精品解析：河南省郑州市明德中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

2025-2026学年上期期中考试 高二年级数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题(本题共8道小题，每道小题5分，共40分.) 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程及斜率公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则， 所以. 故选：. 2. 已知直线经过点，且倾斜角为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得. 【详解】倾斜角为，斜率为，由点斜式得，即. 故选：D 3. 过直线与直线的交点和原点的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解方程组得交点坐标，再由直线过原点即可求解. 【详解】由题，解得，则交点， 又因直线过原点，所以直线斜率为，则直线方程为，即，故B正确. 故选：B. 4. 为点到直线的距离，则． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 选B 5. 过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出已知直线的斜率，再结合平行关系及直线的点斜式方程求解即得. 【详解】直线的斜率为，则所求直线的斜率为，且过点， 所以所求直线的方程为，即. 故选：A. 6. 若方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，解不等式即可求解. 【详解】由方程表示圆， 则， 解得. 所以实数m的取值范围为. 故选：D 7. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】确定两圆相交，方程相减得到相交弦所在直线方程，结合勾股定理即可求解. 【详解】，所以， ，所以， 所以， 因为，所以两圆相交， 将两圆方程相减，得两圆相交弦所在直线方程为：， 点到直线的距离， 所以两圆的公共弦长为. 故选：A. 8. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，利用当直线 与线段  垂直时，点  到直线 的距离最大，可得答案. 【详解】直线方程可改写为 ，表明直线 恒过定点 ， 点  与点  的距离为：. 当直线 与线段  垂直时，点  到直线 的距离最大，且最大值为 . 此时线段  的斜率为 ，直线  垂直于 ，直线  的斜率为 . 故选：C 二、多项选择题(本题共3道小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.) 9. 若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数a的值为（ ）． A. 1 B. 3 C. 0 D. 4 【答案】AB 【解析】 【分析】利用直线垂直的充要条件列出方程，计算即得. 【详解】因，且，则的斜率必存在， 故，即， 化简得，解得或． 故选：AB． 10. 已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的焦距为4 D. 的周长为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆方程写出长轴长、焦距、离心率，结合椭圆的定义求焦点三角形的周长，即可得答案. 【详解】由椭圆方程知：， 所以椭圆长轴长为，焦距，离心率，A、B对，C错； 周长为，D对. 故选：ABD 11. 点在圆：上，点在圆：上，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项； 【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1， ：，，半径为1， 圆心距为，又点在圆上，点在圆上， ，，故A错误，B正确； 对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确； 对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误； 故选：BC． 三、填空题(每道小题5分，共15分.) 12. 直线l与垂直，则直线l的斜率____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线垂直，斜率相乘等于-1，即可求得答案. 【详解】直线，变形可得， 因为直线l与垂直， 所以，解得. 故答案为： 13. 椭圆的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程求，即可得离心率. 【详解】由椭圆方程可得， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 14. 若直线被圆截得的弦长为2，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据弦长求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可得出的值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由垂径定理，得点到直线距离为， 根据点到直线距离公式，知圆心到直线的距离， 化简可得，又，所以. 故答案为： 四、解答题(本题共5道小题，共77分.)(共77分) 15. 已知直线的斜率为，且在轴上的截距为． （1）求直线与轴交点的坐标； （2）求直线与两坐标轴围成的三角形的周长． 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）由斜率和纵截距写出直线方程，然后求出横截距； （2）写出直线与坐标轴交点坐标，然后得到线段长，然后求得三角形周长. 【小问1详解】 由已知可得直线的方程为， 令，可得， 所以直线与轴交点的坐标为； 【小问2详解】 设坐标原点为，，， 由题意及（1）知直线与两坐标轴围成的三角形为， ， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的周长为24. 16. 已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）由题意，，根据直线的垂直系方程，可设直线的方程为，又直线经过点，代入可求得，即可求得直线的方程； （2）由直线在两坐标轴上的截距相等，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况进行讨论，结合直线经过点，即可求得直线方程. 【小问1详解】 因为，所以可设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，解得． 所以直线的方程为． 【小问2详解】 已知直线在两坐标轴上的截距相等， 若直线过原点，设直线的方程为， 因为直线经过点，所以， 此时直线的方程为，即． 若直线不过原点，设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，所以． 此时直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 17. 已知圆C过点和点，且圆心在直线上． （1）求圆C方程； （2）若直线l过点，当直线与圆C相切时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，由题意得到，求解即可； （2）通过直线斜率存在和不存在两类情况讨论即可. 【小问1详解】 设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆C上， 得，即， 解得，即，圆C的半径， 所以圆C的方程是． 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则， 圆心到直线的距离为半径，故直线为圆的切线． 若直线斜率存在，设切线方程为， 则，解得，此时切线方程为． 综上，直线l的方程为或． 18. 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点； （I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值； （II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值． 【答案】（I）（II） 【解析】 【详解】试题分析:（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案； （II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案． 解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz， 则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0）， ∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4）， ∴cos＜，＞== ∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：； （II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0）， 设平面C1AD的法向量为=（x，y，z）， 则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，）， 设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|= ∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为： 考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角． 19. 已知点、、，圆经过、、三点. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于、两点，求弦长度的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，代入已知三点坐标求解，然后化为标准方程； （2）确定点在圆内，由圆的性质得时，弦长最小，然后结合勾股定理求得结论. 【小问1详解】 设圆， 圆过、、三点， 解得 圆的一般方程为，标准方程为：. 【小问2详解】 由（1）可得，圆心，半径， 点到圆心的距离为， 点在圆内， 设圆心到直线的距离为，则， 结合图形，可知当时，，， 即弦长度的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上期期中考试 高二年级数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题(本题共8道小题，每道小题5分，共40分.) 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知直线经过点，且倾斜角为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 过直线与直线的交点和原点的直线的方程是（ ） A. B. C D. 4. 为点到直线的距离，则． A. B. C. D. 5. 过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 25 二、多项选择题(本题共3道小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.) 9. 若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数a的值为（ ）． A. 1 B. 3 C. 0 D. 4 10. 已知是椭圆两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的焦距为4 D. 的周长为18 11. 点在圆：上，点在圆：上，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 三、填空题(每道小题5分，共15分.) 12. 直线l与垂直，则直线l的斜率____________． 13. 椭圆的离心率为________. 14. 若直线被圆截得的弦长为2，则 ______. 四、解答题(本题共5道小题，共77分.)(共77分) 15. 已知直线的斜率为，且在轴上的截距为． （1）求直线与轴交点坐标； （2）求直线与两坐标轴围成的三角形的周长． 16. 已知直线，直线经过点． （1）若，求直线方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 17. 已知圆C过点和点，且圆心在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若直线l过点，当直线与圆C相切时，求直线的方程． 18. 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点； （I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值； （II）求直线AB1与平面C1AD所成角正弦值． 19. 已知点、、，圆经过、、三点. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于、两点，求弦长度的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $