精品解析：贵州省安顺市2025-2026学年上学期阶段性质量检测八年级数学试题

安顺市2025-2026学年度第一学期阶段性质量检测八年级数学 注意事项： 1．满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字左侧图案是轴对称图形的是（ ） A. 文心一言 B. ChatGPT C. DeepSeek D. 纳米AI 2. 如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 3. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 4. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 5. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 8. 若点与点关于轴对称，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 9. 如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，则爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（ ） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 12. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 如图把一张纸折起来，用铅笔在上面扎个洞，图1是折起来扎洞的情景，图2是4张展开的纸，其中有一张与图1展开后完全一样，其编号是________． 14. 将一副三角板按如图所示的方式放置，则图中的度数为________． 15. 如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，．若，，则的长为________． 16. 如图，在等腰中，，，于点，是延长线上的一点，是线段上的一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形．其中正确的是________．（填序号） 三、解答题（本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）在图中画出边上的中线，并写出点的坐标． （2）在图中画出边上的高，并写出点的坐标． （3）在图中画出线段关于轴对称的图形． 18. 如图，在中，，于点，平分，交于点． （1）当，时，求的度数． （2）猜想与，之间的关系，并说明理由． 19. 如图，点，，，在同一条直线上，，，，与交于点． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 20. 如图，是等腰三角形，，，是的中点． （1）求的度数． （2）求的度数． （3）若，试说明：． 21. 已知，，是的三边． （1）化简． （2）若和满足方程组且为奇数，求这个三角形的周长． 22. 如图，在中，为边上的一点，平分，于点，于点． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，交于点（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． （2）在（1）的条件下，求证：．请补全下面的证明过程． 证明：平分，，， ① （ ② ）， ． 是的垂直平分线， ，，． 在和中， ， ③ ， （ ④ ）． ∵，， ． 在和中， ， ． 23. 【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，在中，，，以为斜边作直角三角形，点，在边的同侧，与交于点，连接，过点作于点．求证：（请根据下面的要求完成证明）． 【解决问题】 （1）如图2，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路，写出证明的完整过程． 【实践应用】 （2）的度数为________． （3）若是的中点，且，求四边形的面积． 24. 阅读与思考 数学课上，老师提出了如下问题，巧用中线构造全等数学问题 ×年×月×日 星期日 晴 巧用中线构造全等数学问题 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，求边的取值范围． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 是边上的中线，． 在和中， ，，． ，． …… 解后反思： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： （1）小亮判断的依据是________． （2）如图3，在中，是边上的中线，，，若的长为奇数．请你根据小亮的思路求出边的长． 迁移应用： （3）如图4，是的中线，在边上取一点，连接，交于点，若，，，求的度数． 25. 引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段，把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中，一个是等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，则把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】 　 （1）如图1，在中，，，垂足为，请判断与是否为“等角三角形”，并说明理由． （2）如图2，在中，为角平分线，，，请说明是的“巧等线”． 【应用概念】 （3）在中，若，为的“巧等线”，请直接写出所有可能的的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安顺市2025-2026学年度第一学期阶段性质量检测八年级数学 注意事项： 1．满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字左侧图案是轴对称图形的是（ ） A. 文心一言 B. ChatGPT C. DeepSeek D. 纳米AI 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称的定义可知，A是轴对称图形，符合题意； B，C，D不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的分类，根据钝角三角形的定义作答即可． 【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角， ∴这个三角形是钝角三角形； 故选C 3. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的画法是解题的关键；因此此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【详解】解：在中，边上的高为； 故选B． 4. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 5. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质． 由题意可知，．又由即可证明．即可得到答案． 【详解】解：根据角平分线的作法可知，，． 又∵， ∴． ∴，即射线即为的角平分线． 故选A． 6. 如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故B符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故D不符合题意； 故选：B． 7. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上， 第二次可以在②或③处截断， 故选：C． 8. 若点与点关于轴对称，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等、纵坐标互为相反数”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等、纵坐标互为相反数可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．过点作，交延长线于点，先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵在中，的长是， ∴， ∵，分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∴， ∴乘电梯从点到点上升的高度是， 故选：A． 10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，则爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线间的距离等知识，正确找出两个全等三角形的性质是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，，则，再求出点到地面的高度，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，与地面垂直， ∴与地面平行， ∵处距地面， ∴处距地面， ∴点距地面， 同理可得：与地面平行， ∴点到地面的高度等于点到地面的高度， ∴爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是， 故选：B． 11. 如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（ ） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定，如解析图中，当时，可证明此时是等边三角形，当时，是等腰三角形；再讨论讨论为等腰三角形时，符合题意的点D个数即可得到答案． 【详解】解：如图：当时，是等腰三角形； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 12. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，垂线段的性质，平行线的性质等；①过作交于，交于，由平行线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，由等边三角形的判定方法，即可判断；②由全等三角形的性质得，点D是的平分线上的一个定点得是定值，即可判断；③由垂线段最短得当时，的值最小，即可判断；④由平行线的性质即可判断；掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，垂线段的性质是解题的关键． 【详解】解：①过作交于，交于， ， 点D是的平分线上的一个定点， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， 是等边三角形； 故此项正确； ②由①得， ， ， 点D是的平分线上的一个定点， 是定值， 四边形的面积是一个定值； 故此项正确； ③如图， 当时， 的值最小， 是等边三角形， 的周长为， 的周长最小； 故此项正确； ④如图， ， ， 故此项正确； 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 如图把一张纸折起来，用铅笔在上面扎个洞，图1是折起来扎洞的情景，图2是4张展开的纸，其中有一张与图1展开后完全一样，其编号是________． 【答案】（4） 【解析】 【分析】本题考查了折叠．熟练掌握折叠性质，是解题的关键． 根据两个穿孔关于折痕对称辨别，即解决问题． 【详解】解：折痕为对称轴，两个穿孔关于折痕对称，只有（4）符合． 故答案为：（4）． 14. 将一副三角板按如图所示的方式放置，则图中的度数为________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．先根据三角板可得，，再根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：由三角板可知，，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，．若，，则的长为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证明，根据全等三角形的性质可得，，再根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 16. 如图，在等腰中，，，于点，是延长线上的一点，是线段上的一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形．其中正确的是________．（填序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定及线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定及线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接，与交于点，由题意易得，，然后依次进行排除选项即可． 【详解】解：连接，与交于点，如图所示： ∵，，， ∴， ∴垂直平分线段，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故①错误； 由题意不能得到，所以不一定相等，故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故③正确； 故答案为③． 三、解答题（本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）在图中画出边上的中线，并写出点的坐标． （2）在图中画出边上的高，并写出点的坐标． （3）在图中画出线段关于轴对称的图形． 【答案】（1） 如图，中线即为所求． （2） 如图，高即为所求． （3） 解：如图，即为所求． ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线与高、轴对称、点的坐标，熟练掌握点坐标与图形是解题关键． （1）结合网格先确定的中点，再连接即可得，然后根据中点坐标公式即可得点的坐标； （2）结合网格画出边上的高，再写出点的坐标即可得； （3）先根据轴对称的性质画出点关于轴对称的点，再连接即可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴的中点的坐标为，即为． 【小问2详解】 解：∵点，，， ∴点的横坐标与点的横坐标相同、点的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 略 18. 如图，在中，，于点，平分，交于点． （1）当，时，求的度数． （2）猜想与，之间的关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、垂直，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【小问1详解】 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 19. 如图，点，，，在同一条直线上，，，，与交于点． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再求出，然后根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据平行线的性质即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，是等腰三角形，，，是的中点． （1）求的度数． （2）求的度数． （3）若，试说明：． 【答案】（1） （2） （3） 解：∵，是的中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据等腰三角形的三线合一可得平分，再根据角平分线的定义求解即可得； （3）先根据等腰三角形的三线合一可得平分，再根据角平分线的定义可得，然后根据等腰三角形的性质可得，则可得，最后根据平行线的判定即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 【小问2详解】 解：∵，是的中点， ∴平分， ∵， ∴． 【小问3详解】 略 21. 已知，，是的三边． （1）化简． （2）若和满足方程组且为奇数，求这个三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：，根据绝对值的性质进行化简，即可求解； （2）根据三角形的三边关系，确定c的范围，再求出三角形的周长． 本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简，解二元一次方程组的知识，解题的关键是明确三角形的三边关系． 【小问1详解】 解：∵a，b，c是的三边， ∴， ∴ ， ； 【小问2详解】 解：解方程组，得， 根据三角形的三边关系得，即， ∵c为奇数， ∴， ∴这个三角形的周长为． 22. 如图，在中，为边上的一点，平分，于点，于点． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，交于点（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． （2）在（1）的条件下，求证：．请补全下面的证明过程． 证明：平分，，， ① （ ② ）， ． 是的垂直平分线， ，，． 在和中， ， ③ ， （ ④ ）． ∵，， ． 在和中， ， ． 【答案】（1）如图所示： ． （2）①；②角平分线的性质；③；④等量代换；⑤ 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图解答即可得； （2）先根据角平分线的性质可得，根据线段垂直平分线的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，交于点． 【小问2详解】 略 23. 【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，在中，，，以为斜边作直角三角形，点，在边的同侧，与交于点，连接，过点作于点．求证：（请根据下面的要求完成证明）． 【解决问题】 （1）如图2，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路，写出证明的完整过程． 【实践应用】 （2）的度数为________． （3）若是的中点，且，求四边形的面积． 【答案】 （1）证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵以为斜边作直角三角形， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）； （3）96 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，通过做辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据和等量代换即可得； （2）先根据全等三角形的性质可得，，再求出，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，最后根据四边形的面积等于求解即可得． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）已证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （3）∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． 24. 阅读与思考 数学课上，老师提出了如下问题，巧用中线构造全等数学问题 ×年×月×日 星期日 晴 巧用中线构造全等数学问题 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，求边的取值范围． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 是边上的中线，． 在和中， ，，． ，． …… 解后反思： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： （1）小亮判断的依据是________． （2）如图3，在中，是边上的中线，，，若的长为奇数．请你根据小亮的思路求出边的长． 迁移应用： （3）如图4，是的中线，在边上取一点，连接，交于点，若，，，求的度数． 【答案】（1）；（2）或或或；（3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的三边关系等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）根据定理即可得； （2）延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，根据的长为奇数求解即可得； （3）延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再根据等腰三角形的性质可得，则，然后证出，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：（1）在和中， ， ∴， ∴小亮判断的依据是， 故答案为：． （2）如图，延长至点，使，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴， ∵的长为奇数， ∴边的长为或或或． （3）∵，， ∴， 如图，延长至点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 25. 引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段，把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中，一个是等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，则把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】 　 （1）如图1，在中，，，垂足为，请判断与是否为“等角三角形”，并说明理由． （2）如图2，在中，为角平分线，，，请说明是的“巧等线”． 【应用概念】 （3）在中，若，为的“巧等线”，请直接写出所有可能的的度数． 【答案】 （1）与互为“等角三角形”，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴与互为“等角三角形”． （2）证明：∵在中，，， ∴， ∵在中，为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵，， ∴与互为“等角三角形”， ∴是的“巧等线”． （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据互为“等角三角形”的定义即可得； （2）先求出，，则可得，再根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后证出与互为“等角三角形”，由此即可得； （3）分六种情况：①当时，是等腰三角形，②当时，是等腰三角形，③当时，是等腰三角形，④当时，是等腰三角形，⑤当时，是等腰三角形，⑥当时，是等腰三角形，利用“巧等线”的定义、三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）①如图，当时，是等腰三角形， 则， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴； ②如图，当时，是等腰三角形， 则， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴； ③如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴，， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； ④如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得； ⑤如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得； ⑥如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴，， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 综上，所有可能的的度数为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $