精品解析：福建省莆田锦江中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年莆田锦江中学高二上数学期中考 一、单选题 1. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 外离 2. 直线，直线，若，则两直线距离为（ ） A. B. C. D. 3. 过点且方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的前项和，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是公比不为1的等比数列，，若成等差数列，则（   ） A. B. C. 4052 D. 6. 已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 生活中有各种不同的进制，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制．任何进制数均可转换为十进制数，例如八进制数转换为十进制数的算法为．若将三进制数转换为十进制数，则转换后的数是（ ） A. 856 B. 527 C. 728 D. 242 8. 过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 数列有最小项 C. 数列为递减数列 D. 10. 下列命题正确是（ ） A. 直线在轴和轴上的截距相等，则直线的斜率为 B. 直线过定点 C. 若，是方程的两个实根，则点在圆外 D. 若方程表示圆，则正数的取值范围是 11. 已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，成等比数列，则 C. 若，，数列中最小的项为 D. 若，，则 三、填空题 12. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为___________ 13. 已知等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为______． 14. 已知点，若直线上存在点M，使则实数k的取值范围是______. 四、解答题 15. （1）的三个顶点是，求边上的中线所在直线的方程； （2）三个顶点是，，，求边上的高所在直线的方程； （3）求经过点，且平行于过和两点的直线的直线方程． 16. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列前项和. 17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求过原点且与圆相切的直线方程. 18. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 19. 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设求数列的前项和. （3）若对于恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年莆田锦江中学高二上数学期中考 一、单选题 1. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】先分别找出两圆的圆心坐标和半径，再计算圆心距，最后根据比较结果得出两圆位置关系. 【详解】对于圆：方程为，其圆心，半径. 对于圆：方程为，其圆心，半径. 根据两点间距离公式，则圆心距. 两圆半径之和. 因为圆心距，恰好等于两圆半径之和. 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：B. 2. 直线，直线，若，则两直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系，求得，得到与的直线方程，结合两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】直线和，， 由，即，解得或， 当时，直线即，和， 此时与的距离为； 当时，和，此时与重合，不符合题意，舍去. 综上可得，当时，两平行线间的距离为. 故选：B. 3. 过点且方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 又因为直线过点，所以所求直线方程为，即. 故选：A. 4. 已知数列的前项和，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与之间的关系建立等式即可求解. 【详解】由可得：， 则，解得：. 故选：C. 5. 已知是公比不为1的等比数列，，若成等差数列，则（   ） A. B. C. 4052 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差中项的性质结合等比数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为成等差数列，所以， 即，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 6. 已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在圆外及方程表示圆，列出不等式求解. 【详解】由点在圆外，则，得． 又表示圆，得，得． 综上：，即实数的取值范围为． 故选：D 7. 生活中有各种不同的进制，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制．任何进制数均可转换为十进制数，例如八进制数转换为十进制数的算法为．若将三进制数转换为十进制数，则转换后的数是（ ） A. 856 B. 527 C. 728 D. 242 【答案】C 【解析】 【分析】利用进位制的转化结合等比数列的求和公式求得结果即可. 【详解】由题意可得将三进制数转换为十进制数， 则转换后的数为. 故选：C． 8. 过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程和曲线方程，判断面积最大时的情况，进而列出直线满足的条件，列出方程，求出参数即可. 【详解】由，则，，即， 所以曲线，是以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，如图. 可知，因为， 则当面积取最大值时，，即， 半圆的圆心为，半径，此时， 所以圆心到直线的距离为. 设直线的斜率为，则直线的方程为，， 圆心到直线的距离， 解得，因为，所以. 故选：C. 二、多选题 9. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 数列有最小项 C. 数列递减数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可求出等比数列的首项和公比，即可求出其通项公式以及前n项和公式，分别判断各选项，即可求得答案. 【详解】设正项等比数列公比为， 对于A，由题意得， 结合，解得或（舍去），故A正确； 对于B和C，，故数列为递减数列，无最小项，故B错误，C正确； 对于D，，则，故D正确， 故选：ACD． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 直线在轴和轴上的截距相等，则直线的斜率为 B. 直线过定点 C. 若，是方程的两个实根，则点在圆外 D. 若方程表示圆，则正数的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，验证直线满足条件，但斜率不为，即可判断，对于B，将直线方程化为，求直线与直线的交点，由此确定直线所过的定点，判断B，对于C，由根与系数关系可得，，结合关系证明，由此判断C，对于D，结合圆的方程的特征列不等式求正数的范围，判断D. 【详解】对于A，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以直线在轴和轴上的截距相等，但直线的斜率为，A错误， 对于B，方程可化为， 由可得， 所以直线过定点，B正确， 对于C，由，是方程的两个实根，可得，， 所以， 所以点在圆内，C错误， 对于D，方程表示圆，则，所以，又， 所以正数的取值范围是，D正确， 故选：BD 11. 已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B 若，成等比数列，则 C. 若，，数列中最小的项为 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列性质判断A，利用等比中项性质并结合题意建立方程求解参数判断B，利用等差数列前项和的性质判断C，逐步求出等差数列的前项，再求和判断D即可. 【详解】对于A，由等差数列性质得， 解得，故A正确； 对于B，因为，，成等比数列，所以， 可得， 解得或，故B错误； 对于C，由等差数列性质得，， 则，所以数列中最小的项为，故C正确； 对于D，因为为等差数列，且，， 所以，，则. 则 ，故D错误. 故选：AC 三、填空题 12. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据直线得出斜率进而得出倾斜角即可. 【详解】由可得直线的斜率为，则直线的倾斜角为． 故答案为：． 13. 已知等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为______． 【答案】49 【解析】 【分析】设公差为，利用等差数列项的基本量运算求得公差，求得其前n项和，利用二次函数的性质即得. 【详解】设公差为，因，，则， 即，解得， ， 当时，取得最大值，最大值为49． 故答案为：49. 14. 已知点，若直线上存在点M，使则实数k的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题干条件先求出点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上，再利用直线与圆的位置关系即可求得结果. 【详解】设点，由，则， 整理得，即点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上， 若直线上存在点M，使，则直线与圆有交点， 故圆心到直线的距离小于等于半径；即， 解得：或， 故答案为：或 四、解答题 15. （1）的三个顶点是，求边上的中线所在直线的方程； （2）的三个顶点是，，，求边上的高所在直线的方程； （3）求经过点，且平行于过和两点的直线的直线方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）求得的中点坐标，结合点坐标求得斜率，代入点斜式即可求得中线方程； （2）先求得的斜率，从而根据垂直关系求得高的斜率，代入点斜式直线方程求得高的方程； （3）先求得的斜率，从而根据平行关系求得直线的斜率，代入点斜式直线方程求解即可. 【详解】（1）的中点坐标为，又， 则边上的中线所在直线的方程为，即； （2）边的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边上的高所在直线的方程为，即； （3）过和两点直线斜率为， 则所求直线的斜率为， 又，所以所求直线的方程为即. 16. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项的基本量运算列方程组，求出，即得数列通项公式； （2）利用裂项相消法即可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由① 由， 即② 联立①②，解得， 则的通项公式为； 【小问2详解】 ， 则 . 17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求过原点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【小问1详解】 线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 18. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点、，根据中点坐标公式化简得出，代入等式化简可得出点的轨迹方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得答案. 【小问1详解】 设点、， 因为点是线段的中点，则，所以， 因为点在圆上，则，即， 化简得， 故点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 19. 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设求数列的前项和. （3）若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用及求出，再结合，是和等比中项可求出； （2）利用错位相减法即可求出； （3）由题可得对于恒成立，令，当时，， 当时，单调递减，又，从而可得. 【小问1详解】 由，，解得， 所以；则， 由是和等比中项，则，解得， 又由，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 则①， ②， 将两式相减得：， 化简得. 【小问3详解】 若对于恒成立， 即对于恒成立， 化简得对于恒成立，令， 则，当时，； 所以当时，， 所以当时，单调递减，当时，， 所以，所以. 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $