第六单元 认识常见的数量关系（一）（解决问题专项）数学北京版三年级上册（新教材）

第六单元 认识常见的数量关系（一） （8个类型题讲练+三大难度分层练 共39题） 第一部分：类型题讲练 类型1 分量与总量关系问题 求和问题：在生活场景中，常常需要将不同部分的数量相加得到总量。例如，学校组织活动，冰场内有5人，冰场外有10人，求总人数，就是将冰场内和冰场外的人数这两个分量相加，得到总量，即5 + 10 = 15人。 求剩余问题：已知总量和其中一个分量，求另一个分量。比如仓库原有180吨货物，运走85吨，求还剩多少吨货物，就是用总量减去已知的分量，即180 - 85 = 95吨。 类型2 倍数关系问题 求一个数的几倍是多少：在实际问题中，当已知一个数以及它与另一个数的倍数关系时，求另一个数。例如，三年级有35人参加比赛，四年级参加的人数是三年级的3倍，求四年级参加的人数，就是用三年级的人数乘以倍数，即35×3 = 105人。 已知一个数的几倍是多少，求这个数：如果知道一个数的几倍是多少，要求这个数，就用已知的数量除以倍数。比如，四年级参加比赛的人数是105人，是三年级人数的3倍，求三年级参加的人数，即105÷3 = 35人。 类型3 综合问题 乘加、乘减问题：在一些问题中，需要先计算乘法，再进行加法或减法运算。例如，大卡车装的电视机数量是小卡车的5倍，小卡车装6台，大卡车和小卡车一共装多少台电视机，先算出大卡车装的台数6×5 = 30台，再加上小卡车装的台数，即30 + 6 = 36台。 含“比多比少”和“倍数关系”的复杂问题：这类问题综合了“比多比少”和“倍数关系”，增加了解题的难度。比如，五年级参加的人数比三、四年级参加的总人数多12人，三年级有35人参加，四年级参加的人数是三年级的3倍，求五年级参加的人数，需要先算出三、四年级的总人数35 + 35×3 = 140人，再加上12人，即140 + 12 = 152人。 解题技巧1 分析数量关系 寻找题中的数量：仔细阅读题目，找出题目中给出的各种数量，明确哪些是已知量，哪些是未知量。例如，在“仓库原有180吨货物，运走85吨，还剩多少吨”这道题中，180吨和85吨是已知量，剩余货物的吨数是未知量。 明确各数量间的关系：根据题目描述，确定已知量和未知量之间的关系，是求和、求差、倍数关系还是其他关系。如在倍数关系问题中，要明确哪个数是另一个数的几倍。 构建数量关系模型：将实际问题中的数量关系抽象为数学模型，如“总量 = 分量 + 分量”“分量 = 总量 - 分量”“一个数的几倍 = 这个数×倍数”等。 解题技巧2 运用直观工具 绘制线段图：线段图可以直观地表示出数量之间的关系，帮助学生更好地理解题意。例如，在解决倍数关系问题时，用线段表示不同的数量，通过线段的长短对比，清晰地看出倍数关系。 制作表格：对于一些较为复杂的问题，表格可以将各个数量清晰地罗列出来，便于分析和比较。比如在解决涉及多个步骤和多个数量的综合问题时，制作表格可以使解题思路更加清晰。 解题技巧3 确定解题步骤 明确先算什么，再算什么：根据数量关系和运算顺序，确定解题的先后步骤。在乘加、乘减问题中，要先算乘法，再算加法或减法。例如，计算24×3 + 18，先算24×3 = 72，再算72 + 18 = 90。 规范计算过程：在计算过程中，要按照正确的运算顺序进行计算，书写要规范，确保计算结果的准确性。 解题技巧4 检验结果 逆向验证：通过逆向运算来检验结果的正确性。例如，在解决“总量与分量”问题时，用求出的分量加上另一个已知分量，看是否等于总量。 不同方法对比：对于一些问题，可以尝试用不同的方法进行解答，对比不同方法的结果是否一致。如果结果相同，说明答案是正确的；如果结果不同，则需要检查解题过程中是否存在错误。 类型1 “提问题”“填条件”问题 典型例题1：第二十一届中国国际环保展览会于2023年4月13日~15日在北京举办。为培养学生的环保意识，某校组织学生回收废纸，三（1）班回收废纸50千克，__________。两个班一共回收废纸多少千克？若列出的算式为50－10＋50，横线上需要补充的信息是（    ）。 A．三（2）班回收的废纸比三（1）班多10千克 B．三（2）班回收的废纸比三（1）班少10千克 C．三（2）班回收废纸50千克 思路引导：根据题意可知，50－10＋50计算的第一步是50－10，50代表三（1）班回收废纸50千克，所以50－10可以求出回收的废纸比三（1）班少10千克的数量，也就是表示三（2）班回收的废纸；计算的第二步是用第一步的结果再加50，也就是把三（2）班回收的废纸和三（1）班回收的废纸相加即可求出两个班一共回收废纸的数量，据此解答。 答题区： 根据解析可知，第一步用减法算式求出三（2）班回收的废纸，第二步用加法求出两个班一共回收的废纸；所以要求三（2）班回收的废纸需要在横线上补充的信息是三（2）班回收的废纸比三（1）班少10千克。 故答案为：B 变式训练1：先提出问题，再解答。 玲玲和妈妈去野生动物园。买两张门票一共花了240元，玲玲的票价是妈妈的一半。___________________？ 【答案】玲玲的票价是多少元？80元 或妈妈的票价是多少元？160元 【思路引导】根据题意，可知妈妈的票价是玲玲的2倍，那么240元是玲玲票价的2＋1＝3倍，用除法可以求玲玲的票价，也可以用玲玲的票价乘2，求妈妈的票价。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 问题一：玲玲的票价是多少元？ 240÷（1＋2） ＝240÷3 ＝80（元） 答：玲玲的票价是80元。 问题二：妈妈的票价是多少元？ 240÷（1＋2） ＝240÷3 ＝80（元） 80×2＝160（元） 答：妈妈的票价是160元。 变式训练2：如图，水杯、书包、笔袋、笔记本四样商品，单价如下： （1）买1个书包和2个笔袋，一共花了多少钱？ （2）如果想买至少三样东西，并且正好是150元，请你设计一种购买方案。（请写出计算过程。） 【答案】（1）120元 （2）买两本漫画书、一个书包、一本笔记本；36×2＋68＋10＝150（元） 【思路引导】（1）用每个笔袋的价钱乘买的笔袋的个数，求出买笔袋的钱，再加上一个书包的价钱即可； （2）开放题目，答案不唯一；所买商品的总钱数正好是150元就符合题意；可以买两本漫画书、一个书包、一本笔记本，用每本漫画书的价钱乘2，再加上书包和笔记本的价钱，解答即可。 【规范解答】（1）26×2＋68 ＝52＋68 ＝120（元） 答：一共花了120元钱。 （2）可以买两本漫画书、一个书包、一本笔记本；（答案不唯一） 36×2＋68＋10 ＝72＋68＋10 ＝140＋10 ＝150（元） 答：买两本漫画书、一个书包、一本笔记本，正好是150元。 类型2 含有多余条件的实际问题 典型例题2：爷爷养了72只母鸡和7只公鸡，卖了5只母鸡，还剩（    ）母鸡。 A．72－7－5＝60（只） B．72－7＝65（只） C．72－5＝67（只） 思路引导：根据减法的意义，母鸡的总数－卖出去的母鸡数量＝剩余的母鸡数量，列出算式算出答案即可解答。其中公鸡的数量为无关条件，属于干扰。 答题区： 根据题意可得：72－5＝67（只） A．出现公鸡的数量，算式错误，不选； B．出现公鸡的数量，算式错误，不选； C．关系式正确，且计算结果正确，符合题意，当选。 故答案为：C 变式训练1：为落实新课标提出的“每位学生掌握1至2项运动技能”的具体要求，激发学生对篮球的兴趣，阳光实验小学举办投篮比赛。每个学生每轮可投10个球，每投中1个得3分。谁平均每轮投的分值高？ 【答案】聪聪 【思路引导】根据投的总分÷投的轮数＝每轮投的分数，分别算出聪聪和俐俐平均每轮投的分值，再比较，据此解答。 【规范解答】66÷3＝22（分） 84÷4＝21（分） 22分＞21分 答：聪聪平均每轮投的分值高。 变式训练2：有17人要来操场踢球，现在来了9人，一共踢进了10个球。还有几人没来？要解决这个问题，不需要的信息是（    ）。 A．一共踢进了10个球 B．现在来了9人 C．17人要来操场踢球 【答案】A 【思路引导】根据题意可知，有17人要来操场踢球，现在来了9人，需要用总人数减去已来人数，等于还有几人没来。踢进球数与人数无关，属于不需要的信息，据此解答。 【规范解答】根据分析可得： 17－9＝8（人） 所以还有8人没来。 用到的信息是：有17人要来操场踢球，现在来了9人。不需要的信息是：一共踢进了10个球。 故答案为：A 类型3 图文问题 典型例题3：某商场举办周年庆活动，满800元优惠100元。 （1）买哪两件商品可以优惠100元？ （2）妈妈带了1000元，买完优惠后的两件商品，还剩多少元？ 思路引导：（1）买哪两件商品可以优惠100元，说明这两件商品价格超过800元，分别计算两种商品的价格之和，然后跟800元比较即可。 （2）花的钱数减去100后为优惠后的价格，再用1000减去优惠后的价格，即为剩下的钱数。 答题区： （1）459＋299＝758（元） 459＋188＝647（元） 459＋344＝803（元） 299＋188＝487（元） 299＋344＝643（元） 188＋344＝532（元） 803＞800＞758＞647＞643＞532＞487； 答：买微波炉和电烤箱可以优惠100元。 （2）803－100＝703（元） 1000－703＝297（元） 答：还剩297元。 变式训练1： （1）晶晶是三年级的学生，她和爸爸都感冒了，他们一天共需要吃多少片药？请你在上图中圈一圈。 （2）根据上面信息，算式（2＋1）×5解决的问题是： _____________________________________________________。 【答案】（1）画图见详解 （2）晶晶和爸爸5天一共吃了多少片药 【思路引导】（1）根据题中信息可知：每人每天服用1次，成人每次服用2片，儿童吃的量是成人的一半，即儿童每次吃2÷2＝1（片）；所以他们一天共需要吃的药的片数是2＋1＝3（片）。据此圈一圈。 （2）算式（2＋1）×5中，先算小括号里面的加法，表示成人（爸爸）每天吃的2片加上儿童（晶晶）每天吃的1片，即他们一天共吃的片数；再乘5得到晶晶和爸爸5天一共吃的片数；据此提出问题。 【规范解答】（1）2÷2＋2 ＝1＋2 ＝3（片） 圈图如下： （答案不唯一） （2）根据分析可知： （2＋1）×5解决的问题是：晶晶和爸爸5天一共吃了多少片药。 变式训练2：一个重( )克。 【答案】100 【思路引导】根据图示，右边的图中比左边的图中多了2个梨，也就是说2个梨重4600－4400＝200（克），根据除法的意义，则一个梨重200÷2＝100（克）；据此解答即可。 【规范解答】4600－4400＝200（克） 200÷2＝100（克） 一个重100克。 【考点剖析】本题考查了简单的等量代换知识，结合题意分析解答即可。 类型4 归—问题 典型例题4：下列问题中，不能用算式8÷2×4解决的是（    ）。 A．做2串糖葫芦需要8颗山楂，照这样计算。做4串糖葫芦需要多少颗山楂？ B．妈妈买了2个碗，每个碗8元钱，用同样的钱买4元一个的碗，可以买几个？ C．将2本相同的书摞起来高8毫米，将4本这样的书摞起来高多少毫米？ D．明明读一本书，2天读了8页，照这样计算，4天可以读多少页？ 思路引导：做2串糖葫芦需要8颗山楂，照这样计算。做4串糖葫芦需要多少颗山楂？首先用8÷2求出平均每串糖葫芦需要山楂数量，然后再乘4，求出4串糖葫芦需要山楂数量。 妈妈买了2个碗，每个碗8元钱，用同样的钱买4元一个的碗，可以买几个？用一个碗的价钱乘2，求出妈妈的钱数，再用总钱数除以4，即可解题。 将2本相同的书摞起来高8毫米，将4本这样的书摞起来高多少毫米？用2本书摞起来的高度除以2，求出每本书的厚度，再乘4，求出4本书摞起来的高度； 明明读一本书，2天读了8页，照这样计算，4天可以读多少页？用8÷2表示平均每天读书页数，再乘4，求出4天读书页数。据此解题。 答题区： A．要求4串糖葫芦需多少颗山楂，列式为8÷2×4，符合题意； B．要求可以买几个，列式为8×2÷4，不符合题意； C．要求4本这样的书摞起来的高是多少，列式为8÷2×4，符合题意； D．要求4天可以读多少页，列式为8÷2×4，符合题意； 下列问题中，不能用算式8÷2×4解决的是妈妈买了2个碗，每个碗8元钱，用同样的钱买4元一个的碗，可以买几个？ 故答案为：B 变式训练1：下面的问题中可以用算式4×12÷8来解决的是（    ）。 A．小刚家原来有4条金鱼，又买来了12条。将这些金鱼平均放在8个鱼缸里，每个鱼缸里放几条？ B．小明买4个同样的笔记本用了12元。照这样计算，买8个这样的笔记本需要多少钱？ C．小红读一本书，每天读4页，12天可以读完。如果每天读8页，几天可以读完？ 【答案】C 【思路引导】A．4＋12求出一共有多少条鱼，再除以8，就是将这些鱼平均分放到8个鱼缸里，每个鱼缸里放几条； B．用12÷4求出每一个笔记本多少元，再乘8，就是买8个这样的笔记本需要多少元钱； C．用4×12求出这本书一共有多少页，再除以8，就是如果每天读8页，几天可以读完； 列出每一个选项中的算式，找出与题干中相同的即可。 【规范解答】根据分析：A．（4＋12）÷8＝16÷8＝2（条）；每个鱼缸里放2条； B．12÷4×8＝3×8＝24（元）；买8个这样的笔记本需要24元钱； C．4×12÷8＝48÷8＝6（天），6天可以读完； 那么可以用算式4×12÷8来解决的是“小红读一本书，每天读4页，12天可以读完。如果每天读8页，几天可以读完？”。 故答案为：C 变式训练2：月月读一本故事书，2天读了16页。照这样的阅读速度，4天可以读多少页？ 【答案】32页 【思路引导】由题意得，月月读一本故事书，2天读了16页，可以先用16除以2算出月月每天读多少页书。然后再乘4即可算出月月4天可以读多少页书。 【规范解答】16÷2×4＝8×4＝32（页） 答：月月4天可以读32页书。 类型5 归总问题， 典型例题5：下面的问题中可以用算式6×12÷9来解决的是（    ）。 A．小明买6块同样的橡皮用了12元。照这样计算，买9块这样的橡皮需要多少钱？ B．小红读一本书，每天读6页，12天可以读完。如果每天读9页，几天可以读完？ C．小刚家原来有6只兔子，又买来了12只。将这些兔子平均放在9个笼子里，每个笼子里放几只？ 思路引导：A．总价÷数量＝单价，先用12除以6计算出橡皮的单价，单价×数量＝总价，再乘9计算出9块橡皮的总价； B．工作效率×工作时间＝工作总量，先用6乘12计算出这本书的总页数，工作总量÷工作效率＝工作时间，再除以9计算出几天可以读完； C．先用6加上12计算出兔子的总只数，再除以9计算出平均每个笼子放几只；据此解答。 答题区： 根据分析： A．12÷6×9 ＝2×9 ＝18（元） 所以买9块这样的橡皮需要18元； B．6×12÷9 ＝72÷9 ＝8（天） 所以8天可以读完； C．（6＋12）÷9 ＝18÷9 ＝2（只） 所以每个笼子里放2只； 那么可以用算式6×12÷9来解决的是“小红读一本书，每天读6页，12天可以读完。如果每天读9页，几天可以读完？”。 故答案为：B 变式训练1：三（1）班准备举办2023年元旦联欢会，老师要买一些奖品。每根棒棒糖4元，可以买18根；用同样的钱，如果买三角尺，每副8元，可以买多少副？ 【答案】9副 【思路引导】用每根棒棒糖的钱数乘可以购买的根数，求出钱的总数，再除以三角板的价格即可。 【规范解答】4×18÷8 ＝72÷8 ＝9（副） 答：可以买9副。 【考点剖析】熟练掌握归总问题的解题方法，是解答此题的关键。 变式训练2：同学们进行队列表演，每行站6人，站了6行。改变队形后，每行站4人，这些同学可以站几行？用算式计算，正确的是（　　）。 A．6×4÷6 B．6×6÷4 C．（6＋6）÷4 D．6×6×4 【答案】B 【思路引导】用每行站的人数乘所站的行数，计算出参加队列表演的人数，再用参加队列表演的人数除以每行站的人数，即可计算出这些同学可以站几行。 【规范解答】6×6÷4 ＝36÷4 ＝9（行） 故答案为：B 【考点剖析】解答此题的关键是先求出总人数，然后再进一步解答。 类型6 和差倍问题 典型例题6：小华有53张邮票，小明有25张邮票。要使两个人邮票的张数同样多，小华要给小明多少张邮票？下面做法错误的是（    ）。 A．53－25＝28（张）  28÷2＝14（张） B．53＋25＝78（张）  78－53＝25（张） C．53＋25＝78（张）  78÷2＝39（张）  39－25＝14（张） D．53＋25＝78（张）  78÷2＝39（张）  53－39＝14（张） 思路引导：要求使两个人邮票的张数同样多，小华要给小明多少张邮票？那么可以先求小华比小明多多少张，然后将多出的部分给出一半给小明，即可求出小华要给小明多少张邮票；或者可以先求出两人一共有多少张，将总数平均分成两份，即可求得二人一样时每人可得多少张；然后用小华已有的数量减去二人一样时所得的数量，或者用二人一样时的数量减去小明已有的数量，也可求出小华要给小明多少张邮票；据此分析算式可解此题。 答题区： 根据分析： A．第一个算式先求小华比小明多多少张，第二个算式表示将多出的部分给出一半给小明；可以使得两人邮票数量一样多；做法正确； B．第一个算式先求二人邮票总数，若第二个算式所得的是小华需要给小明的数量，那么给过25张后小华拥有53－25＝28（张），小明拥有25＋25＝50（张），28＜50，两人数量不一样；做法不正确； C．第一个算式先求二人邮票总数，第二个算式求的是当两人一样多时邮票的数量，第三个算式求的是小明还需要得到多少张邮票才可以使得两人邮票总数一样多；小明要得到的也就是小华要拿出的；做法正确； D．第一个算式先求二人邮票总数，第二个算式求的是当两人一样多时邮票的数量，第三个算式求的是小华需要拿出多少张邮票才可以使得两人邮票总数一样多；做法正确。 故答案为：B 变式训练1：一本书翻开后，左右两页的页码和是205，翻开的是( )和( )页。 【答案】 102 103 【思路引导】根据生活经验可知，相邻两页的页码差是1，而左右两页的页码和是205，较小的页码是（205－1）÷2，较大的页码是（205＋1）÷2。 【规范解答】（205－1）÷2 ＝204÷2 ＝102（页） （205＋1）÷2 ＝206÷2 ＝103（页） 翻开的是102和103页。 变式训练2：有甲、乙两桶花生油。如果从甲桶中倒出2千克给乙桶，则两桶油同样重。原来甲桶油比乙桶油重( )千克。 【答案】4 【思路引导】根据题意，从甲桶油倒出2千克给乙桶，两个桶油的重量一样多，可知，甲桶比乙桶多2＋2＝4千克。 【规范解答】根据分析，可得： 2＋2＝4（千克）。 即原来甲桶油比乙桶油重（4）千克。 【考点剖析】此题属于易错题，应明确：如果甲倒给乙n千克，这时甲和乙重量相等，则原来甲比乙要多2n千克。 类型7 基础行程问题 典型例题7：小明和小勇在操场上练习跑步。小明2分钟跑了400米，小勇4分钟跑了790米，( )跑得更快些。 思路引导：分析题意可知：小明2分钟跑了400米，用400÷2计算出小明1分钟跑的路程，再乘4，计算出小明4分钟跑的路程。时间相同，谁跑的路程多谁就跑得快，据此解答。 答题区： 400÷2×4 ＝200×4 ＝800（米） 800＞790 所以，小明跑的更快一些。 变式训练1：随着科技的发展，中国的高铁已成为“世界之最”。林林乘坐动车从昆明去长沙，花了5小时，平均每小时行驶280千米。返回时，他改坐高铁，只要花4个小时。 （1）从昆明到长沙一共要行驶多少千米？ （2）高铁平均每小时行驶多少千米？ 【答案】（1）1400千米 （2）350千米 【思路引导】（1）去时花了5小时，每小时行驶280千米，根据路程＝速度×时间，用280乘5即可求出从昆明到长沙的路程； （2）返回时用了6小时，再根据时间＝路程÷速度，用从昆明到长沙的路程除以6，即可求出高铁平均每小时行驶多少千米。 【规范解答】（1）280×5＝1400（千米） 答：从昆明到长沙一共要行驶1400千米。 （2）1400÷4＝350（千米/时） 答：高铁平均每小时行驶350千米。 变式训练2：甲汽车7小时行驶576千米，乙汽车6小时行驶498千米，比一比速度（    ）。 A．甲快 B．乙快 C．一样快 【答案】B 【思路引导】根据“速度＝路程÷时间”，甲汽车7小时行驶576千米，那么甲汽车的速度为（千米）。乙汽车6小时行驶498千米，其速度为（千米）。然后比较两车速度，即可知道谁的速度快。 【规范解答】（千米） （千米） 因为，所以乙汽车的速度比甲汽车快。 故答案为：B 类型8 基础工程问题 典型例题8：小明1分钟能打101个字，照这样计算，1小时能打( )个字。 思路引导：先将1小时化成分钟，然后再乘小明1分钟能打字的个数即可，依此计算。 答题区： 1小时＝60分钟 60×101＝6060（个） 【考点剖析】此题考查的是工程问题的计算，熟练掌握时与分的换算是解答此题的关键。 变式训练1：王刚用电脑每分钟打68个字，有一篇课文400个字，请问他用8分钟能打完吗？ 【答案】能 【思路引导】用每分钟打字个数乘8，求出8分钟能打字的个数，然后与400比较即可做出判断。 【规范解答】68×8＝544（个） 544＞400 答：他用8分钟能打完。 【考点剖析】此题考查的是工程问题的计算，熟练掌握两位数与一位数的乘法计算是解答此题的关键。 变式训练2：王老师用电脑打一篇发言稿，他开始4分钟打了300个字，照这样计算，他要再打15分钟才能打完，问王老师打的这篇发言稿共 个字。 【答案】1425 【思路引导】首先根据：工作效率＝工作量÷工作时间，用他开始4分钟打字的个数除以4，求出他每分钟打字多少个；然后用他每分钟打字的个数乘打完一共需要的时间，求出王老师打的这篇发言稿共多少个字即可。 【规范解答】300÷4×（4＋15） ＝75×19 ＝1425（个） 【考点剖析】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率。 第二部分：难度分层训练 1．每辆校车有49个座位，9辆校车一次大约可以坐（    ）个学生。 A．400 B．450 C．500 【答案】B 【思路引导】用49乘9可以计算出9辆校车一次可以坐多少个学生，用估算可以计算出一次大约可以坐多少个学生；两位数乘一位数的估算，将两位数用四舍五入的方法，看作整十数进行估算；据此解答。 【规范解答】根据分析： 49×9≈50×9＝450（个） 所以9辆校车一次大约可以坐450个学生。 故答案为：B 2．有48名同学乘车秋游，有6辆小客车，每辆小客车可坐5人。小美列的算式是48－6×5，她第二步解决的问题是（    ）。 A．6辆小客车坐多少人 B．5辆小客车坐多少人 C．还剩多少人没坐上车 D．还需要多少辆小客车 【答案】C 【思路引导】根据题意，小美列的算式是48－6×5，先算：6辆小客车坐的人数，6×5＝30（人）；再用总人数减去6辆小客车坐的人数求出还剩多少人没坐上车，即48－30＝18（人）；据此解答。 【规范解答】由分析知：第一步先算6辆小客车坐的人数，第二步算的是还剩下没有坐上车的人数。 故答案为：C 3．二（1）班有女生28人，男生17人，每5人一组去植树，可以分成( )个小组。 【答案】9 【思路引导】根据题意可知，二（1）班有女生的人数加上男生人数，等于二（1）班的总人数，总人数除以每组的人数，等于可以分成多少个小组，据此解答。 【规范解答】根据分析可得： （个） 因此，可以分成9个小组。 4．根据物品价格回答下列问题。 （1）妈妈买1张餐桌和4把椅子，一共要花多少元？ （2）王叔叔带了1000元钱，估一估他带的钱够买一个柜子和一个沙发吗？ 【答案】（1）986元 （2）不够 【思路引导】（1）先计算4把椅子的价钱，即75×4，然后与1张餐桌的价钱相加即可。 （2）先对柜子和沙发的价格之和进行估算，再与王叔叔所带的钱数进行比较。 【规范解答】（1）75×4＋686 ＝300＋686 ＝986（元） 答：一共要花986元。 （2）478＋532≈470＋530＝1000（元） 1000＝1000 答：他带的钱不够买一个柜子和一个沙发。 5．每个面包3元，同学们第一小组买了8个，第二小组买了6个。请问第一小组比第二小组多花多少钱？ 【答案】6元 【思路引导】先求出第一组比第二组多买了几个面包，再根据乘法的意义，用多买的面包数量乘每个面包的价钱，即可得出答案。 【规范解答】（8－6）×3 ＝2×3 ＝6（元） 答：第一小组比第二小组多花6元。 1．张叔叔要买3张从甲城到乙城的火车票，有三种不同的票，他估算了一下，然后付给售票员1000元，他买的是（    ）的票。 A．特快列车312元/张 B．普通列车198元/张 C．高铁523元/张 【答案】A 【思路引导】根据题意可知，每张火车票的价钱×买火车票的张数＝买火车票需要的钱数，依此列式并把每张火车票的价钱看作与它相近的整百数进行估算求出各选项的火车票需要的总钱数，再与1000元进行比较，即可知道张叔叔买的是哪种票。 【规范解答】A．312×3≈300×3＝900（元），900元＜1000元； B．198×3≈200×3＝600（元），600元＜1000元； C．523×3≈500×3＝1500（元），1500元＞1000元。 600元、900元里面只有900元最接近1000元，因此他买的是特快列车312元/张的票。 故答案为：A 2．小明有20元钱，买铅笔用去4元，剩下的钱可以买4本笔记本，每本笔记本多少钱？正确的列式是（    ）。 A．20－4÷4 B．（20－4）÷4 C．20÷4－4 【答案】B 【思路引导】根据题意，先用小明的钱数减去买铅笔用去的钱数，计算出还剩多少钱，再用剩下的钱数除以买笔记本的数量，就是每本笔记本的钱数。综合算式中有减法和除法，先算减法，要加小括号。 【规范解答】由分析得： （20－4）÷4 ＝16÷4 ＝4（元） 每本笔记本4元钱。 则正确的列式是（20－4）÷4。 故答案为：B 3．姐姐和弟弟一起折千纸鹤。姐姐折了48只，弟弟折了30只。要使两人的千纸鹤只数同样多，姐姐要给弟弟( )只。 【答案】9 【思路引导】要使两人的千纸鹤只数同样多，需要把姐姐比弟弟多的只数的一半给弟弟，用姐姐折的只数减弟弟折的只数，再除以2，即等于姐姐要给弟弟的只数，据此即可解答。 【规范解答】（48－30）÷2 ＝18÷2 ＝9（只） 姐姐要给弟弟9只。 4．王叔叔在手机上安装了一款健身软件，每行走1千米会得到48个积分，积累200个积分就可以兑换1元话费。王叔叔上周六共行走了4千米，他这天得到的积分够不够兑换1元话费？ 【答案】不够 【思路引导】48个积分接近50积分，如果1千米得50积分，则4千米得4个50积分是200个积分，这时正好换1元话费，但实际每行走1千米会得到48个积分，则4千米不够200积分，所以不能兑换。 【规范解答】48＜50    50×4＝200（个）    48×4＜200 答：，他这天得到的积分不够兑换1元话费。 5．在“读经典，我思考”活动中，轩轩从星期三开始读《稻草人》，并且每天记录自己读了多少页（如下图）。 星期三 星期四 星期五 星期六 每天读的页数 38 38 38 46 （1）轩轩一共读了多少页？ （2）《稻草人》这本书一共有224页，还剩下多少页没有看？ 【答案】（1）160页 （2）64页 【思路引导】（1）已知轩轩星期三、星期四、星期五每天读38页，星期六读46页。根据乘法的意义，用38乘3计算出星期三到星期五读的总页数，再加上星期六读的46页，可得轩轩一共读的页数。 （2）已知《稻草人》这本书一共有224页，根据减法的意义，用这本书的总页数减去轩轩已经读的页数，即还剩下多少页没有看。 【规范解答】（1）38×3＋46 ＝114＋46 ＝160（页） 答：轩轩一共读了160页。 （2）224－160＝64（页） 答：还剩下64页没有看。 1．爸爸在商场购买了一个篮球和一条跳绳共花了90元，一个篮球的价格可以购买5条跳绳，篮球的价格是（    ）元。 A．无法计算 B．18 C．75 【答案】C 【思路引导】根据题意，一个篮球的价格可以购买5条跳绳，可以把跳绳的价格看作一份，那么篮球的价格就是这样的5份。而买了一个篮球和一条跳绳共花了90元，把一个篮球换成5条跳绳，说明6条跳绳的价格是90元。据此求出一条跳绳的价格。再用跳绳的价格乘5就是篮球的价格。 【规范解答】90÷（5＋1） ＝90÷6 ＝15（元） 15×5＝75（元） 所以，篮球的价格是75元。 故答案为：C 2．湖面上有若干条船，总共坐了36人，而且每条船上不是坐3人就是坐4人，下面几种情况中，不可能是（    ）。 A．湖面上有11条船 B．湖面上有10条船 C．湖面上有8条船 【答案】C 【思路引导】A．若每条船坐3人这样的船有8条，8乘3得坐这样的船的有24人，共36人，36减24求出还有12人，这12人坐的是每条船坐4人的船，12除以4求出每条船坐4人时船的数量，最后把两种船的数量相加。 B．若每条船坐4人，这样的船有6条，4乘6得24，再用36减24即可求出还有12人，这12人坐的船是每条船坐3人，12除以3求出这样的船有4条，最后把4与6相加即可求出船的总数量。 C．每条船最多坐4人，而4与8相乘得32人，这个人数是小于36人的，所以8条船是不够的。 【规范解答】A．36－3×8 ＝36－24 ＝12（人） 12÷4＝3（条） 3＋8＝11（条） 共11条船，湖上有11条船是有可能的。 B．36－4×6 ＝36－24 ＝12（人） 12÷3＝4（条） 6＋4＝10（条） 共10条船，湖面上有10条船是有可能的。 C．4×8＝32（人），32＜36，所以不存在此种情况。 故答案为：C 3．丁丁在计算“5＋□×8”时，弄错了运算顺序，先算加法后算乘法了，结果得数是64，正确的得数应该是( )。 【答案】29 【思路引导】先用64除以8，求出“5＋□”的和；再减去5，求出□表示的数；最后按照“先算乘法，再算加法”的运算顺序，求出正确的结果即可。 【规范解答】64÷8－5 ＝8－5 ＝3 5＋3×8 ＝5＋24 ＝29 所以正确的得数应该是29。 4．四年级同学准备制作140个灯谜，已经做了76个，剩下的分给8个同学去做，平均每个同学还要做多少个？ 【答案】8个 【思路引导】根据题意，四年级同学准备制作140个灯谜，已经做了76个，剩下140－76＝64（个）灯谜没做，剩下的分给8个同学去做，平均每个同学还要做64÷8＝8（个），据此解答。 【规范解答】（140－76）÷8 ＝64÷8 ＝8（个） 答：平均每个同学还要做8个。 5．为助力“书香校园”建设，推动全民阅读，星光小学新采购了一批图书，分给6个年级后还剩58本。如果每个年级分到400本，那么这批图书一共有多少本？ 【答案】2458本 【思路引导】用每个年级分到图书本数乘年级个数，求出已经分出去的图书本数，再加上还剩的图书本数，即可求出这批图书的本数。 【规范解答】400×6＋58 ＝2400＋58 ＝2458（本） 答：这批图书一共2458本。 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 认识常见的数量关系（一） （8个类型题讲练+三大难度分层练 共39题） 第一部分：类型题讲练 类型1 分量与总量关系问题 求和问题：在生活场景中，常常需要将不同部分的数量相加得到总量。例如，学校组织活动，冰场内有5人，冰场外有10人，求总人数，就是将冰场内和冰场外的人数这两个分量相加，得到总量，即5 + 10 = 15人。 求剩余问题：已知总量和其中一个分量，求另一个分量。比如仓库原有180吨货物，运走85吨，求还剩多少吨货物，就是用总量减去已知的分量，即180 - 85 = 95吨。 类型2 倍数关系问题 求一个数的几倍是多少：在实际问题中，当已知一个数以及它与另一个数的倍数关系时，求另一个数。例如，三年级有35人参加比赛，四年级参加的人数是三年级的3倍，求四年级参加的人数，就是用三年级的人数乘以倍数，即35×3 = 105人。 已知一个数的几倍是多少，求这个数：如果知道一个数的几倍是多少，要求这个数，就用已知的数量除以倍数。比如，四年级参加比赛的人数是105人，是三年级人数的3倍，求三年级参加的人数，即105÷3 = 35人。 类型3 综合问题 乘加、乘减问题：在一些问题中，需要先计算乘法，再进行加法或减法运算。例如，大卡车装的电视机数量是小卡车的5倍，小卡车装6台，大卡车和小卡车一共装多少台电视机，先算出大卡车装的台数6×5 = 30台，再加上小卡车装的台数，即30 + 6 = 36台。 含“比多比少”和“倍数关系”的复杂问题：这类问题综合了“比多比少”和“倍数关系”，增加了解题的难度。比如，五年级参加的人数比三、四年级参加的总人数多12人，三年级有35人参加，四年级参加的人数是三年级的3倍，求五年级参加的人数，需要先算出三、四年级的总人数35 + 35×3 = 140人，再加上12人，即140 + 12 = 152人。 解题技巧1 分析数量关系 寻找题中的数量：仔细阅读题目，找出题目中给出的各种数量，明确哪些是已知量，哪些是未知量。例如，在“仓库原有180吨货物，运走85吨，还剩多少吨”这道题中，180吨和85吨是已知量，剩余货物的吨数是未知量。 明确各数量间的关系：根据题目描述，确定已知量和未知量之间的关系，是求和、求差、倍数关系还是其他关系。如在倍数关系问题中，要明确哪个数是另一个数的几倍。 构建数量关系模型：将实际问题中的数量关系抽象为数学模型，如“总量 = 分量 + 分量”“分量 = 总量 - 分量”“一个数的几倍 = 这个数×倍数”等。 解题技巧2 运用直观工具 绘制线段图：线段图可以直观地表示出数量之间的关系，帮助学生更好地理解题意。例如，在解决倍数关系问题时，用线段表示不同的数量，通过线段的长短对比，清晰地看出倍数关系。 制作表格：对于一些较为复杂的问题，表格可以将各个数量清晰地罗列出来，便于分析和比较。比如在解决涉及多个步骤和多个数量的综合问题时，制作表格可以使解题思路更加清晰。 解题技巧3 确定解题步骤 明确先算什么，再算什么：根据数量关系和运算顺序，确定解题的先后步骤。在乘加、乘减问题中，要先算乘法，再算加法或减法。例如，计算24×3 + 18，先算24×3 = 72，再算72 + 18 = 90。 规范计算过程：在计算过程中，要按照正确的运算顺序进行计算，书写要规范，确保计算结果的准确性。 解题技巧4 检验结果 逆向验证：通过逆向运算来检验结果的正确性。例如，在解决“总量与分量”问题时，用求出的分量加上另一个已知分量，看是否等于总量。 不同方法对比：对于一些问题，可以尝试用不同的方法进行解答，对比不同方法的结果是否一致。如果结果相同，说明答案是正确的；如果结果不同，则需要检查解题过程中是否存在错误。 类型1 “提问题”“填条件”问题 典型例题1：第二十一届中国国际环保展览会于2023年4月13日~15日在北京举办。为培养学生的环保意识，某校组织学生回收废纸，三（1）班回收废纸50千克，__________。两个班一共回收废纸多少千克？若列出的算式为50－10＋50，横线上需要补充的信息是（    ）。 A．三（2）班回收的废纸比三（1）班多10千克 B．三（2）班回收的废纸比三（1）班少10千克 C．三（2）班回收废纸50千克 思路引导：根据题意可知，50－10＋50计算的第一步是50－10，50代表三（1）班回收废纸50千克，所以50－10可以求出回收的废纸比三（1）班少10千克的数量，也就是表示三（2）班回收的废纸；计算的第二步是用第一步的结果再加50，也就是把三（2）班回收的废纸和三（1）班回收的废纸相加即可求出两个班一共回收废纸的数量，据此解答。 变式训练1：先提出问题，再解答。 玲玲和妈妈去野生动物园。买两张门票一共花了240元，玲玲的票价是妈妈的一半。___________________？ 变式训练2：如图，水杯、书包、笔袋、笔记本四样商品，单价如下： （1）买1个书包和2个笔袋，一共花了多少钱？ （2）如果想买至少三样东西，并且正好是150元，请你设计一种购买方案。（请写出计算过程。） 类型2 含有多余条件的实际问题 典型例题2：爷爷养了72只母鸡和7只公鸡，卖了5只母鸡，还剩（    ）母鸡。 A．72－7－5＝60（只） B．72－7＝65（只） C．72－5＝67（只） 思路引导：根据减法的意义，母鸡的总数－卖出去的母鸡数量＝剩余的母鸡数量，列出算式算出答案即可解答。其中公鸡的数量为无关条件，属于干扰。 变式训练1：为落实新课标提出的“每位学生掌握1至2项运动技能”的具体要求，激发学生对篮球的兴趣，阳光实验小学举办投篮比赛。每个学生每轮可投10个球，每投中1个得3分。谁平均每轮投的分值高？ 变式训练2：有17人要来操场踢球，现在来了9人，一共踢进了10个球。还有几人没来？要解决这个问题，不需要的信息是（    ）。 A．一共踢进了10个球 B．现在来了9人 C．17人要来操场踢球 类型3 图文问题 典型例题3：某商场举办周年庆活动，满800元优惠100元。 （1）买哪两件商品可以优惠100元？ （2）妈妈带了1000元，买完优惠后的两件商品，还剩多少元？ 思路引导：（1）买哪两件商品可以优惠100元，说明这两件商品价格超过800元，分别计算两种商品的价格之和，然后跟800元比较即可。 （2）花的钱数减去100后为优惠后的价格，再用1000减去优惠后的价格，即为剩下的钱数。 答题区： 变式训练1： （1）晶晶是三年级的学生，她和爸爸都感冒了，他们一天共需要吃多少片药？请你在上图中圈一圈。 （2）根据上面信息，算式（2＋1）×5解决的问题是： _____________________________________________________。 变式训练2：一个重( )克。 类型4 归—问题 典型例题4：下列问题中，不能用算式8÷2×4解决的是（    ）。 A．做2串糖葫芦需要8颗山楂，照这样计算。做4串糖葫芦需要多少颗山楂？ B．妈妈买了2个碗，每个碗8元钱，用同样的钱买4元一个的碗，可以买几个？ C．将2本相同的书摞起来高8毫米，将4本这样的书摞起来高多少毫米？ D．明明读一本书，2天读了8页，照这样计算，4天可以读多少页？ 思路引导：做2串糖葫芦需要8颗山楂，照这样计算。做4串糖葫芦需要多少颗山楂？首先用8÷2求出平均每串糖葫芦需要山楂数量，然后再乘4，求出4串糖葫芦需要山楂数量。 妈妈买了2个碗，每个碗8元钱，用同样的钱买4元一个的碗，可以买几个？用一个碗的价钱乘2，求出妈妈的钱数，再用总钱数除以4，即可解题。 将2本相同的书摞起来高8毫米，将4本这样的书摞起来高多少毫米？用2本书摞起来的高度除以2，求出每本书的厚度，再乘4，求出4本书摞起来的高度； 明明读一本书，2天读了8页，照这样计算，4天可以读多少页？用8÷2表示平均每天读书页数，再乘4，求出4天读书页数。据此解题。 变式训练1：下面的问题中可以用算式4×12÷8来解决的是（    ）。 A．小刚家原来有4条金鱼，又买来了12条。将这些金鱼平均放在8个鱼缸里，每个鱼缸里放几条？ B．小明买4个同样的笔记本用了12元。照这样计算，买8个这样的笔记本需要多少钱？ C．小红读一本书，每天读4页，12天可以读完。如果每天读8页，几天可以读完？ 变式训练2：月月读一本故事书，2天读了16页。照这样的阅读速度，4天可以读多少页？ 类型5 归总问题， 典型例题5：下面的问题中可以用算式6×12÷9来解决的是（    ）。 A．小明买6块同样的橡皮用了12元。照这样计算，买9块这样的橡皮需要多少钱？ B．小红读一本书，每天读6页，12天可以读完。如果每天读9页，几天可以读完？ C．小刚家原来有6只兔子，又买来了12只。将这些兔子平均放在9个笼子里，每个笼子里放几只？ 思路引导：A．总价÷数量＝单价，先用12除以6计算出橡皮的单价，单价×数量＝总价，再乘9计算出9块橡皮的总价； B．工作效率×工作时间＝工作总量，先用6乘12计算出这本书的总页数，工作总量÷工作效率＝工作时间，再除以9计算出几天可以读完； C．先用6加上12计算出兔子的总只数，再除以9计算出平均每个笼子放几只；据此解答。 变式训练1：三（1）班准备举办2023年元旦联欢会，老师要买一些奖品。每根棒棒糖4元，可以买18根；用同样的钱，如果买三角尺，每副8元，可以买多少副？ 变式训练2：同学们进行队列表演，每行站6人，站了6行。改变队形后，每行站4人，这些同学可以站几行？用算式计算，正确的是（　　）。 A．6×4÷6 B．6×6÷4 C．（6＋6）÷4 D．6×6×4 类型6 和差倍问题 典型例题6：小华有53张邮票，小明有25张邮票。要使两个人邮票的张数同样多，小华要给小明多少张邮票？下面做法错误的是（    ）。 A．53－25＝28（张）  28÷2＝14（张） B．53＋25＝78（张）  78－53＝25（张） C．53＋25＝78（张）  78÷2＝39（张）  39－25＝14（张） D．53＋25＝78（张）  78÷2＝39（张）  53－39＝14（张） 思路引导：要求使两个人邮票的张数同样多，小华要给小明多少张邮票？那么可以先求小华比小明多多少张，然后将多出的部分给出一半给小明，即可求出小华要给小明多少张邮票；或者可以先求出两人一共有多少张，将总数平均分成两份，即可求得二人一样时每人可得多少张；然后用小华已有的数量减去二人一样时所得的数量，或者用二人一样时的数量减去小明已有的数量，也可求出小华要给小明多少张邮票；据此分析算式可解此题。 变式训练1：一本书翻开后，左右两页的页码和是205，翻开的是( )和( )页。 变式训练2：有甲、乙两桶花生油。如果从甲桶中倒出2千克给乙桶，则两桶油同样重。原来甲桶油比乙桶油重( )千克。 类型7 基础行程问题 典型例题7：小明和小勇在操场上练习跑步。小明2分钟跑了400米，小勇4分钟跑了790米，( )跑得更快些。 思路引导：分析题意可知：小明2分钟跑了400米，用400÷2计算出小明1分钟跑的路程，再乘4，计算出小明4分钟跑的路程。时间相同，谁跑的路程多谁就跑得快，据此解答。 变式训练1：随着科技的发展，中国的高铁已成为“世界之最”。林林乘坐动车从昆明去长沙，花了5小时，平均每小时行驶280千米。返回时，他改坐高铁，只要花4个小时。 （1）从昆明到长沙一共要行驶多少千米？ （2）高铁平均每小时行驶多少千米？ 变式训练2：甲汽车7小时行驶576千米，乙汽车6小时行驶498千米，比一比速度（    ）。 A．甲快 B．乙快 C．一样快 类型8 基础工程问题 典型例题8：小明1分钟能打101个字，照这样计算，1小时能打( )个字。 思路引导：先将1小时化成分钟，然后再乘小明1分钟能打字的个数即可，依此计算。 变式训练1：王刚用电脑每分钟打68个字，有一篇课文400个字，请问他用8分钟能打完吗？ 变式训练2：王老师用电脑打一篇发言稿，他开始4分钟打了300个字，照这样计算，他要再打15分钟才能打完，问王老师打的这篇发言稿共 个字。 第二部分：难度分层训练 1．每辆校车有49个座位，9辆校车一次大约可以坐（    ）个学生。 A．400 B．450 C．500 2．有48名同学乘车秋游，有6辆小客车，每辆小客车可坐5人。小美列的算式是48－6×5，她第二步解决的问题是（    ）。 A．6辆小客车坐多少人 B．5辆小客车坐多少人 C．还剩多少人没坐上车 D．还需要多少辆小客车 3．二（1）班有女生28人，男生17人，每5人一组去植树，可以分成( )个小组。 4．根据物品价格回答下列问题。 （1）妈妈买1张餐桌和4把椅子，一共要花多少元？ （2）王叔叔带了1000元钱，估一估他带的钱够买一个柜子和一个沙发吗？ 5．每个面包3元，同学们第一小组买了8个，第二小组买了6个。请问第一小组比第二小组多花多少钱？ 1．张叔叔要买3张从甲城到乙城的火车票，有三种不同的票，他估算了一下，然后付给售票员1000元，他买的是（    ）的票。 A．特快列车312元/张 B．普通列车198元/张 C．高铁523元/张 2．小明有20元钱，买铅笔用去4元，剩下的钱可以买4本笔记本，每本笔记本多少钱？正确的列式是（    ）。 A．20－4÷4 B．（20－4）÷4 C．20÷4－4 3．姐姐和弟弟一起折千纸鹤。姐姐折了48只，弟弟折了30只。要使两人的千纸鹤只数同样多，姐姐要给弟弟( )只。 4．王叔叔在手机上安装了一款健身软件，每行走1千米会得到48个积分，积累200个积分就可以兑换1元话费。王叔叔上周六共行走了4千米，他这天得到的积分够不够兑换1元话费？ 5．在“读经典，我思考”活动中，轩轩从星期三开始读《稻草人》，并且每天记录自己读了多少页（如下图）。 星期三 星期四 星期五 星期六 每天读的页数 38 38 38 46 （1）轩轩一共读了多少页？ （2）《稻草人》这本书一共有224页，还剩下多少页没有看？ 1．爸爸在商场购买了一个篮球和一条跳绳共花了90元，一个篮球的价格可以购买5条跳绳，篮球的价格是（    ）元。 A．无法计算 B．18 C．75 2．湖面上有若干条船，总共坐了36人，而且每条船上不是坐3人就是坐4人，下面几种情况中，不可能是（    ）。 A．湖面上有11条船 B．湖面上有10条船 C．湖面上有8条船 3．丁丁在计算“5＋□×8”时，弄错了运算顺序，先算加法后算乘法了，结果得数是64，正确的得数应该是( )。 4．四年级同学准备制作140个灯谜，已经做了76个，剩下的分给8个同学去做，平均每个同学还要做多少个？ 5．为助力“书香校园”建设，推动全民阅读，星光小学新采购了一批图书，分给6个年级后还剩58本。如果每个年级分到400本，那么这批图书一共有多少本？ 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $