精品解析：广东省广州市第六中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

广州市第六中学2024级高二上学期数学期中考试 命题人、审题人：亢鸿玮、陈彦婷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与向量共线的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用空间向量共线的性质判断即可. 【详解】因为不存在实数使得 ，，， 所以，，都不与共线， 因为， 所以与向量共线的向量是， 故选：D. 2. 已知直线的斜率为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与垂直，可得直线的斜率为，再通过两点间的斜率公式列方程求出m即可. 【详解】由于直线的斜率为，且直线与垂直， 所以直线的斜率为， 所以，解得. 故选：D. 3. 在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解即可. 【详解】因为四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点， 所以 因为，所以，故． 故选：A 4. “”是“圆（）与圆有两条公切线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件确定出两圆的位置关系，从而求解出的取值范围，再根据的取值范围之间的推出关系，可判断出结果. 【详解】圆，圆心，半径为， 若有两条公切线，则相交， 所以，所以； 因为可以推出，但不能推出， 所以“”是“圆（）与圆有两条公切线”的必要不充分条件， 故选：B. 5. 如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量为， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量为， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 6. 已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，或，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线l的斜率为，直线l的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线l经过点，且与线段没有公共点， 所以，或， 即或， 因为，所以， 故直线l的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 7. 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据式子，即可求出的长为. 【详解】因为，所以， 因为二面角为，所以，即， 所以 ， 所以，即的长为. 故选：C. 8. 已知椭圆的焦点为，，P是椭圆C上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形的面积公式可得，再由正弦定理可得，再根据，可求椭圆的离心率. 【详解】设，，则，即，① 在中，， 由余弦定理可得：， 即，② ①②得：， 所以， 又， 又， 因为，则，即， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线AB的斜率是 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A应用斜率公式计算即可；选项B，先求得点关于轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C，求得反射光线所在直线的方程，进而求得点的坐标；选项D应用两点间距离公式求解即可. 【详解】对于A，由于、，由斜率公式得：，选项A正确； 对于B，点关于轴的对称点的坐标为，经x轴反射后直线的斜率为： ，且，所以，选项B正确； 对于C，直线即直线的方程为：，即， 将代入得：，所以点，，选项C不正确； 对于D，由两点间距离公式得：，选项D正确； 故选：ABD. 10. 已知双曲线的离心率为，分别是左、右焦点，是该双曲线右支上一点，点满足，则下列结论正确的为（ ） A. 双曲线的实轴长为 B. C. 的面积为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：根据离心率和可求出，则实轴长可知；B：根据向量关系判断出的位置，结合双曲线定义可求；C：根据双曲线定义以及勾股定理可求，则的面积可求；D：根据可求结果. 【详解】因为，解得，所以实轴长为，故A正确； 因为，所以为的中点且， 又因为为的中点，所以， 所以，故B错误； 因为，可得， 所以，故C正确； 因为， 所以，故D正确； 故选：ACD. 11. 如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），下列说法中正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 设与所成的角为，则的最小值为 C. 若是棱的中点，则过点的平面截正方体所得截面的周长为 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：根据结合体积计算公式作出判断；B：利用向量法求解出的最大值，则结果可知；C：作出截面，根据几何关系计算出截面多边形的周长即可判断；D：设的外接圆圆心和四面体的外接球的球心，根据位置关系结合勾股定理建立外接球的半径与长度的方程组，由此可求解出结果. 【详解】对于A：，由条件可知为定值， 因为平面，平面，所以平面， 所以到平面的距离也为定值，所以三棱锥的体积为定值，故正确； 对于B：建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 所以， 所以，当时取等号， 所以的最大值为，所以的最小值为，故错误； 对于C：延长交于点，连接交于点，连接， 由题意可知，过点的平面截正方体所得截面为四边形， 因为平面平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 因为，所以， 所以为中点且，即为中点， 因为，为中点，所以为中点， 由为中点以及为中点，可知， 因为，所以， 所以截面四边形的周长为，故正确； 对于D：如图所示，连接，取的中点，连接， 设的外接圆圆心为，四面体的外接球的球心为，连接， 在中，设其外接圆的半径为，由正弦定理可知， 所以，即， 因为，所以与全等，所以， 因为同对弦，所以四点共圆，所以， 设外接球的半径为，过作交于， 由正方体的性质可知，平面，而平面，所以， 又因为平面，所以， 所以四边形是矩形，所以， 在中，，即①， 在中，，即②， 联立①②，解得，所以外接球的表面积为，故正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的渐近线方程为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】把方程化为双曲线的标准方程，依据双曲线的渐近线方程的求法，可得答案. 【详解】因为为双曲线，所以 ， 所以方程可化为：， 这是双曲线的标准方程，其中 ，， 依据双曲线的渐近线方程为 ， 可得：. 故答案为： 13. 过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】圆的圆心为，结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】设圆的圆心为，半径为1， 由切线长定理可得， 又因为，，则，所以， 所以，则四边形面积为， 所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 14. 在棱长为6的正方体中，点是线段的中点，是正方形（包括边界）上运动，且满足，则点的轨迹周长为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意易知，由此可得，在平面上，建立平面直角坐标系，可知点的轨迹为圆与四边形的交点，由弧长公式可求解. 【详解】如图，在棱长为6的正方体中， 则平面，平面， 又，在平面上，，， 又，， ，即， 如图，在平面中，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，， 由，知， 化简整理得，，圆心，半径的圆， 所以点的轨迹为圆与四边形的交点，即为图中的 其中，，，则 由弧长公式知 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，角、、的对边分别为、、，若且. （1）求角、、的大小； （2）设函数，求函数的单调递减区间，并指出它相邻两对称轴的距离． 【答案】（1）， （2）单调递减区间为，相邻两对称轴间的距离为 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角函数恒等变换求得，再结合即可求得角、、的大小； （2）代入角、、的值，并结合一般三角函数的单调性结论及对称轴结论即可求解． 【小问1详解】 由题设及正弦定理知，化简得， 或，即或， 当时，有，因为不为0， 则，得，； 当时，有，不符题设， ，． 【小问2详解】 由（1）及题设知， 当时，为减函数， 即的单调递减区间为， 它的相邻两对称轴间的距离为． 16. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． （1）求的标准方程； （2）若的斜率为，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出、、的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，由求出的取值范围，列出韦达定理，由题意得出，结合平面向量数量积的坐标运算与韦达定理可求出的值. 【小问1详解】 由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设点、，由题意可知直线的方程为， 联立可得， ，解得， 由韦达定理可得，， 因为，所以 ，解得，合乎题意. 综上所述，. 17. 为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分分）选取名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示： （1）为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于的概率； （2）现有体育成绩在分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有、、、共四个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为，另一科成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加.若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得、、、四个等级的概率分别是、、、；乙在每科笔试中取得、、、四个等级的概率分别是、、、，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由频率之和为求出的值，然后应用分层抽样得出人数，再应用古典概型直接求解或应用间接法结合对立事件概率公式计算求解； （2）应用互斥事件概率及独立事件概率乘积公式计算求解. 【小问1详解】 由题意得，，解得. 从得分在内的学生中抽取人， 人中成绩不低于分的人数为人，记为、、， 成绩低于分的人数为，记为、， 从人中抽取两人进行测试， 样本空间为， 则， 记“至少有一人得分不低于分”为事件， 则， 即， 因此. 【小问2详解】 记甲能参加国庆营的概率为，乙能参加国庆营的概率为， 由题意可得，， 由于考试互不影响，所以甲、乙能否参加国庆营相互独立， 则甲、乙能同时参加国庆营的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）设. ①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. ②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：在四棱锥中，平面平面，， 平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）①或；②不存在点，理由：如图，假设在线段上存在点，使得点，，在以为球心的球上， 由，得，所以， 所以， 又得，，所以，， 由得，即， 亦即（*）， 因为，所以方程（*）无实数解， 所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证得结论； （2）①依题意建立适当空间直角坐标系，设，利用题设条件，分别求得相关点和向量的坐标，利用空间向量坐标的夹角公式列出方程，求解即得的值； ②假设存在点，可由推得，得点坐标，由得方程，因此方程无实数解，假设不成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴， 建立如图所示直角空间坐标系， 设，则，由，，，， 则，，因，则，， 所以，， ①设平面的法向量为，由，， 得：，可取， 设直线与平面所成角为， 则有：，， 即：，化简得：， 解得或，即或， ②略 【点睛】方法点睛：根据题意，创建合适的空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标表达式即可求解相关问题，对于开放性问题，一般是假设结论成立，通过推理计算求得结论成立的条件或者推导出矛盾. 19. 已知圆点. （1）过作圆的切线，求切线的方程； （2）过圆O上一点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线的斜率为定值. （3）已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值?若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）和 （2）证明见解析 （3）当，定值为；当，定值为 【解析】 【分析】（1）根据斜率是否存在进行分类讨论，用待定系数法求得切线方程； （2）根据题目条件列出方程，利用韦达定理对直线的斜率进行化简，求得定值为； （3）先根据条件求得动点的方程，在假设定值存在，列出等式并用的方程化简，最后由多项式相等求得的坐标. 【小问1详解】 根据圆的方程可知，圆的圆心坐标为，半径为. 点距离圆心的距离，故点在圆外，过点的切线有两条. 当过点的直线不存在斜率时，切线方程为， 圆心距此直线的距离为，与半径相等.故此直线与圆相切. 当过点的直线存在时，设直线方程为，即， 圆心距离此直线的距离应为，故，解得. 故直线方程为，即. 所以过点且与圆相切的直线方程为：和. 【小问2详解】 假设过点的一条直线倾斜角为， 由题目条件得另一条直线的倾斜角也为，但过直线外一点做该直线的垂线只有一条，与两条直线相异矛盾， 故过的直线不可能垂直于轴. 由于两直线的倾斜角互补，因为，故两直线的斜率互为相反数. 设直线与圆相交于，两点， 直线与圆相交于，两点. 点在上，则， 化简得， 由韦达定理得. 点在上，则， 化简得， 由韦达定理得. 则直线的斜率为. 易得，.故. 故直线的斜率为定值. 【小问3详解】 设，因，所以，化简得， . 所以点的轨迹是一个圆，圆心为点，半径为. 因，所以圆内含于圆.故点一定在圆外，过任意的点都能作两条圆的切线. 因不存在此两条切线同时垂直于轴（否则两切线平行，与两切线都过点矛盾），故不妨设过的切线方程为，切点为. 则. 由圆的方程得. 设.则. 设.即. 把代入化简得， . 继续代入得，. 要使上式对任意的，均成立，则. 解得或. 当的坐标为时，；当的坐标为时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第六中学2024级高二上学期数学期中考试 命题人、审题人：亢鸿玮、陈彦婷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与向量共线的向量是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的斜率为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（    ） A. B. C. D. 3. 在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4. “”是“圆（）与圆有两条公切线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 9 8. 已知椭圆的焦点为，，P是椭圆C上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线AB的斜率是 B. C. D. 10. 已知双曲线的离心率为，分别是左、右焦点，是该双曲线右支上一点，点满足，则下列结论正确的为（ ） A. 双曲线的实轴长为 B. C. 的面积为 D. 11. 如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），下列说法中正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 设与所成的角为，则的最小值为 C. 若是棱的中点，则过点的平面截正方体所得截面的周长为 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的渐近线方程为，则_______． 13. 过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为______． 14. 在棱长为6的正方体中，点是线段的中点，是正方形（包括边界）上运动，且满足，则点的轨迹周长为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，角、、的对边分别为、、，若且. （1）求角、、的大小； （2）设函数，求函数的单调递减区间，并指出它相邻两对称轴的距离． 16. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． （1）求的标准方程； （2）若的斜率为，且，求的值． 17. 为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分分）选取名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示： （1）为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于的概率； （2）现有体育成绩在分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有、、、共四个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为，另一科成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加.若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得、、、四个等级的概率分别是、、、；乙在每科笔试中取得、、、四个等级的概率分别是、、、，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）设. ①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. ②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 19. 已知圆点. （1）过作圆的切线，求切线的方程； （2）过圆O上一点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线的斜率为定值. （3）已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值?若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $