第02讲 一次函数的图像和性质（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

第02讲 一次函数的图像和性质 知识点1：正比例的定义 知识点2：一次函数的定义 知识点3：一次函数的图像和性质 知识点4：一次函数的平移 知识点5：求一次函数的解析式 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 【题型1 正比例函数的定义】 【典例1】下列表达式中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正比例函数定义为 （k 为常数，），即 y 与 x 成正比，且无常数项，x 的指数为1，直接判断各选项是否符合此定义． 本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 正比例函数的形式为（）， 选项 A：，符合题意； 选项 B：，不符合题意； 选项 C：，不符合题意； 选项 D：，不符合题意； 故选：A． 【变式1】下列函数中，是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数，正比例函数定义为形如（k为常数且 ）的函数．逐一检查各选项是否符合此定义． 【详解】解：∵ A. 含有常数项，不符合形式； ∵ B. 中x的次数为2，不是一次函数； ∵ C. 可化为，符合形式（）； ∵ D. 可化为，x的次数不为1． 故选：C． 【变式2】若y关于x的函数是正比例函数，则m应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数作答即可． 【详解】∵y关于x的函数是正比例函数， ∴ 故选：B 【变式3】一个正比例函数的图象经过点代，则它的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式．设正比例函数解析式为，然后将点代入该函数解析式即可求得k的值． 【详解】解：设正比例函数解析式为． 把点代入该函数解析式得， 解得， ∴正比例函数的解析式为：， 故选：B． 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【题型2 一次函数的识别】 【典例2】下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：，未知数充当了分母，不是的形式，故此选项错误； B：，是一次函数，故此选项正确； C：，未知数充当了分母，不是的形式，故此选项错误； D：，未知数的次数为2，不是一次函数，故此选项错误； 故选：B． 【变式1】下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，根据定义解答即可． 【详解】解：A、自变量次数为2，故不是一次函数，不合题意； B、是一次函数，符合题意； C、分母中含有未知数，不是一次函数，不合题意； D、分母中含有未知数，不是一次函数，不合题意． 故选：B． 【变式2】下列函数：①；②；③；④中，关于x的一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：形如（，为常数，）的函数叫做一次函数，逐一所给函数是否符合该定义．本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握“一次函数的形式为（，、为常数）”是解题的关键． 【详解】解：函数①，其中，，符合一次函数定义，是一次函数． 函数②，其中，，符合一次函数定义，是一次函数． 函数③，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，不是一次函数． 函数④，可写成，自变量的次数是，不符合一次函数定义，不是一次函数． 综上，①②是一次函数，共个． 故选： ． 【变式3】有下列五个式子：①；②；③；④；⑤．其中，表示y是x的一次函数的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k，b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】解：①，变形为，符合一次函数的定义， ②不符合一次函数的定义， ③符合一次函数的定义， ④，变形为，符合一次函数的定义， ⑤不符合一次函数的定义， 综上，表示y是x的一次函数的有①③④，共3个， 故选：C． 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 【典例3】已知是一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，由一次函数的定义得且，解之即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数 是一次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式1】若函数是一次函数，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义，自变量x的指数必须为1，从而建立方程求解即可解决． 【详解】解：一次函数的一般形式为，其中x的指数为1， 给定函数，令x的指数， 解得， 当时，函数为，符合一次函数定义， 故答案为：2． 【变式2】已知是一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如 的函数叫做一次函数；由题意得：且，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故答案为： 【变式3】若函数（为常数）是一次函数，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如的式子，就叫做是的一次函数，据此进行列式得，计算得出，即可作答． 【详解】解：∵函数（为常数）是一次函数， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 【典例4】下列各点中在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征.理解一次函数图像上的点的坐标一定满足关系式是解答关键． 通过将各点的坐标代入直线方程 ，计算对应的值，并与点的坐标比较，判断点是否在直线上． 【详解】解： A、时，，在直线上，故此项符合题意； B、时，，不在直线上，故此项不符合题意； C、时，，不在直线上，故此项不符合题意； D、时，，不在直线上，故此项不符合题意. 故选：A． 【变式1】下列各点中，在直线上的点是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的自变量与函数值，掌握知识点是解题的关键． 通过将每个点的坐标代入直线方程进行验证，计算右边值是否等于y值． 【详解】解：∵点是否在直线上需满足方程， 对于选项A：， 计算， ∴点不在直线上． 对于选项B：， 计算， ∴点不在直线上． 对于选项C：， 计算， ∴点不在直线上． 对于选项D：， 计算， 且， ∴点在直线上． 故选D． 【变式2】对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．5 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的性质解答是解题的关键．根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值的前3个都是增加3，只有第4个是增加了4，导致第5个只增加了2． 第4个应是增加了3，即为11． 这样函数值随自变量是均匀增加，因而满足一次函数关系． ∴这个计算有误的函数值是12， 故选：C． 【变式3】若点在直线上，则（    ） A．15 B．9 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，将点代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 解得：， 故选：C． 【题型5 列一次函数解析式并求值】 【典例5】将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数，解题关键是找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数解析式． 【详解】解：设张白纸粘合后的总长度为， ∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， 可得 ∴， 故答案为：． 【变式1】函数的图象，经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上的点的特征，熟练一次函数知识点是解题的关键．将点代入，再解方程即可． 【详解】解：∵函数的图象，经过点， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】点在直线上，则代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，代数式求值，把点代入直线解析式推出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式3】已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)1或 (3)7 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求自变量的值，求函数值， 对于（1），用含有x的代数式表示y即可； 对于（2），将，分别代入关系式，求出答案； 对于（3），将代入关系式，求出结果即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边都除以2，得； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：当时，， 解得． 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 【题型6判断一次函数图像所在象限】 【典例6】一次函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，解题关键是掌握根据一次函数解析式判断其经过的象限． 由，，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限． 【详解】解：，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：C． 【变式1】函数的图象经过（    ） A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴函数图象经过第一、三、四象限． 故选：C． 【变式2】一次函数（k为常数，）的图象一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第三、四象限 C．第二、三象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】此题考查一次函数的图象的性质，根据题意得到一次函数图象与y轴交点坐标为，进而求解即可． 【详解】解：当时，，即图象与y轴交点坐标为 ∴一次函数（k为常数，）的图象一定经过第三、四象限． 故选：B． 【变式3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第三象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，根据一次函数解析式确定直线经过的象限是解题的关键． 利用一次函数解析式中的和的正负，即可判断直线经过的象限． 【详解】解：∵一次函数的， ∴随的增大而减小， 又∵ ∴直线与轴的交点位于轴的正半轴， ∴直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限， 故选：D． 【题型7根据函数经过的象限求参数】 【典例7】一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一次函数经过的象限求参数，解不等式组，根据题意可得一次函数的图象经过第一、三象限或经过第一、三、四象限，则，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴一次函数的图象经过第一、三象限或经过第一、三、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】一次函数的图像经过第一、二、三象限，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像与系数的关系；熟练掌握一次函数中与的符号对函数图像的影响是解题的关键．根据，，时，函数图像经过第一、二、三象限，则有且，通过解该不等式即可求得的取值范围，然后写出的值即可． 【详解】解：一次函数的图像经过第一、二、三象限， 且， ． 观察选项中的数字，只有数字0符合题意． 故选：C． 【变式2】一次函数的图像经过一、二、三象限，则n的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，一元一次不等式组，掌握知识点是解题的关键． 根据一次函数经过的图像经过一、二、三象限，得到，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过一、二、三象限， ∴ 解得． 故答案为：． 【变式3】若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，根据题意分两种情况：该函数图象经过第一、三象限；该函数图象经过第一、三、四象限，分别列出不等式（组）求解即可．解题的关键是掌握：一次函数的图象经过第一、三、四象限；一次函数的图象经过第一、三象限． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ①一次函数的图象经过第一、三、四象限时， 得：， 解得：； ②一次函数的图象经过第一、三象限时， 得：， 解得：； ∴的取值范围是． 故答案为：． 【题型8一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【典例8】一次函数的图象与轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了依次函数的图象与坐标轴交点问题，由于解析式已知为所以分别令直线解析式中和，即可得出直线与轴和轴的交点坐标． 【详解】解：由题意可知直线方程为， 令，代入方程可知， 令，代入方程可知， 直线与轴的交点坐标为，轴的交点坐标为． 故答案为：，． 【变式1】一次函数的图像与y轴交于点，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数的图像与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的交点的求法是解决本题的关键． 令即可求解与y轴的交点． 【详解】解：∵一次函数为， 令，则， ∴一次函数的图像与y轴交于点， 即． 故答案为：5 【变式2】如果直线经过点，则直线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图像与坐标轴交点的坐标特征，掌握坐标轴上点的坐标特点是解题的关键．将点的坐标代入直线的解析式得到b的值，即可得到直线的解析式，然后令，从而可求得对应的值，即可获得答案． 【详解】解：将点代入直线， 得， 解得， ∴该直线解析式为， 令，可得到， ∴此直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【变式3】直线与x轴的交点坐标为 ．与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握，即可解题，根据一次函数的性质，与x轴的交点即纵坐标为0，与y轴的交点坐标即横坐标为0，代入即可得解． 【详解】解：根据题意得：当时，， 解得：， 当时，， 故答案为：；． 【题型9根据一次函数增减性求含参取值范围】 【典例9】若函数是关于的一次函数，随增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象性质，根据一次函数的图象性质可得，解得k的取值范围即可． 【详解】解：若函数是关于的一次函数，随增大而增大， 则， 解得：， 故答案为：． 【变式1】在一次函数中，y随x的增大而减小，则a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，一元一次不等式，掌握这些是解题的关键． 根据一次函数性质，当时，y随x的增大而减小，列出一元一次不等式，解答即可． 【详解】解：中y随的增大而减小， ， ． 故答案为： 【变式2】已知一次函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质.根据一次函数，当时，y的值随x的值的增大而增大；当时，y的值随x的值的增大而减小解答即可． 【详解】解：∵一次函数，y的值随x的值的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3】一次函数，如果函数值随自变量的值增大而减小，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．根据一次函数的性质分析即可． 【详解】解： ，函数值随的增大而减小，则， 解得：． 故答案为：． 【题型10比较一次函数值的大小】 【典例10】点都在直线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据点的横坐标的大小进行判断即可． 【详解】解：∵直线中，， ∴y随x的增大而减小， 又， ∴， 故选：B． 【变式1】已知点，，都在直线上，且，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论． 【详解】解：一次函数中，， 随的增大而增大， ， ． 故选：D． 【变式2】若点，，是一次函数图象上两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3】点都在一次函数的图象上，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的增减性． 根据判断即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型11 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【典例11】已知点在第四象限内，一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，点的坐标特征，解题的关键是根据一次函数中、的符号确定函数图象所经过的象限．根据点在第四象限内，确定、的符号，进而得到，的符号，然后确定两个一次函数图象所经过的象限，逐项判断即可． 【详解】解：点在第四象限内， ，， ，， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 一次函数的图象经过第一、三象限， 观察选项中的图象，同时满足的为选项B． 故选：B． 【变式1】已知函数中随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，一次函数图象与其系数的关系，根据正比例函数的增减性可得，则，据此可判断出一次函数图象经过的象限，由此可得答案． 【详解】解：∵函数中随的增大而减小， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一，二，四象限． 故选A． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题．根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而增大， 一次函数的图象过第一、二、三象限， 故A，B，C选项不符合题意； 当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而减小， 一次函数的图象过第一、二、四象限， 故D选项符合题意． 故选：D． 【变式3】已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数解析式判断其经过的象限，解题的关键是熟知一次函数的性质． 根据一次函数的图象可知，，然后根据一次函数的性质即可判断． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 所以一次函数的图象应该经过一、二、四象限， 故选：A． 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【题型12 一次函数的平移问题】 【典例12】将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后经过点，则的值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，先求出函数平移后的解析式，再把点代入求出的值即可． 【详解】解：一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度， 平移后的解析式为， 平移后经过点， ， 解得． 故选：B． 【变式1】将一次函数的图象向上平移5个单位长度，所得直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键．根据函数图象上加下减的规律，可得答案． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移5个单位长度，所得直线的解析式为．即． 故选：D． 【变式2】将直线向下平移个单位长度，所得的图象恰好过点，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象平移的规律和解析式中参数的求解方法，解题关键是掌握平移规则．将直线向下平移个单位后，解析式变为，代入点即可求解． 【详解】解：将直线向下平移个单位后，得到， 平移后的图象经过点， ， 解得， 故选：C． 【变式3】在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像及其平移变换，以及代入法求解未知数，解题的关键在于理解直线平移后方程的变化规律．根据平移规律，向上平移m个单位，解析式加上m，再将已知点坐标代入新方程求解m的值即可． 【详解】解：设平移后的解析式为： ， 将点，代入方程得 ， 解得： ， 故选：C． 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【题型13 求一次函数解析式】 【典例13】已知一次函数的图象经过点、． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如果点在这个一次函数图像上且它的纵坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解以及函数图像上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求一次函数解析式，并将点的坐标代入解析式求解． （1）利用待定系数法，将已知点、的坐标代入一次函数，求解和的值，得到函数解析式； （2）设出点的坐标，将其纵坐标代入已求得的一次函数解析式，求解横坐标，得到点的坐标． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为 把，分别代入后得： 解得 ∴所求一次函数解析式为； （2）解：设 把代入： ， ∴点坐标是． 【变式1】已知与成正比例，当时，． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当时，求x的值； (3)若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数，函数关系式，图象及性质； （1）设函数关系式为，把 ，代入求出，即可求出结果； （2）把代入，计算求解即可； （3）将点代入，计算求解即可． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 因为当时，， 所以， 所以， 把代入得， ， 故函数关系式为． （2）解：把代入， 得， 解得． （3）解：将点代入， 得， 解得． 【变式2】已知一次函数（k，b是常数，且）的图象过与两点． (1)求一次函数的表达式； (2)把的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，写出新函数图象对应的函数表达式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及函数图象的平移规则，掌握这些是解题的关键。 （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据一次函数的平移解答即可． 【详解】（1）解：一次函数（k，b是常数，且）的图象过与， ，解得 即该一次函数的表达式是 （2）把向下平移3个单位后可得： 【变式3】已知：与成正比例，当时，； (1)求与之间的函数解析式； (2)若点、均在该函数图象上，则______，______； (3)求线段的长． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，正比例的性质，求函数值或自变量的值，勾股定理求两点距离； （1）设出正比例函数解析式，代入、求出即可； （2）将点、代入函数解析式，即可求解； （3）根据（2）得出，进而根据两点距离公式，即可求解． 【详解】（1）解：由于与成正比例，所以设． 当时，， ． ． 即． （2）解：点、均在该函数图象上， ∴， ∴ 故答案为：，． （3）由（2）可得 ∴ 一、单选题 1．下列函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义．一般地，两个变量，之间的关系式可以表示成形如为常数，且的函数，那么就叫做的正比例函数．根据正比例函数的定义即可得答案． 【详解】解：A．是一次函数，不符合题意； B．是一次函数，不符合题意； C．未知数的次数是次，不满足正比例函数的定义，不符合题意； D．是正比例函数，符合题意． 故选：D． 2．下列各点中，在直线上的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 依据题意，将下列各选项中的点的横坐标代入解析式，如果左右两边的值相同，即为在直线上的点，据此计算判断得解． 【详解】解：A．当时，，则点不在直线上，选项A不符合题意； B．当时，，则点在直线上，选项B符合题意； C．当时，，则点不在直线上，选项C不符合题意； D．当时，，则点不在直线上，选项D不符合题意． 故选：B． 3．已知与成正比例，且时，，则时，的值为（） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查正比例函数，由y与x成正比例，设，根据已知条件求出比例常数k，再代入计算y的值即可． 【详解】解：∵y与x成正比例， ∴设． ∵当时，， ∴，解得． ∴． 当时，． ∴y的值为． 故选：C． 4．关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图像过点 B．图像与y轴的交点坐标是 C．y随x的增大而增大 D．图像经过第一、二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．将和分别代入解析式，即可判断A和B选项，根据一次函数图象与性质，即可判断C和D选项． 【详解】解：A、当时，， ∴一次函数的图象不经过点，选项A不符合题意； B、当时，， ∴一次函数的图象与轴的交点为，选项B符合题意； C、∵， ∴随的增大而减小，选项C不符合题意； D、∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D不符合题意． 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质、点的坐标特征，根据点在第三象限，可以得到、的取值范围，然后根据一次函数的性质，可以得到直线经过的象限．解题的关键是求出、的正负，然后利用一次函数的性质解答． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴，， ∴函数的图象经过第二、三、四象限． 故选：D． 6．某山山脚气温为，海拔每升高，气温下降℃，则山上气温（）与该处距山脚垂直高度（）之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列出函数关系式是解题的关键．根据山脚气温、海拔升高与气温下降的关系，找出气温和高度的数量关系，从而确定函数关系式． 【详解】解：根据题意，海拔每升高，气温下降， 山脚气温为，则 故选：D． 7若函数的图象平行于直线，则函数的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两条直线平行的问题．两个一次函数的图象平行，则一次项系数一定相同，则解析式即可求得． 【详解】解：∵函数的图象平行于直线， ∴， 函数的表达式为． 故选：A． 8．若一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式，由一次函数的图象经过点，则，即，然后通过的值随值的增大而增大可得，然后解不等式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵的值随值的增大而增大， ∴， ∴，解得， ∴选项符合题意， 故选：． 9．已知在直线上若，下列判断正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据直线中，推出随的增大而减小，进而根据，即可判断一次函数值的大小． 【详解】解：直线中， 随的增大而减小， 在直线上，且， ； 故选：C． 10．如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点．则直线的解析式（　　）； A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式，把点坐标代入中求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：∵直线与直线相交于点, ∴， 解得 ∴， 把点，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为：； 故选：A． 二、填空题 11．将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将直线向上平移2个单位长度后的直线的解析式为． 故答案为 ． 12．对于正比例函数，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】解：因为正比例函数， 所以当自变量x的值增加1时，函数y的值减少2， 即当自变量x的值增加1时，函数y的值增加． 故答案为：． 13．如图，若一束光线从点射出，经过轴上的点沿射线方向反射出去，则反射光线所在直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，先求直线的解析式，然后求直线与轴的交点的坐标，根据镜面知：和直线与轴的交点关于轴对称，则可求的坐标，然后根据待定系数法求反射光线所在的直线的函数表达式即可． 【详解】解：设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 直线与轴的交点的坐标为， 根据镜面知：和关于轴对称， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为． 故答案为：． 三、解答题 14．已知一次函数经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个一次函数的图象上？说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为； (2)点在这个一次函数的图象上，理由见解析． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． （）利用待定系数法求解即可； （）求出当时的值，比较即可得解． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为，由一次函数过，两点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：点在这个一次函数的图象上，理由， 由（）得一次函数的表达式为， 当时，， ∴点在这个一次函数的图象上． 15．在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数．已知这根弹簧上挂物体时弹簧长度为，挂物体时弹簧长度为； (1)试确定弹簧长度y（厘米）与所挂物体质量x（千克）之间的函数关系式． (2)并求当所挂物体的质量为35千克时弹簧的长度． 【答案】(1) (2)当所挂物体的质量为时弹簧的长度为 【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，由自变量求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键． （1）设y与x的函数关系式为，由待定系数法求出其解即可； （2）把时代入解析式求出y的值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为， 把，代入得，， 解得：， ∴y与x的函数表达式为． （2）解：当时，． 答：当所挂物体的质量为时弹簧的长度为． 16．如图，点在一次函数的图象上，图象与轴的交点为点，试解决下面的问题： (1)求直线的函数表达式； (2)试求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法是解此题的关键． （1）设直线的函数表达式为将点代入表达式计算即可得解； （2）求出，从而可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：由题图可设直线的函数表达式为， 将点代入表达式，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：在中，令，得， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 一次函数的图像和性质 知识点1：正比例的定义 知识点2：一次函数的定义 知识点3：一次函数的图像和性质 知识点4：一次函数的平移 知识点5：求一次函数的解析式 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 【题型1 正比例函数的定义】 【典例1】下列表达式中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数中，是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若y关于x的函数是正比例函数，则m应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式3】一个正比例函数的图象经过点代，则它的表达式为（   ） A． B． C． D． 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【题型2 一次函数的识别】 【典例2】下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数：①；②；③；④中，关于x的一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】有下列五个式子：①；②；③；④；⑤．其中，表示y是x的一次函数的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 【典例3】已知是一次函数，则的值为 ． 【变式1】若函数是一次函数，则 ． 【变式2】已知是一次函数，则的值为 ． 【变式3】若函数（为常数）是一次函数，则 ． 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 【典例4】下列各点中在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各点中，在直线上的点是（） A． B． C． D． 【变式2】对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．5 B．8 C．12 D．14 【变式3】若点在直线上，则（    ） A．15 B．9 C．5 D． 【题型5 列一次函数解析式并求值】 【典例5】将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为 ． 【变式1】函数的图象，经过点，则 ． 【变式2】点在直线上，则代数式的值是 ． 【变式3】已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 【题型6判断一次函数图像所在象限】 【典例6】一次函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【变式1】函数的图象经过（    ） A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【变式2】一次函数（k为常数，）的图象一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第三、四象限 C．第二、三象限 D．第一、四象限 【变式3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第三象限 【题型7根据函数经过的象限求参数】 【典例7】一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】一次函数的图像经过第一、二、三象限，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式2】一次函数的图像经过一、二、三象限，则n的取值范围是 ． 【变式3】若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是 ． 【题型8一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【典例8】一次函数的图象与轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为 ． 【变式1】一次函数的图像与y轴交于点，则 ． 【变式2】如果直线经过点，则直线与轴的交点坐标是 ． 【变式3】直线与x轴的交点坐标为 ．与y轴的交点坐标为 ． 【题型9根据一次函数增减性求含参取值范围】 【典例9】若函数是关于的一次函数，随增大而增大，则的取值范围是 ． 【变式1】在一次函数中，y随x的增大而减小，则a的取值范围是_____． 【变式2】已知一次函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 【变式3】一次函数，如果函数值随自变量的值增大而减小，那么的取值范围是 ． 【题型10比较一次函数值的大小】 【典例10】点都在直线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知点，，都在直线上，且，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】若点，，是一次函数图象上两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】点都在一次函数的图象上，则的大小关系是 ． 【题型11 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【典例11】已知点在第四象限内，一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【变式1】已知函数中随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（　　） A．B．C．D． 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【题型12 一次函数的平移问题】 【典例12】将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后经过点，则的值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【变式1】将一次函数的图象向上平移5个单位长度，所得直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】将直线向下平移个单位长度，所得的图象恰好过点，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【题型13 求一次函数解析式】 【典例13】已知一次函数的图象经过点、． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如果点在这个一次函数图像上且它的纵坐标为，求点的坐标． 【变式1】已知与成正比例，当时，． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当时，求x的值； (3)若点在该函数图象上，求m的值． 【变式2】已知一次函数（k，b是常数，且）的图象过与两点． (1)求一次函数的表达式； (2)把的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，写出新函数图象对应的函数表达式． 【变式3】已知：与成正比例，当时，； (1)求与之间的函数解析式； (2)若点、均在该函数图象上，则______，______； (3)求线段的长． 一、单选题 1．下列函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各点中，在直线上的点是（　　） A． B． C． D． 3．已知与成正比例，且时，，则时，的值为（） A． B． C． D．2 4．关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图像过点 B．图像与y轴的交点坐标是 C．y随x的增大而增大 D．图像经过第一、二、三象限 5．在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．某山山脚气温为，海拔每升高，气温下降℃，则山上气温（）与该处距山脚垂直高度（）之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 7若函数的图象平行于直线，则函数的表达式是（　　） A． B． C． D． 8．若一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 9．已知在直线上若，下列判断正确的（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点．则直线的解析式（　　）； A． B． C． D． 二、填空题 11．将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 12．对于正比例函数，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加 ． 13．如图，若一束光线从点射出，经过轴上的点沿射线方向反射出去，则反射光线所在直线的函数表达式为 ． 三、解答题 14．已知一次函数经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个一次函数的图象上？说明理由． 15．在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数．已知这根弹簧上挂物体时弹簧长度为，挂物体时弹簧长度为； (1)试确定弹簧长度y（厘米）与所挂物体质量x（千克）之间的函数关系式． (2)并求当所挂物体的质量为35千克时弹簧的长度． 16．如图，点在一次函数的图象上，图象与轴的交点为点，试解决下面的问题： (1)求直线的函数表达式； (2)试求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $