3.7 二次函数与一元二次方程 课时训练 2025-2026学年 鲁教版（五四制）九年级数学上册

第三章 二次函数 7 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数图象与x轴的交点问题 1.抛物线 与x轴的交点坐标为 ( ) A.(0,3) B.(2,0) C.(1,0)和(3,0) D.(-1,0)和(-3,0) 2.不论x取何值，抛物线 都不与x轴相交，且顶点永远在x 轴下方的条件是 ( ) 3.若二次函数 与x 轴没有交点，则二次函数. 的图象的顶点在 ( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 4.已知抛物线 与x 轴没有交点，则一次函数的大致图形是 ( ) 5.二次函数 的图象与x轴的交点情况是( ) A.有1个交点 B.有 2个交点 C.无交点 D.无法确定 6.在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象沿 y轴向下平移3个单位后，所得函数图象与x轴的两个交点之间的距离为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.【易错易混】已知二次函数 与x轴有交点，则m的取值范围是( ) 且m≠1 且m≠1 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点(-1,0),对称轴为直线则x的取值范围是 ( ) 第 8题图 第9题图 9.如图是抛物线 的一部分,抛物线的顶点坐标是 A(1，4)，与x轴的交点是B(3,0).下列结论: ①抛物线与x轴的另一个交点是(-1，0) ②关于x的方程 有两个相等的实数根 ③x( ax+b)≤a+b. 其中，正确结论的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 10.如图,抛物线 的一部分经过点A(-1,0),且其对称轴是直线，则一元二次方程 的根是__________. 第10题图 第11题图 11.抛物线 的部分图象如图所示，则关于x的方程 的解是___________. 12.若抛物线 与x轴没有公共点，则m的取值范围是__________. 13.把二次函数 的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：______________. 14.如图，二次函数 的图象与x轴交于A,B 两点(点 A 在点 B 的右侧)，与y轴交于点 C. (1)求点 A,B,C的坐标; (2)若点 M 在抛物线的对称轴上，且△MAC的周长最小，求点 M的坐标. 15.已知抛物线表达式(m是常数). (1)若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值； (2)Q(m,n)为该抛物线上一点,当 取得最大值时，求点 Q的坐标. 16.已知,若关于x的方程的解为x₁,x₂关于x的方程 0的解为 则下列结论正确的是 ( ) 17.已知函数 (m为常数). (1)当m=1时，设函数图象与 x 轴交于A,B 两点(A 在 B 左侧),与 y 轴交于点C.请判断 的形状并说明理由； (2)证明：无论m 取何值，函数图象与x轴一定有交点. 、 参考答案 1. C 2. D 3. A 4. A 5. B 6. D 7. D 8. D 9. D 10. x₁=-1,x₂=5 11. x₁=0,x₂=-2 12. 13. 14.解:(1)令 解得 令x=0,得 y=4,∴C(0,4); (2)由题意，得二次函数对称轴为直线. 如图，过点C作CE⊥对称轴l，与抛物线交于点 E,连接AE,交 l于点M,连接 MC,AC. ∵点 C 与点 E 关于直线对称，点M 在对称轴上,C(0,4),∴MC=ME,E(-2,4), ∴△MAC 的周长 ∴当且仅当E，M，A 三点共线时， 的周长最小. 设直线AE的表达式为. 将 A(2,0),E(-2,4)代入,得 解得 ∴直线 AE的表达式为 令 x=-1,得. ∴点 M 的坐标为 15.解:(1)由题意,得 解得 (2)∵Q(m,n)为该抛物线上一点, 即 4m+6. ∵∴当 即 时，取得最大值 此时 故点 Q的坐标是 16. B 17.解:(1)△ABC为等腰直角三角形,理由: 对于函数 当m=1时,则有 如图， ∴当x=0时,y=-1,即C(0,-1), 当y=0时,有 解得 又∵A 在 B 左侧,∴A(-1,0),B(1,0),∴OA=OB=OC=1, ∴AC=BC, ∵OA=OC,∠AOC=90°,∴∠OAC=∠OCA=45°, 同理∠OBC=∠OCB=45°,∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°, 又∵AC=BC,∴△ABC为等腰直角三角形； (2) 证 明: ①当 m =0 时, 此 时 函 数 为y=-x-1,为一次函数, 令 y=0，则x=-1，即此时一次函数图象与x轴交点为(-1,0); ②当m≠0时，此时函数为二次函数， 令 y=0,即 有解. 综上所述，无论m取何值，函数图象与x轴一定有交点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 二次函数 7 二次函数与一元二次方程 第2课时 利用二次函数图象求一元二次方程的近似值 1.小李同学在求一元二次方程 的近似根时，利用绘图软件绘制了如图所示的二次函数 1的图象，利用图象得到方程 的近似根为 小李同学的这种方法主要运用的数学思想是 ( ) A.类比思想 B.数形结合思想 C.整体思想 D.分类讨论思想 2.已知 的图象如图所示，对称轴为直线x=2.若 x₁，x₂是一元二次方程 的两个根，且则下列说法正确的是( ) 第2题图 第3题图 3.如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点A(-5,-3),B(3,4),则关于 x的方程 的解是 ( ) 4.已知函数 中，函数值与自变量的部分对应值如表，则方程 的一个解的范围为__________. x 2.41 2.54 2.67 2.75 y -0.43 -0.17 0.1 0.32 5.请阅读下列解题过程： 解一元二次不等式： 解：设 解得 则抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)和(5，0).画出二次函数 的大致图象(如图). 由图象，得当时函数图象位于x轴上方，此时，即 所以一元二次不等式 的解集为 或x>5. 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法回答下列问题： (1)上述解题过程中，运用了下列数学思想中的_______和_______；(填序号) ①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想 (2)用类似的方法解一元二次不等式： 参考答案 1. B 2. B 3. D 5.解:(1)① ③; (2)令 解得 则抛物线 与 x轴的交点坐标为和(3,0). 画出二次函数 的大致图象(如图). 由图象可知，当 时，函数图象位于x轴下方，此时即 所以一元二次不等式 0的解集为 1 学科网（北京）股份有限公司 $