3.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 课时训练 2025-2026学年 鲁教版（五四制）九年级数学上册

第三章 二次函数 4 二次函数的图象与性质 第2课时 二次函数的图象与性质 1.抛物线 的顶点坐标为( ) B.(1,0) C.(1,1) 2.下列二次函数中，对称轴是直线 的是( ) 3.与抛物线 关于 y 轴成轴对称关系的抛物线是 ( ) 4.抛物线 与抛物线 的相同点是 ( ) A.顶点相同 B.对称轴相同 C.开口方向相同 D.顶点都在x轴上 5.对于二次函数 的图象，下列说法正确的是 ( ) A.开口向上 B.对称轴是直线x=-2 C.当时,y随x 的增大而减小 D.顶点坐标为(2,0) 6.已知二次函数 当时,y 随x 的增大而增大,当时,y随x的增大而减小，则当x=1时，y的值为( ) A.-12 B.12 C.32 D.-32 7.若点 A(2,y₁),B(-1,y₂),C(3,y₃)在抛物线 上，则的大小关系是 ( ) 8.若点都在二次函数 的图象上，则a与b的大小关系是 ( ) D.无法确定 9.将抛物线 的图象向右平移_______个单位长度后，新图象经过原点. 10.两位同学分别说出了一条二次函数图象的性质，小明：抛物线开口向上；小智：抛物线对称轴是直线；请你写出一个符合上述条件的二次函数表达式:_______________. 11.已知点都在二次函数 的图象上，那么m，n的大小关系是：m_______n.(填“＞”“＝”或“＜”) 12.(1)抛物线 的开口向________，对称轴是_______，顶点坐标是_________，与x轴的交点坐标为_________；当________时，y有最_______(填“大”或“小”)值,当________时，y的值随x值的增大而减小； (2)若抛物线 向右平移2个单位后经过点 求 a的值. 13.已知一个二次函数图象的顶点为(1，0)，与y轴的交点为(0,1). (1)求这个二次函数的表达式； (2)在所给的平面直角坐标系 xOy中，画出这个二次函数的图象. 14.已知抛物线 当 时，函数有最大值，则当x为何值时， y随x 的增大而减小? 15.把抛物线 沿 y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3，0)，求平移后的抛物线的表达式. 16.抛物线 的顶点为它的形状与 相同，但开口方向与之相反. (1)抛物线的表达式为____________； (2)求抛物线与 y轴的交点坐标. 17. 在平面直角坐标系内有线段 PQ，已知P(3,1),Q(9,1),若抛物线 与线段 PQ有交点，则a 的取值范围是___________. 18.如图，抛物线 与平行于 x 轴的直线交于点 A，B，抛物线顶点为 C，为等边三角形，求 参考答案 1. A 2. D 3. C 4. D 5. D 6. D 7. A 8. B 9. 3 (答案不唯一) 11.＜ 12.解:(1)上 直线x=1 (1,0) (1,0) 小 (2)抛物线 向右平移2个单位得到抛物线 ∵抛物线经过点 13.解：(1)设抛物线表达式为 将(0,1)代入 得 (2)二次函数图象如图所示： 14.解:∵抛物线 有最大值，∴该抛物线的开口方向向下. 又∵当 时，函数有最大值，∴对称轴是直线. ∴当 时， y随x的增大而减小. 15.解：设平移后抛物线的表达式为 把 Q(3,0)代入,得 解得 所以，平移后的抛物线的表达式是 16.解:(1)∵抛物线 的顶点为(-2,0), ∴-h=-2,∴h=2. ∵抛物线 的形状与 的相同，开口方向相反，∴a=-3, ∴该抛物线的函数表达式是 故答案为： (2)当x=0时, 所以，抛物线与 y轴的交点坐标为(0，-12). 17.2≤a≤10 解析：由 可得抛物线的对称轴为直线为x=a，顶点坐标为(a，0)， ①当对称轴在点 P 左侧时,a<3,把 P(3,1)代入 得 解得a=2或a=4(舍去); ②当对称轴在点 Q右侧时，a>9，把Q(9,1),代入 得 解得a=10或a=8(舍去). ∴当2≤a≤10时,抛物线 与线段 PQ有交点. 18.解:过 B 作 BP⊥x轴于点 P,连接 AC,BC, 由抛物线 得 C(2,0), ∴对称轴为直线x=2，设 B(m,n).∴CP=m-2. ∵AB∥x轴,且A,B在抛物线上,∴AB=2m-4. ∵△ABC是等边三角形， 解得 (不合题意，舍去)， 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 二次函数 4 二次函数的图象与性质 第4课时 二次函数的图象与性质 1.抛物线 经平移后，不可能得到的抛物线是 ( ) 2.已知二次函数的自变量x₁，x₂，x₃对应的函数值分别为y₁,y₂,y3.当 时,y₁,y₂,y₃三者之间的大小关系是( ) 3.二次函数 的图象与 y轴的交点坐标为 ( ) A.(1,0) B.(0,1) C.(-1,0) D.(0,-1) 4.若抛物线 的顶点在x轴上，则( ) 5.若是抛物线 上的两点，则该抛物线的对称轴是( ) A.直线x=1 B.直线x=2 C.直线x=3 D.直线x=4 6.二次函数 的最大值是 10，那么a的值等于( ) A.-1 B.1 C.3 D.4 7.二次函数 的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.二次函数 的图象如图所示，则一次函数 y= ax+b的图象一定不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 第8题图 第9题图 9.如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，下列结论： ;; 其中正确的结论有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A.函数有最小值1，有最大值3 B.函数有最小值-1，有最大值0 C.函数有最小值-1，有最大值3 D.函数有最小值-1，无最大值 11.二次函数 的最大值是___________. 12.二次函数 的图象如图所示，若 则M,N的大小关系为 第12题图 第13题图 13.对称轴为直线的抛物线 (a,b,c为常数，且a≠0)的图象，如图所示，下列结论：为任意实数)⑤当时,y 随x 的增大而减小.其中结论正确的是________.(填序号) 14.求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴： 15.已知二次函数 (1)求它的顶点坐标和对称轴； (2)求它与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标. 16.已知二次函数 (1)写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当x为何值时，y随x 的增大而减小? (3)把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点 请说明理由. 17.定义：在平面直角坐标系中，对于点 当点 满足时，称点 是点 的“倍增点”.已知点 P₁(1,0)，有下列结论： ①点 都是点 的“倍增点” ②若直线y=x+2上的点 A 是点. 的“倍增点”,则点 A 的坐标为(2,4) ③抛物线 上存在两个点是点 的“倍增点” ④若点 B 是点 的“倍增点”，则 的最小值是 其中，正确结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 参考答案 1. D 2. D 3. B 4. A 5. B 6. B 7. B 8. C 9. B 解析：①由图象可知 故①正确； ②当x=-1时, 当 时， 故②正确； ③当x=1时，y的值最大，此时， 当x=m时, 其中m≠1,所以 故 即a+b>m( am+b),故③错误； ④由对称，得当x=2时，函数值大于 0，即 故④正确. 10. C 11.7 12.＜ 13.①③⑤ 解析：①∵图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴ab<0,故①正确; ②∵抛物线的对称轴为直线 由图象对称性可知x=2时与x=0时函数值相等，当x=0时,y<0,∴x=2时, 故②错误； ③∵抛物线的对称轴为直线 ∵当x=-1时, 即 故③正确； ④图象开口向上，对称轴为直线x=1，∴x=1时,y=a+b+c有最小值,对于任意 实数 m均有 即 b≤m( am+b),故④错误; ⑤∵a>0,对称轴为直线x=1,∴x<1时，y随着x的增大而减小， 时，y随x 的增大而减小，故⑤正确. 14.解: ∴该函数图象的开口向上，顶点坐标为(1,1),对称轴为直线x=1; ∴该函数图象 的开口向下，顶点坐标为 对称轴为直线 15.解:(1)这里a=-4,b=8,c=-3, ∴顶点坐标是(1，1)，对称轴是直线x=1； (2)令 则 解得 ∴与x轴的交点坐标是 令 则 ∴与 y轴交点坐标是( 16.解: 中， ∴该抛物线的开口向上， ∵∴顶点坐标为(1,3); (2)∵抛物线开口向上，对称轴为直线. ∴当 时，y随x的增大而减小； (3)把此抛物线向左移动 3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线为 即 当 时， ∴新抛物线不过点. 17. C 解析:① ∴点 都是点 的“倍增点”，故①正确； ②由题意，可设满足题意得“倍增点”A 为 解得 ∴A(0,2),故②错误; ③设抛物线上的“倍增点”为 解得x=5或-1,∴此时满足题意的“倍增点”有(5，12)，( 0)两个，故③正确； ④设 B(x,y),∴2(x+1)=y+0,∴ ∴当 时， 有最小值，为 故④正确. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 二次函数 4 二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数的图象与性质 1.二次函数 的顶点坐标是 ( ) 2.抛物线 的对称轴是 ( ) A.直线 B.直线 C. y轴 D.直线 3.已知点 均在抛物线 上，下列说法正确的是( ) A.若 则 B.若 则 C.若 则 D.若 则 4.已知点( y₂),(2,y₃)都在函数 的图象上，则的大小关系为 ( ) 5.函数和 (为常数，且，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 ( ) 6.将抛物线 向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式为______________. 7.抛物线 向上平移2个单位后所得的抛物线表达式是________________. 8.(1)将二次函数 的图象向下平移3个单位，就得到二次函数______________的图象，其顶点坐标为___________； (2)抛物线 的开口_________，对称轴为_______，顶点坐标为__________. 9.二次函数 的最小值是____________. 10.二次函数 的最大值是____________. 11.在同一直角坐标系中，画出 和 的图象，并根据图象回答下列问题. … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … … … (1)抛物线 向______平移______个单位得到抛物线 (2)抛物线 开口方向是_______，对称轴为________，顶点坐标为___________; (3)对抛物线 当x__________时，函数 y随x的增大而减小；当x___________时，函数y有最_______值，其最_______值是___________. 12.画出二次函数 的图象，根据图象回答下列问题： (1)写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)当x取何值时，y的值随x值的增大而增大； (3)当x取何值时，函数有最大(小)值，最大(小)值为多少? 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 y轴交于点A，过点 A 与x轴平行的直线交抛物线 于点 B,C,求线段 BC的长度. 14.如图,抛物线 经过正方形OABC 的三个顶点A,B,C,点 B在y轴上，则 ac的值为 ( ) 第 14题图 第15题图 15.有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面AB 宽 20米，拱桥的最高点O到水面AB 的距离是 4 米，建立平面直角坐标系xOy如图，如果水面上升了1米，那么此时水面的宽度是______________米.(结果保留根号) 16.如图,A,B,C,D 四点在抛物线 上，且 ∥∥轴，与y轴的交点分别为点E,F,已知 求a的值及OF 的长. 参考答案 1. A 2. C 3. D 4. C 5. C (2)向下 y轴 (0,2) 9.-1 10.-6 11.解：列表如表： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … … -8 -3 0 1 0 -3 -8 … 描点：表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出， 连线：用平滑的线连接，如图所示： (1)抛物线 向下平移1个单位得到抛物线 故答案为：下，1； (2)抛物线 的图象开口向下，对称轴为 y轴，顶点坐标为(0，1). 故答案为:向下,y轴,(0,1); (3)对抛物线 当 时，函数 y随x 的增大而减小；当 时，函数 y有最大值，其最大值是1. 故答案为:,大,大,1. 12.解：如图所示： (1)抛物线的顶点坐标为(0，1)，对称轴为y轴; (2)当x<0时，y的值随x值的增大而增大； (3)当x=0时，函数有最大值，最大值为1. 13.解:当x=0时, 则 A 点坐标为(0,3). ∥轴，∴B点，C点的纵坐标都为3. 当 时， 解得 ∴B(-3,3),C(3,3), 14. B 解析:过点 A 作. 轴于点 H， ∵四边形ABCO是正方形， ∴ 设A(m,m),则 B(0,2m), 解得 ∴ac的值为 解析：设抛物线的表达式为 ∵O点到水面AB 的距离为 4 米，∴A，B点的纵坐标为 ∵水面AB宽为20米, 将 A代入 得 ∵水位上升1米，∴O点到水面的距离为 3， 把y=-3代入 得 ∴水面的宽度为 米. 16.解:由题意可设点 , 则 解得 ∥轴， 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 二次函数 4 二次函数的图象与性质 第3课时 二次函数的图象与性质 1.二次函数 4的最大值是 ( ) A.-3 B.3 C.-4 D.4 2.二次函数 图象的顶点所在的象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.关于二次函数下列说法正确的是 ( ) A.函数图象的开口向下 B.函数图象的顶点坐标是(-3，1) C.当时，y随x 的增大而减小 D.该函数图象与 y轴的交点坐标是(0，10) 4.将抛物线 平移后得到抛物线 则下列平移正确的是( ) A.向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 B.向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C.向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D.向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 5.抛物线 的对称轴是 ( ) A.直线x=1 B.直线x=0 C.直线x=-1 D.直线x=-2 6.将抛物线 向左平移3个单位长度，得到抛物线 C₂，抛物线 C₂与抛物线C₃关于x轴对称，则抛物线 C₃的表达式为 ( ) 7.关于二次函数 的最值，下列说法正确的是 ( ) A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值6 D.有最小值6 8.顶点为 且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是( ) 9.将抛物线 向右平移a个单位长度后正好经过原点，则a的值为 ( ) A.-1 B. 5 C.1或-1 D.-1或5 10.已知抛物线 上有三点 (-2,y₁),(-1,y₂),(2,y₃),则y₁, y₂,y₃的大小关系为 ( ) 11.二次函数当__________时，y有最小值. 12.若二次 函 数有最大值，则“△”中可填的数字是______.(写出一个即可) 13.抛物线 与 y轴的交点坐标是__________. 14.二次函数 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数 则 15.已知点在抛物线 的图象上，把该图象先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线 (1)求b的值和抛物线 的函数表达式； (2)动点 能否在抛物线 上?请说明理由； (3)若点 都在抛物线 上,且,比较 y₁,y₂的大小,并说明理由. 16.作出二次函数 的图象，并根据图象回答问题： (1)当x取何值时，y的值随x 值的增大而增大? 当x取何值时，y的值随x 值的增大而减小? (2)函数 y 有最大值还是最小值? 最值是多少? (3)当,x 的取值范围分别是什么? 17.已知二次函数 的图象为抛物线 C. (1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当-3≤x≤4时，求该二次函数的函数值 y的取值范围； (3)将抛物线C先向左平移2个单位长度，得到抛物线 再将抛物线 向上平移1个单位长度，得到抛物线 请直接写出抛物线 对应的函数表达式. 18.将抛物线 向下平移1个单位长度，再向右平移__________个单位长度后，得到的新抛物线经过原点. 19.已知二次函数 (1)在网格中，画出该函数的图象； (2)将(1)中图象与x轴的交点记作A，B，若该图象上存在一点 C，使 的面积为 3，求点 C的坐标. 参考答案 1. D 2. B 3. D 4. A 5. A 6. D 7. C 8. C 9. D 解析：将抛物线 向右平移a个单位长度得到 ∵平移后的抛物线经过原点， 解得 或 10. A 11. 1 12.-1(答案不唯一) 13. (0,9) 14.-6 6 解析： 即 把其图象向下平移3个单位再向右平移2 个单位，得 即 15.解:(1)∵点在抛物线的图象上， ∴抛物线的表达式为 ∴抛物线的顶点坐标为( ∴平移后的抛物线的顶点坐标为( ∴平移后的抛物线( 的表达式为 即 (2)点P 不能在抛物线 上. 理由：抛物线 C₂的开口向上，函数有最小值-3. ∵,∴点 P 不可能在抛物线 上； (3)∵N(1,m)在 上， ∵抛物线 C₂ 的开口向上，对称轴为直线 ∴在对称轴的右侧，y随x 的增大而增大. 16.解：二次函数 的图象如图所示. (1)当 时，y的值随x值的增大而增大； 当 时，y的值随x值的增大而减小； (2)y有最大值，最大值是 (3)当y>0时，图象在x轴的上方，x的取值 范围是1<x<2;当y=0时,图象与 x轴相交,交点为x=1或2;当y<0时,图象在 x轴的下方，x的取值范围是x<1或 17.解:(1)∵-1<0,∴抛物线C的开口向下. ∵∴抛物线C的对称轴为直线. 顶点坐标为(1,4); (2)①当 时，y随x 的增大而增大， 当x=-3时,y=-12, 当x=1时,y=4; ②当1<x≤4时,y随x 的增大而减小,当 时,y=-5. ∴函数值 y的取值范围是 (3)抛物线C₁对应的函数表达式为 抛物线 对应的函数表达式为 18.2 或 4 19.解:(1)如图: (2)令 代入 则 或3, ∴A(1,0),B(3,0),∴AB=2. ∴AB为底的高为3， ∴C点纵坐标为 3. 将 代入 解方程，得 或4, ∴C(0,3)或(4,3). 1 学科网（北京）股份有限公司 $