第四章 指数函数、对数函数与幂函数（知识清单）数学人教B版2019必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 知识点 具体内容 指 数 运 算 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1）； （2）当是奇数时,;当是偶数时, 温馨提示:中当为奇数时, 为偶数时,,而中. 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 4．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 5．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 指 数 函 数 1．指数函数的概念 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 2．指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 3．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 对 数 运 算 1．对数的概念 一般地，如果且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 2．指数与对数的互化 当时，. 3．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 4．对数恒等式 （1） 且；（2）且 5．对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3） 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 6．对数换底公式 若，且，则(，且)． 由换底公式推导的重要结论 （1）（2）（3） 对 数 函 数 1．对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 2．对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 3．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 反 函 数 1．反函数的概念 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的x与y，然后从中求出y得到． 2．反函数的性质 若函数的反函数记作，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的值域，的值域是的定义域。 （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。 3．求反函数的步骤 ①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。 ②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。 ③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。 4．指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。 （2）图像对称：二者的图像关于直线对称。 幂 函 数 1．幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 2．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 易错01 指数运算和对数运算混淆 指数幂的运算性质：（1）;（2）;（3）. 对数的运算性质：（1）；（2）； （3） 例1．计算的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．25 【答案】A 【详解】 . 故选：A 变式1-1．（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）11；（2）11 【分析】 【详解】（1） ； （2） . 变式1-2．（1）已知，，试用、表示，. （2）已知且，若，求的值. 【答案】（1），；（2） 【分析】 【详解】（1）因为，，所以， . （2）对两边平方得，所以， 所以， 则. 变式1-3．已知，． (1)当，求的值； (2)当时，用，表示． 【答案】(1); (2). 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以，，且 又因为，所以， 则解得：或（舍去） 故当时， ； （2）由，可得，, 而. 易错02 反函数求解错误 反函数存在的前提是原函数单调（满足一一对应），若求反函数的解析式，需补充定义域 例2．函数y的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵y，∴， ∴，即，∴， 将x，y调换可得，， 故函数y的反函数是． 故选：D． 变式2-1．已知函数存在反函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】易知函数的定义域为， 若函数存在反函数，则在定义域内和上单调， 又，显然时，满足题意. 因此，实数a的取值范围是. 故答案为： 变式2-2．已知函数和其反函数的图象都过点，则 ． 【答案】 【详解】依题意，点和都在函数的图象上， 则，解得， 所以. 故答案为： 变式2-3．将函数的图象向左平移一个单位，得到图象，再将向上平移一个单位得到图象，作出关于直线的对称图象，则的解析式为 . 【答案】 【详解】解：将函数的图象向左平移一个单位，得到图象， 再将向上平移一个单位得到图象对应的解析式为， 作出关于直线对称的图象，它是的反函数， 由反函数的定义知，的解析式为； 故答案为：． 【点睛】本题考查反函数的求法及指数函数图象的变换，解答的关键是熟练准确掌握函数图象变换的规则及反函数的求法； 易错03 幂函数图像象限判断错误 未结合幂函数的奇偶性和定义域判断图像，忽略奇偶性对象限的影响。 例3．如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 【答案】D 【详解】观察图象得，函数在上单调递增，则， 当时，，则，BC错误； 函数的图象关于轴对称，则是偶数，是奇数，A错误，D正确. 故选：D 变式3-1．若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有 个． 【答案】4 【详解】分别作出函数、、和的图象，如图所示， 可知与、、的交点个数分别为1、1、2； 与、的交点个数分别为2、2； 与的交点个数为2； 可知集合或或或， 所以满足条件的不同集合有4个. 故答案为：4. 变式3-2．“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意得，因为是幂函数， 所以，解得或. 当时，，如图所示， 图像经过第一、二象限； 当时，，如图所示， 图像分布在 第一、三象限. 故可得“幂函数的图象分布在第一、二象限”等价于“”， 于是“”可推出“或2”，而“或2”推不出“”， 于是“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的充分不必要条件. 故选：C. 变式3-3．函数的图象大致形状是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设易知，而时，幂函数在上单调递减，又函数为偶函数. 故选：A 易错04 混淆指数函数和对数函数的图象 可以根据函数的定点及定义域去理解记忆两个函数的图象 例4．图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【详解】由已知图中曲线是对数函数的图象，画出直线， 与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数， 可得，，，的a值从小到大依次为：，，，， 由a取，，，四个值， 故，，，的a值依次为，，，， 故选：B. 变式4-1．如图，①②③④不可能是函数或（其中且）的部分图象的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】指数函数（其中且）恒过点，且与轴无交点， 当时，单调递增，当时，单调递减； 对数函数（其中且）恒过点，与轴无交点， 当时，单调递增，当时，单调递减； 可以看出②过点，与轴有交点，不合要求，其他均满足要求. 故选：B 变式4-2．（多选）在同一坐标系下，下列选项中的两个函数的图象与其对应的解析式正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ACD 【详解】对于A，由反函数性质得指数函数与对数函数互为反函数， 则其图象关于直线对称，故A正确； 对于B，对于，由对数函数性质得， 对于，当时，函数变为，当时，函数变为， 由图象可得在上单调递增，在上单调递减， 得到，解得，产生矛盾，故B错误， 对于C，令，， 由换底公式得， 设点在上，则在上， 可得与关于轴对称，故C正确， 对于D，如图，作出的图象，    由反函数性质得函数与函数的图象关于直线对称， 而，设点在上，则在上， 得到函数与函数的图象关于轴对称，故D正确． 故选：ACD 变式4-3．已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，故，故， 而与关于对称， 各选项中只有B满足， 故选：B. 易错05 对数真数范围遗漏 对数定义明确真数必须大于 0，忽略定义域限制会导致解的范围扩大，是高频易错点 例5．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得或， 所以的定义域为， 对于，开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：A 变式5-1．若函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，需使取遍一切正数， 故需使，解得或. 故选：C. 变式5-2．（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．的图象关于对称 D．的值域为 【答案】BCD 【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错误； 对于B，因为，设， 因函数在定义域内为增函数，函数在上单调递增且大于零， 根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确； 对于C，因为该函数的定义域关于对称， 且， 故函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，因为在上的值域为， 所以的值域为，即，故D正确. 故选：BCD. 变式5-3．函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数的值域是， 可知函数的值域能包含， 则需要满足，解得， 则实数的取值范围是， 故答案为：. 易错06 若底数的范围未知，忽略分类讨论 无论是指数函数还是对数函数，底数决定了函数的单调性，忽略分类会导致解不完整 例6．已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时， 时，，时，， 要使值域为，则，解得， 当时， 时，， 时，， 此时无法使得值域为， 综上可得 故选：A 变式6-1．已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】是减函数，在时最小值是， 若，则是减函数，时，，没有最小值，不合题意， 时，是增函数，因此要使得取得最小值，则，解得， 故答案为：． 变式6-2．已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则 ． 【答案】 【详解】若，则在上单调递增， 则，解得； 若，则在上单调递减， 又当时，所以函数在上的值域不可能为，故舍去； 综上可得. 故答案为： 变式6-3．已知函数，其中且． (1)求的定义域，判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，奇函数，理由见解析 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）因为，解得，所以的定义域为． 又， 所以为奇函数． （2）， 当时，，解得，因为，所以； 当时，，解得，因为，所以． 综上所述：当时，；当时，． 1．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）原式 . （2）原式 . 2．下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】根据反函数的定义，存在反函数的函数应满足一个y至多对应一个x. 对于A，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，A错； 对于B，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，B错； 对于C，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，C错； 对于D，满足反函数的定义，D对. 故选：D 3．若幂函数的图象与一次函数的图象有三个交点，则a的值为（   ） A．0 B．或3 C． D．3 【答案】D 【详解】因为为幂函数，则，解得或， 若，则的图象与一次函数的图象有三个交点，符合题意； 若，则的图象与一次函数的图象有两个交点，不符合题意； 综上所述：. 故选：D. 4．在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】指数函数与轴没有交点，过点，故排除AC， 两个函数的底数互为倒数，一个在，另一个就在， 所以两个函数的单调性相反，故排除B. 故选：D 5．设，，则可用含有，的代数式表示为 . 【答案】 【详解】因为，得， 所以， 所以， 故答案为：. 6．已知函数．若不等式成立，则在的条件下，可以取的值为 ． 【答案】，，， 【详解】∵，∴． 要使，在上应大于0， ∴当为奇函数，即当时显然不成立． 下面验证为偶函数的情况： 当时，，符合题意． 当时，，不符合题意，舍去． 当时，，符合题意． 当时，，，而，∴，符合题意． 当时，，，而，∴，符合题意． 综上，的可能取值有四个，分别为，，， 故答案为：，，， 7．函数：①；②③；④．其中不存在反函数的是 （填序号）． 【答案】④ 【详解】对于①，，对应区间上均单调，故存在反函数； 对于②，，对应区间上均单调，故存在反函数； 对于③，，对应区间上均单调，故存在反函数； 对于④，，求出． 由于,，则一个解出可能两个，故不存在反函数. 故答案为: ④. 8．（多选）已知，则函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】∵， ∴， 又，定义域为，A选项错误； ∴函数与的单调性相同，结合各选项可得B，D符合题意，C不符合题意． 故选：BD 9．（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．若有两个零点，则 D．若的值域为，则 【答案】BC 【详解】由题设，且，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，若是的两个根，且，则上， 此时在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，在时在上单调递增，且其图象关于对称，A错误，B正确， 令，即， 若有两个零点，则，可得，C正确， 若的值域为，则，此时，D错误. 故选：BC 10．若函数，且，在上的最大值比最小值大，则 . 【答案】或 【详解】若，则函数在区间上单调递减， 所以， 由题意得，又，故； 若，则函数在区间上单调递增， 所以， 由题意得，又，故. 所以的值为或. 故答案为：或. 11．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 12．已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或， 故选：A. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 知识点 具体内容 指 数 运 算 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个_______,负数的次方根是一个_______,这时,的次方根用符号_______表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数_______偶次方根. （3）0的任何次方根都是_______,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做_______. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1）_______； （2）当是奇数时,;当是偶数时, _______ 温馨提示:中当为奇数时, 为偶数时,,而中. 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定_______ 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是_______． 4．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）_______; （3）. 5．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了_______范围． 指 数 函 数 1．指数函数的概念 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于_______的常数．（2）自变量的位置在_______上，且的系数是_______ （3）的系数是1. 2．指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的_______函数 是R上的_______函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点_______，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 3．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由_______变_______，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 对 数 运 算 1．对数的概念 一般地，如果且_______），那么数叫做以为底的_______，记作，其中叫做对数的_______，叫做_______． 常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为_______.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为_______. 2．指数与对数的互化 当时，_______. 3．对数的性质 （1）_______；（2）_______；（3）_______和_______没有对数． 4．对数恒等式 （1） _______且；（2）_______且 5．对数运算性质 如果，且，那么： （1）_______；（2）_______；（3）_______ 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 6．对数换底公式 若，且，则_______(，且)． 由换底公式推导的重要结论 （1）_______（2）_______（3）_______ 对 数 函 数 1．对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 2．对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 3．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 反 函 数 1．反函数的概念 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有_______的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的_______与_______，然后从中求出y得到． 2．反函数的性质 若函数的反函数记作_______，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的_______，的值域是的_______。 （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线_______呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性_______。 3．求反函数的步骤 ①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的_______。 ②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的_______筛选，仅保留符合要求的一个。 ③得到反函数：将x与y的符号_______，得到，其定义域需依据原函数的_______确定，不可随意设定。 4．指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。 （2）图像对称：二者的图像关于直线_______对称。 幂 函 数 1．幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“_______”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是_______ 2．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 _______ _______ 值域 _______ 奇偶性 奇函数 偶函数 _______ 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 _______上递增 _______上递减 定点 _______ 注意：幂函数在区间上，当_______时，是增函数；当_______时，是减函数． 易错01 指数运算和对数运算混淆 指数幂的运算性质：（1）;（2）;（3）. 对数的运算性质：（1）；（2）； （3） 例1．计算的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．25 变式1-1．（1）计算： （2） 计算： 变式1-2．（1）已知，，试用、表示，. （2）已知且，若，求的值. 变式1-3．已知，． (1)当，求的值； (2)当时，用，表示． 易错02 反函数求解错误 反函数存在的前提是原函数单调（满足一一对应），若求反函数的解析式，需补充定义域 例2．函数y的反函数是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知函数存在反函数，则实数a的取值范围是 ． 变式2-2．已知函数和其反函数的图象都过点，则 ． 变式2-3．将函数的图象向左平移一个单位，得到图象，再将向上平移一个单位得到图象，作出关于直线的对称图象，则的解析式为 . 易错03 幂函数图像象限判断错误 未结合幂函数的奇偶性和定义域判断图像，忽略奇偶性对象限的影响。 例3．如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 变式3-1．若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有 个． 变式3-2．“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-3．函数的图象大致形状是（   ） A． B． C． D． 易错04 混淆指数函数和对数函数的图象 可以根据函数的定点及定义域去理解记忆两个函数的图象 例4．图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 变式4-1．如图，①②③④不可能是函数或（其中且）的部分图象的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 变式4-2．（多选）在同一坐标系下，下列选项中的两个函数的图象与其对应的解析式正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   变式4-3．已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ） A． B． C． D． 易错05 对数真数范围遗漏 对数定义明确真数必须大于 0，忽略定义域限制会导致解的范围扩大，是高频易错点 例5．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．若函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．的图象关于对称 D．的值域为 变式5-3．函数的值域是，则实数的取值范围是 . 易错06 若底数的范围未知，忽略分类讨论 无论是指数函数还是对数函数，底数决定了函数的单调性，忽略分类会导致解不完整 例6．已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 . 变式6-2．已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则 ． 变式6-3．已知函数，其中且． (1)求的定义域，判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 1．求下列各式的值： (1)； (2)． 2．下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（    ） A．   B．   C．   D．   3．若幂函数的图象与一次函数的图象有三个交点，则a的值为（   ） A．0 B．或3 C． D．3 4．在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象可能为（   ） A． B． C． D． 5．设，，则可用含有，的代数式表示为 . 6．已知函数．若不等式成立，则在的条件下，可以取的值为 ． 7．函数：①；②③；④．其中不存在反函数的是 （填序号）． 8．（多选）已知，则函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．若有两个零点，则 D．若的值域为，则 10．若函数，且，在上的最大值比最小值大，则 . 11．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $