九年级数学上学期第二次月考·培优卷（人教版，举一反三，测试范围：第21章 一元二次方程～第27章 相似）

九年级数学上学期第二次月考·培优卷 【人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·全国·期末）下列图形旋转一定角度（小于）后与其自身不能重合的图形是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转对称图形，解题的关键是掌握旋转对称图形的定义． 根据旋转对称图形的定义逐项进行判断即可，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形． 【详解】解：A.该图形旋转一定角度后，不能与其自身重合，符合题意； B.该图形旋转后，能与其自身重合，不符合题意； C. 该图形旋转后，能与其自身重合，不符合题意； D. 该图形旋转后，能与其自身重合，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若成立，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的基本性质，能够灵活对一个比例式进行变形是解题的关键．由比例和分式的基本性质，针对选项进行各种演变，逐一判定即可． 【详解】解：A、由已知得到，故选项符合题意； B、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； C、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； D、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，先根据定义确定的约数条件，再利用判别式求出范围即可． 【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得： 方程是一元二次方程， 二次项系数， 综上所述，且． 故选：D． 4．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特点，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴、B两点在第四象限，C点在第二象限， ∴． 故选：D． 5．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图， 的半径， 以A为圆心，为半径的弧交于B，C两点， 则弦的长度为（　　） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理、解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识点，推出并掌握解直角三角形是解答本题的关键．如图：连接，记的交点为，根据题意可知，继而即可推出，再根据解直角三角形以及垂径定理即可解答． 【详解】解：如图：连接，，记的交点为， ∵的半径为，以A为圆心，为半径的弧交于，两点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，，则补充下列条件仍不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，有两组角对应相等的两个三角形相似，有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 7．如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握直角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等． 连接，由圆周角定理得到，再由圆周角定理得到，以及，然后直角三角形锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质． 根据正方形的性质可得，由，可设，则，证明，根据相似三角形的性质表示出，证明得到，求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 由 ∵， ， ，即， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故选：B． 9．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，抛物线经过点，l是其对称轴，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 本题由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由时可判断②，由抛物线对称轴的位置可判断③，由，，可判断④，然后即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在y轴右侧， ， ， 抛物线与y轴交点在x轴下方， ， ，①正确； 时，，故②正确； 抛物线对称轴为直线， ∴由图象可得，， ∴，即，故③错误； 由图象得，当时，， ， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有3个． 故选：C． 10．如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点,．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的弦、弧、圆心角的关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据在同圆中，等弦所对的弧相等可得，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据两角分别相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例可得，根据垂直于弦的直径平分这条弦可得，推得，即可得出，，根据在同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，根据两角分别相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 则，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）用配方法解方程时，配方后得到，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． 先对配方，然后与对比求得a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最小值为； 故答案为： 13．（2025·海南三亚·二模）视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为时，视野角度为 度． 【答案】40 【分析】题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例关系的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 首先根据题意，可得视野角度（度）与车速成反比例函数关系，用待定系数法可得反比例函数的关系式；代入进一步求解可得答案． 【详解】解：设视野角度（度）与车速的函数关系式为， 把点代入得：， 解得：， ∴视野角度（度）与车速的函数关系式为， 当时，， 即当车速为时，视野角度为40度． 故答案为：40 14．（2025·宁夏银川·一模）如图，正五边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，正多边形和圆，连接，由题意可知为等边三角形，得到，再根据五边形为正五边形，可得，进而根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025·广东汕头·一模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理推出，计算即可． 【详解】解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 16．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长交延长线于点，过作于点，则，由三线合一性质可得，然后证明四边形是矩形，所以，，又，则可证，所以，求出，然后通过平行线的性质和等角对等边可得，设，则，，最后通过勾股定理求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过作于点，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴，解得：， 即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（4分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一元二次方程的求解： （1）利用配方法即可求解； （2）利用提公因式因式分解即可求解． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ． 18．（4分）（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出将绕点A逆时针旋转后得到的； (2)在图中画出与关于原点O对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作旋转图形，作中心对称图形． （1）先根据旋转额性质确定点的位置，然后连线即可； （2）先根据中心对称的性质确定点的位置，然后连线即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 19．（6分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根； （2）对于任意的实数k，判断原方程根的情况，并说明理由． 【答案】（1）k=1；另一根为x=2；（2）证明见解析． 【分析】（1）把x=1代入方程得到关于k的方程，求出k的值，再把k的值代入原方程，然后利用因式分解法解方程求出方程的另一根； （2）计算判别式得到△=（k+2）2-4×2k=k2-4k+4=（k-2）2，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：（1）∵x＝1是方程x2﹣（k+2）x+2k＝0的一个根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得， ∴原方程的另一根为 （2）对于任意的实数k，原方程总有两个实数根， ∵△=（k+2）2-4×2k=k2-4k+4=（k-2）2≥0 ∴对于任意的实数k，原方程总有两个实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解法，根的判别式，解决此题的关键是合理运用不同的解法，得到正确的结果． 20．（6分）（2024·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． (1)求、的值及反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据函数图象上点的坐标特征，将点，代入一次函数，求出、的值，再将点代入反比例函数，求出，即可得到反比例函数的表达式； （2）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，点，在一次函数的图象上， ，， ，， ，， 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：直线向下平移个单位， 平移后的函数解析式为， 联立， 整理得：， 直线与反比例函数的图象有唯一交点， ， 解得：或， ， 不符合题意，舍去， ． 21．（8分）（2024·安徽·二模）如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质可得，然后利用三线合一得出，证明，求出即可； （2）先根据直角三角形斜边中线的性质求出，再根据垂径定理和勾股定理求出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：如图，设与交于点E， ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，垂径定理和勾股定理等知识点，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 22．（10分）如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知P为抛物线（不与点B重合）上的一点，若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 【分析】（）利用待定系数法求抛物线的解析式； （）先利用待定系数法求出直线的函数解析式，设点的坐标为，由对称可得点的坐标为，将其代入抛物线的解析式即可求解． 本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称，解一元二次方程，掌握待定系数法求函数解析式及关于轴对称的点坐标特征是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 由（）中得，点的坐标为， 将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 解得，， 又∵点不与点重合， ， ， ∴点的坐标为． 23．（10分）（2025·陕西西安·模拟预测）初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】6.6米 【分析】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点C作于G，交于Q，先证明四边形是矩形，四边形是矩形，得米，，米，设米，则米，再证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于G，交于Q， 由题意得，，，， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴米，，米， ∵米， ∴米， 设米，则米， ∵小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴米， ∵ ∴ ∴，即 解得： ∴（米）． 答：路灯的高度约为6.6米． 24．（12分）（2025·四川乐山·中考真题）某校开展“综合与实践”项目学习，拟开设四个项目供学生选择：．体育中的数学，．绘制公园平面地图，．改进我们的课桌椅，．高度的测量，若每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制成统计图表，如图所示， 项目 人数 频率 16 8 4 0.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查抽取的学生总人数为______人，请补全条形统计图； (2)已知该校共有800名学生，请估计选择项目的学生人数； (3)现准备从四个项目中随机选择两个项目在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到项目和项目的概率． 【答案】(1)40，补全条形统计图见解析 (2)人数为人 (3) 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、用样本估计总体、频数(率)分布表、条形统计图，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用表格中D的人数除以频率可得本次调查抽取的学生总人数；求出选择C项目的人数，补全条形统计图即可； （2）根据用样本估计总体，用800乘以B的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选到项目A和项目B的结果数，再利用概率公式可得答案． 【详解】（1）解：本次调查抽取的学生总人数为 (人)， ∴选择C项目的人数为 (人)， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：40； （2）解：（人）， 答：估计选择项目的学生人数为人； （3）解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中恰好选到项目A和项目B的结果有：，，共2种， ∴恰好选到项目A和项目B的概率为． 25．（12分）（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上内容是解题的关键． （）平分，故，因为，则，由，可得，又，，故，可得； （）由平行线的性质可得，，又平分，则有，证明，，即可得结论； （）证明，即可得，又由可得，从而，由，可得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又由（）可得， ∴， 由（）知， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第二次月考·培优卷 【人教版】 测试范围：第21章 一元二次方程~第27章 相似 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·全国·期末）下列图形旋转一定角度（小于）后与其自身不能重合的图形是（   ） A．B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若成立，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图， 的半径， 以A为圆心，为半径的弧交于B，C两点， 则弦的长度为（　　） A． B． C．8 D． 6．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，，则补充下列条件仍不能说明的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 9．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，抛物线经过点，l是其对称轴，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点,．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）用配方法解方程时，配方后得到，则 ． 12．（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 13．（2025·海南三亚·二模）视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为时，视野角度为 度． 14．（2025·宁夏银川·一模）如图，正五边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为 ． 15．（2025·广东汕头·一模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 16．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（4分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）解方程． (1)； (2)． 18．（4分）（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出将绕点A逆时针旋转后得到的； (2)在图中画出与关于原点O对称的． 19．（6分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根； （2）对于任意的实数k，判断原方程根的情况，并说明理由． 20．（6分）（2024·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． (1)求、的值及反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 21．（8分）（2024·安徽·二模）如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 22．（10分）如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知P为抛物线（不与点B重合）上的一点，若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标． 23．（10分）（2025·陕西西安·模拟预测）初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 24．（12分）（2025·四川乐山·中考真题）某校开展“综合与实践”项目学习，拟开设四个项目供学生选择：．体育中的数学，．绘制公园平面地图，．改进我们的课桌椅，．高度的测量，若每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制成统计图表，如图所示， 项目 人数 频率 16 8 4 0.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查抽取的学生总人数为______人，请补全条形统计图； (2)已知该校共有800名学生，请估计选择项目的学生人数； (3)现准备从四个项目中随机选择两个项目在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到项目和项目的概率． 25．（12分）（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $