第01讲 函数（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

第01讲 函数 知识点1：函数的定义 知识点2：自变量的取值范围和函数值 知识点3：函数图像 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 【题型1 自变量与常量】 【典例1】假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 金额：168.80元 油量：20.00升 单价：8.44元/升 A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量 【变式1】球的体积是，球的半径为，则，其中变量是（   ） A．变量是 B．变量是 C．变量是 D．变量是 【变式2】某居民小区电费标准为0.6元／千瓦时，收取的电费（元）和所用电量（千瓦时）之间的关系式为，则其中的常量是（    ） A． B． C． D．和 【题型2 函数的概念】 【典例2】下列各曲线中表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列解析式中，y不是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】下列各曲线中，能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0； 【题型3 求自变量的取值范围或函数值】 【典例3】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】函数中，自变量的取值范围是 ． 【变式3】函数的定义域是 ． 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点 【题型4 函数的三种表示方法】 【典例4】为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是（    ） 刹车时车速v（） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离s（m） 0 2.0 5 7.5 10 12.5 A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．s随v的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是20m D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为30m 【变式1】一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（   ） 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 45 40 35 30 … A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水10后，水池中的水全部放完 D．放水5后，水池中还有水20m 【变式2】梦想从学习开始，事业从实践起步，近来较多的人每天登录“学习强国”，则下列说法错误的是（   ） 学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7 周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350 A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B．周积分随学习天数的增加而增加 C．当学习天数为5天时，周积分为254分 D．学习天数每增加1天，周积分的增长量相同 【变式3】某同学统计了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）：下列说法错误的是（   ） 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 A．在这个变化过程中，声速是温度的函数 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 【题型5 函数解析式】 【典例5】某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时，使用50克/个的砝码进行实验，记录得到的相应数据如表，则弹簧的长度y（厘米）与砝码的质量x（克）之间的函数关系式是 ． 砝码的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧长度（厘米） 5 6 7 8 9 10 11 12 【变式1】汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油7升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【变式2】某水果批发市场规定，批发水果不少于时，批发价是每千克元，小王携带现金元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为，小王付款后的剩余现金为y元，那么y与x之间的函数关系式为 ． 【变式3】已知一支长16cm的蜡烛点燃后每小时燃烧掉3cm，用单位：表示燃烧后蜡烛的长度，用单位：表示燃烧的时间，则y与之间的关系式是 ． 【题型6 从函数的图象获取信息】 【典例6】甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．乙用11分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走1440米才到达终点 C．甲乙两人之间的最远距离是300米D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了7分钟 【变式1】、两地相距630千米，客车、货车分别从、两地同时出发，匀速相向行驶．货车两小时可到达途中站，客车需9小时到达站．货车的速度是客车的，客、货车到站的距离分别为、（千米），它们与行驶时间（小时）之间的函数关系如图．下列说法错误的是（   ） A．客、货两车的速度分别为60千米小时，45千米小时 B．点的坐标为 C．函数、的图象相交于点，则点的纵坐标为180 D．点横坐标为12 【变式2】如图是泰安市某一天内的气温变化图，下列结论中错误的是（   ） A．这一天中最高气温是 B．这一天中最高气温与最低气温的差为 C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高 D．这一天中气温在逐渐降低的只有14时至24时 【变式3】如图所示是某物体做直线运动时的路程随时间变化的图象，由图象判断下列说法错误的是（    ） A．时，物体通过的路程为 B．在整个时间内，物体运动的平均速度为 C．物体运动的总路程为 D．物体在内的速度比内的速度大 【题型7 动点问题的函数图象】 【典例7】如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 【变式1】如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图①，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图②所示，则 ， ． 【变式3】如图1，在直角梯形中，动点P从点B出发，沿匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的关系图象如图2所示． (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（用字母表示） (2)当时， ； (3)求的长以及梯形的面积； (4)当的面积为12时，求点P运动的路程． 一、单选题 1．刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的某一时刻数据显示牌，则其中的常量是（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 2．一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 3．小明放学后，以某一速度匀速走在回家路上，经过超市时，在超市买了一些物品，然后，以一个比先前稍慢的速度，匀速走在回家路上．小明在回家路上步行的路程y随时间的变化情况是（    ） A．B．C． D． 4.下列各曲线中表示是的函数的是（    ） A．B．C．D． 5．一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 6．一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m．小明、小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是（ ） A．3050 B．2250 C．2050 D．2890 7．如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点图2是点运动时线段的长度随时间变化的关系图象，其中点为曲线部分的最低点，则的边的长度为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 8．连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温（单位：）随时间（单位：）变化的数据，如表： 时间 0 2 4 6 水温 18 34 50 66 若水温的变化是均匀的，则每分钟水温增加 ． 9．小圳从地出发，匀速向地步行．小圳与地的距离（米）与步行时间（分钟）的关系如下表： （分钟） 0 1 2 3 （米） 960 880 800 720 由表格中与关系可知，当步行 分钟后，小圳走完全程的一半． 10．如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 ． 11．在函数中，自变量的取值范围是 ． 12．如图，某种杆秤在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，为刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，移动秤砣所挂的位置，秤杆处于平衡．若秤盘中放入克物品后，秤砣所挂的位置与提纽的距离为毫米时秤杆处于平衡，与的关系式为，当克时，的长度是 毫米． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，； ②当时，有最大值； ③将该函数图象向右平移个单位长度后得到的函数图象经过原点； ④点是该函数图象上一点，则符合要求的点有三个． 其中正确的结论有 ． 三、解答题 14．如图所示是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题： （1）自变量是 ． （2）这位病人的最高体温是 摄氏度，最低体温是 摄氏度． （3）他在12时的体温是 摄氏度． 15．已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米． (1)写出关于的函数表达式； (2)写出自变量的取值范围； (3)求当时所对应的函数值； 16．在汽车的研发生产过程中，有一个程序是根据样车测试结果，进行设计优化和调整，其中安全性测试中的某一项任务是在平整的路面上进行刹车距离测试．如表是某型号的汽车刹车距离测试采样紧急刹车后仍将滑行米与刹车前汽车的速度千米小时之间的表格： 刹车前汽车的速度：（千米/小时） 滑行距离：（米） (1)当汽车速度为千米小时，汽车滑行的距离是多少米？ (2)据了解 ，请求出与的函数关系式； (3)若某次测试中滑行距离为米，则紧急刹车前的速度是多少千米/小时？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 函数 知识点1：函数的定义 知识点2：自变量的取值范围和函数值 知识点3：函数图像 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 【题型1 自变量与常量】 【典例1】假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 金额：168.80元 油量：20.00升 单价：8.44元/升 A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，理解常量与变量的定义是解题的关键；汽油的单价是不会变的，因此是常量，而金额会随着油量的变化而变化，因此金额和油量是变量． 【详解】解：单价是常量，金额和油量是变量， 故选：． 【变式1】球的体积是，球的半径为，则，其中变量是（   ） A．变量是 B．变量是 C．变量是 D．变量是 【答案】A 【分析】本题考查了常量和变量，根据常量和变量的概念解答即可． 【详解】解：球的体积是V，球的半径为R，则， 其中变量是V，R； 故选：A． 【变式2】某居民小区电费标准为0.6元／千瓦时，收取的电费（元）和所用电量（千瓦时）之间的关系式为，则其中的常量是（    ） A． B． C． D．和 【答案】B 【分析】本题考查了常量和变量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．根据常量和变量的定义来解答即可． 【详解】解：在这个问题中，x是自变量，y是因变量，0.6是常量． 故选：B． 【题型2 函数的概念】 【典例2】下列各曲线中表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图像的读图能力和函数的概念．解题的关键是理解和掌握函数的概念．函数的意义反映在图像上简单的判断方法是：作垂直于x轴的直线在左右平移的过程中，与函数图像只会有一个交点．根据函数的定义：一般在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数；据此即可求出答案． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以D正确． 故选：D． 【变式1】下列解析式中，y不是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义．根据函数的定义，对于每一个自变量 x 的值，只能有唯一的因变量 y 的值与之对应，即可求解． 【详解】解：A、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、，当时，，不满足对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，不符合函数的定义，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列各曲线中，能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的概念：在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可. 【详解】解：A、从图象上看，对于x的每一个确定的值，y有唯一确定的值与其对应，y是x的函数，故A符合题意； B、从图象上看，对于x的每一个确定的值，y可能有多个值与其对应，y不是x的函数，故B不符合题意； C、从图象上看，对于x的每一个确定的值，y可能有两个值与其对应，y不是x的函数，故C不符合题意； D、从图象上看，对于x的每一个确定的值，y可能有两个值与其对应，y不是x的函数，故D不符合题意. 故选：A. 【变式3】下列式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的概念，在自变量的取值范围（定义域）内，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么y是x的函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：①中，满足对于x的任意值，y都有唯一值与之对应，故y是x的函数； ②中，对于正数x的任意值，y都有两个值与之对应，故y不是x的函数； ③中，满足对于x的任意值，y都有唯一值与之对应，故y是x的函数； ④中，满足对于的任意值，y都有唯一值与之对应，故y是x的函数； ∴y是x的函数的个数是3个， 故选：C． 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0； 【题型3 求自变量的取值范围或函数值】 【典例3】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了自变量的取值范围，分母不为0，根据分母不为0，进行列式计算得，故，即可作答． 【详解】解：∵函数， ∴， ∴， 故选：B 【变式1】在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数的取值范围，通常我们关注 2 个点：分母不为 0 ，二次根式内的式子必须非负． 根据分母不为 0 ，且二次根式内式子非负计算可得． 【详解】解：∵函数要有意义， 则， 解得：， 故选：A． 【变式2】函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件和求函数自变量的范围，明确分式的分母不为0是解题的关键．根据分式的分母不能为零，得，可得答案． 【详解】解：当时，有意义， ， 解得． 自变量x的取值范围是． 【变式3】函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数的定义域及其求法，由分式的分母不为0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：函数的定义域是，即， 故答案为：． 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点 【题型4 函数的三种表示方法】 【典例4】为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是（    ） 刹车时车速v（） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离s（m） 0 2.0 5 7.5 10 12.5 A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．s随v的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是20m D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为30m 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的距离，根据表格数据逐一判断即可． 【详解】解：A：刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，正确，不符合题意； B：由表格数据，随的增大而增大，正确，不符合题意； C：从（对应）开始，每增加，增加，，对应个间隔，刹车距离增加，总刹车距离为，选项C为，错误，符合题意； D：同理计算：，对应个间隔，刹车距离增加，总刹车距离为，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（   ） 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 45 40 35 30 … A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水10后，水池中的水全部放完 D．放水5后，水池中还有水20m 【答案】D 【分析】本题考查函数的应用，提取表格数据反应的信息是求解本题的关键． 根据表格中放水时间与水量变化的关系，确定放水速度，逐一验证选项的正确性． 【详解】选项A：放水时间影响水量变化，时间为自变量，水量为因变量，正确． 选项B：由表格数据，每分钟水量减少，故每分钟放水，正确． 选项C：总水量，每分钟放水，放完需，正确． 选项D：放水后，剩余水量为，但选项D中为，错误． 故选：D． 【变式2】梦想从学习开始，事业从实践起步，近来较多的人每天登录“学习强国”，则下列说法错误的是（   ） 学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7 周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350 A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B．周积分随学习天数的增加而增加 C．当学习天数为5天时，周积分为254分 D．学习天数每增加1天，周积分的增长量相同 【答案】D 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，用关系式表示变量之间的关系，正确读懂表格是解题的关键．根据表格所给的数据，结合因变量与自变量的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量，说法正确，不符合题意； B、由表格中的数据可知周积分随学习天数的增加而增加，说法正确，不符合题意； C、由表格中的数据可知当学习天数为5天时，周积分为254分，说法正确，不符合题意； D、天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同（增长分别为55，50，40，54，46，50），说法不正确，符合题意； 故选D． 【变式3】某同学统计了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）：下列说法错误的是（   ） 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 A．在这个变化过程中，声速是温度的函数 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 【答案】C 【分析】此题主要考查了函数的表示方法和有理数的混合运算．从图表中获取相应的信息是解题的关键．根据图表里的信息，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【详解】解：A、在这个变化过程中，在这个变化过程中，声速是温度的函数，原说法正确，故选项不符合题意； B、根据数据表，可得温度越高，声速越快，原说法正确，故选项不符合题意； C、，当空气温度为时，内声音可以传播，原说法错误，故选项符合题意； D、∵， ∴当温度每升高，声速增加，原说法正确，故选项不符合题意； 故选：C． 【题型5 函数解析式】 【典例5】某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时，使用50克/个的砝码进行实验，记录得到的相应数据如表，则弹簧的长度y（厘米）与砝码的质量x（克）之间的函数关系式是 ． 砝码的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧长度（厘米） 5 6 7 8 9 10 11 12 【答案】 【分析】本题主要考查了函数解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的关系．根据题意每增加一个砝码，弹簧长度就增加1厘米，注意：1个砝码是50克，知弹簧的长度y（厘米）与砝码的质量x（克）之间的函数关系式是计算即可得到结论． 【详解】解：根据题意，每增加一个砝码，弹簧长度就增加1厘米，1个砝码是50克， 所以弹簧的长度y（厘米）与砝码的质量x（克）之间的函数关系式是． 故答案为：． 【变式1】汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油7升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【答案】（） 【分析】根据余油量的构成，即初始油量减去消耗的油量，来确定余油量与行驶时间的关系式．本题主要考查根据实际问题列代数式，熟练掌握“余油量、初始油量、消耗油量”之间的数量关系是解题的关键． 【详解】解：∵每小时耗油升，行驶时间为小时， 小时的耗油量为升． ∵油箱初始有油升， 余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为（）． 故答案为： （）． 【变式2】某水果批发市场规定，批发水果不少于时，批发价是每千克元，小王携带现金元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为，小王付款后的剩余现金为y元，那么y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列函数解析式．利用已知批发价为每千克元，小王携带现金3000元到这个市场采购苹果，求得解析式，根据批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克元，至多可以买，求出自变量的取值范围． 【详解】解：由已知批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到这个市场采购苹果得y与x的函数关系式：， ∵批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克元， ∴， ∴至多可以买． 故自变量x的取值范围：． 故答案为： 【变式3】已知一支长16cm的蜡烛点燃后每小时燃烧掉3cm，用单位：表示燃烧后蜡烛的长度，用单位：表示燃烧的时间，则y与之间的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，根据燃烧后蜡烛的长度=燃烧前蜡烛的长度-每小时燃烧掉的长度燃烧的时间写出y与t之间的关系式是解题的关键． 根据燃烧后蜡烛的长度=燃烧前蜡烛的长度-每小时燃烧掉的长度燃烧的时间计算即可． 【详解】解：由题意可知，y与t之间的关系式为 故答案为： 【题型6 从函数的图象获取信息】 【典例6】甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．乙用11分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走1440米才到达终点 C．甲乙两人之间的最远距离是300米 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了7分钟 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的图象，能从函数的图象中获取相关信息解决问题是解答的关键． 根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：（分）， 乙用12分钟追上甲，故A选项错误，不符合题意； 甲的速度为（米/分）， 乙追上甲时，二人离起点的距离为（米）， 乙追上甲后，再走1440米才到达终点，故B选项正确，符合题意； 乙的速度为（米/分）， 乙到达终点所用的时间为（分）， 当乙到达终点时甲走的路程为（米）， 当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为（米），故C选项错误，不符合题意； 当乙到达终点时甲走的路程为2040米， 甲还需要（分）到达终点， 甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故D选项错误，不符合题意； 故选：B 【变式1】、两地相距630千米，客车、货车分别从、两地同时出发，匀速相向行驶．货车两小时可到达途中站，客车需9小时到达站．货车的速度是客车的，客、货车到站的距离分别为、（千米），它们与行驶时间（小时）之间的函数关系如图．下列说法错误的是（   ） A．客、货两车的速度分别为60千米小时，45千米小时 B．点的坐标为 C．函数、的图象相交于点，则点的纵坐标为180 D．点横坐标为12 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，从函数图象正确获取信息是解题关键．设客车的速度为千米时，则货车的速度为千米时，根据题意列方程，即可判断；再求出、间距离即可判断，设两车在客车出发后y小时相遇，则由图可知两车到距离相等，列方程 ，即可判断，求出货车由到用的时间即可判断． 【详解】解：设客车的速度为千米时，则货车的速度为千米时， 由题意，得， 解得， 客车的速度为千米时，货车的速度为千米小时， 故正确； 货车2小时到达， 、间距离为千米， 则点的坐标为， 故正确； 客车9小时到达， 、间距离为千米， 设两车在客车出发后y小时相遇，则由图可知两车到距离相等， 则有， 解得， 此时距离为千米， 图中的纵坐标为180， 故正确． 货车由到用时为小时， 则货车一共行驶14小时， 点横坐标为14， 故错误； 故选：． 【变式2】如图是泰安市某一天内的气温变化图，下列结论中错误的是（   ） A．这一天中最高气温是 B．这一天中最高气温与最低气温的差为 C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高 D．这一天中气温在逐渐降低的只有14时至24时 【答案】D 【分析】此题考查了函数图象，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题关键． 根据函数图象的纵坐标，可得气温，根据函数图象的增减性，可得答案． 【详解】A、由纵坐标看出，最高气温是，正确，不符合题意； B、由纵坐标看出，最低气温是，温差是，正确，不符合题意； C、由函数图象看出，这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高，正确，不符合题意； D、由函数图象看出，这一天中0时至2时，14时至24时气温在逐渐降低，原说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式3】如图所示是某物体做直线运动时的路程随时间变化的图象，由图象判断下列说法错误的是（    ） A．时，物体通过的路程为 B．在整个时间内，物体运动的平均速度为 C．物体运动的总路程为 D．物体在内的速度比内的速度大 【答案】C 【分析】本题考查路程—时间图象的识别，根据图象，按照路程速度时间即可逐项判断． 【详解】解：A：由题图知，时，物体通过的路程为说法正确，不符合题意． B：整个时间内，物体通过的路程为，则物体的平均速度，B说法正确，不符合题意． C：由图可知，物体通过的总路程为，故C说法错误，符合题意； D：内物体速度， 内物体速度， 故物体在内的速度比内的速度大，D说法正确，不符合题意． 故选：C． 【题型7 动点问题的函数图象】 【典例7】如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象问题与三角形面积的求法等知识点，要求学生能够根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 根据题意，分析P的运动路线，分2个阶段分别讨论，可分别得处的值，进而可得的面积，即可得出答案． 【详解】解：根据图2可知当点P在上运动时，的面积不变，与面积相等；且不变的面积是在； 可知当时，点P恰好到点C处，此时P点运动3秒，即； 同理可得 ∴． 故选C． 【变式1】如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题和坐标系．路线为，将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论． 【详解】解：坐标系中对应点运动到B点， ，故B选项正确，符合题意； ，即， 解得：，故A选项错误，不符合题意； 对应的段， ， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∴所用时间为， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】如图①，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图②所示，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及了勾股定理，旨在考查学生从图象获取信息的能力．由图象可知当时，，可得；当时，的值最小，可得的值；由图象可知的最大值为4，据此即可求解． 【详解】解：由图②知：当，P和A重合，则， 当时，y最小，最小值为n，此时，， ∴， 当时，P和C重合，则， 过点B作， ∴，， ∴， 故答案为：；． 【变式3】如图1，在直角梯形中，动点P从点B出发，沿匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的关系图象如图2所示． (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（用字母表示） (2)当时， ； (3)求的长以及梯形的面积； (4)当的面积为12时，求点P运动的路程． 【答案】(1)x，y (2)16 (3)的长为8，梯形的面积为26 (4)3或 【分析】（1）依据点P运动的路程为x，的面积为y，即可得到自变量和因变量； （2）直接观察图2，即可解答； （3）根据图象得出的长，以及此时面积，利用三角形面积公式求出的长即可；由函数图象得出的长，利用梯形面积公式求出梯形面积即可； （4）当点P在边上时，直接由三角形的面积公式列方程求解；当点P在边上时，由函数图象求得随变化的规律，进而由面积列出关于x的方程求解便可． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是x，因变量是y； 故答案为：x；y （2）解：由图2得：当时，； 故答案为：16 （3）解：由图象得：当时，点P运动到点C， ∴， ∴，即， ∴， 由图象得：当时，点P运动到点D， ∴， ∴， ∴的长为8，梯形的面积为26； （4）解：当点P在边上时，， 解得：； 当点P在边上时，由图象得：y随x增大而匀速减小，且x每增加1，y则相应减小， 当时，有， 解得：， 综上所述，当的面积为12时，点P运动的路程为3或． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解本题的关键． 一、单选题 1．刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的某一时刻数据显示牌，则其中的常量是（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】B 【分析】本题考查常量和变量，根据在一个变化的过程中，固定不变的量为常量，进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知，石油的单价为定值，固定不变，金额随着数量的变化而变化， 故常量为单价； 故选B． 2．一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数解析式，根据路程、速度和时间的基本关系式，路程等于速度乘以时间，直接代入已知速度即可求解． 【详解】解：根据公式，将速度代入，得． 因此，正确的关系式为选项D． 故选D． 3．小明放学后，以某一速度匀速走在回家路上，经过超市时，在超市买了一些物品，然后，以一个比先前稍慢的速度，匀速走在回家路上．小明在回家路上步行的路程y随时间的变化情况是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象与实际问题的结合，熟练掌握根据实际运动过程分析路程 - 时间图象走势是解题的关键．根据小明步行过程的不同阶段（匀速行走、停留购物、减速匀速行走 ），分析路程随时间变化的特点，对应函数图象的走势． 【详解】解：∵ 小明先以某一速度匀速行走，此阶段路程随时间匀速增加；接着在超市停留，时间增加但路程不变；然后以更慢速度匀速行走，路程随时间仍增加，但增加幅度变小 ∴ 符合该变化过程的图象是选项 故选： ． 4.下列各曲线中表示是的函数的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的定义．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，所以A正确． 故选：A． 5．一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列函数关系式，根据树的高度随时间的增长而增长，初始高度为，每月增长，即可列出关系式求解． 【详解】解：∵树现在高，每月长高， ∴经过个月，树的高度为初始高度加上增长的高度， 即：。 故选：A． 6．一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m．小明、小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是（ ） A．3050 B．2250 C．2050 D．2890 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，从函数图象获取到有用信息是解题的关键． 设小明从1600处到终点的速度为m米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为n米/秒，根据函数图象可以得出：小明用秒跑的路程与小刚用跑的路程相等，小明跑了a秒后还需要300秒到达终点，而小刚跑了a秒后还需要200秒到达终点，据此列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：设小明从1600处到终点的速度为m米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为n米/秒，根据题意，得 ， 解得：， 故这次越野跑的全程为：1600+300×1.5=1600+450=2050（米）， 即米． 故选：C． 7．如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点图2是点运动时线段的长度随时间变化的关系图象，其中点为曲线部分的最低点，则的边的长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出与的长度． 根据图象可知点P沿匀速运动到点C，此时最长，在边上先变小后变大，从而可求出上的高，从图象可以看出点P运动到点B时，可知是等腰三角形，进而得出结论． 【详解】解：过点作， 由图象可知：点P在A上时，， 点P在上运动时，在图象上有最低点，即边上的高， 点P与点B重合时，即最长，为13， 则， ∴是等腰三角形，， ∴， ∴的长， 故选：C． 二、填空题 8．连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温（单位：）随时间（单位：）变化的数据，如表： 时间 0 2 4 6 水温 18 34 50 66 若水温的变化是均匀的，则每分钟水温增加 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，根据表格得到数据的变化规律是解题的关键． 根据表格数据，时间每增加2分钟，水温增加，因此每分钟水温增加． 【详解】由表可知，时间从到，水温从升至，增加； 时间从到，水温从升至，增加； 时间从到，水温从升至，增加． 由于水温变化均匀，每分钟水温增加量为． 故答案为同：8． 9．小圳从地出发，匀速向地步行．小圳与地的距离（米）与步行时间（分钟）的关系如下表： （分钟） 0 1 2 3 （米） 960 880 800 720 由表格中与关系可知，当步行 分钟后，小圳走完全程的一半． 【答案】6 【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的关系，正确理解题意是解题的关键． 先求出小圳的步行速度，然后可得全程的一半为，即可求解时间． 【详解】解：由表格可得小圳的步行速度为，地到的路程为， ∴小圳走完全程的一半时间为：， 故答案为：6． 10．如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 ． 【答案】 【分析】本题侧重考查用图象表示两个变量间的关系，从图象中得到信息是解决此题的关键．先根据图2得出，，再根据当时，点P在点D处，利用三角形面积公式求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：由图（2）可得，则， ∴， 当时，点P在点D处， ∴，即， 故答案为：． 11．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 12．如图，某种杆秤在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，为刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，移动秤砣所挂的位置，秤杆处于平衡．若秤盘中放入克物品后，秤砣所挂的位置与提纽的距离为毫米时秤杆处于平衡，与的关系式为，当克时，的长度是 毫米． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的求值，熟练掌握函数值的代入计算方法是解题的关键．根据已知的函数关系式，将自变量代入，进而求出对应的函数值． 【详解】已知函数关系式，将代入可得毫米． 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，； ②当时，有最大值； ③将该函数图象向右平移个单位长度后得到的函数图象经过原点； ④点是该函数图象上一点，则符合要求的点有三个． 其中正确的结论有 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象、一次函数的应用、平移的性质，解决本题的关键是利用数形结合的思想判断各项是否正确． 【详解】解：由函数图象可知，当和时，， 故错误； 由函数图象可知，当时，有最大值， 故错误； 将该函数图象向右平移个单位长度后点到达， 函数图象过原点， 故正确； 设，， 则有， 画函数的图象，如下图所示， 由函数图象可知：符合要求的点只有一个， 故错误； 综上所述，正确的结论有． 三、解答题 14．如图所示是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题： （1）自变量是 ． （2）这位病人的最高体温是 摄氏度，最低体温是 摄氏度． （3）他在12时的体温是 摄氏度． 【答案】 时间 38 【分析】本题考查函数的图象，正确分析并弄清横纵坐标代表的量是解题的关键． （1）观察横轴即可确定自变量； （2）通过观察图象进行回答即可； （3）通过观察图象进行回答即可． 【详解】解：（1）观察横轴和纵轴，自变量是时间， 故答案为：时间； （2）观察图象可知：这位病人的最高体温是摄氏度，最低体温是摄氏度； 故答案为：， ． （3）他在12时的体温是38摄氏度， 故答案为：38． 15．已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米． (1)写出关于的函数表达式； (2)写出自变量的取值范围； (3)求当时所对应的函数值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了函数关系式，自变量取值范围的求解，函数值的计算，难度较小． （1）根据长方形的周长公式列式整理即可得解； （2）根据长方形的长大于宽列式求出x的最大值，从而得解； （3）把x的值代入函数关系式计算即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得，， 即关于的函数表达式为； （2）解：因为宽为米，长为米， 所以， 所以， 解得， 所以自变量的取值范围为； （3）解：当时，． 16．在汽车的研发生产过程中，有一个程序是根据样车测试结果，进行设计优化和调整，其中安全性测试中的某一项任务是在平整的路面上进行刹车距离测试．如表是某型号的汽车刹车距离测试采样紧急刹车后仍将滑行米与刹车前汽车的速度千米小时之间的表格： 刹车前汽车的速度：（千米/小时） 滑行距离：（米） (1)当汽车速度为千米小时，汽车滑行的距离是多少米？ (2)据了解 ，请求出与的函数关系式； (3)若某次测试中滑行距离为米，则紧急刹车前的速度是多少千米/小时？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题通过对表格数据的分析，利用给定公式求解函数关系式及相关问题，考查了对函数概念的理解和应用，算术平方根的应用； （1）直接从表格中查找对应数据； （2）利用表格中一组数据代入公式求出，进而得到函数关系式； （3）将的值代入函数关系式求解． 【详解】（1）解：从表格中可以直接看出，当汽车速度千米小时，米． 答：当汽车速度为千米小时，汽车滑行的距离是米． （2）解：把，代入， 得到，即， 解得， ∴； （3）解：把代入， 得到，即． 因为速度，所以千米/小时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $