精品解析：广东省广州市广东实验中学2025-2026学年上学期九年级数学试卷

九年级数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（ ） A. B. C. 2 D. 不能确定 3. 对于抛物线y＝2（x﹣5）2＋3，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线x＝5 B. 函数的最大值是3 C. 开口向上，顶点坐标（5，3） D. 当x＞5时y随x增大而增大 4. 二次函数的图象与x轴的交点个数是（ ）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 5. 如图，是的直径，是弦，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的半径为，弦的长是，则圆心到弦的距离的长（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 2020年青山村种水稻平均每公顷产，2022年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（ ）． A B. C. D. 8. 如图，的三个顶点都在一圆上，将绕点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为．若，，则值是（ ）． A. 27 B. 31 C. 32 D. 37 9. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分函数图象如图所示，下列结论正确有（ ）个． ①； ②； ③方程的两个根是，； ④当时，随增大而减小． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点．…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m的值为（ ）． A. B. 3 C. D. 4 第二部分 非选择题（90分） 二、填空题（本题共16小题，每小题3分，满分18分．） 11. 点关于原点的对称点的坐标为______． 12. 若关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，则a= 13. 若抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式是_____． 14. 如图所示是一个长方形养鸡场的平面示意图，养鸡场的一边靠墙，另三边用长为35米的篱笆围成，所围的面积是150平方米，那么养鸡场的长和宽分别是多少？ （1）设养鸡场垂直于墙宽为米，则长为_______米． （2）可列出方程：____________． 15. 如图，四边形内接于，，连接、，则____． 16. 如图，边长为6的菱形中，，点P是边所在直线上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转，使得P点到达点N，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 18. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如图EM经过圆心交⊙O于点E，EM⊥CD，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半径． 19. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请结合所给的直角坐标系解答下列问题： （1）若△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 　； （2）作出△ABC关于原点O成中心对称的； （3）直接写出点的坐标为 　． 20. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 21. 已知抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）若，是抛物线上不同的两点，且，求的值． 22. 某商店销售一批玩具，平均每月可售出500个，每个盈利10元．经调查发现，每个玩具每涨价1元，月销售量就减少10个． （1）商店要使月销售利润达到8000元，每个玩具应涨价多少元？ （2）这次涨价活动中，8000元是最高月盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高盈利值． 23. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 24. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD． （1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求的值． 25. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设动点横坐标为，求的面积关于的函数关系式，并说明取何值时，的面积取到最大值； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图象上，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 2. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（ ） A. B. C. 2 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得或；且， ， 故选：C． 3. 对于抛物线y＝2（x﹣5）2＋3，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线x＝5 B. 函数的最大值是3 C. 开口向上，顶点坐标（5，3） D. 当x＞5时y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线即可得判断选项A、C、D，将化即可得判断选项B，即可得． 【详解】解：A、对称轴是直线，选项说法正确，不符合题意； B、，，抛物线开口向上，无最大值，选项说法错误，符合题意； C、，抛物线开口向上，顶点坐标（5，3），选项说法正确，不符合题意； D、时，y随x的增大而增大，选项说法正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 4. 二次函数的图象与x轴的交点个数是（ ）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的判别式即可解答． 【详解】解：令，则， ∴二次函数的图象与x轴的交点个数是2个， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程的判别式，解题的关键是把函数图象的交点问题转换成方程的解的问题． 5. 如图，是的直径，是弦，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理． 先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理即可得到． 【详解】解：连接． ∵是的直径，是弦，， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，的半径为，弦的长是，则圆心到弦的距离的长（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由垂径定理得，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示， 连接， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， 故选：． 【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 7. 2020年青山村种水稻平均每公顷产，2022年平均每公顷产，设水稻每公顷产量年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率方法．根据增长后的产量增长前的产量（增长率），设增长率是x，则2022年的产量是，据此即可列出方程． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x， 则2021年的产量为，2022年的产量为：， 由题意得． 故选：B． 8. 如图，的三个顶点都在一圆上，将绕点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为．若，，则值是（ ）． A. 27 B. 31 C. 32 D. 37 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、圆心角、弧、弦的关系、三角形内角和定理、等边对等角等知识点，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键． 如图：设圆的圆心为O，连接，由圆周角定理可得，即，进而得到，则，由旋转的性质得，进而得，再由三角形内角和定理求出，继而得，由此即可得出x的值． 【详解】解：如图：设圆的圆心为O，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴x的值为37． 故选：D． 9. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分函数图象如图所示，下列结论正确有（ ）个． ①； ②； ③方程的两个根是，； ④当时，随增大而减小． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，通过图象获取参数符号和判定式子的符号是解题的关键． 根据抛物线开口方向可知，根据对称轴可得可知b的正负、函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，进而判定①是否正确；根据抛物线与x轴的交点个数可以判定②是否正确；根据抛物线的对称性可以得到与x轴的另一个交点，从而判定③是否正确；根据图象可以判定④是否正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为，与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴，，即，， ∴，即①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，而点关于直线的对称点的坐标为， ∴方程的两个根是，，故③正确； ④根据抛物线图象可得，当时，随增大而减小，故④正确； 故正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 10. 如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点．…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m的值为（ ）． A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换，根据函数图象可以发现：整个函数图象，每隔个单位长度，函数值就相等，，得到m的值与时的函数值相同，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴整个函数图象，每隔个单位长度，函数值就相等， ∵， ∴m的值与时的函数值相同， ∵在上， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， 当时，； 故选A． 第二部分 非选择题（90分） 二、填空题（本题共16小题，每小题3分，满分18分．） 11. 点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，则a= 【答案】-1 【解析】 【分析】把x=3代入一元二次方程即可求出a． 【详解】解：∵关于x一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3， ∴9+3a-6=0， 解得a=-1． 故答案为：-1 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的意义，一元二次方程方程的解又叫一元二次方程的根，熟知一元二次方程根的意义是解题的关键． 13. 若抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是， 故答案为：． 14. 如图所示是一个长方形养鸡场的平面示意图，养鸡场的一边靠墙，另三边用长为35米的篱笆围成，所围的面积是150平方米，那么养鸡场的长和宽分别是多少？ （1）设养鸡场垂直于墙的宽为米，则长为_______米． （2）可列出方程：____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意、正确表示出长方形的长是解答的关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）根据长方形的面积公式列出一元二次方程即可． 【详解】解：（1）设养鸡场垂直于墙的宽为米， 则养鸡场的长为：米． 故答案为：． （2）∵所围的面积是150平方米， ∴． 故答案为：． 15. 如图，四边形内接于，，连接、，则____． 【答案】140 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：四边形内接于， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：140． 16. 如图，边长为6的菱形中，，点P是边所在直线上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转，使得P点到达点N，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为边向右侧作正，连结并延长，交直线于点H，先证明，可进一步证明，所以得到点N在直线上运动，因此当时，取最小值，再求出此时的长即可． 【详解】解：以为边向右侧作正，连结并延长，交直线于点H， ，， 四边形是菱形， ， ， 是正三角形， ，， ，， 线段绕点B顺时针旋转，使得P点到达点N， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点N在直线上运动， 当时，取最小值， ， ， ，， ， ， ， ， 是正三角形， ， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，图形旋转的性质，几何最值问题，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的方法． 通过对二次三项式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而求解． 【详解】解：， 因式分解得， 或， ，． 18. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如图EM经过圆心交⊙O于点E，EM⊥CD，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半径． 【答案】 【解析】 【分析】连接OC，根据垂径定理，得出CM＝DM＝2cm，在Rt△COM中，有OC2＝CM2＋OM2，进而可求得半径OC． 【详解】解：连接OC， ∵EM过圆心，EM⊥CD， ∴CM＝CD， ∵CD＝4cm， ∴CM＝2cm， 设圆的半径是xcm， 在Rt△COM中，OC2＝CM2+OM2， 即：x2＝22+（6﹣x）2， 解得：x＝， ∴圆的半径长是cm． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，得出CM=2cm，是解题的关键． 19. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请结合所给的直角坐标系解答下列问题： （1）若△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 　； （2）作出△ABC关于原点O成中心对称的； （3）直接写出点的坐标为 　． 【答案】（1）（0，1） （2）见解析 （3）（﹣3，﹣4） 【解析】 【分析】（1）对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可； （2）分别作出A，B，C三点关于原点的对称点，，，再顺次连接即可； （3）根据第（2）题的作图直接写出即可． 【小问1详解】 解：如图所示，旋转中心是点（0，1）， 故答案为：（0，1）； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：点的坐标为（﹣3，﹣4）， 故答案为：（﹣3，﹣4）． 【点睛】本题主要考查了找旋转中心，画关于原点对称的图形，求关于原点对称的点的坐标，熟知相关知识是解题的关键． 20. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值． 【小问1详解】 解：， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 21. 已知抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）若，是抛物线上不同的两点，且，求的值． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、确定二次函数函数的值确定取值范围、解一元二次方程的等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）将代入得到得到关于m的方程求解即可得到m的值；再将抛物线解析式化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）先分别求得抛物线在的最大值和最小值即可解答； （3）先求得，再根据得到关于t的方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得到可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为，， ∴当，y有最小值；当时，则； 当时，则； ∴y有最大值0， ∴． 【小问3详解】 解：∵，是抛物线上不同的两点， ∴， ∵， ∴， 解得：或． 22. 某商店销售一批玩具，平均每月可售出500个，每个盈利10元．经调查发现，每个玩具每涨价1元，月销售量就减少10个． （1）商店要使月销售利润达到8000元，每个玩具应涨价多少元？ （2）这次涨价活动中，8000元是最高月盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高盈利值． 【答案】（1）每个玩具应涨价10元或30元． （2）8000元不是最高月盈利，最高盈利为9000元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设每个玩具涨价x元，则每个玩具盈利为元，月销售量为个，再根据月销售利润公式建立方程求解即可； （2）先列出月盈利，再通过二次函数性质判断最大值，并计算最高盈利即可． 【小问1详解】 解：设每个玩具涨价x元，则每个玩具盈利为元，月销售量为个． 月销售利润为， 整理得：， 因式分解得， 解得或． 答：每个玩具应涨价10元或30元． 【小问2详解】 解：月盈利． ∵，对称轴为， ∴当时，二次函数有最大值，最大值为． ∴8000元不是最高月盈利，最高盈利为9000元． 23. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 【答案】建立模型：；应用模型：（1）不能，理由见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． 建立模型：将点，代入计算即可得； 应用模型：（1）令，则可得，利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得； （2）先求出，再根据当时，；当时，建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：建立模型：将点，代入得：， 解得， 所以与的函数解析式为． 应用模型：（1）令，则， 整理得：， 这个方程根的判别式为，方程没有实数根， 所以羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到． （2）∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ∴的值不变，即， ∴改变发球方式后，羽毛球飞行路线对应的抛物线为， ∵发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于， ∴当时，；当时，， ∴， 解得， 所以的取值范围为． 24. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD． （1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求的值． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和为180°，求出∠ABC的度数，即可求出答案； （2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°-α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可； （3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°-α=15°，求出即可． 【详解】（1）解：∵AB=AC，∠A=α， ∴∠ABC=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）=90°-α， ∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°， 即∠ABD=30°-α； （2）△ABE为等边三角形． 证明：如图，连接AD，CD，ED， ∵线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD， ∴BC=BD，∠DBC=60°． 又∵∠ABE=60°， ∴且△BCD为等边三角形． 在△ABD与△ACD中， ∵AB=AC，AD=AD，BD=CD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）． ∴． ∵∠BCE=150°， ∴． ∴． 在△ABD和△EBC中， ∵，，BC=BD， ∴△ABD≌△EBC（AAS）． ∴AB=BE． ∴△ABE为等边三角形． （3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°， ∴． 又∵∠DEC=45°， ∴△DCE为等腰直角三角形． ∴DC=CE=BC． ∵∠BCE=150°， ∴． 而． ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，其中，理解与掌握相关概念并能正确运用作辅助线构造全等三角形与等边三角形是解决本题的关键，本题综合性较强，对学生的能力要求较高． 25. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线函数表达式； （2）设动点的横坐标为，求的面积关于的函数关系式，并说明取何值时，的面积取到最大值； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图象上，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2），当时，的面积取得最大值 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）把点，，的坐标代入，解出，，，即可； （2）过点作轴，交于点，求出直线的解析式为，设点且，则点，表示出，由建立起关于的函数关系式，再由二次函数的性质求解最值问题； （3）当点绕点顺时针旋转得到点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，得到，，；设点，则，，得到点；当点绕点逆时针旋转得到点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，同理求出代入函数解析式，即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点作轴，交于点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴， 设点且， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∵， 即 ∴当时，的面积取得最大值； 【小问3详解】 解：情况1，如图：当点绕点顺时针旋转得到点，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点在直线：上， ∴设点， ∴，，，， ∴点， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：，， ∴点或； 情况2，如图：当点绕点逆时针旋转得到点，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点在直线：上， ∴设点， ∴，，，， ∴点， ∴， 解得：，， ∴点或； 综上所述，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $