第三章 专题四 二次函数表达式的求解策略-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(鲁教版2012 五四学制)

专题四 二次函数表达式的求解策略（答案P23) 类型1屈已知任意三点求表达式用一般式，即 32-2 C.y- y=ax2+bx+c(a≠0) 1.已知二次函数的图象经过点(-1，-5)， D.y= (0,一4)和(1,1)，则这个二次函数的表达式 5.(2023·烟台招远期末)已知抛物线y=x2十 为() bx十c(b,c为常数)的顶点为P(2,一1). A.y=-6x2+3x+4 (1)求该抛物线的表达式. B.y=-2x2+3x-4 (2)点A(t,y1),B(t+1,y2)在该抛物线上，当 C.y=x2+2x-4 t>2时，比较y1与y2的大小. D.y=2x2+3x-4 (3)Q(m,n)为该抛物线上一点，当2m十n取 锚类型2已知顶点或最大（小）值求表达式用顶 得最小值时，求点Q的坐标. 点式，即y=a(x-h)2+k(a≠0) 2.已知抛物线的顶点坐标为(1，一4)，与y轴交于 点(0，一3)，则该抛物线的函数表达式为( ) A.y=x2-2x-3 B.y=x2+2x-3 C.y=x2-2x+3 D.y=2x2-3x-3 3.(2023·烟台菜阳期中)已知某抛物线的形状、类型3已知与x轴两交点坐标求表达式用交点 开口方向与y= 。)x2一4红十3相同，顶点坐标 式，即y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 6.如图所示的抛物线的表达式为( 为（一2,1），则该抛物线的表达式为() 4 Ay=2-2y+1 A.y=- 3x2+4 1 B.y=- B.y=2x+2)2-1 +3 1 C.y=- C.y=2(x+2)2+1 +4 D.y=- 2(x+2)2+1 Dy-+4 7.抛物线经过点A(2,0)和B(一1,0)，且与y轴 4.已知抛物线y=ax2+bx经过点A(一3，一3)，且 交于点C.若OC=2,则这条抛物线的函数表 该抛物线的对称轴经过点A,则该抛物线的函 达式是() 数表达式为( A.y=x2-x-2 32-2z 1 A.y=- B.y=-x2-x-2或y=x2+x+2 1 C.y=-x2+x+2 B.y=- 3x2+2x D.y=x2-x-2或y=-x2十x十2 80 九年级上册数学·鲁教版 类型4：二次函数表达式的综合运用 10.(2023·泰安岱岳区期末)如图所示，已知抛 8.推理能力抛物线y=ax2十 物线y=2+6z+c经过点A(-1,0)和 bx十c(a≠0)的对称轴为直 线x=1,与x轴的一个交点 点Bo,》,顶点为C,点D在对称轴上且位 坐标为（一1,0），与y轴交点 于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方 为(0,3)，其部分图象如图所 向旋转90°，点C恰好落在抛物线上的点 示，则下列结论错误 P处 的是() (1)求这条抛物线的表达式： A.a-b十c=0 (2)求这条抛物线的对称轴及与x轴的另一 B.当x>1时，y随x的增大而减小 个交点E的坐标. C.abc0 (3)求线段CD的长. D.当y>0时，一1<x<3 9.(2023·泰安宁阳期末)如图所示，抛物线 y=-x2+bx十c与直线y=-x十5的一个 交点为A(2,m),另一个交点B在x轴上，点 P是线段AB上异于A,B的一个动点，过点 P作x轴的垂线，交抛物线于点E (1)求抛物线的表达式。 (2)是否存在这样的点P,使线段PE长度最 大？若存在，求出最大值及此时点P的坐标； 若不存在，说明理由。 一优学案·课时通 81抛物线对称轴为直线x=一1， 解得t1=2,t2=0(舍去)， 点D1的横坐标为1， 线段CD的长为2. 将x=1代人y=x2+2x=1+2=3,即D1(1,3); 6二次函数的应用 当D2在第二象限时，同理D2(-3,3)； 第1课时利用二次函数 当D3在第三象限时，若四边形AE,OD,为平行四边形，此 时D3与C重合，即D3(一1，一1). 解决面积最值问题 综上，点D的坐标为(1,3)或(-3,3)或(-1，-1). 1.B2.B3.525 4.解：(1)由题意，得S=x(28-x). 专题四二次函数表达式的求解策略 1.D2.A3.C4.D (2由题意，得28-x≥16. ∫x≥6， 5.解：(1)，抛物线的顶点为P(2,一1)，.抛物线的表达式为 解得6≤x≤12. y=(x-2)2-1,即y=x2-4x+3. :花园面积S=x(28-x)=-(x-14)2+196,.当x≤14 (2)抛物线的对称轴为直线x=2,而t>2,.点A(,y1), 时，S随x的增大而增大.∴当x=12时，花园的面积取得最 B(t+1,y2)在对称轴的右侧的抛物线上.，t<t+1, 大值，S最大=-(12-14)2+196=192(m2),即在P处有一棵 树与墙CD,AD的距离分别是16m和6m,要将这棵树围在 y1<y2 花园内（含边界，不考虑树的粗细），花园面积S的最大值为 (3)点Q(m,n)在该抛物线上， 192m2. ∴.n=m2-4m+3,.2m+n=2m+(m2-4m+3)=m2- 5.D 2m+3=(m-1)2+2,∴.当m=1时，2m+n有最小值2. .m=1,n=m2-4m+3=0, 解：)y=6×8-2X7X(6-x)(8-x)=-x2+14x(0< ∴.点Q的坐标为(1,0). x<6) 6.C7.D8.C (2)当y=13时，一x2+14x=13, 9.解：(1)对于y=一x十5，令y=0,则x=5,故点B的坐标为 解得x1=1,x2=13.,0<x<6, (5,0). ∴.x=1. 将(2，m)代入y=一x十5，得m=一2十5=3，故点A的坐标 (3)设油菜花地占地面积为m2, 为(2,3). 则w=48-y=x2-14x+48=(x-7)2-1, 把(2,3)，(5,0)代人y=-x2+bz+c,得 当x<7时，记随x的增大而减小 4十26+十c=3,解得6-6，。 又0.6≤x≤1， -25+5b+c=0, lc=-5. ∴.当x=0.6时，w取得最大值，最大值为39.96. ∴.抛物线的表达式为y=一x2十6x一5. 答：改造后油菜花地所占面积的最大值为39.96m2 (2)假设存在符合条件的点P,并设点P的横坐标为m, 则E(m,-m2+6m-5),P(m,5-m), 7,解：(1由题意，得S0= .PE=-m2+6m-5-(5-m)=-m2+7m-10= :AB的长为xm,.DE=CE=xm. -(m-3.5)2+2.25. :篱笆的总长为54m,三处各留2m宽的大门， 一1<0，∴PE有最大值， .BE=54-x-2(x-2)+2=(60-3x)m. 当m=3.5时，PE长度的最大值为2.25，此时点P的坐标为 ,DM的长为27m,墙DN足够长， (3.5,1.5). 10,解：(1把(-1,0)和(，）代入y=-+6x十c,得 20w-3气2,1<x<号 .长方形ADEB的面积为S=BE·AB=(60一3x)x= 1 -3x2+60x, -b十c=0, b=2, 2 1 解得 5 c=2 y=女-3x+60x=+60(l<<0)】 21 (2令y=-受x+60x=320. 5 六抛物线的表达式为y=一名+2x+》. 1 解得x1=16,x2=8. 1 (2):抛物线的表达式为y=一 2x2士2x士气配成顶点式 11≤<z=16, 1 ∴.当AB=16m时，游乐场的面积为320m2. 「为y=一(x一2)2+号，∴抛物线的对称轴为直线x=2, 8.解：(1)根据题意，得矩形较长边MD=AB一AM=(6 设E(a,0),2=-1+ 2,.a=5, x)m, 则小正方形的边长EH=MD一AM=(6一2x)m..EH>0, .E(5,0). ∴.6一2x>0,解得x<3. (3)由2)知c(2,2),设cD=,则D(,号-)： :四个矩形用甲种材料制作，中间的小正方形E℉GH用乙种 材料制作，且甲种材料的价格为8元/m,乙种材料的价格为 :线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C恰好落在抛 5元/m, 物线上的点P处， y=4X8x(6-x)+5(6-2x)2=-12x2+72x+180, .∠PDC=90°，DP=DC=t, .y与x之间的函数表达式为y=一12x2十72x十180(0≤ P(2+,号-小将(+，2-)代入y=-x+ x<3). (2)够用.理由：，中间的小正方形EFGH的面积不小于 2z+号得-名++2(2+)+名-吕-，影现，得 9m,EH≥3m,即6-2z≥3，解得x≤号.由（1)知y= t2-2t=0, -12x2+72x+180=-12(x-3)2+288. 23