3.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 课时训练 2025-2026学年 鲁教版（五四制）九年级数学上册

第三章 二次函数 4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质 目标一 二次函数y=ax2+k的图象与性质 认知基础练 练点1 二次函数y=ax²+k的图象 1.抛物线 的顶点坐标是( ) 2.函数 y= ax-a 和y=ax²+2(a为常数，且a≠0)，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( ) 3.抛物线y=ax²+k的最高点是A(0,7),则k=___________. 练点2 二次函数y=ax²+k的性质 4.下列关于抛物线y= -2x²+3的说法正确的是( ) A.抛物线开口向上 B.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 C.在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 D.顶点坐标为(1,3) 5.抛物线y=x² +3上有两点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),若y₁＜y₂,则下列结论正确的是( ) A.0≤x₁＜x₂ B. x₂＜x₁≤0 C. x₂＜x₁≤0或0≤x₁＜x₂ D.以上都不对 纠易错 求函数值的取值范围时， 因忽略顶点而出错 6.对于二次函数y=2x²-3,当-1≤x≤2时,y的取值范围是( ) 思维发散练 发散点1 利用二次函数y=ax²+k的图象与性质求表达式 7.求符合下列条件的抛物线的函数表达式： (1)抛物线y=ax²-1过点(1,2); (2)抛物线y=ax²+c与y=x²+3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为(0，1). 发散点2 利用二次函数y=ax²+k的图象与性质解几何问题 8.【学科内综合】如图，已知正比例函数y=2x的图象与抛物线y=ax²+3相交于点 A(1,b). (1)求a与b的值; (2)若点 B(m,4)在函数y=2x的图象上,抛物线y=ax²+3的顶点是 C,求△ABC 的面积; (3)若P是x轴上一个动点，求当PA+PC的值最小时点P的坐标. 目标二 二次函数y=ax2+k与y=ax2间的关系 认知基础练 练点1 抛物线y=ax²+k与y=ax²间的平移规律 1.将抛物线y=x²向上平移3个单位，所得抛物线的表达式是( ) 2.若将抛物线y=7x²经过平移后得到抛物线y=7x²-9,那么平移的方法是( ) A.将抛物线y=7x²沿y轴向上平移9个单位 B.将抛物线y=7x²沿y轴向下平移9个单位 C.将抛物线y=7x²沿x轴向左平移9个单位 D.将抛物线y=7x²沿x轴向右平移9个单位 练点2 二次函数y=ax²+k与y=ax²间的关系 3.抛物线与的形状完全相同，则其关系式为( ) 或 D.不能确定 4.如图，两条抛物线 与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( ) A.8 B.6 C.10 D.4 纠易错 对平移的规律理解不透彻而出错 5.已知抛物线 把它向上平移，得到的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形，则原抛物线向上平移了________个单位. 思维发散练 发散点1 利用二次函数y=ax²+k与y=ax²间的关系求函数表达式 6.抛物线y=ax²+c的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口方向与抛物线 相同. (1)确定a,c的值; (2)画出抛物线y=ax²+c. 发散点2 利用二次函数y=ax²+k的图象与性质求最值 7.已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离相等.如图，点M的坐标为 ，P是抛物线 上一动点. (1)当△POF 的面积为4时,求点P的坐标; (2)求△PMF周长的最小值. 参考答案 目标一 二次函数的图象与性质 1. C 【点拨】∵ 抛物线y= ax² + k的顶点坐标是(0,k),∴抛物线 的顶点坐标是(0，4),故选C. 2. D 【点拨】∵y=ax²+2,∴二次函数y=ax²+2的图象的顶点为(0，2)，故A、B不符合题意；当y=ax-a=0时,x=1,∴一次函数y=ax-a的图象过点(1，0)，故C不符合题意，D符合题意.故选D. 3.7 【点拨】抛物线y=ax²+k的最高点为(0,k),∴k=7. 4. C 【点拨】∵抛物线y= -2x²+3,-2<0,∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=0，顶点坐标为(0，3),当x=0时,函数有最大值3,∴当x<0时,y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小，故选项C说法正确；故选C. 5. D【点拨】∵抛物线y=x²+3上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且y1＜y2,∴|x1|＜|x2|,∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜-x1＜x2或0＜x1＜-x2,故选D. 6. C 点方法 求二次函数值的取值范围时， 要先确定函数在自变量取值范围内的增减性.如果所给范围包含顶点的横坐标， 则在顶点处取得最大(小)值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数增减性确定最大(小)值： 7.【解】(1)将点(1,2)的坐标代入y=ax²-1,得2=a-1,解得 a=3,∴y=3x²-1. (2)∵抛物线y=ax²+c与y=x²+3的开口大小相同,开口方向相反,∴a= -1. 将点(0，1)的坐标代入y= -x² +c,得c=1,∴y= -x²+1. 8.【解】(1)把点A(1,b)的坐标代入y=2x,得b=2,∴A(1,2). 把点A(1，2)的坐标代入y=ax²+3,得a=-1. (2)把点B(m,4)的坐标代入y=2x,得 m=2,∴B(2,4). ∵抛物线y= ax²+3的顶点C的坐标是(0,3),∴OC=3. (3)如图，设点C关于x轴的对称点为C'，则 C'的坐标为(0,-3),连接AC'交x轴于点P,此时PA+PC的值最小. 　 设直线AC'的函数表达式是 y= kx+n,把C'(0,-3),A(1,2)的坐标代入上式, 得 解得 . 令y=0,则 点P的坐标是 目标二 二次函数y=ax²+k与y=ax²间的关系 1. A 【点拨】抛物线y=x²向上平移3个单位，平移后的表达式为y=x²+3.故选A. 2. B 【点拨】抛物线y=ax²沿y轴向上(或向下)平移|k|个单位，可以得到抛物线y=ax2+k,平移的规律是“上加下减”. 3. C【点拨】∵抛物线y=ax²-3与 的形状完全相同， 故选C. 4. A 【点拨】阴影部分分割后可以拼凑为一个长为4,宽为2的矩形,其面积为2×4=8,故选A. 5.3 【点拨】由题意易得△ABC是等腰直角三角形，∴OA=OB= OC. 设平移后的抛物线表达式为y=则C(0,k),即OC=k,∴OA=OB=k, 假设A在B左侧,则A(-k,0),B(k,0),将B(k,0)的坐标代入 得 解得k₁=3,k₂=0((舍去). ∴原抛物线向上平移了3个单位. 点易错 本题易忽略k=0时，不存在直角三角形ABC 出错. 6.【解】(1)由题意易知 把点(0,2)的坐标代入 得c=2. (2)如图所示. 7.【解】(1)设点P的坐标为 ∵点F的坐标为(0,2),∴OF=2,解得x=±4, 或 ∴点P的坐标为(-4,5)或(4,5). (2)如图,过点 M作ME⊥x轴于点 E,交抛物线y=于点P,∴PF=PE,即MP+PF的最小值为ME,此时△PMF的周长最小. ∴△PMF周长的最小值为 ME+FM=3+2=5. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 二次函数 4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第2课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 目标一 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 练点1 二次函数y=a(x-h)²+k的图象 1.抛物线y=2(x+9)²-3的顶点坐标是( ) A.(9,-3) B.(-9,-3) C.(9,3) D.(-9,3) 2.二次函数 y=a(x+m)²+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象经过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 3.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球运动的时间为6s；③小球抛出3s时，速度为0;④当t=1.5s时,小球的高度h=30 m.其中正确的是( ) A.①④ B.①② C.②③④ D.②④ 练点2 二次函数y=a(x-h)²+k的性质 4.已知抛物线y=(x-2)²+1,下列结论错误的是( ) A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=2 C.抛物线的顶点坐标为(2，1) D.当x<2时，y随x的增大而增大 5.已知二次函数y=-(x-m)²-1,当x>1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是____________. 纠易错 对抛物线y=a(x-h)²+k在指定条件下的最值理解不透彻而出错 6.已知二次函数y=(x+1)²-4,当a≤x≤b且ab<0时,y的最小值为2a,最大值为2b,则 a+b的值为___________. 思维发散练 发散点1 利用抛物线的特征求抛物线的表达式 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(4，-3)，该图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1. (1)求该二次函数的表达式； (2)求 tan ∠ABC的值. 发散点2 利用数形结合思想求二次函数中自变量的取值范围 8.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为A，异于顶点A的点 C(1，n)在该函数图象上. (1)当m=5时,求n的值; (2)当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围. 目标二 二次函数与间的关系 练点1 抛物线y=a(x-h)²+k与y=ax²间的平移规律 1.将抛物线y= -5x²向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的抛物线为( ) 2.把二次函数y=2(x-2)²-5的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点坐标为___________. 3.小嘉说将二次函数y=x²的图象平移或翻折后经过点(2，0)有4种方法： ①向右平移2个单位； ②向右平移1个单位，再向下平移1个单位； ③向下平移4个单位； ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位. 你认为小嘉说的方法中正确的有( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 练点2 二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²间的关系 4.下列关于二次函数y=-(x-m)²+m²+1(m为常数)的结论： ①该函数的图象与函数y=-x²的图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点(0，1)； ③当x>0时，y随x的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数.y=x²+1的图象上. 其中所有正确结论的序号是___________. 纠易错 考虑问题不全面而漏解 5.已知抛物线y=a(x-h)²+k与x轴有两个交点A(-1,0),B(3,0),抛物线y=a(x-h-m)²+k与x轴的一个交点是(4，0)，则 m 的值是( ) A.5 B.-1 C.5或1 D.-5或-1 思维发散练 发散点1 利用抛物线y=a(x-h)²+k的平移性质求函数表达式 6.如图,在▱ABCD中,AB =4,点D的坐标是(0,8),以点C为顶点的抛物线y=a(x-h)²+k经过x轴上的点A，B. (1)求点A,B,C的坐标; (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的表达式. 发散点2 利用平移的性质判断点与抛物线的位置关系 7.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(3,4),C在x轴的负半轴上,抛物线y= 经过点A.若把该抛物线沿x轴向左平移m个单位，使得平移后的抛物线经过菱形 OABC的顶点 C，试判断点B 是否落在平移后的抛物线上. 参考答案 目标一 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质 1. B 【点拨】由抛物线的表达式可得抛物线顶点坐标为(-9,-3),故选 B. 2. D 【点拨】∵抛物线y=a(x+m)²+n的顶点(-m,n)在第四象限,∴ -m>0,n<0,即m<0,n<0,∴直线y=mx+n经过第二、三、四象限,故选D. 3. C 【点拨】①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40 m，则小球在空中经过的路程为80m，故①错误；②由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故②正确；③小球抛出3s时达到最高点，即速度为0，故③正确；④设函数表达式为 h=a(t-3)2+40,将点(0,0)的坐标代入得0=a·(0-3)²+40,解得 ∴函数表达式为 h=当t=1.5s时, 40=30(m),故④正确.综上,正确的有②③④.故选 C. 4. D 【点拨】∵抛物线y=(x-2)²+1的对称轴为直线x=2，且开口向上，∴当x<2时，y随x的增大而减小，故选D. 5. m≤1【点拨】∵二次函数图象的对称轴为直线x=m，二次函数的图象开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小.∵x>1时，y随x的增大而减小,∴m≤1. 【点拨】∵a≤x≤b且ab<0,∴a<0,b>0.由题意知二次函数图象的对称轴为直线x=-1，∴图象上横坐标为b的点关于对称轴对称的点的横坐标为-b-2,若-1≤a<0,则(a+1)2-4=2a,解得 (舍去);若-b-2≤a<-1,则-4=2a,(b+1)²-4 =2b,解得 a=-2,b= ((负值舍去),∴ 若a<-b-2,则-4=2a,2b=(a+1)²-4,解得 (舍去).综上，a+b的值为 点易错 本题解答时易忽略a≤x≤b的条件中a<b的隐含条件，不进行检验出错. 7.【解】(1)设二次函数的表达式为y=a(x-4)²-3(a≠0).由题意知A(1,0),把A(1,0)的坐标代入,得0=a(1-4)²-3,解得 ∴该二次函数的表达式为 (2)对于 令x=0,则 由题意知点B与点A关于直线x=4对称. 又∵A(1,0),∴B(7,0).∴OB=7. ∵ 8.【解】(1)当m=5时, 令x=1,则 (2)当n=2时,C(1,2),将C(1,2)的坐标代入得. 解得m₁=3,m₂=-1. 由题意知A(m，4).∵点A在第一象限内，∴m>0,∴m=3.∴图象的对称轴为直线x=3. 根据图象的对称性可知，当y=2时,x=1或x=5, ∴当y≥2时,自变量x的取值范围为1≤x≤5. 目标二 二次函数y=a(x-h)²+k.与y=ax²间的关系 1. D 【点拨】由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=-5x²向左平移1个单位所得抛物线的表达式为y=-5(x+1)².由“上加下减”的原则可知，将抛物线y= -5(x+1)²向上平移2个单位所得抛物线的表达式为y=-5(x+1)²+2.故选 D. 2.(4,-2)【点拨】把二次函数y=2(x-2)²-5的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为y=2(x-2-2)²-5+3,即y=2(x-4)²-2,其顶点坐标为(4,-2). 3. D 【点拨】①向右平移2个单位，则平移后的表达式为y=(x-2)²,当x=2时，y=0，所以平移后的抛物线过点(2，0)，故①符合题意；②向右平移1个单位，再向下平移1个单位，则平移后的表达式为y=(x-1)²-1,当x=2时，y=0，所以平移后的抛物线过点(2，0)，故②符合题意；③向下平移4个单位，则平移后的表达式为y=x²-4,当x=2时,y=0,所以平移后的抛物线过点(2，0)，故③符合题意；④沿x轴翻折，再向上平移4个单位，则平移后的表达式为y= -x²+4,当x=2时，y=0，所以平移后的抛物线过点(2,0),故④符合题意.故选 D. 4.①②④【点拨】①∵二次函数y=-(x-m)²+m²+1(m为常数)与函数y=-x²的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y=-x²的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y= -(x-m)2+m²+1中,令x=0,则y=-m²+m²+1=1,∴该函数的图象一定经过点(0，1)，故结论②正确；③∵y=-(x-m)²+m²+1,∴图象开口向下，对称轴为直线x=m，∴当x>m时，y随x的增大而减小. m与0的大小关系不确定，故结论③错误；④易知二次函数图象的顶点坐标为(m,m²+1),将x=m代入y=x²+1,得y=m²+1,∴该函数图象的顶点在函数y=x²+1的图象上，故结论④正确. 5. C 【点拨】易知抛物线y=a(x-h)²+k向右平移m个单位后可得抛物线y=a(x-h-m)²+k,分以下两种情况讨论：当点A(-1，0)平移后的对应点为(4,0)时,m=4-(-1)=5;当点B(3,0)平移后的对应点为(4,0)时,m=4-3=1.综上,m的值为5或1. 点易错 本题易忽略抛物线的轴对称性出错，若抛物线与x轴有交点， 则这个交点可以在其对称轴的左侧，也可以在其对称轴的右侧. 6.【解】(1)∵在▱ABCD中CD∥AB,且CD=AB =4,点D的坐标是(0,8).∴点C的坐标为(4,8). ∴抛物线的对称轴为直线x=4. 设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，则H(4，0)，AH= BH=2. ∴点A,B的坐标分别为(2,0),(6,0). (2)由(1)知顶点C的坐标为(4，8)，则抛物线的表达式为y=a(x-4)²+8,把点A(2,0)的坐标代入,得0=4a+8,解得a=-2.∴y=-2(x-4)²+8. 设平移后抛物线的表达式为y=-2(x-4)²+8+m, 把点D(0,8)的坐标代入,得-32+8+m=8,解得m=32. ∴平移后抛物线的表达式为y=-2(x-4)²+40. 7.【解】∵抛物线 经过点A(3,4), 解得 设AB与y轴交于点D,易知AD⊥y轴,AD=3,OD=4, ∵四边形 OABC 是菱形,∴OC=AB=OA=5.∴BD=AB-AD=2. 由题意知点B与点A的纵坐标相等，∴B(-2，4). 令y=0,得 解得x₁=0,x₂=4.∴E(4,0),∴OE=4. ∴CE=OC+OE=9. ∵平移后的抛物线经过点 C，∴m=OC=5或m=CE=9. 当m=5时，平移后的抛物线的表达式为 令x=-2,得 ∴点B在平移后的抛物线 上. 当m=9时，平移后的抛物线的表达式为 令x= -2,得 ∴点 B不在平移后的抛物线 上. 综上，当m=5时，点 B在平移后的抛物线上；当m=9时，点B不在平移后的抛物线上. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 二次函数 4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第3课时 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质 目标一 二次函数y=ax2+bx+c 的图象 练点1 二次函数y=ax²+bx+c与y=a(x-h)²+k间的关系 1.把二次函数y=x²+bx+2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的表达式为y=x²-4x+7,则b=( ) A.2 B.4 C.6 D.8 2.将抛物线y= -x²-2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过点( ) A.(-2,2) B.(-1,1) C.(0,6) D.(1,-3) 练点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象 3.已知二次函数y=x² +ax+b(a,b为常数). 命题①：该函数的图象经过点(1，0)； 命题②：该函数的图象经过点(3，0)； 命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧； 命题④：该函数的图象的对称轴为直线x=1.如果这四个命题中只有一个命题是假命题， 则这个假命题是( ) A.命题① B.命题② C.命题③ D.命题④ 4.在同一平面直角坐标系中，二次函数y= ax²与一次函数y=bx+c的图象如图所示，则二次函数y=ax²+bx+c的图象可能是( ) 纠易错 化二次函数为y=a(x-h)²+k的形式时，因漏掉二次项系数而出错 5.将二次函数y= -2x²-4x+5化成y=a(x-h)²+k的形式是__________. 思维发散练 发散点1 利用抛物线的特征求字母的取值范围 6.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x²+2x+3的图象与y轴交于点 C，过点 C作x轴的平行线，与抛物线交于另一点 D. (1)求点C和点D的坐标，并绘出二次函数的图象； (2)当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于二次函数y=-x²+2x+3的值，直接写出m的取值范围. 发散点2 利用抛物线上点到对称轴的距离比较函数值的大小 7.在平面直角坐标系xOy中,点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax²+bx(a>0)上. (1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴. (2)已知点(-1,y₁),(2,y₂),(4,y₃)在该抛物线上.若mn<0,比较y₁,y₂,y₃的大小,并说明理由. 目标二 二次函数y=ax²+bx+c的性质 练点1 二次函数y=ax²+bx+c的性质 1.在二次函数y= -x²-2x+3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是( ) 2.二次函数y=-x²-(k-4)x+6,当x>-2时，y随着x的增大而减小，当x<-2时，y随着x的增大而增大，则k=______________. 3.已知二次函数y=2x²-4x-1,在0≤x≤a时,y取得的最大值为15,则a的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 练点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象与a，b，c符号间的关系 4.如图,二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴相交于A(-1，0)，B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是( ) A. B.当x>-1时,y的值随x值的增大而增大 C.点B的坐标为(4,0) D. 5.已知二次函数y=ax²+bx+c-2(a≠0)的图象如图所示,顶点为(-1,0),则下列结论:其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思维发散练 发散点1 利用二次函数图象的平移求函数表达式 6.如图,二次函数(a为常数)的图象的对称轴为直线x=2. (1)求a的值; (2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式. 发散点2 利用二次函数的最值求字母的值(分类讨论思想) 7.已知二次函数y=-x²+6x-5. (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少? (3)当t≤x≤t+3时,函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=3,求t的值. 参考答案 目标一 二次函数y=ax²+bx+c的图象 1. A 【点拨】∵y=x²-4x+7=(x-2)²+3,∴新抛物线的顶点坐标为(2，3).根据题意得原抛物线的顶点坐标为(-1，1)，∴原抛物线的表达式为y=(x+1)²+1=x²+2x+2,∴b=2.故选A. 2. B 【点拨】y=-x²-2x+3= -(x+1)²+4,故将抛物线y=-x²-2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式为 y=-x²+2.当x= -2时,y=-(-2)²+2=-4+2= -2,故此抛物线不经过点(-2,2);当x= -1时,y=-(-1)²+2= -1+2=1,故此抛物线经过点 (-1,1);当x=0时,y=-0²+2=0+2=2,故此抛物线不经过点(0,6);当x=1时,y=-1²+2= -1+2=1,故此抛物线不经过点(1,-3).故选 B. 3. A 【点拨】由题意知命题①④必有一个是假命题，命题①②必有一个假命题，由此判断命题①是假命题.故选A. 4. D 【点拨】观察函数图象可知:a<0,b>0,c>0,∴二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线 与y轴的交点在y轴正半轴.故选 D. 5. y= -2(x+1)²+7 点易错 将二次函数y=ax²+bx+c化为y=a(x-h)²+k的形式时，易在配方时忽略二次项系数而出错. 6.【解】(1)∵y= -x²+2x+3= -(x-1)²+4,∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1， 当x=0时,y=3,∴C(0,3),∴点C关于对称轴对称的点为(2,3), ∴D(2,3).绘图如图所示. 【点拨】把点 D(2,3)的坐标代入y=mx,求得 当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于二次函数y= -x²+2x+3的值 7.【解】(1)由题意知点(1,3),(3,15)在抛物线上. 将点(1,3),(3,15)的坐标分别代入y=ax²+bx,得 解得 ∴∴该抛物线的对称轴为直线x=-1. (2)y₂<y₁<y₃.理由如下：∵y=ax²+bx(a>0),∴抛物线开口向上且经过原点. ∵mn<0,∴m,n异号. 当b=0时,可得m=a>0,n=9a>0,m,n同号,不满足题意； 当b>0时,可得m=a+b>0,n=9a+3b>0,m,n同号，不满足题意. 当b<0时，易知抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m<0,n>0, ∴抛物线的对称轴在直线 与直线 之间，即 ∴y₂<y₁<y₃. 目标二 二次函数y=ax²+bx+c的性质 1. A 【点拨】∵y= -x²-2x+3,，∴抛物线开口向下，对称轴为直线 时,y随x的增大而增大.故选A. 2.8 【点拨】∵y=-x²-(k-4)x+6,∴抛物线开口向下，对称轴为直线 由题意得抛物线的对称轴为直线 解:得k=8. 3. D 【点拨】∵二次函数y=2x²-4x-1=2(x-1)²-3,∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点为(1，-3)，∴当y= -3时,x=1,当y=15时,,2(x-1)²-3=15,解得x₁=4,x₂= -2.∵当0≤x≤a时,y的最大值为15,∴a=4,故选D. 4. D 【点拨】选项A，由图可知：抛物线开口向下，a<0，故选项A错误，不符合题意；选项B，∵抛物线的对称轴是直线x=1，开口向下，∴当x>1时，y随x值的增大而减小，当x<1时，y随x值的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；选项C，由A(-1,0),抛物线的对称轴是直线x=1可知,点B的坐标为(3，0)，故选项C错误，不符合题意；选项D，抛物线y=ax²+bx+c过点(2,4a+2b+c),由B(3，0)可知，抛物线上横坐标为2的点在第一象限，∴4a+2b+c>0,故选项D正确，符合题意；故选D. 5. C 【点拨】∵抛物线开口向下,∴a<0.∵对称轴在y轴左侧，∴b<0.由图象可知，c-2<-2,∴c<0,∴abc<0,故结论①正确;∵二次函数y=ax²+bx+c-2的图象与x轴只有一个交点，∴b²-4a(c-2)=0,∴b²-4ac = -8a>0,故结论②不正确；∵对称轴为直线 -8a,∴4a²-4ac=-8a,∴a=c-2.∵c<0,∴a<-2,故结论③正确；∵对称轴是直线x=-1，而且x=0时，y<-2,∴x= -2时,y<-2,∴4a-2b+c-2<-2,∴4a-2b+c<0.故结论④正确.综上,可得正确结论的个数是3个.故选C. 6.【解】(1)y=(x-1)(x-a)=x²-(1+a)x+a. ∵图象的对称轴为直线x=2， 解得a=3. (2)由(1)知a=3，则二次函数的表达式是y=x²-4x+3, ∴该二次函数的图象向下平移3个单位后经过原点， ∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y=x²-4x. 7.【解】(1)∵y=-x²+6x-5= -(x-3)²+4,∴二次函数图象的顶点坐标为(3，4). (2)∵-1<0,∴图象开口向下. ∵顶点坐标为(3,4),∴当x=3时,y取最大值4. ∵当1≤x≤3时,y随x的增大而增大,∴当x=1时,y取最小值0. ∵当3<x≤4时,y随x的增大而减小,∴当x=4时,y取最小值3. ∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0. (3)①当t<0时,y随x的增大而增大, ∴当x=t+3时,y取最大值m,即m=-(t+3)²+6(t+3)-5= -t²+4; 当x=t时,y取最小值n,即n= -t²+6t-5,∴m-n=-t²+4-(-t²+6t-5)= -6t+9. ∴-6t+9=3,解得t=1(不合题意,舍去). ②当0≤t<3时,易知m=4. i.若 则当x=t时，y取最小值n，即n=-t²+6t-5,∴m-n=4-(-t²+6t-5)=t²-6t+9. ∴t²-6t+9=3,解得 (不合题意，舍去). ii.若 则当x=t+3时,y取最小值n,即n= -(t+3)²+6(t+3)-5= -t²+4, ∴m-n=4-(-t²+4)=t².∴t²=3,解得 (不合题意，舍去). ③当t≥3时，y随x的增大而减小，∴当x=t时,y取最大值m,即m=-t²+6t-5; 当x=t+3时,y取最小值n,即n= -(t+3)²+6(t+3)-5= -t²+4. ∴m-n=-t²+6t-5-(-t²+4)=6t-9.∴6t-9=3,解得t=2(不合题意,舍去). 综上所述，t的值为 或 1 学科网（北京）股份有限公司 $