第十单元 数学百花园（解决问题专项）数学北京版四年级上册

第十单元 数学百花园 （4个类型题讲练+三大难度分层练 共27题） 第一部分：类型题讲练 考向一 集合问题 类型1 人员统计 在统计班级学生的兴趣爱好、特长技能等情况时，会出现部分同学同时具备多种爱好或技能的情况。例如，统计喜欢绘画和书法的同学人数，有些同学既喜欢绘画又喜欢书法，这就需要用集合的概念来准确统计总人数。 类型2 物品分类统计 对物品进行分类统计时，也会遇到重叠的情况。比如，在统计图书馆中文学类和历史类书籍的数量，有些书籍既属于文学类又属于历史类，需要运用集合知识来避免重复计算。 解题技巧 绘制韦恩图：韦恩图是解决集合问题的有力工具。通过画两个或多个相交的圆，分别表示不同的集合，相交部分表示重叠的元素。例如，在统计喜欢绘画和书法的同学人数时，一个圆表示喜欢绘画的同学，另一个圆表示喜欢书法的同学，两圆相交的部分就是既喜欢绘画又喜欢书法的同学。通过韦恩图可以直观地看出各个部分的数量关系，便于计算总人数。 运用公式计算：对于两个集合的情况，总人数 = 集合A的人数 + 集合B的人数 - 既属于A又属于B的人数。例如，已知喜欢绘画的有20人，喜欢书法的有15人，既喜欢绘画又喜欢书法的有5人，那么喜欢绘画或书法的总人数为20 + 15 - 5 = 30人。 考向二 方阵问题 类型1 队列编排 在学校的运动会、军训等活动中，学生们会排成方阵进行表演或训练。例如，要编排一个正方形的方阵队伍，需要根据总人数来确定方阵每边的人数，或者根据每边的人数计算方阵的总人数。 类型2 物品摆放 在布置会场、摆放花盆等场景中，也会用到方阵的知识。比如，用花盆摆成一个方阵造型，需要知道方阵的边长和层数，从而计算出所需花盆的总数。 解题技巧 明确方阵类型：方阵分为实心方阵和空心方阵。实心方阵是内部全部排满的方阵，空心方阵是内部未全部排满的方阵。不同类型的方阵有不同的计算公式。 掌握关键公式 实心方阵：方阵总人数 = 每边人数 × 每边人数。例如，一个每边有8人的实心方阵，总人数为8 × 8 = 64人。 最外层人数 =（每边人数 - 1）× 4。比如，每边有8人的实心方阵，最外层人数为（8 - 1）× 4 = 28人。 空心方阵：最外层每边人数 = 四周总人数 ÷ 4 + 1。例如，空心方阵最外层总人数为36人，那么最外层每边人数为36 ÷ 4 + 1 = 10人。 方阵总人数 = （最外层每边人数 - 层数）× 层数 × 4 。比如，一个三层的空心方阵，最外层每边有10人，那么总人数为（10 - 3）× 3 × 4 = 84人。 利用层间关系：方阵每相邻两层边上元素个数相差为2，由内向外每相邻两层总元素数相差为8（每层边上元素个数为奇数时，实心方阵最中间两层差7）。可以根据这些关系，在已知某一层人数的情况下，求出其他层的人数，进而计算出方阵的总人数。 考向三 数字编码问题 类型1 身份识别 身份证号码是最常见的数字编码，它包含了个人的出生日期、地区、性别等重要信息。通过对身份证号码的编码规则的了解，可以从号码中提取出这些信息。 类型2 商品管理 商品的条形码、编号等也是数字编码的应用。商家可以通过这些编码来管理商品的库存、销售等信息。例如，超市里的商品条形码可以记录商品的名称、价格、产地等信息，方便收银员扫描结算和库存管理。 类型3 信息传递 在一些特定的场合，会使用数字编码来传递信息。比如，学校的学号、班级编号等，通过这些编码可以快速准确地识别学生的身份和所在班级。 解题技巧 了解编码规则：不同的数字编码有不同的规则，要解决数字编码问题，首先要了解其编码规则。例如，身份证号码的前六位是地址码，接下来八位是出生日期码，再接下来三位是顺序码，最后一位是校验码。通过了解这些规则，就可以从身份证号码中提取出相应的信息。 分析编码结构：仔细分析编码的结构，找出每个部分所代表的含义。比如，商品的编号可能由品牌代码、产品类型代码、批次代码等组成，通过分析这些代码的含义，可以更好地理解商品的信息。 根据问题推理：根据题目所提供的信息和已知的编码规则，进行推理和计算。例如，已知某学生的学号编码规则和部分学号信息，要求推算出该学生的入学年份、班级等信息，就需要根据编码规则进行逐步推理。 类型1 集合问题 典型例题1：（24-25四年级上·山东淄博·期中）四年级一班学生全部参加艺术社团活动，参加合唱社团的有25人，参加美术社团的有27人，两种都参加的有11人，全班有（    ）人。 A．52 B．63 C．38 D．41 思路引导：用参加合唱社团的人数加上参加美术社团的人数，因为重复算了两种都参加的人数，所以再减11即为全班的人数。 答题区： 25＋27－11 ＝52－11 ＝41（人） 全班有41人。 故答案为：D 变式训练1：（24-25四年级上·山东东营·期末）四（5）班有35名学生，会葫芦丝的有15名，会吉他的有18名，两种都不会的有5名。两种都会的有( )名学生。 【答案】3 【思路引导】由题意得，四（5）班有35名学生，会葫芦丝的有15名，会吉他的有18名，两种都不会的有5名，可以先把会葫芦丝的人数和会吉他的人数加起来，但会将两种乐器都会的人数重复计算，接着再加上两种都不会的人数。最后用前面的得数减去全班的人数即可算出两种都会的有多少名学生。 【规范解答】15＋18＋5－35 ＝33＋5－35 ＝38－35 ＝3（名） 故两种乐器都会的有3名学生。 变式训练2：（2021四年级下·全国·竞赛）四年级（1）班的同学排队做操，每行人数相同，小明的位置从左数排第4，从右数排第3，从前数排第5，从后数排第6，四年级（1）班共有多少人？ 【答案】60人 【思路引导】从左数排第4，从右数排第3，从前数、从后数，都数了自己，多算了一次，要减去1，那么这一行有6个人；同理，从前数排第5，从后数排第6，那么这一列有10个人；6乘10即为总人数。 【规范解答】（人） （人） （人） 答：四年级（1）班共有60人。 【考点剖析】由本题考查的是重叠问题，对于这种队列问题，由于两次都数了自己，所以会多算一次。 变式训练3：（2021四年级下·全国·竞赛）有100位旅客，其中有10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，又83人懂俄语。那么这100位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人？ 【答案】68人 【思路引导】总共4类人，既不懂英语，又不懂俄语，只懂英语，只懂俄语，既懂英语又懂俄语，这四类人总共100人。 【规范解答】（人） （人） 答：既懂英语又懂俄语的有68人。 【考点剖析】本题考查的是两个量的容斥问题，可以画韦恩图表示出各部分的数量。 类型2 方阵问题 典型例题2：（24-25四年级上·北京通州·期末）有一组图形如图所示，照这样一直摆下去，第八个图形有( )个圆点。 思路引导：根据题意可知，第一个图形有4个圆点，1×4＝4（个），第二个图形有8个圆点，2×4＝8（个），第三个图形有12个圆点，3×4＝12（个），第四个图形有16个圆点，4×4＝16（个），则第五个图形有（5×4）个圆点，第六个图形有（6×4）个圆点，第七个图形有（7×4）个圆点，第八个图形有（8×4）个圆点，据此填空即可。 答题区： 8×4＝32（个） 照这样一直摆下去，第八个图形有32个圆点。 变式训练1：（24-25四年级上·北京房山·期末）学校体育节入场式，四（1）班同学排成5×5的方阵。最外层的同学手拿鲜花，拿鲜花的同学一共有多少人？ （1）通过圈一圈、画一画等方法把你的思考过程表示出来。 （2）根据你的思考过程，列式解答。 【答案】（1）见详解 （2）16人 【思路引导】（1）根据题目可知，最外层的同学手拿鲜花，求拿鲜花的同学一共有多少人，将最外圈的人圈出即可； （2）将上、下圈出的5人，以及左、右圈出的3人相加即可；据此解答。 【规范解答】（1）如图： （圈法不唯一） （2）5＋5＋3＋3＝16（人） 答：拿鲜花的同学一共有16人。 变式训练2：（22-23四年级上·北京丰台·期末）小明、小亮使用九路棋盘练习围棋。 (1)如果1号棋子的位置用数对表示是（3，7），2号棋子的位置用数对表示是（4，5）。那么，3号棋子用数对表示是( )，4号棋子用数对表示是( )。 (2)最外一圈最多可以放( )枚棋子。 【答案】(1) （6，3） （7，4） (2)32 【思路引导】（1）竖排叫做列，横排叫做行。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数。数对的表示方法是（所在的列数，所在的行数），依此填空。 （2）根据题意可知，一条边可以放9枚，两端都要放，因此每条边的两个端点之间可以放（9－2）枚，共4条边，也就是放4个（9－2）枚，然后再加四个端点各1枚，也就是再加4枚，依此计算。 【规范解答】（1）根据分析可知，3号棋子用数对表示是（6，3） ，4号棋子用数对表示是 （7，4） 。 （2）9－2＝7（枚） 7×4＝28（枚） 28＋4＝32（枚） 即最外一圈最多可以放32枚棋子。 【考点剖析】解答此题的关键是要熟练掌握数对的表示方法，以及植树问题的计算。 变式训练3：（21-22四年级上·北京顺义·期末）一个用棋子摆出的实心方阵，最外层有60枚棋子，这个方阵一共有( )枚棋子。 【思路引导】已知正方形最外层摆满需60枚棋子，根据方阵中“每边的枚数＝四周的枚数÷4＋1”可求得最外层每边摆了多少枚棋子，内部全部摆满，则形成一个实心方阵，要求共需多少棋子，根据“每边棋子数×每边棋子数＝总棋子数”解答即可。 【规范解答】60÷4＋1 ＝15＋1 ＝16（枚） 16×16＝256（枚） 所以，这个正方形共用棋子256枚。 【考点剖析】本题关键是求出最外层每边的棋子数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数－1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4＋1，实心方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数。 类型3 数字编码问题 典型例题3：（25-26四年级上·河南周口·阶段练习）胜利小学给每个学生编学号时，设定末尾用“1”表示男生，用“2”表示女生。如2020年入学的第12班的18号学生是女生，她的学号就是2012182，从1807301这个学号中可知，该生是( )年入学的第( )班的( )号，是一名( )（“男”或“女”）生。 思路引导：根据学号编码规则，前两位表示入学年份的后两位，中间两位表示班级，接下来两位表示序号，最后一位表示性别（1为男，2为女）。 答题区： 将学号1807301分解为18（年份）、07（班级）、30（序号）、1（性别），对应2018年入学的第7班的30号，是一名男生。 变式训练1：（25-26四年级上·河北·课后作业）下面是阳光小学学生学号编制规则。（1表示男生，2表示女生） （1）请你为2022年入学的3班学生编制学号。 姓名 性别 学号 姓名 性别 学号 1号   张涛 男 10号  王乐 男 14号  刘丽 女 8号   李洁 女 7号   王杰 男 23号  赵心 女 （2）下面几个学号表示的是哪年入学的几班几号学生？是男生还是女生？ 202205111：（    ） 202104012：（    ） 202003032：（    ） 201801101：（    ） （3）小花同学的学号为202108422，我们可以知道，小花所在的年级至少有（    ）个班级，所在的班级至少有（    ）名学生。 【答案】（1）见详解；（2）2022年入学的5班11号学生，是男生；2021年入学的4班1号学生，是女生；2020年入学的3班3号学生，是女生；2018年入学的1班10号学生，是男生；（3）8；42 【思路引导】根据阳光小学学生学号编制规则：前四位是入学年份，第5，6位是班序，第7，8位是学号，第九位1表示男生，2表示女生。（1）为2022年入学的3班学生编制学号则前六位是202203，再根据学号，性别接着给每个学生编。（2）根据编号规则找出学号表示的是哪年入学的几班几号学生，最后一个数字1表示男生，2表示女生。（3）202108422表示2021年入学的8班42号学生，是女生，所以小花所在的年级至少有8个班级，所在的班级至少有42名学生。 【规范解答】（1） 姓名 性别 学号 姓名 性别 学号 1号   张涛 男 202203011 10号  王乐 男 202203101 14号  刘丽 女 202203142 8号   李洁 女 202203082 7号   王杰 男 202203071 23号  赵心 女 202203232 （2）202205111：（2022年入学的5班11号学生，是男生） 202104012：（2021年入学的4班1号学生，是女生） 202003032：（2020年入学的3班3号学生，是女生） 201801101：（2018年入学的1班10号学生，是男生） （3）小花同学的学号为202108422，我们可以知道，小花所在的年级至少有（8）个班级，所在的班级至少有（42）名学生。 变式训练2：（24-25四年级上·山东德州·期中）小琳是2019年上的一年级，2023年秋季开学后他在五年级二班，班里共有45名学生，他是5号，根据这些信息你能帮他设计档案号吗？在设计的档案号后面加上设计说明。 【答案】19050205；设计说明：19表示2019年入学，05表示五年级，02表示二班，05表示学号5号。（答案不唯一） 【思路引导】根据题意，可以设计档案号的前四位是入学时间即2019，第5、6位代表年级即05，第7、8位代表班级即02，第9、10位代表几号即05，据此写出档案号即可。 【规范解答】答：她的档案号是19050205，设计说明：19表示2019年入学，05表示五年级，02表示二班，05表示学号5号。（答案不唯一） 变式训练3：（24-25四年级上·山东德州·期中）山西博物院的藏品编号是按年编号，按数字分类：1、2、3、4、5分别代表石器、骨器、陶器、瓷器、铜器。如馆藏一件文物的藏品分类号为54－1－2，其中，“54”代表入藏时间为1954年，“1”代表石器，“2”代表1954年入藏的第2件石器。那么山西博物院1966年入藏的第3件陶器藏品编号为( )。 【答案】 66－3－3 【思路引导】根据山西博物院藏品编号规则，编号由三部分组成：前两位表示入藏年份的后两位数字，中间一位表示藏品类别，最后一位表示该年份同类藏品的序号。1966年入藏的第3件陶器，年份对应“66”，类别为“3”，序号为“3”，因此编号为66－3－3。 【规范解答】由分析可知，山西博物院的藏品编号是按年编号，按数字分类：1、2、3、4、5分别代表石器、骨器、陶器、瓷器、铜器。如馆藏一件文物的藏品分类号为54－1－2，其中，“54”代表入藏时间为1954年，“1”代表石器，“2”代表1954年入藏的第2件石器。那么山西博物院1966年入藏的第3件陶器藏品编号为66－3－3。 第二部分：难度分层训练 1．（22-23五年级上·广东河源·期末）一个实心方阵的最外层每边有10人，这个方阵一共有（    ）人。 A． B． C． 【答案】A 【思路引导】实心方阵是指行数与列数都相等，正好排成一个正方形。求实心方阵的总人数，可以根据正方形的面积公式得出：实心方阵总人数＝每边人数×每边人数，代入数据计算即可求解。 【规范解答】如图： （人） 这个方阵一共有人。 故答案为：A 【考点剖析】本题考查方阵问题，掌握实心方阵总人数的算法是解题的关键。 2．（23-24四年级上·北京平谷·期末）下面是用磁扣摆成的方阵，求最外层一共有多少个磁扣，选项（    ）能表达算式（6－1）×4的含义。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】要求最外层的磁扣个数，因为用每边磁扣个数乘4时，顶点上的磁扣被重复计算，所以用每边磁扣个数减去1，再乘4即可。据此解答即可。 【规范解答】根据分析可知：求最外层一共有多少个磁扣，选项B能表达算式（6－1）×4的含义。 故答案为：B 3．（23-24四年级下·江苏扬州·期末）学校航模队的同学用无人机进行演出，无人机共排成6行，每行6架。最外圈的无人机闪烁红灯，其余的闪烁黄灯，闪烁红灯的有( )架。 【答案】20 【思路引导】可以将无人机排列的图形看作一个长方形，因为“最外圈的无人机闪烁红灯，其余的闪烁黄灯”，那么闪烁黄灯的行数为6－2＝4（行），每行为6－2＝4（架），计算出闪烁黄灯的无人机架数然后再用无人机总数减去黄灯数，则可求出红灯数，据此解答。 【规范解答】根据分析可知： 黄灯：4×4＝16（架） 总数：6×6＝36（架） 红灯：36－16＝20（架） 即闪烁红灯的有20架。 4．（23-24四年级上·北京·单元测试）五年级的58名同学，在期中测试中，语文考得100分的有10人，数学考得100分的有25人，数学、语文都得100分的有5人，那么两科都没考得100分的有几人？ 【答案】28人 【思路引导】用全班的人数减去语文考得100分和数学考得100分的人数，就把数学、语文都得100分多减了一次，再加上数学、语文都得100分的人数就是两科都没考得100分的人数。 【规范解答】58﹣10﹣25＋5 ＝48﹣25＋5 ＝23＋5 ＝28（人） 答：两科都没考得100分的有28人。 【考点剖析】本题主要考查学生对集合知识的掌握与灵活运用。 5．（23-24四年级上·北京·课后作业）给一个方形建筑物四周进行装饰，每边放10盆鲜花，共放了多少盆鲜花？ 【答案】36盆 【思路引导】根据题意可知，最外层的总盆数＝（每边的盆数－1）×4，代入数据解答即可。 【规范解答】（10－1）×4 ＝9×4 ＝36（盆） 答：共放了36盆鲜花。 1．（24-25四年级上·北京延庆·期末）学校轮滑小组有36名队员，花样滑冰小组有24名队员，两个小组共有多少名队员？解决这个问题，下面（    ）答案不可能正确。 A．24 B．36 C．50 D．60 【答案】A 【思路引导】根据题意，已知学校轮滑小组有36名队员，花样滑冰小组有24名队员，那么两个小组的队员，有可能同时参加两个小组，也有可能只参加一个小组，所以人数范围一定大于或等于36人，36＋24＝60（人）小于等于60人，以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： A．24小于36，不符合题意，错误。   B．36＝36，符合题意，正确。 C．36＜50＜60，符合题意，正确。 D．60＝60，符合题意，正确。   学校轮滑小组有36名队员，花样滑冰小组有24名队员，两个小组共有多少名队员？解决这个问题，答案是24不可能正确。 故答案为：A 2．（24-25四年级上·北京延庆·期末）运动会为每位运动员编号，规定尾号1表示男生，尾号2表示女生。小刚是三年级12班男运动员，顺序号是16，编号是312161；小芳是四年级3班女运动员，顺序号是28，她的编号是（    ）。 A．403281 B．403282 C．43281 D．43282 【答案】B 【思路引导】由题意得，编号的第一位的数字表示年级，第二位和第三位数表示班级，第四位和第五位数表示多少号，最后一位表示性别。小芳是四年级3班女运动员，顺序号是28，所以她的编号第一位数是4，第二位和第三位数是03，第四位和第五位数是28，最后一位是2，即她的编号是403282。 【规范解答】由分析得，小芳的编号是403282。 故答案为：B 3．（24-25四年级上·北京昌平·期末）在我们的日常生活中，数字编码随处可见，它们代表着各种不同的含义和信息，比如一家医院的住院手环编号如下图所示。李爷爷手环编号是：外202412100405081，他住在外科405病房( )号床位。 （“1”代表男性，“2”代表女性） 外    20230918    0302    04    1 科室  住院时间    病房号  床号  性别 【答案】8/08 【思路引导】根据题意可知，医院的住院手环编号是由科室、住院时间、病房号、床号、性别几部分组成，从左往右：第1～8位数字表示住院年、月、日；第9～12位数字表示病房号；第13～14位数字表示床号；第15位数字表示性别：1代表男性，2代表女性；据此解答即可。 【规范解答】根据分析可知： 李爷爷手环编号是：外202412100405081，他住在外科405病房8号床位。 4．（22-23四年级上·四川成都·期末）淘气和奇思所在的蓝天小区共有25栋楼，每栋楼有18层，每层有4户居民。淘气住在第十栋楼第2层3号房，他家的门牌号是100203，奇思家的门牌号是011601。他们平时经常在一起学习，一起到小区的篮球场去打篮球。 （1）奇思家在蓝天小区第（    ）栋楼第（    ）层（    ）号房。 （2）列式解答：蓝天小区一共有多少户居民？ 【答案】（1）一；16；1 （2）1800户 【思路引导】（1）门牌号第1－2位表示楼栋号，第3－4位表示层数，第5－6位表示房号，据此即可解答。 （2）每层的居民户数乘每栋楼的层数，再乘小区的楼栋数即可解答。 【规范解答】（1）奇思家的门牌号是011601，奇思家在蓝天小区第一栋楼第16层1号房。 （2）4×18×25 ＝4×25×18 ＝100×18 ＝1800（户） 答：蓝天小区一共有1800户居民。 【考点剖析】本题主要考查了编码问题和乘法交换律，要熟练掌握。 5．阳光小学组织三、四年级的学生去乐乐植物园参加社会实践活动。在乐乐植物园中，同学们看到了一个花坛，是由红、黄两种颜色的鸡冠花摆成的实心方阵，最外层一共摆了28盆红色的鸡冠花。这个花坛一共摆了多少盆鸡冠花？（请你先画图分析，再列式计算） 【答案】64盆 【思路引导】实心方阵中，最外层鸡冠花数量＝4×（每边鸡冠花数量－1），则每边鸡冠花有28÷4＋1＝8（盆）。则这个花坛一共摆了（8×8）盆鸡冠花。 【规范解答】 28÷4＋1 ＝7＋1 ＝8（盆） 8×8＝64（盆） 答：这个花坛一共摆了64盆鸡冠花。 1．（23-24四年级上·北京平谷·期末）如下图所示：按照这样的方法继续摆下去，第5个正方形图中，圆点的个数是( )。 【答案】20个 【思路引导】本题可依次解出n＝1，2，3，…，图案需要的圆点枚数，再根据规律以此类推，可得出第n个图案需要的圆点枚数。 【规范解答】n＝1时，总数是4×1＝4（个）； n＝2时，总数为4×2＝8（个）； n＝3时，总数为4×3＝12（个）； ……； n＝n时，总数为4×n（个） 当n＝5时 4×5＝20（个） 第5个正方形图中，圆点的个数是20个。 【考点剖析】考查了规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。 2．（2021六年级·全国·竞赛）为了准备学校的集体舞比赛，四年级的学生在排队形。如果排成3层空心的方阵则多10人，如果在中间空心的部分接着增加一层又少6人。问一共有多少个学生参加排练呢？ 【答案】人 【思路引导】在内部增加一层，人数由多出10人变为反而少6人，所以这一层人数为（10＋6）人，据此即可求出每层每边人数，再求出这个四层方阵的总人数，减去6，就是学生人数。 【规范解答】中间空心部分加一层，每边有： （10＋6）÷4＋1 ＝16÷4＋1 ＝4＋1 ＝5（人） 四层方阵有： （4＋6＋8＋10）×4 ＝28×4 ＝112（人）； 一共有学生： 112－6＝106（人） 答：一共有106个学生参加排练。 【考点剖析】解答此题的关键是，找出新增加的这一层是多少人。 3．某小学举行数学、语文、常识三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，语文179人，常识165人。参加两科的：数学、语文143人，数学、常识116人，语文、常识97人，三科都参加的：89人。问这个小学参加竞赛的总人数有多少人？ 【答案】280人 【思路引导】根据容斥原理可知，用至少参加一科的学生总人数减去参加两科的学生总人数，即可求出参加三科竞赛的共有203＋179＋165－143－116－97人。由于三科同时都参加的有89人，这89人被重复减了一次，要加上，所以参加竞赛的共有203＋179＋165－143－116－97＋89人。 【规范解答】203＋179＋165－143－116－97＋89＝280（人）。 答：这个小学参加竞赛的总人数有280人。 【考点剖析】本题考查集合问题，注意89被重复减了1次，需要再加上，这是本题的易错点。 4、在一家公司里，有人做了一个统计，在100个职员当中，会开车的有83人，会游泳的有75人，开车和游泳都不会的有10人．既会开车，又会游泳的有多少人？ 【答案】68人 【规范解答】100-10=90（人） 90-83=7（人） 75-7=68（人） 答：既会开车，又会游泳的有68人． 【考点剖析】题中已知职员的总人数和开车和游泳都不会的人数，所以至少会开车或会游泳的人数=职员的总人数-开车和游泳都不会的人数，只会游泳不会开车的人数=至少会开车或会游泳的人数-会开车的人数，那么既会开车，又会游泳的人数=会游泳的人数-只会游泳不会开车的人数，据此代入数据作答即可． 5．根据信件上的邮编，你知道这几封信各是发往哪些城市的吗？    【答案】山东济南;上海;陕西延安;北京 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十单元 数学百花园 （4个类型题讲练+三大难度分层练 共27题） 第一部分：类型题讲练 考向一 集合问题 类型1 人员统计 在统计班级学生的兴趣爱好、特长技能等情况时，会出现部分同学同时具备多种爱好或技能的情况。例如，统计喜欢绘画和书法的同学人数，有些同学既喜欢绘画又喜欢书法，这就需要用集合的概念来准确统计总人数。 类型2 物品分类统计 对物品进行分类统计时，也会遇到重叠的情况。比如，在统计图书馆中文学类和历史类书籍的数量，有些书籍既属于文学类又属于历史类，需要运用集合知识来避免重复计算。 解题技巧 绘制韦恩图：韦恩图是解决集合问题的有力工具。通过画两个或多个相交的圆，分别表示不同的集合，相交部分表示重叠的元素。例如，在统计喜欢绘画和书法的同学人数时，一个圆表示喜欢绘画的同学，另一个圆表示喜欢书法的同学，两圆相交的部分就是既喜欢绘画又喜欢书法的同学。通过韦恩图可以直观地看出各个部分的数量关系，便于计算总人数。 运用公式计算：对于两个集合的情况，总人数 = 集合A的人数 + 集合B的人数 - 既属于A又属于B的人数。例如，已知喜欢绘画的有20人，喜欢书法的有15人，既喜欢绘画又喜欢书法的有5人，那么喜欢绘画或书法的总人数为20 + 15 - 5 = 30人。 考向二 方阵问题 类型1 队列编排 在学校的运动会、军训等活动中，学生们会排成方阵进行表演或训练。例如，要编排一个正方形的方阵队伍，需要根据总人数来确定方阵每边的人数，或者根据每边的人数计算方阵的总人数。 类型2 物品摆放 在布置会场、摆放花盆等场景中，也会用到方阵的知识。比如，用花盆摆成一个方阵造型，需要知道方阵的边长和层数，从而计算出所需花盆的总数。 解题技巧 明确方阵类型：方阵分为实心方阵和空心方阵。实心方阵是内部全部排满的方阵，空心方阵是内部未全部排满的方阵。不同类型的方阵有不同的计算公式。 掌握关键公式 实心方阵：方阵总人数 = 每边人数 × 每边人数。例如，一个每边有8人的实心方阵，总人数为8 × 8 = 64人。 最外层人数 =（每边人数 - 1）× 4。比如，每边有8人的实心方阵，最外层人数为（8 - 1）× 4 = 28人。 空心方阵：最外层每边人数 = 四周总人数 ÷ 4 + 1。例如，空心方阵最外层总人数为36人，那么最外层每边人数为36 ÷ 4 + 1 = 10人。 方阵总人数 = （最外层每边人数 - 层数）× 层数 × 4 。比如，一个三层的空心方阵，最外层每边有10人，那么总人数为（10 - 3）× 3 × 4 = 84人。 利用层间关系：方阵每相邻两层边上元素个数相差为2，由内向外每相邻两层总元素数相差为8（每层边上元素个数为奇数时，实心方阵最中间两层差7）。可以根据这些关系，在已知某一层人数的情况下，求出其他层的人数，进而计算出方阵的总人数。 考向三 数字编码问题 类型1 身份识别 身份证号码是最常见的数字编码，它包含了个人的出生日期、地区、性别等重要信息。通过对身份证号码的编码规则的了解，可以从号码中提取出这些信息。 类型2 商品管理 商品的条形码、编号等也是数字编码的应用。商家可以通过这些编码来管理商品的库存、销售等信息。例如，超市里的商品条形码可以记录商品的名称、价格、产地等信息，方便收银员扫描结算和库存管理。 类型3 信息传递 在一些特定的场合，会使用数字编码来传递信息。比如，学校的学号、班级编号等，通过这些编码可以快速准确地识别学生的身份和所在班级。 解题技巧 了解编码规则：不同的数字编码有不同的规则，要解决数字编码问题，首先要了解其编码规则。例如，身份证号码的前六位是地址码，接下来八位是出生日期码，再接下来三位是顺序码，最后一位是校验码。通过了解这些规则，就可以从身份证号码中提取出相应的信息。 分析编码结构：仔细分析编码的结构，找出每个部分所代表的含义。比如，商品的编号可能由品牌代码、产品类型代码、批次代码等组成，通过分析这些代码的含义，可以更好地理解商品的信息。 根据问题推理：根据题目所提供的信息和已知的编码规则，进行推理和计算。例如，已知某学生的学号编码规则和部分学号信息，要求推算出该学生的入学年份、班级等信息，就需要根据编码规则进行逐步推理。 类型1 集合问题 典型例题1：（24-25四年级上·山东淄博·期中）四年级一班学生全部参加艺术社团活动，参加合唱社团的有25人，参加美术社团的有27人，两种都参加的有11人，全班有（    ）人。 A．52 B．63 C．38 D．41 思路引导：用参加合唱社团的人数加上参加美术社团的人数，因为重复算了两种都参加的人数，所以再减11即为全班的人数。 变式训练1：（24-25四年级上·山东东营·期末）四（5）班有35名学生，会葫芦丝的有15名，会吉他的有18名，两种都不会的有5名。两种都会的有( )名学生。 变式训练2：（2021四年级下·全国·竞赛）四年级（1）班的同学排队做操，每行人数相同，小明的位置从左数排第4，从右数排第3，从前数排第5，从后数排第6，四年级（1）班共有多少人？ 变式训练3：（2021四年级下·全国·竞赛）有100位旅客，其中有10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，又83人懂俄语。那么这100位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人？ 类型2 方阵问题 典型例题2：（24-25四年级上·北京通州·期末）有一组图形如图所示，照这样一直摆下去，第八个图形有( )个圆点。 思路引导：根据题意可知，第一个图形有4个圆点，1×4＝4（个），第二个图形有8个圆点，2×4＝8（个），第三个图形有12个圆点，3×4＝12（个），第四个图形有16个圆点，4×4＝16（个），则第五个图形有（5×4）个圆点，第六个图形有（6×4）个圆点，第七个图形有（7×4）个圆点，第八个图形有（8×4）个圆点，据此填空即可。 变式训练1：（24-25四年级上·北京房山·期末）学校体育节入场式，四（1）班同学排成5×5的方阵。最外层的同学手拿鲜花，拿鲜花的同学一共有多少人？ （1）通过圈一圈、画一画等方法把你的思考过程表示出来。 （2）根据你的思考过程，列式解答。 变式训练2：（22-23四年级上·北京丰台·期末）小明、小亮使用九路棋盘练习围棋。 (1)如果1号棋子的位置用数对表示是（3，7），2号棋子的位置用数对表示是（4，5）。那么，3号棋子用数对表示是( )，4号棋子用数对表示是( )。 (2)最外一圈最多可以放( )枚棋子。 变式训练3：（21-22四年级上·北京顺义·期末）一个用棋子摆出的实心方阵，最外层有60枚棋子，这个方阵一共有( )枚棋子。 类型3 数字编码问题 典型例题3：（25-26四年级上·河南周口·阶段练习）胜利小学给每个学生编学号时，设定末尾用“1”表示男生，用“2”表示女生。如2020年入学的第12班的18号学生是女生，她的学号就是2012182，从1807301这个学号中可知，该生是( )年入学的第( )班的( )号，是一名( )（“男”或“女”）生。 思路引导：根据学号编码规则，前两位表示入学年份的后两位，中间两位表示班级，接下来两位表示序号，最后一位表示性别（1为男，2为女）。 变式训练1：（25-26四年级上·河北·课后作业）下面是阳光小学学生学号编制规则。（1表示男生，2表示女生） （1）请你为2022年入学的3班学生编制学号。 姓名 性别 学号 姓名 性别 学号 1号   张涛 男 10号  王乐 男 14号  刘丽 女 8号   李洁 女 7号   王杰 男 23号  赵心 女 （2）下面几个学号表示的是哪年入学的几班几号学生？是男生还是女生？ 202205111：（    ） 202104012：（    ） 202003032：（    ） 201801101：（    ） （3）小花同学的学号为202108422，我们可以知道，小花所在的年级至少有（    ）个班级，所在的班级至少有（    ）名学生。 变式训练2：（24-25四年级上·山东德州·期中）小琳是2019年上的一年级，2023年秋季开学后他在五年级二班，班里共有45名学生，他是5号，根据这些信息你能帮他设计档案号吗？在设计的档案号后面加上设计说明。 变式训练3：（24-25四年级上·山东德州·期中）山西博物院的藏品编号是按年编号，按数字分类：1、2、3、4、5分别代表石器、骨器、陶器、瓷器、铜器。如馆藏一件文物的藏品分类号为54－1－2，其中，“54”代表入藏时间为1954年，“1”代表石器，“2”代表1954年入藏的第2件石器。那么山西博物院1966年入藏的第3件陶器藏品编号为( )。 第二部分：难度分层训练 1．（22-23五年级上·广东河源·期末）一个实心方阵的最外层每边有10人，这个方阵一共有（    ）人。 A． B． C． 2．（23-24四年级上·北京平谷·期末）下面是用磁扣摆成的方阵，求最外层一共有多少个磁扣，选项（    ）能表达算式（6－1）×4的含义。 A． B． C． D． 3．（23-24四年级下·江苏扬州·期末）学校航模队的同学用无人机进行演出，无人机共排成6行，每行6架。最外圈的无人机闪烁红灯，其余的闪烁黄灯，闪烁红灯的有( )架。 4．（23-24四年级上·北京·单元测试）五年级的58名同学，在期中测试中，语文考得100分的有10人，数学考得100分的有25人，数学、语文都得100分的有5人，那么两科都没考得100分的有几人？ 5．（23-24四年级上·北京·课后作业）给一个方形建筑物四周进行装饰，每边放10盆鲜花，共放了多少盆鲜花？ 1．（24-25四年级上·北京延庆·期末）学校轮滑小组有36名队员，花样滑冰小组有24名队员，两个小组共有多少名队员？解决这个问题，下面（    ）答案不可能正确。 A．24 B．36 C．50 D．60 2．（24-25四年级上·北京延庆·期末）运动会为每位运动员编号，规定尾号1表示男生，尾号2表示女生。小刚是三年级12班男运动员，顺序号是16，编号是312161；小芳是四年级3班女运动员，顺序号是28，她的编号是（    ）。 A．403281 B．403282 C．43281 D．43282 3．（24-25四年级上·北京昌平·期末）在我们的日常生活中，数字编码随处可见，它们代表着各种不同的含义和信息，比如一家医院的住院手环编号如下图所示。李爷爷手环编号是：外202412100405081，他住在外科405病房( )号床位。 （“1”代表男性，“2”代表女性） 外    20230918    0302    04    1 科室  住院时间    病房号  床号  性别 4．（22-23四年级上·四川成都·期末）淘气和奇思所在的蓝天小区共有25栋楼，每栋楼有18层，每层有4户居民。淘气住在第十栋楼第2层3号房，他家的门牌号是100203，奇思家的门牌号是011601。他们平时经常在一起学习，一起到小区的篮球场去打篮球。 （1）奇思家在蓝天小区第（    ）栋楼第（    ）层（    ）号房。 （2）列式解答：蓝天小区一共有多少户居民？ 5．阳光小学组织三、四年级的学生去乐乐植物园参加社会实践活动。在乐乐植物园中，同学们看到了一个花坛，是由红、黄两种颜色的鸡冠花摆成的实心方阵，最外层一共摆了28盆红色的鸡冠花。这个花坛一共摆了多少盆鸡冠花？（请你先画图分析，再列式计算） 1．（23-24四年级上·北京平谷·期末）如下图所示：按照这样的方法继续摆下去，第5个正方形图中，圆点的个数是( )。 2．（2021六年级·全国·竞赛）为了准备学校的集体舞比赛，四年级的学生在排队形。如果排成3层空心的方阵则多10人，如果在中间空心的部分接着增加一层又少6人。问一共有多少个学生参加排练呢？ 3．某小学举行数学、语文、常识三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，语文179人，常识165人。参加两科的：数学、语文143人，数学、常识116人，语文、常识97人，三科都参加的：89人。问这个小学参加竞赛的总人数有多少人？ 4、在一家公司里，有人做了一个统计，在100个职员当中，会开车的有83人，会游泳的有75人，开车和游泳都不会的有10人．既会开车，又会游泳的有多少人？ 5．根据信件上的邮编，你知道这几封信各是发往哪些城市的吗？    第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $