2025-2026学年 苏科版九年级数学上学期第11周（二次函数1）练习

2025年九上数学第11周《二次函数1》 【知识梳理】 1.定义与表达式 ①二次函数的一般式为 ，其中 决定开口方向和大小， 影响对称轴位置， 确定与y轴交点。 ②顶点式为 ，顶点坐标为 。 ③交点式为 ，适用于已知与 轴交点的情况。 2.图像与性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像是抛物线，对称轴为直线 ，顶点坐标为 当 时，抛物线开口向上；当 时，开口向下。 抛物线与y轴交于点 ，与 轴交点个数由判别式决定： 时有两个交点， 时有一个交点， 时无交点。 3.公式推导（把下列一般式转化为顶点式，并写出顶点坐标公式） y＝ax2+bx+c 【知识点1．二次函数的图象与性质】 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝x2﹣1 C． D．y＝x3+x2﹣1 2．已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A．B．C．D． 3．抛物线y＝﹣x2+2的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　） A．向上、y轴、（0，2） B．向下、y轴、（0，2） C．向上、y轴、（2，0） D．向下、直线x＝2、（2，0） 4．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x+h）2+k的形式，则y＝ 　 　 ；此抛物线的顶点坐标是 　 　 ；当x＝ 　 　 时，y有最 　 　 值 　 　 ． 5．已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m是常数）． （1）若m＝﹣1， ①该函数的顶点坐标为　 　 ； ②当﹣2≤x≤2时，该函数的最大值　 　 ； ③当1≤x≤3时，该函数的最大值为　 　 ； （2）当﹣2≤x≤1时，该函数的最大值为4，则常数m的值为　 　 ． 6．已知二次函数y＝2ax2+4ax﹣3（a≠0） （1）该函数图象的对称轴是　 　 ； （2）无论a取何值，该函数的图象都经过两个定点，直接写出这两个定点的坐标； （3）若点M（﹣3，m），N（2，n）在该函数图象上，比较m，n的大小并说明理由． 7．对于三个不相等的实数a，b，c，我们规定符号max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，如：max{﹣1，0，2}＝2． （1）若max{1，2x，x2+3}＝7，求x的值； （2）当0＜x＜1时，max{x，kx+1，x2}＝kx+1，直接写出k的取值范围． 【知识点2. 二次函数图象与系数的关系】 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＝0 C．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0 9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤ 10．已知二次函数y＝（x+2）（x﹣m）（m为常数）． （1）该函数的图象的顶点坐标是 　 　 ．（用含m的代数式表示） （2）已知A（﹣1，y1），B（3，y2）是该函数图象上的点．若y1＜y2，求m的取值范围． 11．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2，线段AB的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m），线段AB与该抛物线只有一个公共点C． （1）求m的取值范围； （2）求线段BC长度的最大值，并求出此时m的值． 【知识点3．二次函数图象上点的坐标特征】 12．如图，在平面直角坐标系中，经过（﹣1，0）、（3，0）的二次函数y1的图象交y轴于点A，经过（﹣1，0）的一次函数y2的图象交y轴于点B．若OA＝OB，则函数的图象是（　　） A．B．C．D． 13．若二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的图象过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　 .（用“＜”连接）． 14．已知点A（﹣1，4）、B（3，4）、C（4，4）、D（3，﹣1），一条抛物线经过其中三点，则不在该抛物线上的点是点 　 　 ． 15．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a≠0）的图象与y轴正半轴交于一点． （1）画出一个满足条件的函数图象（要求：只需画出函数的大致图象，但需标注必要的数量）； （2）写出该函数的两个不同类型的结论； （3）若点A（m，y1） B（n，y2）（m、n为常数，且m＜n）在该函数图象上，比较y1与y2的大小． 【知识点4．二次函数的最值】 16．当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+2ax﹣3的最大值与最小值的差为，则实数a的值为 　 　 ． 17．已知x+y＝2．若，y≤2，则x2+y2的取值范围是 　 　 ． 18．求证：周长为a的矩形中，正方形的面积最大．请建立二次函数关系解决上述问题． 19．已知周长为acm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所示． （1）a的值为 　 　 ； （2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【知识点5．抛物线与x轴的交点】 20．若函数y＝mx2﹣4x+1的图象与x轴有公共点，则m的范围是 　 　 ． 21．把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：　 　 ． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点E．矩形ABCD的边AB在线段OE上，点C、D在抛物线上，则矩形ABCD周长的最大值为 　 　 ． 23．如图，已知抛物线经过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）将抛物线的图象向上平移m（m＞0）个单位后恰与坐标轴有两个公共点，则m的值为 　 　 ． 【巩固练习】 1．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是　　 A．B． C． D． 2．已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 3．关于的函数是二次函数，则的值是 　　． 4．若二次函数的图象，经过，，，，三点，，大小关系是　 　　（用“”连接）． 5．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围为 　　． 6．已知二次函数，为常数，的最大值为2，写出一组符合条件的和的值：　　． 7．已知二次函数的图象如图所示． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）将该抛物线进行左右平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方法． 参考答案与试题解析 一．二次函数的定义（共1小题） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝x2﹣1 C． D．y＝x3+x2﹣1 【解答】解：y＝2x+1，y，y＝x3+x2﹣1不符合二次函数的定义，它们不是二次函数； y＝x2﹣1符合二次函数的定义，它是二次函数； 故选：B． 二．二次函数的图象（共1小题） 2．已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A．B． C．D． 【解答】解：根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＜0，c＞0， ∴0， ∴，即， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在抛物线y＝ax2+（b+1）x+c对称轴的左侧， 设抛物线y＝ax2+（b+1）x+c与x轴有两个交点为（x1，0），（x2，0）， ∵x1＜0，x2＞0，|x1|＜|x2|， ∴直线y＝﹣x与抛物线y＝ax2+bx+c的两点交点的横坐标为x1，x2，且x1＜0，x2＞0，|x1|＜|x2|， ∴函数y＝ax2+bx+c的图象可能是B， 故选：B． 三．二次函数的性质（共5小题） 3．抛物线y＝﹣x2+2的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　） A．向上、y轴、（0，2） B．向下、y轴、（0，2） C．向上、y轴、（2，0） D．向下、直线x＝2、（2，0） 【解答】解：∵a＝﹣1＜0， ∴其开口向下；对称轴为y轴； 当x＝0时，y＝2，故顶点坐标为（0，2）； 故选：B． 4．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x+h）2+k的形式，则y＝ 　（x﹣1）2+2　 ；此抛物线的顶点坐标是 　（1，2）　 ；当x＝ 　1　 时，y有最 　小　 值 　2　 ． 【解答】解：利用配方法将二次函数配成顶点式可得：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， 此抛物线的顶点坐标为（1，2）， 当x＝1时，y有最小值2， （1）若max{1，2x，x2+3}＝7，求x的值； （2）当0＜x＜1时，max{x，kx+1，x2}＝kx+1，直接写出k的取值范围． 【解答】解：（1）∵max{1，2x，x2+3}＝7， ∴2x＝7或x2+3＝7， 当2x＝7时，x， 则x2+337，不合题意， 当x2+3＝7时，x＝2或﹣2， 则x＝2时，2x＝4＜7，x＝﹣2时，2x＝﹣4＜7，符合题意； ∴若max{1，2x，x2+3}＝7，x的值为2或﹣2； （2）∵0＜x＜1， ∴x﹣x2＝x（1﹣x）＞0， ∴x＞x2， ∵max{x，kx+1，x2}＝kx+1， ∴kx+1≥x， 对于y＝x，当x＝1时，y＝1， 由题意可知直线y＝x与直线y＝kx+1的交点坐标为（1，1）， 所以k的取值范围是：k≥0． 四．二次函数图象与系数的关系（共4小题） 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＝0 C．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， 又∵对称轴， ∴b＞0， ∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴二次方程ax2+bx+c＝0有两个不同的根，即b2﹣4ac＞0， 故选：D． 9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） ∴﹣1﹣m＜15﹣5m， 解得m＜4； 方法二：∵A（﹣1，y1）关于x对称点为（m﹣1，y1）， ∴3＞m﹣1， ∴m＜4； 方法三：∵a＞0，开口向上，且﹣1＜3，y1＜y2， ∴， ∴m＜4． 11．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2，线段AB的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m），线段AB与该抛物线只有一个公共点C． （1）求m的取值范围； （2）求线段BC长度的最大值，并求出此时m的值． 【解答】解：（1）根据题意：∵A（﹣3，m），B（1，m）， ∴线段AB：y＝m（﹣3≤x≤1）， 与y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2联立， 得x2﹣2mx+m2﹣2m+2＝0， 令y'＝x2﹣2mx+m2﹣2m+2， 若抛物线y'＝x2﹣2mx+m2﹣2m+2与线段AB只有1个公共点， 即函数y在﹣3≤x≤1范围内与线段AB只有一个交点， 当x＝﹣3时，y＝m2+4m+11＞0， ∵Δ＞0， ∴此种情况不存在， 当x＝1时，y＝m2﹣4m+3≤0， ∴1≤m≤3； （2）联立， 可得x2﹣2mx+m2﹣2m+2＝0， 设方程的解为x1，x2，根据韦达定理x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣2m+2， ∵线段AB与抛物线只有一个公共点C，且B（1，m）， ∴BC＝|x﹣1|（x为公共点C的横坐标）， 由x2﹣2mx+m2﹣2m+2＝0， 可得（x﹣m）2＝2m﹣2， 解得x＝m， ∵x∈[﹣3，1]，且1≤m＜3， ∴x＝m， 则BC＝1﹣（m）＝1﹣m， 令t， ∵1≤m＜3， ∴t∈[0，2），且m， 则BC＝1t（t﹣1）2， 这是一个关于t的二次函数，二次项系数0，图象开口向下，在t＝1时取得最大值， 当t＝1时，1，两边平方得2m﹣2＝1，解得m， 此时BC的最大值为， 综上，线段BC长度的最大值为，此时m的值为． 五．二次函数图象上点的坐标特征（共4小题） 12．如图，在平面直角坐标系中，经过（﹣1，0）、（3，0）的二次函数y1的图象交y轴于点A，经过（﹣1，0）的一次函数y2的图象交y轴于点B．若OA＝OB，则函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知二次函数y1＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴A（0，﹣3a）， ∴OA＝﹣3a， ∵OA＝OB， ∴B（0，3a）， 设一次函数y2＝kx+3a， ∵经过（﹣1，0）， ∴﹣k+3a＝0， ∴k＝3a， ∴y2＝3ax+3a， ∴函数 ， ∵函数y是直线，且过点（3，0），（0，﹣1）， ∴函数的图象是A， 故选：A． 13．若二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的图象过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＜y2＜y3 .（用“＜”连接）． 【解答】解：∵y＝﹣（x﹣3）2+2， ∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝3， A（4，y3））关于直线x＝3的对称点是（2，y3）， ∵﹣1＜1＜2＜3， 在对称轴的左侧y随x的增大而增大， ∴y1＜y2＜y3， 故答案为：y1＜y2＜y3，． 14．已知点A（﹣1，4）、B（3，4）、C（4，4）、D（3，﹣1），一条抛物线经过其中三点，则不在该抛物线上的点是点 B ． 【解答】解：点A（﹣1，4）、B（3，4）、C（4，4）的纵坐标相同，故三点中有一点不在同一条抛物线， B（3，4）、D（3，﹣1）的横坐标相同，故两点中有一点不在同一条抛物线， 所以，不在该抛物线上的点是点B． 故答案为：B． 15．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a≠0）的图象与y轴正半轴交于一点． （1）画出一个满足条件的函数图象（要求：只需画出函数的大致图象，但需标注必要的数量）； （2）写出该函数的两个不同类型的结论； （3）若点A（m，y1） B（n，y2）（m、n为常数，且m＜n）在该函数图象上，比较y1与y2的大小． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a≠0）的图象与y轴正半轴交于一点， ∴﹣3a＞0，即a＜0， ∴抛物线开口向下， ∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1）， ∴二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a≠0）的图象与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）， 画出函数的大致图象： ； （2）由（1）可知函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的图象开口向下， ∴函数有最大值； 由函数y＝ax2﹣2ax﹣3a可知对称轴为直线x1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小； （3）点A（m，y1） B（n，y2）（m、n为常数，且m＜n）在该函数图象上， 若1时，y1＝y2； 若1时，y1＜y2； 若1时，y1＞y2． 六．二次函数的最值（共4小题） 16．当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+2ax﹣3的最大值与最小值的差为，则实数a的值为 　或　 ． 【解答】解：y＝x2+2ax﹣3＝（x+a）2﹣3﹣a2， 当x＝﹣a时，y＝﹣3﹣a2，当x＝a时，y＝3a2﹣3，当x＝a+2时，y＝3a2+8a+1， ①当﹣a≤a≤a+2时，a≥0， 此时，当x＝a时，y取最小值，当x＝a+2时，y取最大值， ∴y最大值＝3a2+8a+1，y最小值＝3a2﹣3， 【解答】解：（1）∵周长为acm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）， ∴a＝2（x+y）， ∵当x＝12时，y＝10， ∴a＝2（12+10）＝44． 故答案为：44cm； （2）∵由（1）知，a＝44cm，a＝2（x+y）， ∴y＝22﹣x， ∴S矩形＝xy＝x（22﹣x）＝﹣x2+22x（x＞0）， ∴当x11时，S矩形最大＝﹣112+22×11＝121（cm2）． 答：当x＝11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2． 七．抛物线与x轴的交点（共4小题） 20．若函数y＝mx2﹣4x+1的图象与x轴有公共点，则m的范围是 m≤4　 ． 【解答】解：当m＝0时，y＝﹣4x+1，此时是一次函数，与x轴有公共点； 当m≠0时，y＝mx2﹣4x+1是二次函数， ∵函数与x轴有一个公共点， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4m≥0， ∴m≤4， ∴函数y＝mx2﹣4x+1的图象与x轴有公共点，则m的范围是m≤4． 故答案为：m≤4． 21．把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：m＞3　 ． 【解答】解：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1， ∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2， ∴对称轴为直线x＝1， ∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点， ∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0， ∴m＞3， 故答案为：m＞3． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点E．矩形ABCD的边AB在线段OE上，点C、D在抛物线上，则矩形ABCD周长的最大值为 　13　 ． 【解答】解：设点D的横坐标是m， ∴点D的纵坐标是m2﹣3m． ∴AD＝3mm2． 又抛物线的对称轴是直线x3， ∴C的横坐标为3﹣（m﹣3）＝6﹣m． ∴CD＝2m﹣6． ∴矩形ABCD的周长L＝2（3mm2+2m﹣6）＝﹣m2+10m﹣12＝﹣（m﹣5）2+13． ∴当m＝5时，周长L有最大值13． 故答案为：13． 23．如图，已知抛物线经过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）将抛物线的图象向上平移m（m＞0）个单位后恰与坐标轴有两个公共点，则m的值为 　　 ． 【解答】解：（1）设抛物线的函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣2）， 将（0，﹣2）代入y＝a（x+1）（x﹣2）， 得﹣2a＝﹣2， 解得a＝1， ∴抛物线的函数表达式为y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2． （2）将抛物线的图象向上平移m个单位后，得到的抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2+m， ∵此抛物线与坐标轴有两个公共点， ∴抛物线y＝x2﹣x﹣2+m与x轴只有一个交点， 即方程x2﹣x﹣2+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2+m）＝9﹣4m＝0， 解得m． 故答案为：． 24．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是　　 A． B． C． D． 【解答】解：．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故选项错误； ．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，称轴为，则对称轴应在轴左侧与图象不符，故选项错误； ．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，故选项错误； ．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为则对称轴应在轴左侧，与图象相符，故选项正确． 故选：． 25．已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【解答】解：二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 点、、到对称轴的距离分别为2、1、3， ． 故选：． 26．关于的函数是二次函数，则的值是 　　． 【解答】解：由题意得：，， ； 故答案为：． 27．若二次函数的图象，经过，，，，三点，，大小关系是　 　　（用“”连接）． 【解答】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， 关于直线的对称点是， 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $