福建省名校联盟2026届高三上学期期中考试数学试题

保密★启用前 准考证号 姓名 (在此卷上答题无效) 全国名校联盟2026届高三上学期期中考试 全国名校联盟 stional Schoots Alllaner 数学试题 2025.11 本试卷共4页，19小题，考试时间120分钟，总分150分。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上和本试卷上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将写在题卡上。写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.设集合U={1,2,3,4,5},若A={1,2,5,B={2,3,5,则Cu(A∩B)= A.{5} B.{1,3} C.{1,2,3} D.{1,3,4} 2.若2=(aeR)的虚部为2，则a A.-2 B.2 C.-4 D.4 3.记等差数列{a,}的前n项和为S,公差为d(d≠0)，若S,=10a,则4= B.2 c. D.3 4.已知某放射性同位素的含量N与时间t的关系式为N=Nes,其中N。为初始含量.则当该 放射性同位表的含量为号时，：的值约为 附：ln2≈0.693 A.33 B.45 C.67 D.78 数学试题第1页（共4页） 5.已知某圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆，则该圆锥的体积为 A.V3π B骨 C.V3π D.V3π 2 3 6.已知函数f(x)=cos(2x+p).设甲：f(1)=f(-1),乙：f(x)是偶函数，则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7.若函数f=任-a6-2的极大值为27则a A.-1 B.0 C.1 D.2 8.若sin(0+20)=cos(0-10)+cos(0+70),则tan0= A.-3 C.-W3 D.V3 3 B.3 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a>0,b>0,且a+b=2,则 A.ab≤1 B.1+1≤2 C.a2+b2≥2 D.log2Va+log4b≥0 10.已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，动点P在底面A1BC1D,内，且BP⊥B1D,则 A.BP∥平面ACD, B.P的轨迹长度为V2 C.恰有一个点P,满足BP⊥AC D.BP与平面A,B,C,D,所成角的正弦值的最大值为y 4 1.已知函数)=写-x+21x恰有两个极值点x,名G,<,则 A.a>3 B.存在a∈R,使得f(x)有三个零点 c.f<号 D.x1x2<1 数学试题第2页（共4页) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a,b满足a·b=4,|b=1,则b·(a-b)=: 13.已知函数f)=ea+e2-,若y=f()的图象关于直线x=7对称，则f(的值域为 14.在三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直，PB=2PA,若点P到平面ABC的距离为1， 则三棱锥P-ABC体积的最小值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知V3 b sin C+ccosB=c. (1)求B; (2)若A=3C,且△ABC的面积为3-V3,求a. 16.(15分) 已知函数f(x)=(1-x)e. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设点(a,b)在曲线y=f(x)上，求f(a)-f(b)的最大值， 17.（15分) 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°，AD=2,BC=CD=4,E是CD的中 点，将△ADE沿AE翻折至△APE,使得PC=2V3. (1)证明：平面PAE⊥平面ABCE; (2)求平面PAE与平面PBC夹角的余弦值， 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知数列{an}满足a1=1,am+an+1=k×2”-1(k>0). (1)设b,=an+1-a2m-1，证明：数列{bn}为等比数列； (2)若{an}为等比数列，求k的值； (3)若Vn∈N,an<an+1,求k的取值范围. 19.(17分) 设函数f=sinc>0. ()求曲线y=f在点(2，f(2)处的切线方程； (2)设xn为f(x)从小到大的第n(n∈N)个极值点. （i)证明：x2-x1>π a+a+…+s0 (i》设a,=x,+,证明：L+1+ a,29n2 数学试题第4页（共4页）全国名校联 全国名校联盟2026届高三上学期期中考 数学试题参考答案解析 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 D A B B AC ABC ACD 一、选操题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.答案：D 解析：易知A∩B={2,5},则C(A∩B)={1,3,4}.故选D. 2.答案：A 解析：三=a-=-1-i,的虚部为-a=2,a=-2,故选A. 1 3.答案：B 解析：S,=4+a×5=54,=10a,a,=2a,即a+2d=2a,=2,故选B. 2 d 4.答案：C 解析：由塑意得V-,即e-子两边取对数得-被=-2n2,解得1=6，故选心 4 5.答案：D 解折：设圆维的底面半径为r,母线长为1，则××P=2π，1=2，又2w=,六=1.圆 ,故选D. 锥的商为V5,六该圆维的体积为写×x1P×V5- 6.答案：C 解析：若fI)=f(-1),则cos(2+p)=cos(-2+p), .2+p=-2+p+2kπ(k∈Z（舍)或2+p+(-2+p)=2k元(k∈Z), 则p=k元(k∈Z),∴.f(x)=cos(2x+kπ). 若k为偶数，则f(x)=cos(2x)为偶函数；若k为奇数，则f(x)=-cos(2x)为偶函数. 若f(x)为偶函数，则f1)=f(1),必要性成立.∴.甲是乙的充要条件，故选C. 7.答案：C 解析：f'(x)=(x-2)2+2(x-2)(x-a)=(x-2)3x-2a-2),显然x=2不是f(x)的极大值点， &:上、2a+2为f的极大值点，且，<2，“f(2a33)=42-)4 3 3 27 Γ27 解得a=1,故选C. 8.答案：B 解析：依题意，sin(θ+20)=cos(0-10)+cos(θ+70)=cos(0-10)+sim(20°-)， ∴.sin(20°+θ)-in(20°-θ=2cos20°sin0=cos(0-10), .cos(0-10)=cos0cosl0°+sm0sinl0°，∴.2cos20°sin0=cosθcosl0°+sin8sinl0°， cos10° cosl0° c0sl0° 6 .∴.tanθ 2cos20°-sn10°2cos(30°-109-sm10°3c10°+sim10°-m10°号，故选B 高三数学第1页（共8页) 全名纹联 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分。有选错的得0分】 9. 答案：AC 解析：a+b≥2ab,∴.ab≤1，故选项A正确； 合+分x白-2+合骨2+2)-2，数选项B错误： ab-2 :a+b≥a+b=2,故选项C正确： 2 log2Va+log4b=log2√ab≤0，故选项D错误.故选AC. 10.答案：ABC 解析：易知BD⊥平面ACD,,BD⊥BP,BP丈平面ACD,.BP∥平面ACD,A选项正确： ,B,D⊥平面BAC,∴P在对角线AC上，B选项正确： AC⊥平面BB,DD,∴.当且仅当P为AC的中点时，满足BP⊥AC,C选项正确： BP与平面AB,CD所成角即为∠BPB,∴.当P为AC的中点时，∠BPB取得最大值， 此时sn∠BPg=y6 D选项错误：故选ABC, 11.答案：ACD y=a 解析：考查选项A:f'(,=x2-a+2=0,→a=x2+2 2 2,两函数图象有且仅有两个 y=x2+ 不同的交点.y=2x-2-2x-1x2+x+1) >0→x>1,y'<0→0<x<1, x2 x (0,1) 1 (L,+0) y + 0 y 单调递减 极小值 单调递增 ∴.ym=3,另外，x→0和x→+0，f(x)→+0，∴.a>3时，两函数图象有且仅有两个不同的交点， A选项正确： 考查选项B:由A选项知，a>3时，f(x)有三个单调区间： 易知f(x)在区间(0，x)上单调递增，在区间(：，x,)上单调递减， 在区间G,∞)上单调递增，且a=x2+2=x,:+2 X X, 则心)-写-+2n=-22血，（极大值） 设()号+2-2，则g0=-2+名20， .当x∈(0，)时，g(x)>0,g(x)单调递增，当x∈L,+w)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 高三数学第2页（共8页) Li f)-8)<80)-号-2+0<0， .(x)的极大值小于零，不可能有三个零点，∴B选项错误： 考查选项C同理可得，f0,)-+2与号-2+2h5:由B选项可知， fx)=gc)80=号c选项正路 考查选项D:由选项B知，a=+子-名且5c0上+)。 六-x-2-2-2还，即x+6=2 2x12 5x2 :+>2不，之>2炳，即，<1，D选项正确，故选ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案g3 解析：b(a-b)=b-b2=4-1=3,故填3. 13.容案：[2e2,+)或[2eE,+o) 解析：)的图象关于直线x对称，则)=0-)，即e+e=e“+e“,解得a=-1, ÷f)=e+e2≥2xe=2e,故填[2e,+0） 14.答案：5V3 8 解析：不妨设PA=x,PC=y,则PB=2x,AB=√5x, 过刀作防事直8干，则u后 PC⊥AB,PH⊥AB,PH∩PC=P,∴AB⊥平面CPH, 2xV ，x2=5y2 ==1 六5+ 5 4(y2-1) 三棱锥P-ABC的体积V=y-5y 312y2-1)1 不妨设f(x)= 20r-D>),则f)=5x2-3) 5r3 12(x2-102 令四=0，解得x=V5,“fm的最小值为fW5)=5V5 “三棱锥P-ABC体积的最小值为5V5,故填y5 8 高三数学第3页（共8页） 全钢名纹联 四、解答题：共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)》 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知√3 bsin C+ccosB=c. (1)求B: (2)若A=3C,且△ABC的面积为3-√5，求a. 解：(1)√3 bsinC+ccosB=c,由正弦定理， .'.3sin Bsin C+sin C cos B=sinC, …2分 .sinC>0, .3sin B+cosB=1,Bsin(B+) …4分 6 由B为三角形内角，即B∈(O,), B+亚5π，得B= ……6分 66 3 评分细则： 步骤一：使用正弦定理转化条件(2分) 步骤二：辅助角公式化简得到sin(B+乃=】 (2分) 6-2 步骤三：结合B的范围求B(2分) (2)4=3C,且B-2元， 3 六A至C=元-4-B= 12’ …7分 六sC=m音=m居名=9巨16 …8分 4622224 由正弦定理有a=c ∴c=3-1 ,……9分 2 12 △18c的面积为5cmB-号a55-3 1 a. 2a. a2 …1分 28 由△AsC的面积为3-B,可得ga=3 a=2万.…13分 评分细则： 步聚一：每到4，C(1分)，步骤二：求出mC(1分)：步骤三：正弦定理得到c-5a(1分)， 2 高三数学第4页（共8页) 全钢名纹联 步骤四：表达△ABC的面积(2分)：步骤五：代入求a(2分).其他过程酌情给分. 16.(15分) 己知函数f(x)=(1-x)e. (1)讨论f(x)的单调性： (2)设点(a,b)在曲线y=f(x)上，求f(四-f(b)的最大值. 解：(1)f'(x)=-xe, …2分 当x<0时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x>0时，∫'(x)<0,f(x)单调递减，…4分 .f(x)在区间(-，0)上单调递增，在区间(0，+)上单调递减。…5分 评分细则： 步骤一：求导(2分)；步骤二：判断单调性(2分)：步骤三：结论(1分)： (2)由(1)可知，f(x)的最大值为f(0)=1, ………7分 又X→+0时，f(x)→-0，b≤1，…8分 由题意得，b=f(ad,.f(-fb)=b-fb), 不妨设8(x)=X-f(x)x≤1)，…11分 则g'(x)=1-f'(y=l+xe,设h(x)=g(x),则h(x)=(x+1)e, .(x)在区间（←∞，-1）上单调递减，在区间(-1，刂上单调递增， 7)≥h(-1）=1>03 e .g'()>0,8(x)在区间(-∞，】上单调递增，.8(x)≤8)=1-f0)=1, f(-f(⑥)的最大值为1.…l5分 评分细则： 步骤一：得到b≤1，没有极限说明扣1分(3分)： 步骤二：代换得到f(@网-fb)=b-f⑥)，设8)=x-fx)(≤1)(3分)： 步骤三：求导判断8(x)单调递增(2分)g 步骤四：求最值以及结论(2分)： 高三数学第5页（共8页) 全国名校联盟 17.(15分) 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°，AD=2,BC=CD=4,E是CD的中点， 将△ADE沿AE翻折至△APE,使得PC=2√5 D (1)证明：平面PAB⊥平面ABCE: (2)求平面PAE与平面PBC夹角的余弦值 解：(1)连接BD交AE于点O,连接OP,OC,OB, ,PA=PE,∴.OPLAE, 在Rt△ADE中，AD=DE=2,.OP=OD=√2， 在△0BC中，0C=0B+Cg-20B.CBcs135°=(W22+2-2×V2×2x(-5=10, .…2分 在△P0C中，OP=,OC=V10,PC=25, ∴.Op2+OC2=Pc2,∴.OPLOC, …3分 又，AE∩OC=O,AE,OCC平面ABCE, OPL平面ABCE,…5分 又OPC平面PAE,.平面PAE⊥平面ABCE.…6分 评分细则： 步骤一：求OC(2分)： 步骤二：勾股定理得到OP⊥OC(1分)： 步骤三：线面垂直证明：OP⊥平面ABCE(2分)g 步骤四；面面垂直证明：平面PAE⊥平面ABCE(1分)， (2)易知∠DEA=∠CDB=4,.BD⊥AE,即OA⊥OB, 由(1)可知OP⊥平面ABCE,又，OA,OBC平面ABCE, ∴.OP⊥OA,OP⊥OB,∴.OP,OA,OB两两垂直， …7分 易知AB=2W5,OA=√2，∴OB=3V2, …8分 评分细则： 步骤一：由几何关系得到OP,OA,OB两两垂直(1分)： 步骤二：求得OB=3√2(1分)g 高三数学第6页（共8页） 全钢名纹联 方法1： 如图，以O点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 0(0,0,0),AW2,0,0)B(0,32,0),C(22√2,0)，P(0,02,E√2,0,0)， C8=(2√2,2√2,0)，PB=(0,32,-√2)，EP=√2,02， …9分 设平面PBC的法向量为=(x,y,=),则 cB.i=0,22x+22y=0, PB.i=0,3√2y-√2z=0, 取x=1,得y=-1,z=-3,则i=(1,-1,-3), …1分 易知平面PAE的法向量为i=(0,l,0),…I3分 .设平面PAE与平面PBC夹角的为O, 则cos0= m.成1 园×m1111 ·平面PAL与平面PBC夹角的余弦值为 …l5分 11 评分细则： 步骤一：建系得到点和向量(1分)： 步骤二：求平面PBC的法向量(2分)： 步骤三：求平面PAE的法向量(2分)： 步骤四：求值和结论(2分). 高三数学第7页（共8页） 全国名校联盟 方法2： 如图，分别延长AE,BC交于点Q,则OQ=3√5，PQ=2√5， Q过O作OH垂直PQ于H,… …9分 H D ,BO⊥平面PAQ,P9C平面PAQ,∴.BO⊥P2, 又OH⊥PQ,OH∩OB=O,.P9⊥平面OHB, ∴.PQ⊥HB,平面PAE与平面PBC的夹角即为∠OHB, …12分 易知0e1-治品，67-0emP24- V10 故tan∠OHB= B-V0,cos∠0HB= v11 …15分 OH 11 评分细则： 步骤一：作辅助线(1分)； 步骤二：证明∠OHB为平面PAE与平面PBC的夹角，具体过程酌情给分(3分)； 步骤四：求值和结论(3分)， 18.(17分) 已知数列{a}满足a=1,a,+a1=k×2”1(k>0). (1)设b,=a2m1-a2-1,证明：数列仍}为等比数列； (2)若{a}为等比数列，求k的值： 高三数学第8页（共8页） 全国名校联 (3)若neN,a.<a1,求k的取值范围. 方法1： 解：(1)由已知可得an+an=kx22m-2,且an+a,1=k×221, …………l分 .am1-a-1=k×(22-1-22-2)=k×40,即b=k×4-1,…2分 6=a,-g=k>0,且a=kx4 6kx4可=4， ∴数列{bn}是首项为k,公比为4的等比数列.… …4分 评分细则 步骤一：求b=k×4-1(2分)： 步骤二：证明和结论（2分). (2)易知4+a42=k,且42+4=2k, a2=k-1,a=2k-(k-1)=k+1,a-4a=k2-3k=0,…5分 k>0,k=3,…6分 当k=3时， a1-aa1=3×4-1, ∴a2mH=(a2m+1-a2-)+(a2m-1-a2m-3)++(a3-a)+4 =3×(4-1+4-2++1)+1=22m, …7分 a2n+a2n1=3x2201, .42m=3×22m-1-4”=22n-1, …8分 .a,=2-1,n≥2，neN, 又a=1=21,4=2-1，neN,.{a}为等比数列， 综上所述，若{a}为等比数列，则k=3. …9分 评分细则： 步骤一：必要性得到k=3(2分)： 步骤二：验证k=3,其中奇数项和偶数项通项各1分(3分)· 高三数学 第9页（共8页) 其他解法酌情给分 （3)am1-an-1=k×4-1, .a21=(an+1-a2-)+(a-1-am-3)++(a-a)+a =kx41+42++)+1=×2+1- k ……………10分 3 a=kx2ta=k×2-管2+1当-管2-1+等 …11分 k 片2-123 2202+1-k ,n≥2，neN,且a=1= 3×2212+1 k 3 k .a2m-1= 22-2+1- 3:neN, 不难知道an-1<amH,a2n<a2,故条件等价于a2-1<a2n<a2m1恒成立，…12分 由a<4得管21音夸2+1-管营0-22 3 :221-2)≥(2-2)=0>2，任意k>0均符合题意， …14分 3 3 由a1<a,得女×2+1-在 ×22m-1-1+ 3 +?,解得k> 3 33 22w-3+1 3 显然2+ }是递减数列，3 22m-3+1221-3+1 =2,k>2,…16分 综上所述，k的取值范围为(2，+∞). …17分 评分细则： 步骤一：求奇数项和偶数项通项(2分)： 步骤二&分别处理a<an1，a-1<am（4分)： 步骤三：结论(1分)： 其他解法酌情给分 高三数学第10页（共8页）