第六单元 除法（解决问题专项）数学北京版四年级上册

第六单元 除法 （13个类型题讲练+三大难度分层练 共54题） 第一部分：类型题讲练 考向一 除数是两位数除法的直接应用 类型1 平均分问题 在班级活动中，老师要把 480 颗糖果平均分给 24 个小组，每个小组能分到多少颗糖果？这就是典型的平均分问题，用糖果总数除以小组数，即480÷24，直接运用除数是两位数的除法来计算。 类型2 包含除问题 学校图书馆新进了 360 本书，每 30 本放在一个书架上，一共需要多少个书架？这里求书架数量，就是看 360 本书里包含多少个 30 本，用360÷30来计算。 考向二 商不变性质的应用 类型3 简便计算问题 计算7200÷900时，根据商不变的性质，被除数和除数同时除以 100，变成72÷9，这样计算就简便多了。在解决一些复杂的除法计算问题时，利用商不变性质可以快速得出结果。 类型4 对比问题 小明 3 分钟走了 180 米，小刚 6 分钟走了 360 米，谁走得快？可以先分别算出两人的速度，小明速度是180÷3=6（米/分），小刚速度是360÷6=60（米/分）。也可以根据商不变性质，小刚的情况可以看作是时间扩大 2 倍，路程也扩大 2 倍，商不变，两人速度一样快。 考向三 数量关系的综合应用 类型1 行程问题 一辆汽车 2 小时行驶了 160 千米，照这样的速度，行驶 480 千米需要多少小时？先根据已知条件算出汽车速度，速度 = 路程÷时间，即160÷2=80（千米/时），再根据时间 = 路程÷速度，求行驶 480 千米需要的时间，480÷80=6（小时）。这里综合运用了除法中的数量关系来解决问题。 类型2 价格问题 妈妈用 240 元买了 6 千克苹果，照这样计算，买 15 千克苹果需要多少钱？先算出苹果的单价，单价 = 总价÷数量，240÷6=40（元/千克），再根据总价 = 单价×数量，求买 15 千克苹果的总价，40×15=600（元）。这也是数量关系在价格问题中的综合运用。 技巧点拨1 除数是两位数除法的解题技巧 1. 试商方法 四舍法：当除数个位上的数小于 5 时，可以把除数看成和它接近的整十数来试商。例如计算184÷23，除数 23 个位是 3 小于 5，把 23 看成 20 来试商，因为184÷20，想 20×9 = 180，所以先试商 9。 五入法：当除数个位上的数大于或等于 5 时，把除数看成和它接近的整十数来试商。比如计算252÷36，除数 36 个位是 6 大于 5，把 36 看成 40 来试商，因为252÷40，想 40×6 = 240，所以先试商 6。 2. 调商方法 试商后，如果余数比除数大，说明商小了，要把商调大；如果初商和除数的乘积比被除数大，说明商大了，要把商调小。例如计算246÷32，把 32 看成 30 试商 8，32×8=256，256＞246，商大了，要调成 7。 技巧点拨2 商不变性质的解题技巧 1. 观察被除数和除数的变化 在使用商不变性质时，要仔细观察被除数和除数同时乘或除以的相同的数（0 除外）。比如计算1400÷25，可以同时把被除数和除数除以 5，变成280÷5，这样计算更简便。 2. 灵活运用性质进行变形 对于一些复杂的算式，可以根据商不变性质进行变形。例如800÷25=(800×4)÷(25×4)=3200÷100=32，通过被除数和除数同时乘 4，使除数变成 100，方便计算。 技巧点拨3 数量关系的解题技巧 1. 分析数量关系在解决行程、价格等问题时，要先明确题目中的数量关系。行程问题中，速度、时间、路程的关系是：速度 = 路程÷时间，时间 = 路程÷速度，路程 = 速度×时间；价格问题中，单价、数量、总价的关系是：单价 = 总价÷数量，数量 = 总价÷单价，总价 = 单价×数量。根据这些关系来列式计算。 2. 画图辅助理解对于一些较复杂的数量关系问题，可以通过画线段图来帮助理解。比如在解决行程问题中两人同时出发相遇的问题时，画线段图能清晰地看出两人的路程、速度和时间的关系，从而更好地解决问题。 类型1 除数是整十数的口算除法 典型例题1：（23-24四年级上·北京·期中）钟面上（    ）时整，时针与分针所成的角是平角。 A．6 B．12 C．9 思路引导：钟面上共12个大格，平均每个大格是30°，平角为180°，那么求几时整需要用除法计算；据此解答。 变式训练1：（23-24四年级上·浙江绍兴·期末）水果店运来60箱苹果，卖出44箱，还剩下320千克，每箱苹果重多少千克？ 变式训练2：（21-22四年级上·北京怀柔·期末）笑笑每天步行上学，她每分钟大约走60米。 （1）她从家出发，需要几分钟才能到学校？ （2）笑笑晚上放学回家，走了3分钟后发现水壶忘在学校了，这时候笑笑大约在什么位置，请用△标出笑笑的位置。 类型2 除数是整十数的笔算除法 典型例题2：（2024六年级下·全国·专题练习）郑州高新区2020年实现全区小学学校午餐配餐，解决小学生家长中午没有时间接送孩子问题。为了鼓励小学生节约粮食，高新区八一小学实行了班级空餐盘积分奖励制度。奖励的班级积分可以兑换奖品，四一班37人，若准备每人分一本练习本的话，怎样使用积分兑换最划算？ 思路引导：37人就需要37本练习本，换法一每本（60÷20）积分，换法二每本（10÷3）积分，换法三每本4积分；尽可能用最少得积分换最多的本数；要使使用的积分最划算，应将三种换法结合换，并且先满足换包数的换法，再满足换3本的换法，最后满足换一本的换法。先用除法求出37里面有几个20，余多少，再用余数除以3，即可求出余数里面有几个3，最后新的余数按照换一本的换法。 答题区： 变式训练1：（22-23四年级上·北京房山·期末）有430粒糖果，每50粒装一盒，可以装( )盒，剩( )粒。 变式训练2：（21-22四年级上·北京顺义·期末）李叔叔响应绿色出行号召，每月大约能节约30升汽油。每节约10升汽油就相当于减排23千克二氧化碳。全年相当于减排多少千克二氧化碳？ 类型3 除数是两位数的笔算除法 典型例题3：（24-25四年级上·北京通州·期末）三位同学在计算208÷52时，用了三种不同的方法，你认为这些方法有道理吗？说明你的理由。 丽丽：因为208－52－52－52－52＝0，所以208÷52＝4。 聪聪： 红红：因为52×4＝208，所以208÷52＝4。 思路引导：丽丽：除法的本质是平均分，丽丽通过连续减去相同的数52，直到减到0，说明208里面有4个52，丽丽的方法将被除数分解成若干个除数，除法是求一个数包含另一个数的个数，所以208里面有4个52，用除法表示为208÷52＝4。 聪聪：计算208÷52时，将除数52看作50去试商，所以竖式的商为4。 红红：红红的计算方法利用的是除法是乘法的逆运算，已知一个因数和积，求另一个因数用除法。那么因为52×4＝208，所以208÷52＝4。 答题区： 变式训练1：（24-25四年级上·北京大兴·期末）学校校庆活动进行团体操表演。表演的前半程，同学们平均分成4组，每组144人。后半程，这些同学平均分成12组，每组多少人？ 变式训练2：（24-25四年级上·北京房山·期末）海豹即使在睡觉时也要呼吸。明明对海豹观察了一段时间。开始时海豹从水面潜入水底睡觉，8分钟后浮出水面开始呼吸；又过3分钟后，它再次回到水底。整个过程从开始到结束，都非常有规律。请你解决下面的问题，并写出问题解决过程。 （1）第25分钟时，海豹在水面上还是在水底？ （2）前1小时，海豹在水底的时间一共有多少分钟？ （3）根据上面情境，提出一个你感兴趣的问题。（不用解答） 类型4 多位数除以两位数的试商 典型例题4：（22-23四年级上·山东德州·期末）阳阳带了197元钱去超市购买免洗洗手液，洗手液每瓶27元。阳阳先自己计算，计算过程中把“27”看作( )来试商，商( )了（填“大”或“小”），通过计算最多可以买( )瓶。 思路引导：除数是两位数的除法试商时，可以把除数看作与它接近的整十数来试商，如果把除数看大了，那么商就变小了；用带的钱数除以洗手液的价格求出来的商就是可以买的瓶数，结果有余数时要把余数舍去。 变式训练1：（21-22四年级上·北京顺义·期末）李华认为：“三位数除以两位数的结果一定是一位数”。下面（    ）例子可以帮助他认识到自己的想法不正确。 A．96÷32 B．180÷36 C．686÷98 D．864÷24 变式训练2：（21-22四年级上·北京顺义·期末）丁丁计算一道三位数除以16的题目，用7试商，发现这个三位数减去16与7的乘积，差是17，正确的商是( )，余数是( )。 类型5 有余数的除法验算 典型例题5：（23-24四年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）小明在计算△÷32＝□时，将除数32写成了23，结果是25余1，算式中的△＝( )，□＝( )。 思路引导：被除数＝除数×商＋余数，23乘25再加上1，可以算出正确的被除数即△是几。正确的被除数除以正确的除数，即可算出□是几。 变式训练1：（23-24四年级上·甘肃定西·期末）两个数相除的商是7，余数是29，除数最小是( )，被除数最小是( )。 变式训练2：（23-24四年级上·河北·课后作业）一个数除以12，商是最小的两位数，当余数最大时，这个数是( )。 类型6 除数是两位数的估算 典型例题6：（24-25四年级上·北京大兴·期末）大兴区安定镇有一棵古银杏树，按照树的年轮推算它的年龄达到了500岁。这棵古银杏树的年龄大约是王爷爷年龄的几倍？ 思路引导：由题意得，王爷爷今年71岁，银杏树的年龄是500岁，求这棵古银杏树的年龄大约是王爷爷年龄的几倍，用除法计算。估算时，可以把71估成70，把500估成490，然后直接口算出结果即可。 答题区： 变式训练1：（23-24四年级上·北京平谷·期末）解放初期普通列车的速度为30千米/时，现在的高铁列车的速度为350千米/时，高铁列车的速度大约是解放初期普通列车的多少倍？ 变式训练2：（21-22四年级上·北京怀柔·期末）下图是书店某一天中儿童读物的销售情况。 （1）请估计这一天书店销售这四种儿童读物的总营业额大约是多少元？ （2）如果学校用800元购买《学科学》，估计大约可以买多少本？ 类型7 用“进一法”解决问题 典型例题7：（24-25四年级上·辽宁朝阳·期末）《诗经》是我国第一部诗歌总集，一共收录了305篇诗歌。乐乐为了练习书法，打算将《诗经》抄录在笔记本上，每本笔记本能抄录24篇诗歌，那么乐乐至少需要准备( )本笔记本。 思路引导：由题意得，《诗经》一共收录了305篇诗歌。乐乐为了练习书法，打算将《诗经》抄录在笔记本上，每本笔记本能抄录24篇诗歌，求乐乐至少需要准备多少本笔记本，就是求305里面有多少个24，用除法计算。有余数时，需要再多准备一本笔记本才能把所有的诗歌抄写完。 变式训练1：（23-24四年级上·江西赣州·期末）小猴摘了128个桃子，每12个装一箱，至少需要（    ）个箱子。 A．9 B．10 C．11 变式训练2：（24-25四年级上·河北保定·期中）超市新进了一批火龙果，共158千克。如果每个纸箱最多装25千克，要全部装完至少需要( )个纸箱。 类型8 用“去尾法”解决问题 典型例题8：（24-25四年级上·陕西宝鸡·期末）某社区开展“参与垃圾分类，共建美丽家园”的活动。为了更好地实施垃圾分类，这个社区用960元买分类垃圾桶，每个垃圾桶79元，最多可以买多少个垃圾桶？还剩多少元？ 思路引导：用960元买分类垃圾桶，每个垃圾桶79元，求最多可以买多少个垃圾桶，就是看960里面有多少个79，用除法计算即可。商就是最多可以买的垃圾桶个数，余数就是剩余的钱数。 答题区： 变式训练1：（23-24四年级上·重庆璧山·期末）小明有230元零花钱，他想用全部的零花钱买文具盒捐给手拉手学校的同学，他最多可以买( )个这样的文具盒。 变式训练2：（24-25四年级上·江苏常州·期中）一套课桌椅88元，李老师带了800元，最多可以购买( )套这样的课桌椅。 类型9 商的变化规律及应用 典型例题9：（23-24四年级上·北京平谷·期末）观察下面两组算式，你发现了什么规律？                ①请你算出两组算式的得数。 ②仔细观察这两组算式，根据你的猜想，请你尝试写出符合这样规律的一组算式： 、 、 。 ③请你试着描述你发现的规律：在除法里，除数不变， 。 思路引导：在除法算式中，除数不变，被除数扩大几倍，商就扩大相同的倍数，据此解答即可。 变式训练1：（23-24四年级上·全国·期中）已知★×●=125，如果★不变，●扩大到原来的10倍，那么积变为( )；如果●不变，★除以5，那么积变为( )． 变式训练2：被除数、除数同时扩大到原来的5倍，商也扩大到原来的5倍．( )（判断对错） 类型10 商不变的规律及应用 典型例题10：（24-25四年级上·北京大兴·期末）在计算400÷25时，小红用了下面的方法。 小红用的方法对吗？请说明理由。 思路引导：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变； 结合题意可知，小红在计算400÷25时，被除数和除数同时乘4，则商不变；据此解答。 答题区： 变式训练1：．（23-24四年级下·北京顺义·期末）同学们在计算时。出现了四种不同的计算方法，正确的是（    ）。 ①先算 再算 最后结果 ② ③ ④ A．①②③④ B．②③④ C．①② D．③④ 变式训练2：（23-24四年级上·北京平谷·期末）列式解决“把700个桃子平均分给30只小猴”和“把70个桃子平均分给3只小猴”，结果相比，（    ）。 A．商相同，余数相同 B．商相同，余数不同 C．商不同，余数相同 D．商不同，余数不同 类型11 经济问题 典型例题11：（24-25四年级上·北京房山·期末）有一个旅游团共40人去租船。 大船限乘6人，每条船租金60元； 小船限乘4人，每条船租金50元。 （1）如果所有人全坐小船，需要多少元？ （2）如果打算最多花450元租船，可以怎样租？需要花多少元？请你设计出两种租船方案。 思路引导：（1）用总人数除以每条小船乘坐的人数，得到需要多少条小船。单价×数量＝总价，再用小船的条数乘每条小船租金的价格，就是所有人坐小船需要多少元。 （2）根据第（1）问可知，不能全部乘坐小船，所以需要一部分乘坐大船，一部分乘坐小船。或者全部乘坐大船。船的租金可以是大船的单价×数量＝大船的总价，也可以分别算出大船和小船的总价再相加。要满足够40人乘坐的，还要算出的租金小于等于450元。据此解答。 答题区： 变式训练1：（24-25四年级上·北京通州·期末）新年联欢会筹备时，王老师想购买一些碳素笔作为奖品发给同学们，碳素笔每支4元，买五赠一，王老师想买60支这种碳素笔，要花多少钱？ 变式训练2：（24-25四年级上·北京大兴·期末）学校要为全校22个班，每个班配备一个书架。甲店和乙店都在卖同一款书架，单价都是150元，而且都有优惠活动。 甲店 买十送一 乙店 购买达到20个， 每个书架减20元。 如果购买这款书架，学校选择哪个店更省钱？（写出思考过程） 类型12 基础行程问题 典型例题12：（24-25四年级上·北京大兴·期末）北京到洛阳的路程大约是800千米。李叔叔在17：55乘某种交通工具从北京出发，当天20：54到达洛阳。他选择的交通工具是（    ）。 交通工具 平均速度 小汽车 约100千米/时 普快列车 约120千米/时 高铁 约280千米/时 飞机 约800千米/时 A．小汽车 B．普快列车 C．高铁 D．飞机 思路引导：根据经过时间＝结束时刻－开始时刻，求出这种交通工具行驶的时间。再根据速度＝路程÷时间，用北京到洛阳的路程除以这种交通工具行驶的时间，求出这种交通工具的速度，再结合表格选择即可。 答题区： 变式训练1：（23-24四年级上·北京密云·期末）高铁列车从北京南站到上海虹桥站大约需要5小时。 （1）平均每小时大约行多少千米？ （2）出发2小时后，大约走到什么位置？（先算一算，再用△在图中做标记） 变式训练2：（23-24四年级上·湖南衡阳·期中）①李老师骑自行车每分钟行265米。②一套办公桌椅320元。③李老师8：30从家出发去学校。④李老师家距学校3000米。⑤学校要购买12套办公桌椅。⑥李老师带了4000元。 （1）请你从以上信息中选择2条，解决下面的问题： 李老师从家出发，骑自行车12分钟能到学校吗？请计算说明， （2）请你从上面的信息中选择2条，提出一个需要用“单价×数量＝总价”来解决的问题，并解答。 选择的信息：（写序号①、②） 提出的问题： 类型13 租船问题 典型例题13：（23-24四年级上·重庆垫江·期末）一个工厂要租车运205吨货物，每辆中型卡车的载重量是8吨，租金200元/次：每辆小型卡车的载重量是5吨，租金150元/次。工厂租车运这批货物最少要用( )元。 思路引导：哪辆车型每吨的单价最少，就租哪种车型；根据除法的意义，租中型卡车的每吨单价最少，所以尽可能租中型卡车，且两种车型都满载最省钱；已知每辆中型卡车的载重量是8吨，用除法求出205吨里面有几个8吨，商是几，就租几辆中型卡车，余数正好是小型卡车的载重量，所以余下租1辆小型卡车。然后根据单价×数量＝总价，分别求出2种车型各自的总价，然后求出和即可。 变式训练1：（23-24四年级下·湖北黄冈·期中）“五一”假期，周老师和朋友们一起组团外出旅游。她们提前在网上预定了宾馆，以下是该宾馆的价格表。 变式训练2：（23-24四年级下·广东江门·期末）梁启超故居，位于广东省江门市新会区茶坑村，建于晚清，是梁启超先生童年接受启蒙教育和少年时期成长生活的地方，是一幢古色古香的青砖土瓦平房，由故居、怡堂书室组成，建筑面积400多平方米。“向上吧！湾区青年”系列活动之广东历史名人文化古迹探访研学活动第一站将到访梁启超故居。阳光小学四年级225名学生和5名老师准备租车去参观梁启超故居，请设计一种最省钱的租车方案，并算出最少要多少钱？ 第二部分：难度分层训练 1．（24-25四年级上·河南平顶山·期中）一节火车车厢限载60吨货物，要运走500吨货物，至少需要（    ）节这样的火车车厢。 A．7 B．8 C．9 2．（23-24四年级下·陕西商洛·期末）为普及空间科学知识，激发广大青少年不断追寻“科学梦”的热情，张老师和王老师带领139名学生坐车参观航天展览。小车限乘客8人，租金120元/辆；大车限乘客25人，租金300元/辆。他们租（    ）最省钱。 A．3辆大车和9辆小车 B．4辆大车和5辆小车 C．5辆大车和2辆小车 D．6辆大车 3．（23-24四年级上·北京大兴·期末）一只老虎的体重是196千克，一只熊猫的体重是64千克。估算一下，这只老虎的体重大约是这只熊猫的( )倍。 4．（24-25四年级上·北京房山·期中）蜜蜂是一种群居昆虫，其中出来采蜜的是工蜂。工蜂飞行的速度大约是23千米/小时，平均一只工蜂每天飞出去15次左右，一天大约飞行7小时。每只工蜂的蜜囊容量约为0.03－0.05克，一只工蜂的一生能为人类提供大约3克蜂蜜。 （1）根据题目的信息和自己的计算，补全下面的表格。 工蜂飞 行速度 平均每只工蜂每 天飞出去的次数 每只工蜂每 天飞行时间 每只工蜂一生能 提供蜂蜜数量 每只工蜂一天 飞行的路程 15次左右 约7小时 约3克 （2）亮亮每天早上吃一小勺蜂蜜（大约9克），大约是几只工蜂一生的劳动成果？ 5．（23-24四年级上·北京房山·期末）《汽车司机使用交通图册》中有这样一个“里程速查表”（如图所示，单位：千米）“312国道”从南京到上海的8个城市中，任意两个城市之间的公路里程都可以从该表中查到。例如，按照图中所示的方法，“镇江”所在列和“苏州”所在行交叉处的数“183”就是镇江到苏州的公路里程数。 （1）丹阳到昆山的公路里程是（    ）千米。 （2）如果汽车平均每小时行驶88千米，从南京到上海需要几小时？ （3）观察图中的规律，思考图中“A”表示的里程数是多少？可以写一写、画一画，表示清楚你的思考过程。 1．（24-25四年级上·北京延庆·期末）每个足球98元，2450元可以买几个？小刚的列式是2450÷98，下面竖式中箭头所指的部分表示（    ）。 A．2个足球196元 B．2个足球490元 C．20个足球1960元 D．5个足球490元 2．（24-25四年级上·北京昌平·期末）为丰富课间活动，学校购置了630根跳绳，平均分给30个班级，每班分得多少根？下图是瑞瑞同学列竖式计算的第一步，对这一步理解正确的是（    ）。 A．每班先分2根，分完了60根 B．每班先分2根，分完了600根 C．每班先分20根，分完了60根 D．每班先分20根，分完了600根 3．（24-25四年级上·北京昌平·期末）为了提升学生的科学素养，培养创新精神与实践能力，2024年10月15日，阳光小学四年级共646名师生租车去参观中国科学技术馆，每辆大客车限乘50人，一共需要租( )辆大客车。 4．（24-25四年级上·北京房山·期中）共享单车是一种环保、方便的交通工具。下图是李老师某次骑行的行程报告。 行程：3.00千米 2023年7月21日7：45 运动时间 节约碳排放量 消耗卡路里 15分钟 225克 145千卡 （1）李老师平均每小时行驶多少千米？ （2）照这样的速度，李老师每天骑行18千米，每天能节约碳排放量多少克？ 5．（24-25四年级上·北京房山·期中）宋代学者朱熹曾写道：“半亩方塘一鉴开，天光云影共徘徊。”诗中的“亩”是我国农村常用的一种测量土地面积的单位。1亩大约是667平方米，我们一间教室的面积大约是50平方米，那么半亩方塘的面积大约相当于几间教室的面积？ 1．（23-24四年级上·浙江杭州·期中）明明从学校出发去少年宫。如果先走路6分钟，再骑车12分钟，可以到达，如果先骑车10分钟，再走路18分钟，也可以到达。如果明明从学校骑车出发去少年宫， 分钟可以到达。 2．（23-24四年级上·北京丰台·期末）小军全家自驾去草原旅行。全程所经过的道路包括高速公路252千米和其它道路130千米，如果高速公路平均每小时行80千米，其它道路平均每小时行65千米，5小时能否到达目的地？ 3．（23-24四年级上·北京·期末）电影院甲厅座位90个，乙厅座位100个，甲票：80元一张，乙票：50元一张，一场电影票房收入为6840元。本场观众最多多少人？观众最少多少人？ 4．（23-24四年级上·北京·期中）一家汽车厂6月份生产了570辆汽车,其中有10辆不合格,合格产品将用拖挂车运往各销售公司,一辆拖挂车一次可运送35辆汽车,每次需支付运费885元． (1)这些汽车需要多少辆拖挂车一次才能运完? (2)一共需要支付多少运费? 5．（24-25四年级上·北京昌平·期末）国庆节，亮亮一家人打车去天安门广场参加升旗仪式，途中道路拥堵，导航显示到天安门广场还有975米，需要16分钟到达。亮亮一家人选择下车，步行前往，结果提前3分钟到达。他们平均每分钟走多少米？ 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 除法 （13个类型题讲练+三大难度分层练 共54题） 第一部分：类型题讲练 考向一 除数是两位数除法的直接应用 类型1 平均分问题 在班级活动中，老师要把 480 颗糖果平均分给 24 个小组，每个小组能分到多少颗糖果？这就是典型的平均分问题，用糖果总数除以小组数，即480÷24，直接运用除数是两位数的除法来计算。 类型2 包含除问题 学校图书馆新进了 360 本书，每 30 本放在一个书架上，一共需要多少个书架？这里求书架数量，就是看 360 本书里包含多少个 30 本，用360÷30来计算。 考向二 商不变性质的应用 类型3 简便计算问题 计算7200÷900时，根据商不变的性质，被除数和除数同时除以 100，变成72÷9，这样计算就简便多了。在解决一些复杂的除法计算问题时，利用商不变性质可以快速得出结果。 类型4 对比问题 小明 3 分钟走了 180 米，小刚 6 分钟走了 360 米，谁走得快？可以先分别算出两人的速度，小明速度是180÷3=6（米/分），小刚速度是360÷6=60（米/分）。也可以根据商不变性质，小刚的情况可以看作是时间扩大 2 倍，路程也扩大 2 倍，商不变，两人速度一样快。 考向三 数量关系的综合应用 类型1 行程问题 一辆汽车 2 小时行驶了 160 千米，照这样的速度，行驶 480 千米需要多少小时？先根据已知条件算出汽车速度，速度 = 路程÷时间，即160÷2=80（千米/时），再根据时间 = 路程÷速度，求行驶 480 千米需要的时间，480÷80=6（小时）。这里综合运用了除法中的数量关系来解决问题。 类型2 价格问题 妈妈用 240 元买了 6 千克苹果，照这样计算，买 15 千克苹果需要多少钱？先算出苹果的单价，单价 = 总价÷数量，240÷6=40（元/千克），再根据总价 = 单价×数量，求买 15 千克苹果的总价，40×15=600（元）。这也是数量关系在价格问题中的综合运用。 技巧点拨1 除数是两位数除法的解题技巧 1. 试商方法 四舍法：当除数个位上的数小于 5 时，可以把除数看成和它接近的整十数来试商。例如计算184÷23，除数 23 个位是 3 小于 5，把 23 看成 20 来试商，因为184÷20，想 20×9 = 180，所以先试商 9。 五入法：当除数个位上的数大于或等于 5 时，把除数看成和它接近的整十数来试商。比如计算252÷36，除数 36 个位是 6 大于 5，把 36 看成 40 来试商，因为252÷40，想 40×6 = 240，所以先试商 6。 2. 调商方法 试商后，如果余数比除数大，说明商小了，要把商调大；如果初商和除数的乘积比被除数大，说明商大了，要把商调小。例如计算246÷32，把 32 看成 30 试商 8，32×8=256，256＞246，商大了，要调成 7。 技巧点拨2 商不变性质的解题技巧 1. 观察被除数和除数的变化 在使用商不变性质时，要仔细观察被除数和除数同时乘或除以的相同的数（0 除外）。比如计算1400÷25，可以同时把被除数和除数除以 5，变成280÷5，这样计算更简便。 2. 灵活运用性质进行变形 对于一些复杂的算式，可以根据商不变性质进行变形。例如800÷25=(800×4)÷(25×4)=3200÷100=32，通过被除数和除数同时乘 4，使除数变成 100，方便计算。 技巧点拨3 数量关系的解题技巧 1. 分析数量关系在解决行程、价格等问题时，要先明确题目中的数量关系。行程问题中，速度、时间、路程的关系是：速度 = 路程÷时间，时间 = 路程÷速度，路程 = 速度×时间；价格问题中，单价、数量、总价的关系是：单价 = 总价÷数量，数量 = 总价÷单价，总价 = 单价×数量。根据这些关系来列式计算。 2. 画图辅助理解对于一些较复杂的数量关系问题，可以通过画线段图来帮助理解。比如在解决行程问题中两人同时出发相遇的问题时，画线段图能清晰地看出两人的路程、速度和时间的关系，从而更好地解决问题。 类型1 除数是整十数的口算除法 典型例题1：（23-24四年级上·北京·期中）钟面上（    ）时整，时针与分针所成的角是平角。 A．6 B．12 C．9 思路引导：钟面上共12个大格，平均每个大格是30°，平角为180°，那么求几时整需要用除法计算；据此解答。 答题区： 根据分析：180°÷30°＝6（大格），时分与分针相差6大格，所以钟面上6时整，时针与分针所的角是平角。 故答案为：A 【考点剖析】掌握平角的概念，以及除数是两位数的除法计算是解答本题的关键。 变式训练1：（23-24四年级上·浙江绍兴·期末）水果店运来60箱苹果，卖出44箱，还剩下320千克，每箱苹果重多少千克？ 【答案】20千克 【思路引导】水果店运来60箱苹果，卖出44箱，那么就还剩下60－44＝16箱，剩下的苹果重320千克，那么相当于是12箱苹果的重量是320千克，每一箱苹果的重量等于总重量除以箱数，所以每箱苹果的重量＝320÷16＝20千克。 【规范解答】320÷（60－44） ＝320÷16 ＝20（千克） 答：每箱苹果重20千克。 【考点剖析】此题考查四则混合运算的实际应用题，找出条件按步骤计算即可。 变式训练2：（21-22四年级上·北京怀柔·期末）笑笑每天步行上学，她每分钟大约走60米。 （1）她从家出发，需要几分钟才能到学校？ （2）笑笑晚上放学回家，走了3分钟后发现水壶忘在学校了，这时候笑笑大约在什么位置，请用△标出笑笑的位置。 【答案】（1）9分钟； （2） 【思路引导】（1）根据路程÷速度＝时间，计算出笑笑需要几分钟才能到学校。 （2）根据路程＝速度×时间，计算出笑笑走了3分钟后行的路程，再在图中做好标记。 【规范解答】（1）540÷60＝9（分钟） 答：笑笑需要9分钟才能到学校。 （2）3×60＝180（米） 这时候笑笑行了不到一半的路程，位置如图： 【考点剖析】本题考查行程问题的解题方法，解题关键是掌握行程问题的数量关系：速度×时间＝路程；时间＝路程÷速度，列式计算。 类型2 除数是整十数的笔算除法 典型例题2：（2024六年级下·全国·专题练习）郑州高新区2020年实现全区小学学校午餐配餐，解决小学生家长中午没有时间接送孩子问题。为了鼓励小学生节约粮食，高新区八一小学实行了班级空餐盘积分奖励制度。奖励的班级积分可以兑换奖品，四一班37人，若准备每人分一本练习本的话，怎样使用积分兑换最划算？ 思路引导：37人就需要37本练习本，换法一每本（60÷20）积分，换法二每本（10÷3）积分，换法三每本4积分；尽可能用最少得积分换最多的本数；要使使用的积分最划算，应将三种换法结合换，并且先满足换包数的换法，再满足换3本的换法，最后满足换一本的换法。先用除法求出37里面有几个20，余多少，再用余数除以3，即可求出余数里面有几个3，最后新的余数按照换一本的换法。 答题区： 60÷20＝3（积分） 10÷3＝3（积分）……1（积分） 3＜4 37÷20＝1（包）……17（本） 17÷3＝5（组）……2（本） 余下的2本用每本4积分去换 1×60＝60（积分） 5×10＝50（积分） 5×3＝15（本） 2×4＝8（积分） 答：用60积分换一包20本，用50积分换15本，用8积分再换2本，这样使用积分兑换最划算。 变式训练1：（22-23四年级上·北京房山·期末）有430粒糖果，每50粒装一盒，可以装( )盒，剩( )粒。 【答案】 8 30 【思路引导】用糖果的总数除以每盒装的粒数，即可求出可以装几盒，剩几粒。 【规范解答】430÷50＝8（盒）……30（粒） 所以，有430粒糖果，每50粒装一盒，可以装8盒，剩30粒。 【考点剖析】熟练掌握三位数除以两位数的计算方法，注意余数的实际意义。 变式训练2：（21-22四年级上·北京顺义·期末）李叔叔响应绿色出行号召，每月大约能节约30升汽油。每节约10升汽油就相当于减排23千克二氧化碳。全年相当于减排多少千克二氧化碳？ 【答案】828千克 【思路引导】根据题意，30升里面有3个10升，那么每月相当于减排二氧化碳（23×3）升，再乘12，即可求出全年相当于减排多少千克二氧化碳。 【规范解答】23×（30÷10）×12 ＝23×3×12 ＝69×12 ＝828（千克） 答：全年相当于减排828千克二氧化碳。 【考点剖析】分别求出30升里面有几个10升，是解答此题的关键。 类型3 除数是两位数的笔算除法 典型例题3：（24-25四年级上·北京通州·期末）三位同学在计算208÷52时，用了三种不同的方法，你认为这些方法有道理吗？说明你的理由。 丽丽：因为208－52－52－52－52＝0，所以208÷52＝4。 聪聪： 红红：因为52×4＝208，所以208÷52＝4。 思路引导：丽丽：除法的本质是平均分，丽丽通过连续减去相同的数52，直到减到0，说明208里面有4个52，丽丽的方法将被除数分解成若干个除数，除法是求一个数包含另一个数的个数，所以208里面有4个52，用除法表示为208÷52＝4。 聪聪：计算208÷52时，将除数52看作50去试商，所以竖式的商为4。 红红：红红的计算方法利用的是除法是乘法的逆运算，已知一个因数和积，求另一个因数用除法。那么因为52×4＝208，所以208÷52＝4。 答题区： 丽丽的方法有道理 理由：被除数分解成若干个除数，除法是求一个数包含另一个数的个数，所以208里面有4个52，用除法表示为208÷52＝4。 聪聪的方法有道理 理由：把除数看作与它接近的整十数来试商。将52看作50进行试商，所以商应为4。 红红的方法有道理 理由：已知一个因数和积，求另一个因数用除法，因为52×4＝208，所以208÷52＝4。 变式训练1：（24-25四年级上·北京大兴·期末）学校校庆活动进行团体操表演。表演的前半程，同学们平均分成4组，每组144人。后半程，这些同学平均分成12组，每组多少人？ 【答案】48人 【思路引导】由题意得，团体操表演的同学平均分成4组，每组有144人，可以先用144乘4算出一共有多少人。这些同学平均分成12组，求每组有多少人，再用前面的得数除以12即可解答。 【规范解答】144×4＝576（人） 576÷12＝48（人） 答：这些同学平均分成12组，每组有48人。 变式训练2：（24-25四年级上·北京房山·期末）海豹即使在睡觉时也要呼吸。明明对海豹观察了一段时间。开始时海豹从水面潜入水底睡觉，8分钟后浮出水面开始呼吸；又过3分钟后，它再次回到水底。整个过程从开始到结束，都非常有规律。请你解决下面的问题，并写出问题解决过程。 （1）第25分钟时，海豹在水面上还是在水底？ （2）前1小时，海豹在水底的时间一共有多少分钟？ （3）根据上面情境，提出一个你感兴趣的问题。（不用解答） 【答案】（1）水底 （2）45分钟 （3）第20分钟时，海豹在水面上还是在水底？（提问答案不唯一） 【思路引导】（1）根据题目可知，海豹完成一个周期是8＋3＝11（分钟），用25除以11计算出有几个周期，余几分钟，再观察余数是在8分钟以内及8分钟，还是8分钟以上，8分钟及8分钟以内说明海豹在潜入水底睡觉，8分钟以上说明海豹在浮出水面； （2）1小时＝60分钟，用60除以11计算出有几个周期，余几分钟，用商乘8，再加上余数中在水底的时间，计算出在水底一共多少分钟； （3）可以提问：第20分钟时，海豹在水面上还是在水底？用20除以11计算出有几个周期，余几分钟，再观察余数是在8分钟以内及8分钟，还是8分钟以上；提问合理即可，据此解答。 【规范解答】（1）8＋3＝11（分钟） 25÷11＝2（个）……3（分钟） 3＜8 答：第25分钟时，海豹在水底。 （2）1小时＝60分钟 60÷11＝5（个）……5（分钟） 5＜8，说明余下5分钟都在水底 5×8＋5 ＝40＋5 ＝45（分钟） 答：前1小时，海豹在水底的时间一共有45分钟。 （3）提问：第20分钟时，海豹在水面上还是在水底？ 20÷11＝1（个）……9（分钟） 9＞8 答：海豹在水面。（提问答案不唯一） 类型4 多位数除以两位数的试商 典型例题4：（22-23四年级上·山东德州·期末）阳阳带了197元钱去超市购买免洗洗手液，洗手液每瓶27元。阳阳先自己计算，计算过程中把“27”看作( )来试商，商( )了（填“大”或“小”），通过计算最多可以买( )瓶。 思路引导：除数是两位数的除法试商时，可以把除数看作与它接近的整十数来试商，如果把除数看大了，那么商就变小了；用带的钱数除以洗手液的价格求出来的商就是可以买的瓶数，结果有余数时要把余数舍去。 答题区： 27≈30，30＞27 197÷27＝7（瓶）……8（元） 阳阳先自己计算，计算过程中把“27”看作30来试商，商小了，通过计算最多可以买7瓶。 变式训练1：（21-22四年级上·北京顺义·期末）李华认为：“三位数除以两位数的结果一定是一位数”。下面（    ）例子可以帮助他认识到自己的想法不正确。 A．96÷32 B．180÷36 C．686÷98 D．864÷24 【答案】D 【思路引导】两位数除以两位数，可以先估出商大约是多少，每次相除后余数必须比除数小，商是一位数。三位数除以两位数，可以先估出商大约是多少，当被除数的前两位大于或等于除数时，商的首位在十位上面；当被除数的前两位小于除数时，商的首位就在个位上面，商是一位数，每次相除后余数必须比除数小，据此解答。 【规范解答】A．96÷32，是两位数除以两位数，商是一位数，不合题意； B．180÷36，被除数前两位小于除数，商是一位数；     C． 686÷98，被除数前两位小于除数，商是一位数； D． 864÷24，被除数前两位大于除数，商是两位数。 故答案为：D 【考点剖析】本题主要考查三位数除以两位数的试商。 变式训练2：（21-22四年级上·北京顺义·期末）丁丁计算一道三位数除以16的题目，用7试商，发现这个三位数减去16与7的乘积，差是17，正确的商是( )，余数是( )。 【答案】 8 1 【思路引导】根据题意可知，余数17比除数16大，先根据“被除数＝除数×商＋余数”，计算出被除数是多少，再用被除数除以16，计算时把商调大，商8即可解题。 【规范解答】16×7＋17 ＝112＋17 ＝129 129÷16＝8……1 所以，正确的商是8，余数是1。 【考点剖析】正确理解被除数、除数、商与余数之间的关系，注意试商时，余数比除数大，说明商小了，调大再除，是解答此题是关键。 类型5 有余数的除法验算 典型例题5：（23-24四年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）小明在计算△÷32＝□时，将除数32写成了23，结果是25余1，算式中的△＝( )，□＝( )。 思路引导：被除数＝除数×商＋余数，23乘25再加上1，可以算出正确的被除数即△是几。正确的被除数除以正确的除数，即可算出□是几。 答题区： 23×25＋1 ＝575＋1 ＝576 576÷32＝18 小明在计算△÷32＝□时，将除数32写成了23，结果是25余1，算式中的△＝576，□＝18。 变式训练1：（23-24四年级上·甘肃定西·期末）两个数相除的商是7，余数是29，除数最小是( )，被除数最小是( )。 【答案】 30 239 【思路引导】根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即除数最小为：余数＋1，进而根据“被除数＝商×除数＋余数”，据此解答即可。 【规范解答】除数最小为： 29＋1＝30 被除数最小为： 7×30＋29 ＝210＋29 ＝239 两个数相除的商是7，余数是29，除数最小是30，被除数最小是239。 变式训练2：（23-24四年级上·河北·课后作业）一个数除以12，商是最小的两位数，当余数最大时，这个数是( )。 【答案】131 【思路引导】余数最大等于除数减1，最小的两位数是10，再根据“被除数＝商×除数＋余数”即可求出这个数，据此即可解答。 【规范解答】12－1＝11 12×10＋11 ＝120＋11 ＝131 一个数除以12，商是最小的两位数，当余数最大时，这个数是131。 【考点剖析】熟练掌握除法各部分间的关系是解答本题的关键。 类型6 除数是两位数的估算 典型例题6：（24-25四年级上·北京大兴·期末）大兴区安定镇有一棵古银杏树，按照树的年轮推算它的年龄达到了500岁。这棵古银杏树的年龄大约是王爷爷年龄的几倍？ 思路引导：由题意得，王爷爷今年71岁，银杏树的年龄是500岁，求这棵古银杏树的年龄大约是王爷爷年龄的几倍，用除法计算。估算时，可以把71估成70，把500估成490，然后直接口算出结果即可。 答题区： 500÷71≈490÷70＝7 答：这棵古银杏树的年龄大约是王爷爷年龄的7倍。 变式训练1：（23-24四年级上·北京平谷·期末）解放初期普通列车的速度为30千米/时，现在的高铁列车的速度为350千米/时，高铁列车的速度大约是解放初期普通列车的多少倍？ 【答案】12倍 【思路引导】求一个数是另一个数的几倍用除法计算，用现在的高铁列车的速度除以解放初期普通列车的速度即可。 【规范解答】350÷30 ≈360÷30 ＝12 答：高铁列车的速度大约是解放初期普通列车的12倍。 变式训练2：（21-22四年级上·北京怀柔·期末）下图是书店某一天中儿童读物的销售情况。 （1）请估计这一天书店销售这四种儿童读物的总营业额大约是多少元？ （2）如果学校用800元购买《学科学》，估计大约可以买多少本？ 【答案】（1）大约1600元 （2）大约40本 【思路引导】（1）根据这一天书店销售这四种儿童读物的各营业额数相加，求出估算值即可求解； （2）《学科学》的单价是19元/本，求800元可以买的本数，就是求800元里面有多少个19元，用800元除以19元求解，计算时估算即可。 【规范解答】（1）192＋390＋504＋494 ≈200＋400＋500＋500 ＝600＋500＋500 ＝1600（元） 答：这一天书店销售这四种儿童读物的总营业额大约是1600元。 （2）800÷19≈800÷20＝40（本） 答：如果用600元钱购买《学科学》，估计大约可以买40本。 【考点剖析】解决本题根据总价、单价和数量三者之间的关系求解，注意从统计表中读出数据。 类型7 用“进一法”解决问题 典型例题7：（24-25四年级上·辽宁朝阳·期末）《诗经》是我国第一部诗歌总集，一共收录了305篇诗歌。乐乐为了练习书法，打算将《诗经》抄录在笔记本上，每本笔记本能抄录24篇诗歌，那么乐乐至少需要准备( )本笔记本。 思路引导：由题意得，《诗经》一共收录了305篇诗歌。乐乐为了练习书法，打算将《诗经》抄录在笔记本上，每本笔记本能抄录24篇诗歌，求乐乐至少需要准备多少本笔记本，就是求305里面有多少个24，用除法计算。有余数时，需要再多准备一本笔记本才能把所有的诗歌抄写完。 答题区： 305÷24＝12（本）……17（篇） 12＋1＝13（本） 故乐乐至少需要准备13本笔记本。 变式训练1：（23-24四年级上·江西赣州·期末）小猴摘了128个桃子，每12个装一箱，至少需要（    ）个箱子。 A．9 B．10 C．11 【答案】C 【思路引导】用128除以12，计算出的商为装满的箱数，有余数的话，用商加上1为至少需要的箱数；据此解答。 【规范解答】根据分析： 128÷12＝10（个）……8（个） 10＋1＝11（个） 所以至少需要11个箱子。 故答案为：C 变式训练2：（24-25四年级上·河北保定·期中）超市新进了一批火龙果，共158千克。如果每个纸箱最多装25千克，要全部装完至少需要( )个纸箱。 【答案】7 【思路引导】明确总质量、每箱的质量、以及箱数之间的数量关系是解答的关键。 火龙果的总质量已知共158千克，每箱最多装25千克，总质量除以25，余下的不足25千克的单独装1箱，即用商加1即可解答。 【规范解答】158÷25＝6（个）……8（千克） 6＋1＝7（个） 超市新进了一批火龙果，共158千克。如果每个纸箱最多装25千克，要全部装完至少需要7个纸箱。 类型8 用“去尾法”解决问题 典型例题8：（24-25四年级上·陕西宝鸡·期末）某社区开展“参与垃圾分类，共建美丽家园”的活动。为了更好地实施垃圾分类，这个社区用960元买分类垃圾桶，每个垃圾桶79元，最多可以买多少个垃圾桶？还剩多少元？ 思路引导：用960元买分类垃圾桶，每个垃圾桶79元，求最多可以买多少个垃圾桶，就是看960里面有多少个79，用除法计算即可。商就是最多可以买的垃圾桶个数，余数就是剩余的钱数。 答题区： 960÷79＝12（个）……12（元） 答：最多可以买12个垃圾桶，还剩12元。 变式训练1：（23-24四年级上·重庆璧山·期末）小明有230元零花钱，他想用全部的零花钱买文具盒捐给手拉手学校的同学，他最多可以买( )个这样的文具盒。 【答案】10 【思路引导】根据题意，用零花钱的总钱数除以文具盒的单价，求出的商就是可以买文具盒的数量，据此解答即可。 【规范解答】230÷21＝10（个）……20（元） 小明有230元零花钱，他想用全部的零花钱买文具盒捐给手拉手学校的同学，他最多可以买10个这样的文具盒。 变式训练2：（24-25四年级上·江苏常州·期中）一套课桌椅88元，李老师带了800元，最多可以购买( )套这样的课桌椅。 【答案】9 【思路引导】用带的钱数除以一套课桌椅的价格，所求出的商就是最多可以购买这样的课桌的套数，据此解答即可。 【规范解答】800÷88＝9（套）……8（元） 所以最多可以购买9套这样的课桌椅。 类型9 商的变化规律及应用 典型例题9：（23-24四年级上·北京平谷·期末）观察下面两组算式，你发现了什么规律？                ①请你算出两组算式的得数。 ②仔细观察这两组算式，根据你的猜想，请你尝试写出符合这样规律的一组算式： 、 、 。 ③请你试着描述你发现的规律：在除法里，除数不变， 。 思路引导：在除法算式中，除数不变，被除数扩大几倍，商就扩大相同的倍数，据此解答即可。 答题区： ①8÷4＝2    10÷5＝2 16÷4＝4    40÷5＝8 24÷4＝6    60÷5＝12 ②符合这样规律的一组算式：12÷6＝2、36÷6＝6、54÷6＝9。 ③发现的规律：在除法里，除数不变，被除数扩大几倍，商就扩大几倍数。 【考点剖析】此题考查了商的变化规律的灵活运用。 变式训练1：（23-24四年级上·全国·期中）已知★×●=125，如果★不变，●扩大到原来的10倍，那么积变为( )；如果●不变，★除以5，那么积变为( )． 【答案】 1250 25 【规范解答】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几（0除外）；如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个数；两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。 【解答】解：125×10＝1250 125÷5＝25 若△×〇＝125，如果△不变，〇扩大10倍，那么积变为1250；如果〇不变，△除以5，那么积变为25。 故答案为：1250，25。 【点评】此题主要考查的是积的变化规律的灵活应用。 变式训练2：被除数、除数同时扩大到原来的5倍，商也扩大到原来的5倍．( )（判断对错） 【答案】× 类型10 商不变的规律及应用 典型例题10：（24-25四年级上·北京大兴·期末）在计算400÷25时，小红用了下面的方法。 小红用的方法对吗？请说明理由。 思路引导：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变； 结合题意可知，小红在计算400÷25时，被除数和除数同时乘4，则商不变；据此解答。 答题区： 根据分析可知， 小红的做法对，因为她运用了商不变的性质，使计算更简便。（理由合理即可） 变式训练1：．（23-24四年级下·北京顺义·期末）同学们在计算时。出现了四种不同的计算方法，正确的是（    ）。 ①先算 再算 最后结果 ② ③ ④ A．①②③④ B．②③④ C．①② D．③④ 【答案】B 【思路引导】将800拆分成8×100，运用乘法结合律进行计算；根据商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；根据商的变化规律可得，被除数不变，除数乘（或除以）几，商就乘（或除以）几，则据此解答即可。 【规范解答】根据分析可知，①计算不符合规律，计算方法错误； ②8×（100÷25） ＝8×4 ＝32 将800拆分成8×100，8×（100÷25）运用乘法结合律进行计算； ③（800×4）÷（25×4） ＝3200÷100 ＝32 被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变； ④25×4＝100 100×8＝800 8×4＝32 根据商的变化规律可得，被除数不变，除数乘4，商就乘4。 同学们在计算800÷25＝32时。出现了四种不同的计算方法，正确的是②③④。 故答案为：B 变式训练2：（23-24四年级上·北京平谷·期末）列式解决“把700个桃子平均分给30只小猴”和“把70个桃子平均分给3只小猴”，结果相比，（    ）。 A．商相同，余数相同 B．商相同，余数不同 C．商不同，余数相同 D．商不同，余数不同 【答案】B 【思路引导】除数是两位数的笔算除法计算方法：从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位，如果前两位数比除数小，就看前三位。除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。每次除后余下的数必须比除数小。分别算出700÷30与70÷3的商和余数再选择。 【规范解答】700÷30＝23……10 70÷3＝23……1 商相同，余数不同。 故答案为：B 【考点剖析】熟练掌握除数是整十数的计算和商不变的规律是解题关键。 类型11 经济问题 典型例题11：（24-25四年级上·北京房山·期末）有一个旅游团共40人去租船。 大船限乘6人，每条船租金60元； 小船限乘4人，每条船租金50元。 （1）如果所有人全坐小船，需要多少元？ （2）如果打算最多花450元租船，可以怎样租？需要花多少元？请你设计出两种租船方案。 思路引导：（1）用总人数除以每条小船乘坐的人数，得到需要多少条小船。单价×数量＝总价，再用小船的条数乘每条小船租金的价格，就是所有人坐小船需要多少元。 （2）根据第（1）问可知，不能全部乘坐小船，所以需要一部分乘坐大船，一部分乘坐小船。或者全部乘坐大船。船的租金可以是大船的单价×数量＝大船的总价，也可以分别算出大船和小船的总价再相加。要满足够40人乘坐的，还要算出的租金小于等于450元。据此解答。 答题区： （1）40÷4＝10（条） 10×50＝500（元） 答：需要500元。 （2）方案1：6条大船和1条小船。 6×6＋4×1 ＝36＋4 ＝40（人） 6×60＋1×50 ＝360＋50 ＝410（元） 方案2：7条大船。 6×7＝42（人） 7×60＝420（元） 答：可以6条大船和1条小船，租金是410元。可以租7条大船，租金是420元。（答案不唯一） 变式训练1：（24-25四年级上·北京通州·期末）新年联欢会筹备时，王老师想购买一些碳素笔作为奖品发给同学们，碳素笔每支4元，买五赠一，王老师想买60支这种碳素笔，要花多少钱？ 【答案】200元 【思路引导】每买5支碳素笔赠送1支，因此可将6支碳素笔看作1组，然后用王老师购买碳素笔的总支数除以每组碳素笔的数量，从而计算出赠送的数量和实际需要付款的数量，然后再用实际需要付款的数量乘每支碳素笔的价钱即可。 【规范解答】60÷（5＋1） ＝60÷6 ＝10（支） 60－10＝50（支） 50×4＝200（元） 答：要花200元。 变式训练2：（24-25四年级上·北京大兴·期末）学校要为全校22个班，每个班配备一个书架。甲店和乙店都在卖同一款书架，单价都是150元，而且都有优惠活动。 甲店 买十送一 乙店 购买达到20个， 每个书架减20元。 如果购买这款书架，学校选择哪个店更省钱？（写出思考过程） 【答案】乙店，思考过程见详解 【思路引导】分别计算出在两个商店买22个书架的总钱数，然后比较即可解答。 甲商店：每买10个书架赠送1个同款的书架，因此可将11个书架看作1组，然后用学校要购买书架的总数除以每组书架的数量，从而计算出赠送的数量和实际需要付款的数量，然后再用实际需要付款的数量乘每个书架的价钱即可。 乙商店；22个＞20个，因此满足条件，则用每个书架的价钱减去20元，从而计算出买22个书架时每个书架的价钱，然后再根据单价×数量＝总价，计算出买22个书架需要的钱数，依此计算并比较即可。 【规范解答】思考过程：分别计算出在两个商店买22个书架的总钱数，然后再进行比较。 甲商店： 10＋1＝11（个） 22÷11＝2（个） 22－2＝20（个） 20×150＝3000（元） 乙商店： 22个＞20个 22×（150－20） ＝22×130 ＝2860（元） 3000＞2860，所以选择在乙店买更省钱。 答：如果购买这款书架，学校选择乙店更省钱。 类型12 基础行程问题 典型例题12：（24-25四年级上·北京大兴·期末）北京到洛阳的路程大约是800千米。李叔叔在17：55乘某种交通工具从北京出发，当天20：54到达洛阳。他选择的交通工具是（    ）。 交通工具 平均速度 小汽车 约100千米/时 普快列车 约120千米/时 高铁 约280千米/时 飞机 约800千米/时 A．小汽车 B．普快列车 C．高铁 D．飞机 思路引导：根据经过时间＝结束时刻－开始时刻，求出这种交通工具行驶的时间。再根据速度＝路程÷时间，用北京到洛阳的路程除以这种交通工具行驶的时间，求出这种交通工具的速度，再结合表格选择即可。 答题区： 20：54－17：55＝2小时59分 2小时59分大约是3小时。 800÷3≈810÷3＝270（千米/时） 这种交通工具的速度大约是270千米/时，结合表格可知，高铁的平均速度约280千米/时，则他选择的交通工具是高铁。 故答案为：C 变式训练1：（23-24四年级上·北京密云·期末）高铁列车从北京南站到上海虹桥站大约需要5小时。 （1）平均每小时大约行多少千米？ （2）出发2小时后，大约走到什么位置？（先算一算，再用△在图中做标记） 【答案】（1）264千米 （2）528千米； 【思路引导】由题意可知，北京南站到上海虹桥站的路程是1318千米，高铁列车从北京南站到上海虹桥站大约需要5小时，根据速度＝路程÷时间，已知路程和时间，可以计算出速度是多少；计算出速度以后，求出发2小时后的路程，根据路程＝速度×时间，已知速度和时间，可以计算出路程，并在图中相应位置标出，据此即可解答。 【规范解答】（1）1318÷5≈264（千米/时） 答：平均每小时大约行264千米。 （2）264×2＝528（千米） 变式训练2：（23-24四年级上·湖南衡阳·期中）①李老师骑自行车每分钟行265米。②一套办公桌椅320元。③李老师8：30从家出发去学校。④李老师家距学校3000米。⑤学校要购买12套办公桌椅。⑥李老师带了4000元。 （1）请你从以上信息中选择2条，解决下面的问题： 李老师从家出发，骑自行车12分钟能到学校吗？请计算说明， （2）请你从上面的信息中选择2条，提出一个需要用“单价×数量＝总价”来解决的问题，并解答。 选择的信息：（写序号①、②） 提出的问题： 【答案】（1）①④ 能达到； （2）②⑤ 学校购买办公桌椅一共花了多少钱？ 3840元 【思路引导】（1）要判断李老师能否骑自行车12分钟到学校，需要比较李老师从家到学校骑行时间与12分钟的大小关系。也就是要求出李老师从家到学校骑行时间。根据时间＝路程÷速度，需要知道李老师家到学校的距离以及李老师骑自行车的速度，再选择相关信息列式解答即可。 （2）要提出一个需要用“单价×数量＝总价”来解决的问题，就是已知单价和数量，求总价。各个条件中，②表示一套办公桌椅的单价，⑤表示办公桌椅的套数，可以求买这些办公桌椅花费多少钱？再根据“单价×数量＝总价”列式解答。 【规范解答】（1）选择的信息：①④ 12×265＝3180（米） 3180＞3000 答：骑自行车12分钟能到学校。 （2）选择的信息：②⑤ 学校购买办公桌椅一共花了多少钱？ 320×12＝3840（元） 答：学校购买办公桌椅一共花了3840元钱。 类型13 租船问题 典型例题13：（23-24四年级上·重庆垫江·期末）一个工厂要租车运205吨货物，每辆中型卡车的载重量是8吨，租金200元/次：每辆小型卡车的载重量是5吨，租金150元/次。工厂租车运这批货物最少要用( )元。 思路引导：哪辆车型每吨的单价最少，就租哪种车型；根据除法的意义，租中型卡车的每吨单价最少，所以尽可能租中型卡车，且两种车型都满载最省钱；已知每辆中型卡车的载重量是8吨，用除法求出205吨里面有几个8吨，商是几，就租几辆中型卡车，余数正好是小型卡车的载重量，所以余下租1辆小型卡车。然后根据单价×数量＝总价，分别求出2种车型各自的总价，然后求出和即可。 答题区： 200÷8＝25（元） 150÷5＝30（元） 25＜30 205÷8＝25（辆）……5（吨） 5吨正好是小型卡车的载重量， 租25辆中型卡车和1辆小型卡车用钱最少。 租25次中型卡车和1次小型卡车： 25×200＋150 ＝5000＋150 ＝5150（元） 所以工厂租车运这批货物最少要用5150元。 变式训练1：（23-24四年级下·湖北黄冈·期中）“五一”假期，周老师和朋友们一起组团外出旅游。她们提前在网上预定了宾馆，以下是该宾馆的价格表。 【答案】选择4个三人间和一个双人间，钱数最少 【思路引导】首先分别求出预定房间的人均价格是多少，尽量选择人均便宜的，住三人间每人需要：240÷3＝80（元），住二人间每人需要：180÷2＝90（元），所以住三人间最省钱。然后用总人数除以3， 求出需要3人间的个数和剩下的人数，即14÷3＝4（个）……2（人），剩余2人正好可以住一个双人间，即选择4个三人间和一个双人间，用每个三人间的单价乘4，求出预定4个三人间需要的钱数，再用预定4个三人间需要的钱数加上预定1个双人间的钱数，求出预定4个三人间和一个双人间需要花的钱数。选择5个三人间需要：240×5＝1200（元），最后再把两种方案所需要的钱数进行比较，即可解答。 【规范解答】240÷3＝80（元） 180÷2＝90（元） 80＜90＜160 所以三人间最便宜， 14÷3＝4（间）……2（人） 2人正好可以住一个双人间， 4个三人间和一个双人间需要： 240×4＋180 ＝960＋180 ＝1140（元） 5个三人间需要： 240×5＝1200（元） 1140＜1200 答：选择4个三人间和一个双人间，钱数最少。 变式训练2：（23-24四年级下·广东江门·期末）梁启超故居，位于广东省江门市新会区茶坑村，建于晚清，是梁启超先生童年接受启蒙教育和少年时期成长生活的地方，是一幢古色古香的青砖土瓦平房，由故居、怡堂书室组成，建筑面积400多平方米。“向上吧！湾区青年”系列活动之广东历史名人文化古迹探访研学活动第一站将到访梁启超故居。阳光小学四年级225名学生和5名老师准备租车去参观梁启超故居，请设计一种最省钱的租车方案，并算出最少要多少钱？ 【答案】租6辆大车和1辆小车；4000元 【思路引导】先计算出大车、小车平均每人多少钱，然后比较，哪一种便宜就尽量多租便宜的车型，余下的人坐另一种车型，并且尽量使每一辆车都坐满才最省钱，总人数除以每车坐的人数，得到的商就是坐该种车型的辆数，余数就表示还有多少人，从而推算出租另一种车型的辆数。 【规范解答】小车：（元） 大车：17（元）……5（元） 大车的人均租金少，所以尽可能租用大车，不能有空座，如果还有剩余的人数，再租用小车； （名） （辆）……20（人） （辆） （元） 答：租6辆大车和1辆小车最省钱，最少要4000元。 第二部分：难度分层训练 1．（24-25四年级上·河南平顶山·期中）一节火车车厢限载60吨货物，要运走500吨货物，至少需要（    ）节这样的火车车厢。 A．7 B．8 C．9 【答案】C 【思路引导】要求至少需要几节这样的火车车厢，根据题意，也就是求500里面有多少个60，根据除法的意义用除法解答即可。注意联系生活实际，用进一法进行解答。 【规范解答】500÷60＝8（节）……20（吨） 余下的20吨货物，还再需要1节车厢， 8＋1＝9（节） 所以至少需要9节这样的火车车厢。 故答案为：C 2．（23-24四年级下·陕西商洛·期末）为普及空间科学知识，激发广大青少年不断追寻“科学梦”的热情，张老师和王老师带领139名学生坐车参观航天展览。小车限乘客8人，租金120元/辆；大车限乘客25人，租金300元/辆。他们租（    ）最省钱。 A．3辆大车和9辆小车 B．4辆大车和5辆小车 C．5辆大车和2辆小车 D．6辆大车 【答案】C 【思路引导】根据题意，先确定乘车的总人数，再判断选项中的车辆够不够坐，再计算出每种租车方案的钱数，比较出钱数最少的方案。 【规范解答】139＋2＝141（人） A．3×25＋9×8 ＝75＋72 ＝147（人） 147＞141，座位够坐，总费用为： 3×300＋9×120 ＝900＋1080 ＝1980（元） B．4×25＋5×8 ＝100＋40 ＝140（人） 140＜141，座位不够坐，方案不可选； C．5×25＋2×8 ＝125＋16 ＝141（人） 座位正好够坐，总费用为： 5×300＋2×120 ＝1500＋240 ＝1740（元） D．6×25＝150（人） 150＞141，座位够坐，总费用为： 6×300＝1800（元） 1740＜1800＜1980，因此，租5辆大车和2辆小车最省钱。 故答案为：C 3．（23-24四年级上·北京大兴·期末）一只老虎的体重是196千克，一只熊猫的体重是64千克。估算一下，这只老虎的体重大约是这只熊猫的( )倍。 【答案】3 【思路引导】根据倍数关系，用老虎的体重除以熊猫的体重则可求出这只老虎的体重大约是这只熊猫的多少倍，然后估算即可。 【规范解答】196÷64 ≈180÷60 ＝3 所以这只老虎的体重大约是这只熊猫的3倍。 4．（24-25四年级上·北京房山·期中）蜜蜂是一种群居昆虫，其中出来采蜜的是工蜂。工蜂飞行的速度大约是23千米/小时，平均一只工蜂每天飞出去15次左右，一天大约飞行7小时。每只工蜂的蜜囊容量约为0.03－0.05克，一只工蜂的一生能为人类提供大约3克蜂蜜。 （1）根据题目的信息和自己的计算，补全下面的表格。 工蜂飞 行速度 平均每只工蜂每 天飞出去的次数 每只工蜂每 天飞行时间 每只工蜂一生能 提供蜂蜜数量 每只工蜂一天 飞行的路程 15次左右 约7小时 约3克 （2）亮亮每天早上吃一小勺蜂蜜（大约9克），大约是几只工蜂一生的劳动成果？ 【答案】（1）表格填写见详解；161千米 （2）3只 【思路引导】（1）根据题目中的条件补全表格即可。速度×时间＝路程，用工蜂飞行的速度乘一天 的时间就是一天飞行的路程。算出结果填写表格即可。 （2）用亮亮吃的蜂蜜的克数除以每只工蜂一生能提供蜂蜜克数就是几只工蜂一生的劳动成果。 【规范解答】（1）23×7＝161（千米） 表格填写如下所示： 工蜂飞 行速度 平均每只工蜂每 天飞出去的次数 每只工蜂每 天飞行时间 每只工蜂一生能 提供蜂蜜数量 每只工蜂一天 飞行的路程 23千米/小时 15次左右 约7小时 约3克 161千米 （2）9÷3＝3（只） 答：3只工蜂一生的劳动成果。 5．（23-24四年级上·北京房山·期末）《汽车司机使用交通图册》中有这样一个“里程速查表”（如图所示，单位：千米）“312国道”从南京到上海的8个城市中，任意两个城市之间的公路里程都可以从该表中查到。例如，按照图中所示的方法，“镇江”所在列和“苏州”所在行交叉处的数“183”就是镇江到苏州的公路里程数。 （1）丹阳到昆山的公路里程是（    ）千米。 （2）如果汽车平均每小时行驶88千米，从南京到上海需要几小时？ （3）观察图中的规律，思考图中“A”表示的里程数是多少？可以写一写、画一画，表示清楚你的思考过程。 【答案】195； 4小时； 64千米；苏州到上海的公路里程数＝苏州到昆山的公路里程数＋昆山到上海的公路里程数 【思路引导】（1）由图可以看出，“丹阳”所在列和“昆山”所在行交叉处的数“195”就是丹阳到昆山的公路里程数。 （2）由图可以看出，南京到上海的公路里程数为352千米，根据“时间＝路程÷速度”，可求出从南京到上海花费的时间。 （3）根据题意，“A”表示苏州到上海的公路里程数，因为苏州到常州的公路里程数＝苏州到无锡的公路里程数＋无锡到常州的公路里程数，据此分析即可。 【规范解答】（1）由分析知，丹阳到昆山的公路里程是195千米。 （2）352÷88＝4（小时） 答：从南京到上海需要4小时。 （3）由分析知，苏州到上海的公路里程数＝苏州到昆山的公路里程数＋昆山到上海的公路里程数 即“A”＝10＋54＝64（千米） 答：“A”表示的里程数是64千米。 1．（24-25四年级上·北京延庆·期末）每个足球98元，2450元可以买几个？小刚的列式是2450÷98，下面竖式中箭头所指的部分表示（    ）。 A．2个足球196元 B．2个足球490元 C．20个足球1960元 D．5个足球490元 【答案】D 【思路引导】竖式中箭头所指的部分是除数98与商25个位上的5相乘得到的，即98×5＝490，表示5个足球490元，据此解答即可。 【规范解答】每个足球98元，2450元可以买25个。小刚的列式是2450÷98，竖式中箭头所指的部分表示5个足球490元。 故答案为：D 2．（24-25四年级上·北京昌平·期末）为丰富课间活动，学校购置了630根跳绳，平均分给30个班级，每班分得多少根？下图是瑞瑞同学列竖式计算的第一步，对这一步理解正确的是（    ）。 A．每班先分2根，分完了60根 B．每班先分2根，分完了600根 C．每班先分20根，分完了60根 D．每班先分20根，分完了600根 【答案】D 【思路引导】根据题意可知，用630÷30笔算时，先用被除数的前两位63个十除以30，商表示2个十，也就是20，即每班先分20根，2个十乘30等于60个十，也就是600，即分完了600根。据此作答即可。 【规范解答】根据分析可知：为丰富课间活动，学校购置了630根跳绳，平均分给30个班级，每班分得多少根？下图是瑞瑞同学列竖式计算的第一步，对这一步理解正确的是每班先分20根，分完了600根。 故答案为：D 3．（24-25四年级上·北京昌平·期末）为了提升学生的科学素养，培养创新精神与实践能力，2024年10月15日，阳光小学四年级共646名师生租车去参观中国科学技术馆，每辆大客车限乘50人，一共需要租( )辆大客车。 【答案】13 【思路引导】根据题意，用阳光小学四年级师生总人数除以每辆大客车限乘人数，求得的商就是需要租大客车的数量，如果有余数，就用求得的商加上1，即可求出一共需要租大客车的数量。 【规范解答】646÷50＝12（辆）……46（人） 12＋1＝13（辆） 为了提升学生的科学素养，培养创新精神与实践能力，2024年10月15日，阳光小学四年级共646名师生租车去参观中国科学技术馆，每辆大客车限乘50人，一共需要租13辆大客车。 4．（24-25四年级上·北京房山·期中）共享单车是一种环保、方便的交通工具。下图是李老师某次骑行的行程报告。 行程：3.00千米 2023年7月21日7：45 运动时间 节约碳排放量 消耗卡路里 15分钟 225克 145千卡 （1）李老师平均每小时行驶多少千米？ （2）照这样的速度，李老师每天骑行18千米，每天能节约碳排放量多少克？ 【答案】（1）12千米 （2）1350克 【思路引导】（1）根据题意，1小时＝60分，看60里面有几个15分钟，就有几个3千米。用几乘3就是李老师平均每小时行驶的千米数。 （2）根据题意，骑行3千米节约碳排放量225克，用225除以3算出骑行1千米节约多少克，再乘18，就是每天能节约碳排放量多少克。 也可以用18除以3，算出一共有6个这样的3千米。而每3千米节约225克。再用6乘225也是每天能节约碳排放量多少克。 【规范解答】（1）60÷15＝4（个） 4×3＝12（千米） 答：李老师平均每小时行驶12千米。 （2）225÷3＝75（克） 75×18＝1350（克） 或18÷3＝6（个） 6×225＝1350（克） 答：每天能节约碳排放量1350克。 5．（24-25四年级上·北京房山·期中）宋代学者朱熹曾写道：“半亩方塘一鉴开，天光云影共徘徊。”诗中的“亩”是我国农村常用的一种测量土地面积的单位。1亩大约是667平方米，我们一间教室的面积大约是50平方米，那么半亩方塘的面积大约相当于几间教室的面积？ 【答案】7间 【思路引导】先用667除以2计算出半亩的面积大约是多少平方米，计算时将667看作与之相近的整百整十数进行估算；再除以50计算出半亩方塘的面积大约相当于几间教室的面积，计算时将被除数看作与之相近，且与除数与倍数关系的数；据此解答。 【规范解答】667÷2≈670÷2＝335（平方米） 335÷50≈350÷50＝7（间） 答：半亩方塘的面积大约相当于7间教室的面积。 1．（23-24四年级上·浙江杭州·期中）明明从学校出发去少年宫。如果先走路6分钟，再骑车12分钟，可以到达，如果先骑车10分钟，再走路18分钟，也可以到达。如果明明从学校骑车出发去少年宫， 分钟可以到达。 【答案】13 【思路引导】根据题意，先找到步行与骑车的关系，再进行计算，两个如果骑车时间相差2分钟，步行时间相差12分钟，则骑车2分钟相当于步行12分钟。 【规范解答】骑车2分钟相当于步行12分钟，则骑车1分钟相当于步行6分钟。 如果将步行6分钟换成骑车1分钟，则一共骑车12＋1＝13（分钟） 【考点剖析】本题的关键在于找到步行速度与骑车速度之间的关系。 2．（23-24四年级上·北京丰台·期末）小军全家自驾去草原旅行。全程所经过的道路包括高速公路252千米和其它道路130千米，如果高速公路平均每小时行80千米，其它道路平均每小时行65千米，5小时能否到达目的地？ 【答案】不能 【思路引导】题目问5小时能否到达目的地？可以根据“时间＝路程÷速度”先计算走完全程所用的时间，然后和5小时进行比较，如果结果有余数，应当弄清楚余数的含义后再进行比较。这里需要注意在高速公路和在其它道路上行驶的平均速度不同，应分别计算所用的时间，据此思考。 【规范解答】130÷65＝2（时）        252÷80＝3（时）……12（千米）       12＞0 答：5小时不能到达目的地。 【考点剖析】本题考查简单的行程问题，当平均速度不一样时，应分别计算所用的时间。当计算出的结果有余数时，应该先弄清楚余数的含义，这里的“12”表示还剩12千米才到达目的地，然后可以用剩下的路程进行比较，从而得出结论。 3．（23-24四年级上·北京·期末）电影院甲厅座位90个，乙厅座位100个，甲票：80元一张，乙票：50元一张，一场电影票房收入为6840元。本场观众最多多少人？观众最少多少人？ 【答案】123人，87人 【规范解答】第一问：100×50=5000（元）   6840-5000=1840（元） 1840÷80=23（人） 100+23=123（人） 第二问： 6840÷80=85（人）……40（元） 说明买两种票的人都有。要想人数最少，买80元票价的人尽可能多。 80×83+50×4 =6640+200 =6840（元） 83+4=87（人） 答：本场观众最多123人；观众最少87人。 4．（23-24四年级上·北京·期中）一家汽车厂6月份生产了570辆汽车,其中有10辆不合格,合格产品将用拖挂车运往各销售公司,一辆拖挂车一次可运送35辆汽车,每次需支付运费885元． (1)这些汽车需要多少辆拖挂车一次才能运完? (2)一共需要支付多少运费? 【答案】（1）16辆      （2）14160元 【规范解答】(1)(570-10)÷35=16(辆) (2)885×16=14160(元) 5．（24-25四年级上·北京昌平·期末）国庆节，亮亮一家人打车去天安门广场参加升旗仪式，途中道路拥堵，导航显示到天安门广场还有975米，需要16分钟到达。亮亮一家人选择下车，步行前往，结果提前3分钟到达。他们平均每分钟走多少米？ 【答案】75米 【思路引导】首先用16分钟－3分钟，求出实际步行所用的时间，然后根据速度＝路程÷时间，用导航显示到天安门广场的距离除以实际步行所用的时间，即可求出他们平均每分钟走多少米。 【规范解答】975÷（16－3） ＝975÷13 ＝75（米/分钟） 答：他们平均每分钟走75米。 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $