第四章 指数函数、对数函数与幂函数单元复习（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数单元复习 教学目标 1．掌握指数（根式、分数指数幂）和对数的运算性质，会进行指数、对数互化及换底，能熟练开展相关运算。 2．理解指数函数、对数函数、幂函数的概念，熟记其定义域、值域、单调性、定点等核心性质，能画出大致图象。 3．知晓指数函数与对数函数互为反函数，掌握二者图象关于直线y=x对称的性质，了解反函数的基本概念。 4．能运用指对幂函数的性质解决比较大小、简单求值等问题，初步掌握三类函数的应用方法。 教学重难点 重点：指数与对数的运算性质；指数函数、对数函数、幂函数的图象与核心性质；指数函数与对数函数的反函数关系。 难点：对数运算性质的灵活运用；指对幂函数性质的综合应用；反函数概念的理解及简单求法。 知识点01 指数运算 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1）； （2）当是奇数时,;当是偶数时, 温馨提示:中当为奇数时, 为偶数时,,而中. 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 4．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 5．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 【即学即练】 1．求值： . 2．若，，则 ． 知识点02 指数函数 1．指数函数的概念 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 2．指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 3．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 【即学即练】 1．函数的图象恒过定点 . 2．已知，则指数函数，，分别对应图中的哪个函数（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点03 对数的运算 1．对数的概念 一般地，如果且），那么数叫做以为底的，记作，其中叫做对数的，叫做． 常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 2．指数与对数的互化 当时，. 3．对数的性质 （1）；（2）；（3）和没有对数． 4．对数恒等式 （1） 且；（2）且 5．对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3） 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 6．对数换底公式 若，且，则(，且)． 由换底公式推导的重要结论 （1）（2）（3） 【即学即练】 1．计算，并写出必要的步骤： (1)． (2)． 2．已知，则可用表示为 ． 知识点04 对数函数 1．对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 2．对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 3．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 【即学即练】 1．关于的不等式的解集为 ． 2．函数的定义域是 ． 知识点05 反函数 1．反函数的概念 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的与，然后从中求出y得到． 2．反函数的性质 若函数的反函数记作，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的，的值域是的。 （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性。 3．求反函数的步骤 ①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的。 ②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的筛选，仅保留符合要求的一个。 ③得到反函数：将x与y的符号，得到，其定义域需依据原函数的确定，不可随意设定。 4．指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。 （2）图像对称：二者的图像关于直线对称。 【即学即练】 1．若函数与（且）互为反函数，且的图象过点，则 ． 2．函数的图象和函数的图象关于直线对称，则 . 知识点06 幂函数 1．幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是 2．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 【即学即练】 1．已知幂函数的图象与坐标轴没有交点，则 . 2．幂函数在上单调递减，则（    ） A．或 B． C． D．或 题型01 指数与对数混合运算 例1．（1）求值：； （2）化简：． 变式1-1．已知函数，则 变式1-2．（1）计算； （2）计算． 变式1-3．计算： (1) (2) 题型02 指数运算中的条件求值 例2．已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 变式2-1．已知正数x，y满足，则的最小值是 . 变式2-2．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 变式2-3．已知，求的值. 题型03 用已知对数表示其他对数 例3．已知，，则 （结果用、表示）. 变式3-1．若，则 .（用表示） 变式3-2．若，，则用、表示 . 变式3-3．已知，． (1)当，求的值； (2)当时，用，表示． 题型04 指数函数与对数函数定义 例4．若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 变式4-1．（多选题）（多选）下列函数表达式中，是对数函数的有 （    ） A． B． C． D． 变式4-2．若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 变式4-3．已知指数函数的图象经过，试求和的值． 题型05 指数函数的图象与性质 例5．已知函数，则“”是“的图象不经过第二象限”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式5-1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 变式5-2．已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知，且，函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A．（0，1） B． C． D． 题型06 对数函数的图象与性质 例6．已知函数在上为严格减函数，则实数的取值范围为 . 变式6-1．已知，则函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围是 . 题型07 幂函数的图象与性质 例7．幂函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 变式7-1．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 变式7-2．如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 变式7-3．已知幂函数为偶函数. (1)求的值及写出单调区间； (2)若，求实数的取值范围. 题型08 指数函数与对数函数过定点 例8．已知，且，函数的图象恒过点P，若P在指数函数图象上，则 . 变式8-1．函数且的图象过定点（    ） A． B． C． D． 变式8-2．已知函数的图象过定点，正实数，满足，则的最小值为 . 变式8-3．已知函数且的图象过定点，若且，，则的最小值为 . 题型09 指数函数与对数函数定义域 例9．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式9-1．函数的定义域为 ． 变式9-2．函数的定义域为 ． 题型10 指数函数与对数函数的值域 例10．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式10-1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式10-2．函数的最小值为 . 变式10-3．已知函数的值域为，则的取值范围是 . 题型11 利用单调性解指/对不等式 例11．设，，则（    ） A．是的充分条件但不是必要条件 B．是的必要条件但不是充分条件 C．是的充要条件 D．既不是的充分条件也不是的必要条件 变式11-1．若定义域为的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集 . 变式11-2．不等式的解集为 . 变式11-3．不等式的解集是 ． 题型12 指对幂比较大小问题 例12．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 变式12-1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 变式12-2．已知则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 变式12-3．若，，，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型13 反函数 例13．证明函数（，且）的反函数是该函数自身． 变式13-1．下列函数中，其图象通过平移或翻折后不能与函数的图象重合的是（    ） A． B． C． D． 变式13-2．若指数函数的反函数过，则 ． 变式13-3．已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则（    ） A． B． C． D． 题型14 指对数函数模型 例14．某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（   ） A．12年 B．13年 C．14年 D．15年 变式14-1．美国生物学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为2米，要让该植物的高度超过3.8米，至少需要（   ）年． A．2 B．3 C．4 D．5 变式14-2．在极端刺激下，物理刺激强度与人类心理感受之间的关系近似满足史蒂文斯幂定律：，其中为非零常数，为幂常数，为主观感觉强度，为物理刺激强度，.现有如下RPE（主观感觉强度）表： 强度 自我感觉 6－8 9－11 12－14 15－17 18－20 已知在临床条件下，在RPE（多选）强度为时得到的实际物理刺激强度为，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 变式14-3．某农场有土地800亩，平均每亩每年产出粮食12吨.为了优化种植结构，决定调整出亩土地种植经济作物，调整后的土地每亩每年产出粮食吨，剩下的土地每亩每年产出粮食可以提高. (1)若调整出的土地为200亩，此时要使调整出的土地的年总粮食产量等于剩余土地的年总粮食产量，求的值. (2)设剩余土地产出的年总粮食为，请写出与的函数表达式.若要保证剩余土地产出的年总粮食不低于原来800亩土地产出的年总粮食，则最多可调整出多少亩土地种植经济作物？ (3)在（2）的条件下，调整出的土地年总粮食产量始终不高于剩余土地的年总粮食产量，求的最大值. 15 恒成立问题 例15．若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式15-1．已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式15-2．已知函数. (1)证明：函数的图象关于对称； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 变式15-3．已知定义域为的函数是奇函数； (1)求的解析式，并写出的单调性（无需证明单调性）； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 16 零点问题 例16．已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式16-1．函数的零点为 . 变式16-2．已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是 ． 变式16-3．已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是 ． 一、单选题 1．若，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 3．已知是常数，幂函数在上单调递减，则（   ） A． B． C．2 D．4 4．已知集合，函数，则的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知，函数过点、.若，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．已知函数，且，其中，则下列结论错误的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数是奇函数 C． D． 二、多选题 7．已知函数，则（   ） A．的图象过点 B．在上单调递增 C．为非奇非偶函数 D．函数的最小值是0 8．年8月日，我国新疆、西藏等地发生多次至级地震，一般来说，震级在3级以上时，我们称该地震为有感地震（即人们能感觉到此次地震）.里氏震级R与地震释放能量E的关系为.已知6级地震释放的能量为，则下列说法正确的是（   ） A．震级越大，地震释放的能量越大 B． C．8级地震释放的能量为6级地震释放能量的1000倍 D．某次地震释放的能量为，则该地震为有感地震 9．已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知均为正实数，若，则的值为 . 11．已知定义在上的幂函数，则 ， . 12．已知函数，当时，函数的值域为 .若函数有三个不同零点，则的取值范围是 . 四、解答题 13．已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； 14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)若，解关于的不等式． 15．（1）设，求在上的最小值，并求此时的值. （2）已知函数，，当，求的最值及对应的的值. 16．已知幂函数． (1)求的解析式； (2)①若图像不经过坐标原点，写出函数在哪个区间上是严格增函数，哪个区间上是严格减函数； ②若图像经过坐标原点，解不等式． 17．已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数单元复习 教学目标 1．掌握指数（根式、分数指数幂）和对数的运算性质，会进行指数、对数互化及换底，能熟练开展相关运算。 2．理解指数函数、对数函数、幂函数的概念，熟记其定义域、值域、单调性、定点等核心性质，能画出大致图象。 3．知晓指数函数与对数函数互为反函数，掌握二者图象关于直线y=x对称的性质，了解反函数的基本概念。 4．能运用指对幂函数的性质解决比较大小、简单求值等问题，初步掌握三类函数的应用方法。 教学重难点 重点：指数与对数的运算性质；指数函数、对数函数、幂函数的图象与核心性质；指数函数与对数函数的反函数关系。 难点：对数运算性质的灵活运用；指对幂函数性质的综合应用；反函数概念的理解及简单求法。 知识点01 指数运算 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1）； （2）当是奇数时,;当是偶数时, 温馨提示:中当为奇数时, 为偶数时,,而中. 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 4．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 5．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 【即学即练】 1．求值： . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 2．若，，则 ． 【答案】 【详解】由题意得， 因为，，所以，可得. 故答案为： 知识点02 指数函数 1．指数函数的概念 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 2．指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 3．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 【即学即练】 1．函数的图象恒过定点 . 【答案】 【详解】对于函数， 令，得， 所以函数图象恒过定点. 故答案为： 2．已知，则指数函数，，分别对应图中的哪个函数（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】如下图：    作直线，得直线与指数函数的交点，根据交点的纵坐标，及， 可知对应，对应，对应. 故选：B 知识点03 对数的运算 1．对数的概念 一般地，如果且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 2．指数与对数的互化 当时，. 3．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 4．对数恒等式 （1） 且；（2）且 5．对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3） 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 6．对数换底公式 若，且，则(，且)． 由换底公式推导的重要结论 （1）（2）（3） 【即学即练】 1．计算，并写出必要的步骤： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）根据指数幂的运算法则，可得． （2）由对数的运算性质，可得. 2．已知，则可用表示为 ． 【答案】 【详解】因为， 故答案为：. 知识点04 对数函数 1．对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 2．对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 3．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 【即学即练】 1．关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由得，且， 解得， 所以不等式的解集为 故答案为：． 2．函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】依题意得，即，解得或， 所以函数的定义域为， 故答案为： 知识点05 反函数 1．反函数的概念 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的x与y，然后从中求出y得到． 2．反函数的性质 若函数的反函数记作，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的值域，的值域是的定义域。 （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。 3．求反函数的步骤 ①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。 ②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。 ③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。 4．指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。 （2）图像对称：二者的图像关于直线对称。 【即学即练】 1．若函数与（且）互为反函数，且的图象过点，则 ． 【答案】 【详解】因为函数的图象过点，可得，解得，即， 又因为函数与互为反函数，可得， 所以. 故答案为：. 2．函数的图象和函数的图象关于直线对称，则 . 【答案】 【详解】设在图象上，则点关于直线对称点在图象上， 则，即，所以. 故答案为：． 知识点06 幂函数 1．幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 2．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 【即学即练】 1．已知幂函数的图象与坐标轴没有交点，则 . 【答案】 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时与轴、轴均有交点，故不符合题意； 当时，定义域为，与轴没有交点， 又恒成立，所以恒成立，所以与轴没有交点，符合题意. 所以. 故答案为： 2．幂函数在上单调递减，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】由题意可知，解得， 故选：B. 题型01 指数与对数混合运算 例1．（1）求值：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】 【详解】（1）． （2）因为，所以； 变式1-1．已知函数，则 【答案】/ 【详解】因为， ， 所以. 故答案为： 变式1-2．（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）；（2）5 【分析】 【详解】（1） （2） 变式1-3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】 【详解】（1）原式 （2）原式 题型02 指数运算中的条件求值 例2．已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 变式2-1．已知正数x，y满足，则的最小值是 . 【答案】 【详解】由可得：， 即， 即， 所以， 当且仅当，取等号， 所以的最小值是， 故答案为： 变式2-2．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以，得； （2）因为， 所以，则； （3）因为， 所以， 则 变式2-3．已知，求的值. 【答案】 【详解】由，得， 所以. 题型03 用已知对数表示其他对数 例3．已知，，则 （结果用、表示）. 【答案】 【详解】由，得，又， 由换底公式得，. 故答案为：. 变式3-1．若，则 .（用表示） 【答案】 【详解】因，则. 故答案为： 变式3-2．若，，则用、表示 . 【答案】 【详解】因为，，则， 所以， . 故答案为：. 变式3-3．已知，． (1)当，求的值； (2)当时，用，表示． 【答案】(1); (2). 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以，，且 又因为，所以， 则解得：或（舍去） 故当时， ； （2）由，可得，, 而. 题型04 指数函数与对数函数定义 例4．若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 变式4-1．（多选题）（多选）下列函数表达式中，是对数函数的有 （    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】根据对数函数的定义知，，是对数函数，故AB正确； 而，不符合对数函数的定义，故CD错误. 故选：AB 变式4-2．若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】设对数函数为（且）， 代入点可得，则，解得， 所以， 代入点可得，则， 可得，所以. 故选：C. 变式4-3．已知指数函数的图象经过，试求和的值． 【答案】，． 【详解】设函数（且），则，可得，故. 因此，，． 题型05 指数函数的图象与性质 例5．已知函数，则“”是“的图象不经过第二象限”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由于函数的图象不经过第二象限， 所以，， 反之，在且时，或， 所以“”是“的图象不经过第二象限”的必要不充分条件． 故选：B． 变式5-1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D 变式5-2．已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的图象无限接近于直线，但不与该直线相交可得， 又因函数的图象过原点，则，故. 故选：C. 变式5-3．已知，且，函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】B 【详解】若分段函数在上单调递减，则 故的取值范围为. 故选：B. 题型06 对数函数的图象与性质 例6．已知函数在上为严格减函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】令，函数在上单调递增， 而函数在上为严格减函数， 则，，且在上单调递减， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 变式6-1．已知，则函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】∵， ∴， 又，定义域为，A选项错误； ∴函数与的单调性相同，结合各选项可得B，D符合题意，C不符合题意． 故选：BD 变式6-2．若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】的图象经过第二、三、四象限， 故单调递减，且，解得， 根据复合函数单调性可知，单调递减，故. 故选：BD 变式6-3．已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知，对任意恒成立， 则对任意恒成立， 因为在上单调递减，则，故， 故，即； 因为函数在上单调递增，且在上单调递减， 则在上单调递减， 则，即， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为： 题型07 幂函数的图象与性质 例7．幂函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以为偶函数，图象关于轴对称； 又，所以在上单调递减. 故选：C 变式7-1．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】BCD 【详解】由题可知，的定义域为，的定义域为， 对于AC选项，，函数的定义域为， 因为，函数为偶函数， 函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误，C正确； 对于BD选项，；定义域为， ， 函数为奇函数， 因为函数、在上也为增函数， 所以函数在上也为增函数，故B正确，D正确. 故选：BCD. 变式7-2．如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据幂函数在第一象限的图象，知： 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向上靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右更靠近轴，符合的图象， 所以曲线对应的值依次是. 故选：B. 变式7-3．已知幂函数为偶函数. (1)求的值及写出单调区间； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；单调增区间为，单调减区间为； (2) 【分析】 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或. 当时，，， 为奇函数，不合题意； 当时，，，为偶函数，符合题意. 故，的定义域为，单调增区间为，单调减区间为； （2）不等式可转化为， 所以或， 结合定义域可知且，即且， 综上所述：的取值范围为. 题型08 指数函数与对数函数过定点 例8．已知，且，函数的图象恒过点P，若P在指数函数图象上，则 . 【答案】8 【详解】函数，当，即时，恒有，则点， 设，由，得，， 所以. 故答案为：8 变式8-1．函数且的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，此时 故函数且的图象过定点， 故选： 变式8-2．已知函数的图象过定点，正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】12 【详解】当时， 所以函数的图象过定点， 所以，，即， 所以， 当且仅当，时等号成立. 故答案为：12 变式8-3．已知函数且的图象过定点，若且，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】令，得，所以， 所以，， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型09 指数函数与对数函数定义域 例9．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 变式9-1．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】函数的意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 变式9-2．函数的定义域为 ． 【答案】且 【详解】结合具体函数的定义域、对数型复合函数的定义域求法列出不等式求解即可. 【分析】 【详解】因为的定义域为，所以恒成立， 则，解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 题型10 指数函数与对数函数的值域 例10．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时，，， 设的值域为， 若函数的值域为，则当时，， 令，设的值域为，则当时，， 当时，，不符合题意， 当时，是开口向下的抛物线，有最大值，不符合题意， 当时，是开口向上的抛物线，对称轴， 所以，只需，解得， 综上实数的取值范围是， 故选：B 变式10-1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，则原函数可化为， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为； 故选：C. 变式10-2．函数的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由题设，且， 令，则， 当，即时，. 故答案为： 变式10-3．已知函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为时，，所以， 又的值域为，所以时，的值域至少要取到， 则. 故答案为：. 题型11 利用单调性解指/对不等式 例11．设，，则（    ） A．是的充分条件但不是必要条件 B．是的必要条件但不是充分条件 C．是的充要条件 D．既不是的充分条件也不是的必要条件 【答案】B 【详解】：由，可得，即， ：由，可得，得，故， 故是的必要条件但不是充分条件. 故选：B 变式11-1．若定义域为的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集 . 【答案】 【详解】因为函数为偶函数，且在上是增函数，则函数在上单调递减， 所以， 所以的解集为， 所以当时，或， 所以或，即不等式的解集为. 故答案为： 变式11-2．不等式的解集为 . 【答案】 【详解】不等式，即， 因为在定义域上单调递增， 所以不等式等价于，即， 因为恒成立， 所以不等式的解集为，即不等式的解集为. 故答案为： 变式11-3．不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】在上单调递减，， ，解得， 所以不等式的解集是． 故答案为：． 题型12 指对幂比较大小问题 例12．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，. 因为，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴，即. 故选：A. 变式12-1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， 又， ． 故选：A． 变式12-2．已知则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 又因为， ， 所以. 故选：D 变式12-3．若，，，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，即； ，即； ，即， 所以. 故选：D 题型13 反函数 例13．证明函数（，且）的反函数是该函数自身． 【答案】证明见解析 【详解】由（，且）得，即， 则函数（，且）的反函数为（，且），即 变式13-1．下列函数中，其图象通过平移或翻折后不能与函数的图象重合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为与互为反函数，图象关于对称，所以A不符合题意； 对于B，因为与关于轴对称，所以B不符合题意； 对于C，因为，其图象不能由函数的图象变换得到，所以C正确， 对于D，因为， 其图象只需将函数的图象向上平移一个单位，即可得到，所以D不符合题意； 故选：C. 变式13-2．若指数函数的反函数过，则 ． 【答案】2 【详解】由题意得过点，即， 又且，解得. 故答案为：2 变式13-3．已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于选项A：设函数与和的图象在第一象限的交点分别为C，D， 则，， 又因为函数的图象关于直线对称，函数和的图象关于直线对称， 可知点，D两点关于对称，则，， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，且，则， 取倒数有，即，故B错误； 对于选项C：由得，当且仅当时取等号， 由图象可知，，等号不成立，所以，故C正确； 对于选项D：因为，则， 可得， 令，可知在区间上单调递减， 所以，故D正确； 故选：ACD. 题型14 指对数函数模型 例14．某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（   ） A．12年 B．13年 C．14年 D．15年 【答案】C 【详解】由题意可知，代入公式可得， 所以所以，所以至少需要14年， 故选：C 变式14-1．美国生物学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为2米，要让该植物的高度超过3.8米，至少需要（   ）年． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】依题意可得，则，解得， ∴， 因为在定义域上单调递减，且，又在上单调递减， 所以在上单调递增，而， 即， ∴该植物的高度超过3.8米，至少需要4年. 故选：C. 变式14-2．在极端刺激下，物理刺激强度与人类心理感受之间的关系近似满足史蒂文斯幂定律：，其中为非零常数，为幂常数，为主观感觉强度，为物理刺激强度，.现有如下RPE（主观感觉强度）表： 强度 自我感觉 6－8 9－11 12－14 15－17 18－20 已知在临床条件下，在RPE（多选）强度为时得到的实际物理刺激强度为，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【详解】对于A选项，，则，由可知，故A正确； 对于B选项，注意到，，故，即，故B正确； 对于C选项，，则，当，，时，，可得，故C错误； 对于D选项，，则，可得，故D正确. 故选:ABD. 变式14-3．某农场有土地800亩，平均每亩每年产出粮食12吨.为了优化种植结构，决定调整出亩土地种植经济作物，调整后的土地每亩每年产出粮食吨，剩下的土地每亩每年产出粮食可以提高. (1)若调整出的土地为200亩，此时要使调整出的土地的年总粮食产量等于剩余土地的年总粮食产量，求的值. (2)设剩余土地产出的年总粮食为，请写出与的函数表达式.若要保证剩余土地产出的年总粮食不低于原来800亩土地产出的年总粮食，则最多可调整出多少亩土地种植经济作物？ (3)在（2）的条件下，调整出的土地年总粮食产量始终不高于剩余土地的年总粮食产量，求的最大值. 【答案】(1) (2)，400亩 (3)4 【分析】 【详解】（1）时，调整出的土地产出的年总粮食有吨，剩余土地产出的年总粮食有吨， 则有，解得 （2）剩余土地面积为亩，剩余土地每亩产出的粮食为吨， 因此剩余土地产出的年总粮食， 原来800亩土地产出的年总粮食为9600吨，根据题意，， 即：， 故最多可调整出400亩土地种植经济作物； （3）根据题意， 有对恒成立. 则， 所以，对恒成立， 设，在单调递减， 所以当时，有最小值， 所以的最大值为4. 15 恒成立问题 例15．若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，， 可转化为， 又开口向上，且对称轴为， 在上单调递增，， 函数在上恒成立，即在上恒成立， 也就是，，解得. 实数的取值范围为. 故选：C. 变式15-1．已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数与均是增函数， 所以，函数是上的增函数只需满足，即，解得， 由得，即恒成立， 所以，当时，函数取得最大值，所以，，即， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 变式15-2．已知函数. (1)证明：函数的图象关于对称； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）的定义域为，， 所以， 所以函数的对称中心为； （2）由（1）可得， 则由可得， 由复合函数单调性可得，函数在上单调递增， 所以，即，即， 又在上单调递减，所以. 变式15-3．已知定义域为的函数是奇函数； (1)求的解析式，并写出的单调性（无需证明单调性）； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，在上为减函数，理由见解析， (2). 【分析】 【详解】（1）由定义域为的函数是奇函数， 可得，即，可得， 所以， 又，故为奇函数， 所以 设且， 则， 由，可得，所以， 即，则在上为减函数； （2）由于恒成立 故恒成立， 由在上为减函数，得恒成立， 由 ， 当即时，取得最大值， 所以，解得. 即的取值范围是. 16 零点问题 例16．已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数有且仅有2个零点，则与有2个交点， 当时，单调递增，； 当时，在]上单调递减，在上单调递增， 且，最小值为， 可得函数的图象，如图所示：    利用的图象知的取值范围是. 故选：B. 变式16-1．函数的零点为 . 【答案】2 【详解】要使函数有意义，则， 所以该函数的定义域为. 因为，令， 则，所以， 化简得，所以或（舍去）. 所以该函数的零点为2. 故答案为：2 变式16-2．已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由得，函数图象如下图所示， 恰有3个零点，即有3个解， 由图象可知， 不妨设，则，且，化简得， 所以， 故答案为：. 变式16-3．已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】或， 【详解】由于为单调递增函数，且时，， 当时，，当时，， 作出的图像如下所示： 故只有一个交点，则直线与函数的图像只有一个交点， 故或， 故答案为：或， 一、单选题 1．若，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由在上单调递减可知，，即 由在上单调递增可知，，即， 综上所述，. 故选：C. 2．设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，则. 故选：B. 3．已知是常数，幂函数在上单调递减，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】由幂函数的定义可知，，解得， 所以，或， 由幂函数在上单调递减，可得， 则，所以. 故选:A. 4．已知集合，函数，则的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由题意，，则；，有， 所以. 故选：B． 5．已知，函数过点、.若，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】函数经过点、， 则，，解得，， 所以，又， 所以，因为，所以、， 所以，又因为，解得． 故选：B 6．已知函数，且，其中，则下列结论错误的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数是奇函数 C． D． 【答案】C 【详解】因为函数，所以满足，即，解得， 即的定义域为，故A正确； 因为， 所以函数是奇函数，故B正确； 由， ， 得，，所以，故C错误，D正确. 故选：C. 二、多选题 7．已知函数，则（   ） A．的图象过点 B．在上单调递增 C．为非奇非偶函数 D．函数的最小值是0 【答案】ABD 【详解】A：，故的图象过定点，故A正确； B：在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递增，故B正确； C：，定义域为，故为奇函数，故C错误； D：，令， 由B知：在上单调递增，故， 所以，函数的最小值是，故D正确． 故选：ABD 8．年8月日，我国新疆、西藏等地发生多次至级地震，一般来说，震级在3级以上时，我们称该地震为有感地震（即人们能感觉到此次地震）.里氏震级R与地震释放能量E的关系为.已知6级地震释放的能量为，则下列说法正确的是（   ） A．震级越大，地震释放的能量越大 B． C．8级地震释放的能量为6级地震释放能量的1000倍 D．某次地震释放的能量为，则该地震为有感地震 【答案】ACD 【详解】由6级地震释放的能量为，所以，解得，所以B错误； ，根据指数函数的性质，R越大，则E就越大，所以A正确； 当R=8时，，当R=6时，，所以.所以C正确； 当时，，地震释放的能量为， 则该地震超过了3级，所以有震感，所以D正确. 故选：ACD. 9．已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：ABC 三、填空题 10．已知均为正实数，若，则的值为 . 【答案】1 【详解】对同取对数可得， 结合换底公式可得， 即， ， 故. 故答案为：1 11．已知定义在上的幂函数，则 ， . 【答案】 2 4 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或. 因为的定义域为， 当时，，定义域为，不符合题意； 当时，，定义域为，符合题意， 所以，此时，则. 故答案为：2；4 12．已知函数，当时，函数的值域为 .若函数有三个不同零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，函数， 当时，可得，可得； 当时，可得，可得， 所以函数的值域为； 因为函数有三个不同零点，即有三个实数根， 当时，由，可得，解得， 若在上存在零点，则满足，解得； 当时，由，可得， 若方程在上两个实数根，设两根分别为， 则满足 解得， 综上可得，若函数有三个不同零点，实数的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题 13．已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为是奇函数，所以，是偶函数，所以， 由，可得， 联立得，解得. （2）由（1）得，所以， 因为，且， 所以，解得， 则. 14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 因函数是定义在上的奇函数，则； 且. 故的函数解析式为. （2）因为函数是奇函数，由 得，即. 由（1）得时，函数是增函数，且函数是奇函数，, 为上的增函数，可得， 即，也即， 因为， 则当或时，，原不等式的解集为或；. 当时，，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 15．（1）设，求在上的最小值，并求此时的值. （2）已知函数，，当，求的最值及对应的的值. 【答案】（1）；； （2），；，. 【详解】（1）设，因为在R上单调递增，在R上单调递减， 所以在上单调递增，所以. 又，所以， 是一个开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时， 而当时，得，解得或（舍去）， 再由，得. 故时，. （2）由，得，. 设，，所以在单调递增，所以. 所以，是一个开口向上的抛物线 所以在上单调递减，在上单调递增. 当，即，得时，； 当，即时，. 故时，，时，. 16．已知幂函数． (1)求的解析式； (2)①若图像不经过坐标原点，写出函数在哪个区间上是严格增函数，哪个区间上是严格减函数； ②若图像经过坐标原点，解不等式． 【答案】(1)或 (2)①的单调递减区间为，无递增区间；② 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或2， 故或. （2）由题意得或， ①若图像不经过坐标原点，则， 所以的严格单调递减区间为，无严格递增区间； ②若图像经过坐标原点，则， 由可得，解得， 所以原不等式的解集为. 17．已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为为奇函数，所以符合题意； （2）当时，，则存在，使得成立， 即，所以在上有解， 令，因为，所以，则有解， 故实数t的取值范围为函数的值域， 又，因为，所以， 所以，故实数t的取值范围为； （3）由题，， 令，显然在上单调递增，则， 则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $