，所以，， 在中，，则，所以. 故选：A． 7. 若，则被整除的余数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，将构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数． 【详解】令，得， 令，得， 两式相减得， 所以． 因为 能被8整除， 被8整除的余数为3， 所以被8整除的余数为3， 故选：C． 8. 已知向量满足，记，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的模长公式可得，进而建立直角坐标系，根据坐标运算可得点的轨迹，进而根据点到直线的距离公式求解. 【详解】因为，所以．又， 所以，解得．因为， 所以． 建立如图所示的直角坐标系， 设， 因为，所以，整理得， 即点的轨迹是：圆心为，半径为2的圆． 设，则点在直线上运动，则， 令点到直线的距离为，则，无最大值， 故选：B． 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A. 为对立事件 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对立事件定义可判断A；根据条件概率及全概率公式计算可判断BCD. 【详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即， 所以为对立事件，故A正确； 对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确； 对于C，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时， 所以，故C不正确； 对于D，，故D正确， 故选：ABD． 10. 已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 点是函数的一个对称中心 C. D. 函数有个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：根据奇偶性和对称性可判断出周期性；B：根据关于点中心对称以及关于直线对称，可作出判断；C：利用周期性可得，由此可计算出结果；D：在同一坐标系中作出的图象，根据图象可判断出结果. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 又因为，所以函数关于直线对称； 所以， 所以， 所以函数是周期为的周期函数，所以A选项错误； 由于函数是奇函数，关于点中心对称，且函数关于直线对称， 因此点是函数的一个对称中心，所以B选项正确； 由于函数是周期为的周期函数，且时，， 那么，因此，所以C选项正确； 作出函数与函数的图象如图所示， 根据图象可知，两个图象有个交点，因此函数有个零点，所以D选项正确， 故选：BCD． 11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若点，则 C. 直线与间的距离最小值为2 D. 直线与直线相交于点，则三点共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件可得直线过点，设出的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理结合选项条件逐一求解判断. 【详解】由抛物线的光学性质知，直线过抛物线的焦点， 设直线的方程为，由消去得，显然， 对于A，，A正确； 对于B，点，则，，因此，， B正确； 对于C，直线与间的距离， 当且仅当时，取最小值4，C错误； 对于D，直线与相交于点，则直线的斜率为， 又直线的斜率为，即，因此三点共线，D正确. 故选：ABD 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式和二倍角公式即可求解. 【详解】． 故答案为： 13. 在棱长为3的正方体中，是棱的中点，为棱的三等分点（靠近点），过三点作正方体的截面，则以为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用平行线作出截面图，再利用四棱锥体积转换成三棱锥体积的2倍，然后进行换顶点和底面求体积，即可求解. 【详解】 如图，因为为的中点，为棱的三等分点（靠近点）， 所以取为棱的六等分点（靠近点），则，即四点共面， 所以过三点的截面为平行四边形 则， 又因为，所以 故答案为：3． 14. 设是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：，上述六个代数式中有个能同时取到2025，则的最大值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用作差思想来判断两两大小，再结合分析可得两种可能，并进行求解是存在的，从而可得出结论. 【详解】不妨设，记为①式，为②式，以此类推， 由①-②=，故①②， ②-③，故②③， ①-④-，故①④， 同理得，①⑤，②⑥，③⑤，④③，④⑥，⑥⑤， 综上可知①②③⑤，①④③⑤，且②⑥⑤，④⑥⑤， 最多有②④或③⑥两项可同时取2025． 令，其一组解为，， 所以的最大值为， 故答案为：2． 四､解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了1000次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图． （1）估计这1000次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）以频率估计概率，随机对该模型进行4次试验，用表示这4次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）29 （2） 0 1 2 3 4 0.0081 0.0756 0.2646 0.4116 0.2401 期望为 【解析】 【分析】（1）由平均数的计算公式即可求解； （2）确定可能取值，由题意得到，即可求解. 【小问1详解】 ， 故均值为29． 【小问2详解】 设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为， 则， 则， ； ． 列出的分布列如下： 0 1 2 3 4 0.0081 0.0756 0.2646 0.4116 0.2401 ． 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，讨论函数在上的单调性和零点个数． 【答案】（1） （2）在上单调递增，零点个数为1 【解析】 【分析】（1）利用导数来求切线即可； （2）利用导数来判断单调性即可得解. 【小问1详解】 当时，， 则，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 当时，，则， 当时，，则， 故在上单调递增． 又因为，所以在上的零点个数为1． 17. 已知四边形为等腰梯形, ,为的中点（如图甲），以为折痕把折起，使点到达点的位置且平面平面（如图乙）． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 因为四边形为等腰梯形，为的中点，则, 且，所以． 又因为， 所以，所以，所以． 因为，所以． 所以． 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面． 因为平面，所以． 又因为平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由平面平面，得到平面，进而得到，再结合，即可求证； （2）建系，求得直线的方向向量，和平面的法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则：， ． 设平面的一个法向量为， 则：即取，则， 所以． 设直线与平面所成角为，则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 18. 已知双曲线的焦距为,渐近线方程为,左顶点为,过点且与轴不重合的直线交双曲线右支于两点．直线与圆分别交于两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）求证：直线与直线的斜率之积为定值； （3）记三角形的面积为的面积为,求的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：由题意知直线的斜率不等于0，设的方程为, 由，得． 因为直线与双曲线的右支交于两点，所以①， 因为, 所以, ， 所以由①式解得． 因为,所以 , 所以直线与直线的斜率之积为定值． （3） 【解析】 【分析】（1）由焦距及渐近线方程可得,确定双曲线标准方程； （2）设出直线与点,联立直线与双曲线方程，根据题意写出表示出,再结合韦达定理化简计算； （3）设出直线与,表示出的纵坐标，再将三角形面积之比中的边长之比转化为纵坐标的比，最后结合与的范围求解. 【小问1详解】 由题意知,,且, 所以, 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设,且, 所以,即,所以． 又因为,所以． 由得,所以,同理可得． 由得,所以,同理可得, 所以 . 令,由,得, 所以． 令, 因为在区间上为增函数,所以的取值范围为, 所以的取值范围为． 19. 设次多项式，若其满足． （1）求； （2）对于正整数时，是否恒有成立？ （3）求． 【答案】（1），， （2）不成立 （3） 【解析】 【分析】（1）利用，分别令，再结合三角函数的公式即可求出； （2）利用，然后根据三角函数的和角公式进行化简即可； （3）令，代入中，根据，即可求出. 【小问1详解】 由，所以． ，所以． ， 因此． 【小问2详解】 ， ， 两式相加得，， 所以有：，所以命题不成立． 【小问3详解】 由于， 取，有， 对于，令，则，即， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $