第03讲 一次函数的应用（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

第03讲 一次函数的应用 知识点1：一次函数与行程问题 知识点2：一次函数与销售利润问题 知识点3：一次函数与坐标轴的交点 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, 1. 可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， 2. 直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 注意： 1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 【题型1 一次函数与行程问题】 【典例1】快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示． (1)两地相距______，快车返回时速度为______； (2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地； (3)慢车出发多长时间后，两车相距． 【变式1】赣南脐橙是江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．刘师傅驾车从农场运送脐橙到某地，汽车出发前油箱内有油，行驶一段时间后，又在加油站加油若干升．刘师傅出发后，油箱中剩余油量y（单位：L）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如下图所示． (1)刘师傅驾车途中在加油站加油______L；加油前油箱剩余油量y关于行驶时间t的函数解析式为______________． (2)若农场距目的地，汽车以的速度行驶，判断油箱里的油能否使汽车到达目的地． 【变式2】如图，甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段和折线分别表示货车和轿车离开甲地的距离与货车出发时间之间的函数关系，请根据图像解答下列问题： (1)求货车离甲地的距离y与出发时间x之间的函数关系式； (2)求货车出发几小时后与轿车相遇，此时距乙地的距离是多少千米？ (3)轿车到达乙地后，马上沿原路以段速度返回，求轿车从乙地出发后多长时间再次与货车相遇？ 【变式3】A地到B地的路程为，由于B地灾情紧张，A地物资中心对B地进行支援．甲、乙两辆物资车分别从A地和B地出发匀速行驶相向而行．甲车到B地后立即按原速度返回，已知乙车的速度为每小时，且到A地后停止行驶，原地待命．它们离各自出发地的距离与行驶时间之间的关系如图所示． (1)______，______； (2)请你求出甲车离出发地A地的距离与行驶时间之间的函数关系式； (3)直接写出甲车出发多长时间两车相距． 【题型2 一次函数与销售问题】 【典例2】某水果经销商从一水果种植专业户处购进甲、乙两种水果进行销售，专业户对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按16元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)请写出当和时，y与x之间的函数解析式． (2)若该经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共150千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过70千克．如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使付款总金额W（元）最少？ 【变式1】疫情期间，为最大程度地减少人员接触，减少病毒的传播，武汉市某医院计划购买A，B两种型号的机器人，协助医护人员进行送餐和消毒工作，已知购买A型机器人2个和B型机器人3个共需16万元，购买A型机器人3个和B型机器人2个共需14万． (1)求A，B两种机器人的单价； (2)医院准备购买A，B两种机器人共30个，并且A型机器人的数量不多于B型机器人数量的2倍，请设计最省钱的购买方案，并说明理由． 【变式2】冬季来临，羽绒服成为了街头巷尾的主角，羽绒服一般分为鸭绒服和鹅绒服两种，某羽绒服工厂生产了一批鸭绒服和鹅绒服，鹅绒服的单价是鸭绒服的单价的倍，客户在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多两件． (1)求鸭绒服、鹅绒服的单价分别是多少元？ (2)某服装店打算使用不超过28400元的进货资金，在该工厂购进鸭绒服、鹅绒服共60件进行销售，并将鸭绒服、鹅绒服的售价分别定为每件520元、800元，求该服装店应如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少？（假设购进的两种羽绒服全部销售完） 【变式3】项目化学习：大名草编手工艺是大名县卫河以东地区的传统手工艺品，多表现花鸟虫鱼等，有实用价值和艺术价值．某学习小组以“大名草编利润”为主题开展项目化学习． 市场调查：小组成员了解到，某草编产品每个售价为20元，销售收入（元）与销售量（个）成正比例关系，投入的成本（元）（人工、物流、材料等）与销售量（个）的函数图象如图所示． 模型建立：（1）求与的函数关系式； 解决问题：（2）求利润（元）（利润销售收入成本）与销售量（个）之间的函数关系式，并在图2中画出函数所对应的图象； （3）当与相差不超过100时，则称该草编产品实现微利润，直接写出此时销售量的取值范围． 【题型3 一次函数的新情景应用】 【典例3】杆秤是我国传统的计重工具．如下图，秤钩上所挂的不同质量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同．当称重时，秤钩所挂物重为x（单位：），秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y（单位：）．下表所示的为若干次称重时所记录的一些数据（秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离y为正，在右侧时为负），且y是x的一次函数． 0 0.75 1.00 2.25 3.25 1 2 4 7 (1)根据题意，完成上表． (2)请求出y与x之间的关系式． (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重是_______． 【变式1】如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中的信息，解答问题： 碗的数量x/个 1 2 4 5 高度 7 8.2 10.6 11.8 (1)求整齐叠放在桌面上碗的高度y（单位：）与碗的数量x（单位：个）之间的函数关系式． (2)当碗的数量为8个时，这摞碗的高度是多少？ 【变式2】根据下面的项目式学习报告，完成相应的任务． 项目主题 探索烘焙温度与烘焙时间之间的关系 项目背景 学校劳动课上开展了烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于且小于时，烘焙温度和烘焙时间之间存在关系，并对这种关系展开探索 驱动问题 在一定范围内，烘焙温度与烘焙时间之间是否存在某种特定关系 项目数据 设置不同的烘焙温度，对应的烘焙时间如下表所示： 烘焙温度 … 160 170 180 190 200 … 烘焙时间 … 30 27.5 25 22.5 20 … 项目结论 …… (1)根据表中数据可知，当烘焙温度大于且小于时，烘焙时间y是烘焙温度x的__________函数（填“一次”或“正比例”），则y关于x的函数解析式为__________． (2)已知某次烘焙时间是，请你根据（1）中的函数解析式计算这次的烘焙温度． 【变式3】在社会高速发展的当今时代，人们对于出行安全的关注度与日俱增，然而车辆的无序行驶却给景区、居民区、学校等场所的交通安全埋下了诸多隐患，为了保障交通安全，这些地方的道路上通常会横向安装减速带．如图是某种规格减速带的示意图，减速带由若干块形状和大小相同且完整的减速块以及两端的封堵块拼接而成，通过研究发现，减速带的总长度是所安装减速块块数（块）的一次函数，已知当安装18块减速块时，减速带的总长度为9.6；当安装27块减速块时，减速带的总长度为14.1． (1)求与之间的函数表达式； (2)当安装32块减速块时，减速带的总长度是多少？ 【题型4一次函数与一元一次方程】 【典例4】如图，已知直线，则关于的方程的解是 ． 【变式1】若关于x的方程的解是，则函数的图象一定经过点 ． 【变式2】一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为 ． 【变式3】如图，函数的图象过点，则关于的方程的解 ．    【题型5已知直线与坐标轴交点求不等式的解】 【典例5】如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 ． 【变式1】一次函数（k，b为常数，）的图像如图所示，那么关于x的不等式的解集是 ． 【变式2】如图，直线的图像经过A、B两点，则不等式解集是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，直线经过点．请写出关于的不等式的解集为 ． 【题型6 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【典例6】如图，已知直线与相交于点，若，则x的取值范围是 ． 【变式1】如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【变式2】如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ． 【变式3】如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【题型7两直线的交点与二元一次方程组的解】 【典例7】已知直线和直线的图象如图所示，则方程组的解是 ． 【变式1】如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是 ． 【变式2】如图，直线与直线交于点，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 【变式3】已知一次函数的图象与的图象交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型8 求直线围成的图像面积】 【典例8】如图，已知一次函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求线段的长． (3)求直线与坐标轴围成的的面积． 【变式1】如图，已知直线与y轴交于点，与直线交于点，则它们与轴所围成的的面积是 ． 【变式2】直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数图像与x、y轴分别交于点A、B，则为此一次函数的坐标三角形．由以上可知，一次函数的坐标三角形的面积是 ． 【变式3】如图，直线与轴相交于点，直线与轴交于点，这两条直线相交于点，则的面积等于 ． 【题型9 一次函数与几何综合】 【典例9】如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 【变式1】如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点，的坐标； (2)如果轴上有一动点，要使以为顶点的三角形构成等腰三角形，请探究并求出符合条件的所有点坐标． 【变式2】如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式3】如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 一、单选题 1．空中气温与距离地面高度之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．随着的增大而增大 B．地面的气温为 C．与的函数表达式为 D．当大于时，气温低于 2．如图，直线与相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．若用图象法解二元一次方程组时所画的图象如图所示，则该方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线与分别交轴于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 二、填空题 5．如图，平面直角坐标系中，直线与相交于点M，则关于x的不等式的解集是 ． 6．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 . 7．将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为 ． 8．一次函数的图象如图所示，那么不等式的解集为 ． 9.如图，一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为 ． 10．函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 三、解答题 11．两架无人机、准备在米高空完成台商区“争创文明城市 共建美好家园”的拍摄任务，无人机从海拔米处以米秒的速度匀速上升，无人机从海拔米处匀速上升．设无人机海拔高度（米）与时间（秒）的关系如图所示． (1) ； (2)求无人机在上升过程中，海拔高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式； (3)求当为何值时，无人机和无人机相距米． 12．某汽车销售公司计划购买并销售型和 型两种型号的新能源汽车．这两款汽车每辆车的进价和售价如下表所示： 类型 进价（万元辆） 售价（万元辆） 型 型 已知购进辆型车和辆型车共需万元，购进辆型车与购进辆型车所需要的费用相同． (1)求，的值； (2)该公司计划购买型车和型车共辆，且购买 型车的数量（单位：辆），不少于型车数量的，该公司将这辆车全部售出后，所得利润为万元，求的最大值． 13．如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】： （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点． ①求点A和点B的坐标，并计算的长度． ②是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，求的最小值． 【模型拓展】： （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点．将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线对应的函数表达式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 一次函数的应用 知识点1：一次函数与行程问题 知识点2：一次函数与销售利润问题 知识点3：一次函数与坐标轴的交点 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, 1. 可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， 2. 直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 注意： 1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 【题型1 一次函数与行程问题】 【典例1】快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示． (1)两地相距______，快车返回时速度为______； (2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地； (3)慢车出发多长时间后，两车相距． 【答案】(1)330；100 (2)2.8 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式、一元一次方程的应用，读懂函数图象获取必要的信息是解题的关键． （1）根据图象求出快车和慢车的速度差，结合慢车的速度为，求出快车的速度，再利用公式：路程速度时间，求出两地的距离；设快车返回时速度为，根据图象的信息列出方程，求出的值即可解答； （2）计算出两车相遇时慢车行驶的距离，再用此时的距离除以快车返回的速度即可求解； （3）根据图象可知两车有2次相距的情况，故分2种情况并利用一次函数的知识求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，快车和慢车的速度差为， ∵慢车的速度为， ∴快车的速度为， ∴两地相距； ， 设快车返回时速度为， 则， 解得， ∴快车返回时速度为； 故答案为：330；100； （2）解：两车相遇时，慢车行驶的距离为， ∴快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需时间为， 故答案为：2.8； （3）解：两车第一次相距时，慢车出发时间为； 快车到达乙地卸装货物结束时，和慢车的距离为， ∴点的坐标为， 设线段的解析式为， 代入和，得， 解得， ∴线段的解析式为， 令，则， 解得， ∴当慢车出发后，两车第二次相距； 答：慢车出发或后，两车相距． 【变式1】赣南脐橙是江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．刘师傅驾车从农场运送脐橙到某地，汽车出发前油箱内有油，行驶一段时间后，又在加油站加油若干升．刘师傅出发后，油箱中剩余油量y（单位：L）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如下图所示． (1)刘师傅驾车途中在加油站加油______L；加油前油箱剩余油量y关于行驶时间t的函数解析式为______________． (2)若农场距目的地，汽车以的速度行驶，判断油箱里的油能否使汽车到达目的地． 【答案】(1)，． (2)油箱里的油不能使汽车到达目的地． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，通过函数图象分析路程问题是解决此题的关键． （1）观察函数图象，找到加油前后的数量，即可计算加油量，再根据待定系数法代入一次函数解析式求解即可； （2）根据加油前的油量变化和时间，计算出汽车每小时的耗油量，进而求出行驶这段路程所需的油量即可判断是否到达目的地． 【详解】（1）解：由图象可知，加油前油箱剩余油量为，加油后变为， ∴加油量为， 当时，设． 将分别代入， 得解得 ， ∴加油前的油箱剩余油量关于行驶时间的关系式为： 故答案为： ；． （2）解：出发时油箱中有油，中途又加油， ． 由题图可知，该汽车每行驶耗油， 故油可行驶． ， 油箱里的油不能使汽车到达目的地． 【变式2】如图，甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段和折线分别表示货车和轿车离开甲地的距离与货车出发时间之间的函数关系，请根据图像解答下列问题： (1)求货车离甲地的距离y与出发时间x之间的函数关系式； (2)求货车出发几小时后与轿车相遇，此时距乙地的距离是多少千米？ (3)轿车到达乙地后，马上沿原路以段速度返回，求轿车从乙地出发后多长时间再次与货车相遇？ 【答案】(1)； (2)3.9小时，66千米； (3)小时． 【分析】（1）根据图形中点的坐标的意义，设出解析式，由待定系数法即可求出解析式； （2）根据图形中点的坐标的意义，再结合速度=路程时间，结合（1）的结论，令算出相遇时间，再由路程=时间速度即可得出结论； （3）轿车到乙地时，算出货车离乙地的距离，由时间=路程两车速度和，即可得知结论． 【详解】（1）解：设线段对应的函数解析式为， 结合图形可知：，解得：， 故线段对应的函数解析式为：； （2）设线段对应的函数解析式为， 由点和点在线段上，可知：， 解得：， 故线段对应的函数解析式为：， 令，则有，解得：， 此时相距乙地， 答：货车出发3.9小时后与轿车相遇，相遇时两车距离乙地还有66千米； （3）货车的速度为：， 当轿车到达乙地时，货车离乙地的距离为：（千米）， 轿车段的速度为：， 设轿车从乙地出发后经过小时再次与货车相遇，得， 解得：， 答：轿车从乙地出发后经过小时再次与货车相遇． 【点睛】本题主要考查了速度、时间和距离之间的关系，以及通过图像信息求函数关系式和相遇问题，准确从图像中提取信息求得函数关系式是解题的关键． 【变式3】A地到B地的路程为，由于B地灾情紧张，A地物资中心对B地进行支援．甲、乙两辆物资车分别从A地和B地出发匀速行驶相向而行．甲车到B地后立即按原速度返回，已知乙车的速度为每小时，且到A地后停止行驶，原地待命．它们离各自出发地的距离与行驶时间之间的关系如图所示． (1)______，______； (2)请你求出甲车离出发地A地的距离与行驶时间之间的函数关系式； (3)直接写出甲车出发多长时间两车相距． 【答案】(1)8， (2)； (3)或或 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程，解题的关键是根据已知列出函数关系式及分类思想的应用． （1）由已知直接可得的值，根据乙车速度及路程为480千米可得的值； （2）由图可得甲车速度是，分两种情况可得到甲车离出发地A地的距离与行驶时间之间的函数关系式； （3）分三种情况：两车相遇前相距千米，两车相遇后相距千米，乙车到达A地后，甲车返回距A地千米，分别列出方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：由甲车到B地后立即返回可得：， 乙车的速度为每小时， ． 故答案为：8，； （2）解：由图可得甲车速度是， 当时，， 当时，， ∴； （3）解：当两车相遇前相距千米时，根据题意得： ，解得， 当两车相遇后相距千米时，根据题意得： ，解得， 乙车到达A地后，甲车返回距郑州千米， 根据题意得：，解得， 综上所述，甲车出发或或，两车相距千米． 【题型2 一次函数与销售问题】 【典例2】某水果经销商从一水果种植专业户处购进甲、乙两种水果进行销售，专业户对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按16元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)请写出当和时，y与x之间的函数解析式． (2)若该经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共150千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过70千克．如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使付款总金额W（元）最少？ 【答案】(1) (2)当购进甲种水果50千克，购进乙种水果100千克时，才能使付款总金额W（元）最少 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）结合函数图象，利用待定系数法即可得； （2）设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果千克，根据经销商付款总金额等于购进甲种水果的付款金额与购进乙种水果的付款金额之和建立W与m之间的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：当时，设y与x之间的函数解析式为. 把代入，得， 解得. 即当时，y与x之间的函数解析式为. 当时，设y与x之间的函数解析式为， 把，代入， 得 解得 即当时，y与x之间的函数解析式为. 由上，可得y与x之间的函数解析式为 （2）解：设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果千克. 当时，， ∴当时，W取得最小值，此时，. 当时， ， ∴当时，W取得最小值，此时，. ， ∴当购进甲种水果50千克，购进乙种水果100千克时，才能使付款总金额W(元)最少. 【变式1】疫情期间，为最大程度地减少人员接触，减少病毒的传播，武汉市某医院计划购买A，B两种型号的机器人，协助医护人员进行送餐和消毒工作，已知购买A型机器人2个和B型机器人3个共需16万元，购买A型机器人3个和B型机器人2个共需14万． (1)求A，B两种机器人的单价； (2)医院准备购买A，B两种机器人共30个，并且A型机器人的数量不多于B型机器人数量的2倍，请设计最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)A型机器人的单价2万元，B型机器人的单价是4万元 (2)最省钱的购买方案是购进20个A型机器人，10个B型机器人，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出一次函数解析式是关键． （1）设A种机器人的单价是x万元，B种机器人的单价是y万元，根据题意列方程组解答即可； （2）设购买A型机器人m个，总费用为w万元，根据题意列不等式求出m的取值范围，并求出w与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A种机器人的单价是x万元，B种机器人的单价是y万元， 根据题意得， 解得， 答：A型机器人的单价2万元，B型机器人的单价是4万元． （2）解：设购买A型机器人m个，总费用为w万元， 依题意得， ∵， ∴当m取最大值时w有最小值， 又∵， ∴， ∴当时，， 此时，， 答：所以最省钱的购买方案是购进20个A型机器人，10个B型机器人． 【变式2】冬季来临，羽绒服成为了街头巷尾的主角，羽绒服一般分为鸭绒服和鹅绒服两种，某羽绒服工厂生产了一批鸭绒服和鹅绒服，鹅绒服的单价是鸭绒服的单价的倍，客户在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多两件． (1)求鸭绒服、鹅绒服的单价分别是多少元？ (2)某服装店打算使用不超过28400元的进货资金，在该工厂购进鸭绒服、鹅绒服共60件进行销售，并将鸭绒服、鹅绒服的售价分别定为每件520元、800元，求该服装店应如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少？（假设购进的两种羽绒服全部销售完） 【答案】(1)鸭绒服的单价为400元，则鹅绒服的单价为600元 (2)购买鸭绒服件，鹅绒服件时利润最大，最大为8960元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意找准等量关系和不等关系． （1）设鸭绒服的单价为元，则鹅绒服的单价为元，根据购买方式列出分式方程求解即可． （2）设购买鸭绒服为件，则鹅绒服为件，获得利润为，根据购买资金列出不等式求解，根据利润关系列出一次函数分析求解即可． 【详解】（1）解：设鸭绒服的单价为元，则鹅绒服的单价为元，根据题意得， ， 解得， 经检验，当是原分式方程的解，并符合题意， ∴， 所以，鸭绒服的单价为400元，则鹅绒服的单价为600元； （2）解：设购买鸭绒服为件，则鹅绒服为件，获得利润为，根据题意得， ， 解得，， ∴， ， ∵，随的增大而减小， ∴当时，利润值最大， 此时，， ∴购买鸭绒服件，鹅绒服件时利润最大，最大为8960元． 【变式3】项目化学习：大名草编手工艺是大名县卫河以东地区的传统手工艺品，多表现花鸟虫鱼等，有实用价值和艺术价值．某学习小组以“大名草编利润”为主题开展项目化学习． 市场调查：小组成员了解到，某草编产品每个售价为20元，销售收入（元）与销售量（个）成正比例关系，投入的成本（元）（人工、物流、材料等）与销售量（个）的函数图象如图所示． 模型建立：（1）求与的函数关系式； 解决问题：（2）求利润（元）（利润销售收入成本）与销售量（个）之间的函数关系式，并在图2中画出函数所对应的图象； （3）当与相差不超过100时，则称该草编产品实现微利润，直接写出此时销售量的取值范围． 【答案】（1）；（2），画出函数所对应的图象见解析；（3） 【分析】本题考查了一次函数的应用、画函数图象、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，，再根据利润销售收入成本即可得出利润（元）与销售量（个）之间的函数关系式，再结合一次函数的性质画出函数图象即可； （3）由题意可得，求解即可． 【详解】解：（1）设， 将，代入函数可得， 解得：， ∴； （2）由题意可得，， ∴，即， 当时，，当时，，解得， 画出函数图象如图所示： ； （3）∵与相差不超过100， ∴， ∴， 解得：， ∴此时销售量的取值范围为． 【题型3 一次函数的新情景应用】 【典例3】杆秤是我国传统的计重工具．如下图，秤钩上所挂的不同质量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同．当称重时，秤钩所挂物重为x（单位：），秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y（单位：）．下表所示的为若干次称重时所记录的一些数据（秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离y为正，在右侧时为负），且y是x的一次函数． 0 0.75 1.00 2.25 3.25 1 2 4 7 (1)根据题意，完成上表． (2)请求出y与x之间的关系式． (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重是_______． 【答案】(1)1.50，11 (2)． (3)4.25 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式． （1）根据表格中的数据，可以发现每增加厘米，重物增加千克，从而可以计算出当对应的的值和当时对应的的值； （2）根据题意和表格中的数据，可以求出与的关系式； （3）将代入（2）中的关系式，即可得到当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是多少千克． 【详解】（1）解：由表格中的数据可得，每增加厘米，重物增加千克， 故当时，， 当时，， 故答案为：，； （2）设与的关系式为 ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得：， 即与的关系式为； （3）当时，， 解得， 即当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是千克． 故答案为：. 【变式1】如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中的信息，解答问题： 碗的数量x/个 1 2 4 5 高度 7 8.2 10.6 11.8 (1)求整齐叠放在桌面上碗的高度y（单位：）与碗的数量x（单位：个）之间的函数关系式． (2)当碗的数量为8个时，这摞碗的高度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用； （1）由表可知，叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间满足一次函数关系，设与的函数关系为，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入函数关系式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由表可知，叠放在桌面上碗的高度与碗数（个之间满足一次函数关系， 设与的函数关系为， 将点和代入，得：， 解得：， 整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式：； （2）解：当时，， 当碗的数量为8个时，这摞碗的高度是． 【变式2】根据下面的项目式学习报告，完成相应的任务． 项目主题 探索烘焙温度与烘焙时间之间的关系 项目背景 学校劳动课上开展了烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于且小于时，烘焙温度和烘焙时间之间存在关系，并对这种关系展开探索 驱动问题 在一定范围内，烘焙温度与烘焙时间之间是否存在某种特定关系 项目数据 设置不同的烘焙温度，对应的烘焙时间如下表所示： 烘焙温度 … 160 170 180 190 200 … 烘焙时间 … 30 27.5 25 22.5 20 … 项目结论 …… (1)根据表中数据可知，当烘焙温度大于且小于时，烘焙时间y是烘焙温度x的__________函数（填“一次”或“正比例”），则y关于x的函数解析式为__________． (2)已知某次烘焙时间是，请你根据（1）中的函数解析式计算这次的烘焙温度． 【答案】(1)一次， (2)． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）观察表格可知，温度每升高，时间减少，得到烘焙时间y是烘焙温度x的一次函数，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）中的解析式进行求解即可； 【详解】（1）解：观察表格可知，温度每升高，时间减少， ∴烘焙时间y是烘焙温度x的一次函数， 设函数解析式为，把代入，得： ，解得， ∴； 故答案为：一次，； （2）解：把代入中，解得． 答：这次的烘焙温度为． 【变式3】在社会高速发展的当今时代，人们对于出行安全的关注度与日俱增，然而车辆的无序行驶却给景区、居民区、学校等场所的交通安全埋下了诸多隐患，为了保障交通安全，这些地方的道路上通常会横向安装减速带．如图是某种规格减速带的示意图，减速带由若干块形状和大小相同且完整的减速块以及两端的封堵块拼接而成，通过研究发现，减速带的总长度是所安装减速块块数（块）的一次函数，已知当安装18块减速块时，减速带的总长度为9.6；当安装27块减速块时，减速带的总长度为14.1． (1)求与之间的函数表达式； (2)当安装32块减速块时，减速带的总长度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设与之间的函数表达式为，由题知时，；时，．利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中求得的关系式中求出y的值即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 由题知时，；时，； ， 解得， ∴设与之间的函数表达式为． （2）解：由得， 当，， ∴减速带的总长度是． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题的关键． 【题型4一次函数与一元一次方程】 【典例4】如图，已知直线，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握函数图象法是解题关键．根据一次函数的图象可得当时，，由此即可得． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，， 则关于的方程的解为， 故答案为：． 【变式1】若关于x的方程的解是，则函数的图象一定经过点 ． 【答案】 【分析】x的方程的解是，说明时，,由此可以理解图象经过的点． 【详解】解：关于x的方程的解是， 把代入方程得， 在函数中，当时， 该函数图象一定经过点 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查一次函数、一元一次方程，掌握一次函数图象上点的坐标特征，熟悉解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【变式2】一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为一次函数的函数值为0时对应的的值，利用数形结合的思维解答是解题的关键． 【详解】解：由图象知，当时， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【变式3】如图，函数的图象过点，则关于的方程的解 ．    【答案】 【分析】由函数的图象过点可知时，，即可得到关于x的方程的解是． 【详解】解：由图象可得：关于x的方程的解是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与一元一次方程的解的关系是解题的关键． 【题型5已知直线与坐标轴交点求不等式的解】 【典例5】如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴当时，， 即关于的不等式的解集为． 故答案为： 【变式1】一次函数（k，b为常数，）的图像如图所示，那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据直线与x轴的交点求不等式的解集， 先确定直线与x轴的交点坐标，再根据直线在x轴下方时函数值小于0可得答案. 【详解】解：一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， ∴当时，. 所以不等式的解集是. 故答案为：. 【变式2】如图，直线的图像经过A、B两点，则不等式解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的关系，关键是能根据函数图象得到正确信息解答问题． 从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：当时，函数的图象在轴上方， ∵函数的图象与轴相交于， ∴不等式的解集为， 故选：C ． 【变式3】如图，直线经过点．请写出关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，先求出时对应的y值，结合图象可得答案． 【详解】解：当时，， 观察图形可得，当时，， 故答案为：． 【题型6 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【典例6】如图，已知直线与相交于点，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，观察函数图象得到当时，直线都在直线的上方，即有． 【详解】解：根据题意当时， ． 故答案为：． 【变式1】如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握根据函数图象的位置确定不等式的解集是解题的关键．根据两个函数图象的交点，结合不等式的几何意义（正比例函数图象在一次函数图象下方或重合时的取值范围）来确定解集． 【详解】解：由图象可知，正比例函数与一次函数交于点，当时，即的图象在图象下方或重合，此时 故答案为：． 【变式2】如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 利用数形结合的数学思想得：当时，直线在直线的上方，即可求解． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当时，直线在直线的上方， 即， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 【变式3】如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解一次函数与一元一次不等式间的关系是解题的关键．从函数的角度看，就是寻求使的值大于的值的自变量的取值范围，即在两直线交点的右侧部分自变量的值是不等式的解集，由此即得答案． 【详解】解：根据图象得，当时，， 即关于的不等式的解集是． 故答案为：． 【题型7两直线的交点与二元一次方程组的解】 【典例7】已知直线和直线的图象如图所示，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数，解题的关键是熟练掌握数形结合的解题方法． 根据图象可知交点坐标，即为方程组的解． 【详解】解：根据图象可知， 直线和直线交于点， ∴方程组的解是， 故答案为：． 【变式1】如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组．根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：根据函数图象可知， 函数和的图象交于点P的坐标是， 故方程组的解是， 故答案为：． 【变式2】如图，直线与直线交于点，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】由图像可知交点的坐标就是方程组的解． 【详解】解：有图像可知的解为： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用一次函数的交点解二元一次方程组．理解方程组的解与函数图像交点之间的关系是解决问题的关键． 【变式3】已知一次函数的图象与的图象交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两个一次函数交点坐标的求解，解题的关键是理解两函数图象的交点坐标是对应方程组的解．联立两个一次函数的解析式组成方程组；解方程组求出x和y的值，得到交点坐标；对比选项得出正确答案． 【详解】解：联立两函数解析式得： 将第一个方程代入第二个方程得：， ∴． 把代入得：． 所以交点Q的坐标为． 故选：B． 【题型8 求直线围成的图像面积】 【典例8】如图，已知一次函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求线段的长． (3)求直线与坐标轴围成的的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． （1）根据一次函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B可知，点的纵坐标为，点的横坐标为，分别代入一次函数表达式进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式进行求解计算即可； （3）根据的长为点的横坐标的绝对值，的长为点的纵坐标的绝对值，利用直角三角形面积公式进行求解计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，一次函数 当时，， 则点的坐标为； 当时，， 解得， 则点的坐标为 答：A，B两点的坐标为、； （2）解：由（1）知，A，B两点的坐标为、， 则 答：线段的长为； （3）解：由（1）知，A，B两点的坐标为、， 则、, 因此，直线与坐标轴围成的的面积为：． 答：直线与坐标轴围成的的面积为． 【变式1】如图，已知直线与y轴交于点，与直线交于点，则它们与轴所围成的的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题．对于，令，可求出点A的坐标，然后联立两函数解析式可求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：对于， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 联立得：， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴． 故答案为：6． 【变式2】直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数图像与x、y轴分别交于点A、B，则为此一次函数的坐标三角形．由以上可知，一次函数的坐标三角形的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题考查在直角坐标系中求三角形的面积、一次函数与坐标轴的交点问题，分别令、求得、，再利用面积公式求解即可． 【详解】解：把代入得，，解得， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故答案为：9． 【变式3】如图，直线与轴相交于点，直线与轴交于点，这两条直线相交于点，则的面积等于 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键． 先求得P点的坐标，进一步求得直线的解析式，根据直线的解析式求得A，B的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得的面积． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， 把代入，得 ， 解得， ∴， 由直线可知，由直线可知， ∴， ∴ 故答案为：9． 【题型9 一次函数与几何综合】 【典例9】如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)点、，直线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合应用，待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用． （1）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解； （2）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可； （3）根据，分两种情况讨论，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，证明得出，求得直线的解析式为，联立求得点，当在轴的右侧时，同理可得． 【详解】（1）解：由直线：得，当时，，当时，， ∴点、， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴设， ∴， ∴，解得：， ∴点的坐标为或； （3）如图，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点， ∴， ∴ 又∵， ∴ 又∵、 ∴， ∴， ∴为与的交点， 设直线的解析式为，代入、 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴ 当在轴的右侧时，如图，在的右侧以为直角边作等腰直角三角形，过点作轴， 同理可得，直线的解析式为： 联立 解得： ∴ 综上所述，或 【变式1】如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点，的坐标； (2)如果轴上有一动点，要使以为顶点的三角形构成等腰三角形，请探究并求出符合条件的所有点坐标． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合及分类讨论的思想，掌握知识点的应用是解题的关键． （）当时，求出的值，当时，求出的值，即可得出两点的坐标； （）分当，且点在轴上时；当时，点位于轴右侧；当时，点位于轴右侧三种情况分析即可． 【详解】（1）解：由直线得， 当时，；当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 如图，当，且点在轴上时， ∴当点在点左侧时，， ∴此时点的坐标为； 当点在点右侧时，， ∴此时点的坐标为； 如图，当时，点位于轴右侧， ∴， ∴此时点的坐标为； 如图，当时，点位于轴右侧， 设，则，， ∴， ∴，解得：， ∴， 综上可得，点的坐标为或或或． 【变式2】如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当点C运动到或的位置时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ，， ， ， ， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成的两部分； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：   ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时， ，，， ， 同理可得， ②若时，如图：   ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 【变式3】如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）先由求得，。由点与点A关于轴对称可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式即可。 （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， ∴，， ∵点与点A关于轴对称， ∴ ， 设直线的函数解析式为， 则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、， 如图1，过点作于点， ∴，， ∴， 解得， ∴，或；        ②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称, ∴， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, 设，则, ，，， ， 解得． ． 当点在轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点的坐标为或．       一、单选题 1．空中气温与距离地面高度之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．随着的增大而增大 B．地面的气温为 C．与的函数表达式为 D．当大于时，气温低于 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键．对于选项AB观察图象即可；选项C根据变量的变化规律计算即可；选项D，当时，求出对应t的值，再根据该图象的增减性判断即可． 【详解】解：A．随着的增大而减小，A不正确，不符合题意； B．当时，，随着的增大而，B不正确，不符合题意； C．距离地面高度增加，气温下降，则与的函数表达式为，C不正确，不符合题意； D．当时，，随着的增大而减小，当大于时，气温低于，D正确，符合题意． 故选：D． 2．如图，直线与相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的思想是解题关键．结合图象，根据两直线的交点求解即可． 【详解】解：由图象可知，当时，直线的图象在的图象上方， 则关于的不等式的解集是， 故选：A． 3．若用图象法解二元一次方程组时所画的图象如图所示，则该方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，掌握二元一次方程组的解就是两个二元一次方程转化为函数的图象的交点坐标是解题的关键． 先观察图象，找出两条直线的交点坐标，再写出方程组的解． 【详解】观察图象可得：直线和直线交点的坐标为， ∴二元一次方程组的解为：， 故选：A． 4．如图，直线与分别交轴于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线交点与不等式的解集，理解图示，掌握直线交点与不等式的性质是解题的关键． 根据直线的交点的特点，不等式的性质，数形结合即可求解． 【详解】解：直线与分别交轴于点， 不等式， ∴与异号， ∴当时，与异号，符合题意； 当，与同号，不符合题意； 当时，与异号，符合题意； ∴解集为或， 故选：D ． 二、填空题 5．如图，平面直角坐标系中，直线与相交于点M，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式的关系．利用两直线交点坐标与方程组解的关系，以及函数图象的位置关系来求解．解此题可通过图象观察来判断不等式的解集，最终可求出对应的解集． 【详解】解：根据图象观察，当时，直线位于直线的下方，因此不等式的解集为． 故答案为：． 6．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 . 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标及三角形的面积，求出直线与坐标轴的交点，根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：当时，；令，则，解得， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为， 故答案为：． 7．将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，两直线交点计算方程的解，理解平移的性质，两直线交点的含义是解题的关键． 【详解】解：直线向上平移个单位长度后得到的解析式为， ∵直线向上平移个单位长度后与直线交于点， ∴方程的解为， 故答案为：1 ． 8．一次函数的图象如图所示，那么不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方， 结合函数图象可知，不等式的解集为， 故答案为：． 9.如图，一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式，根据题意列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 10．函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质和图象，一次函数的性质与图象，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据图象分别求出当，时的取值范围，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解： 时，， ∴当时，，时，， 当时，根据图象得，的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题 11．两架无人机、准备在米高空完成台商区“争创文明城市 共建美好家园”的拍摄任务，无人机从海拔米处以米秒的速度匀速上升，无人机从海拔米处匀速上升．设无人机海拔高度（米）与时间（秒）的关系如图所示． (1) ； (2)求无人机在上升过程中，海拔高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式； (3)求当为何值时，无人机和无人机相距米． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的应用，理解函数图象中点的坐标含义是解本题的关键． （1）由无人机A从海拔10米处以5米/秒的速度匀速上升，列式计算求解，再利用两个无人机在同一高度列方程求解， 从而可得答案； （2）设无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为 把代入，利用待定系数法求解即可； （3）先求得无人机A在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式，根据无人机和无人机相距米，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵无人机A从海拔10米处以5米/秒的速度匀速上升， ∴ 故答案为： （2）解：设无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为， 把代入可得： ， 解得：， ∴无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为 （3）解：设无人机在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为 把代入可得： ， 解得：， ∴， 依题意，， 解得：或， 当无人机达到米停止后，无人机需达到米时与无人机距离米， ∴， 解得：， ∴或或时，无人机和无人机相距米． 12．某汽车销售公司计划购买并销售型和 型两种型号的新能源汽车．这两款汽车每辆车的进价和售价如下表所示： 类型 进价（万元辆） 售价（万元辆） 型 型 已知购进辆型车和辆型车共需万元，购进辆型车与购进辆型车所需要的费用相同． (1)求，的值； (2)该公司计划购买型车和型车共辆，且购买 型车的数量（单位：辆），不少于型车数量的，该公司将这辆车全部售出后，所得利润为万元，求的最大值． 【答案】(1)，； (2)的最大值为万元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用等知识点，找准等量关系、正确列出二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的应用是解题的关键． （）由题意得，然后解方程组即可； （）由题意得，然后求出，再由一次函数的性质可得当时，有最大值． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵购买型车的数量不少于型车数量的， ∴， 解得， ∵，为正整数， ∴， 由可得：， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为（万元）， ∴的最大值为万元． 13．如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】： （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点． ①求点A和点B的坐标，并计算的长度． ②是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，求的最小值． 【模型拓展】： （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点．将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线对应的函数表达式． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①一次函数，令求得点B的坐标；令求得点A的坐标，再根据两点之间的距离公式计算即可． ②点到直线的距离最短为垂线，根据垂直求得，结合证得，得到，利用勾股定理即可求得的长； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； 【详解】解：（1）①对于， 当时，， 令时，，则， 即，， ∴； ②因为A是定点，当时，有最小值，如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的最小值为． （2）过B作交直线l于C，过C作轴于D， 则， ∴， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转得到直线l， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴，， 当时，，当时，由得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线l对应的函数表达式为； 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理和旋转的性质，了解一次函数的性质和旋转性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $