精品解析：内蒙古呼和浩特市托克托县乃只盖中学2025-2026学年高三上学期11月月考数学试题

2025-2026学年高三第一学期 数学试卷 考查时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出. 【详解】由补集的定义可知. 故选： 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称命题，即可得到答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 3. 设是非零向量，则“存在实数λ，使得”是“”的 （ ） A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量共线和充分、必要条件等知识确定正确选项. 【详解】依题意是非零向量， “存在实数λ，使得”， “”同向， 所以“存在实数λ，使得”是“”的必要而不充分条件. 故选：C 4. 已知幂函数的定义域为，则（ ） A. B. 1 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的定义可求出或，结合幂函数的定义域为，即可选出正确答案. 【详解】由幂函数的概念可得，解得或. 当时，，定义域为，不符合题意，舍去； 当时，，定义域为，符合题意，所以， 所以. 故选：C 5. 已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的范围，求出的范围，由正切函数的单调性可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即的最大值为. 故选：A 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】取，，， 则，但，此时， 即“”“”； 取，，则，， 则，但，此时， 即“”“”. 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7. 下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，、、、是其中四个圆的圆心，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，取、为一组基底的基向量，其中且、的夹角为60°，将和化为基向量，利用平面向量的数量积的运算律可得结果. 【详解】如图所示，建立以、为一组基底的基向量， 其中且、的夹角为60°， ∴，， ∴. 故选：B． 8. 已知函数，当时，函数极值点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，由，得，利用导数确定方程根的个数，进而求出极值点个数. 【详解】函数，求导得 ，由，得，令函数，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， ，函数的大致图象如图， 由，得，方程必有两个根，即函数必有两个零点， 当或时，，；当时，，， 因此函数恰有2个极值点，B正确. 故选：B 二.选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 的值域为 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据函数图象的变换规则求出的解析式，然后根据正弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】由题意可知，， 那么的定义域为，所以A正确； 的最小正周期为，所以B正确； 的值域为，所以C正确； 令，得， 令，解得， 所以的图象不关于直线对称，所以D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是偶函数，则 B. 若是奇函数，则 C. 若，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义，即可判断出A和B的正误；对C，根据条件得到恒成立，再利用指数函数的性质，即可求解；对D，根据条件，利用基本不等式，即可求解. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，令，由，得到， 当且仅当，即，时取等号，所以D正确， 故选：ABD. 11. 设函数，则（   ） A. 当时，在处取极大值 B. 当时，方程有个实根 C. 当时，是的极大值点 D. 存在实数，恒成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数判断函数单调性可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断B选项；当时，利用导数分析函数的单调性，可判断CD选项. 【详解】当时，，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 所以，，故A正确； 又因为，如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象有三个交点， 即时，方程有个实根，故B正确； 对于C选项，， 当时，，此时函数在上单调递增，故C错误； 当时，函数在上单调递增，此时恒成立，故D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】 13. 已知函数的定义域为，且，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，求解即可. 【详解】令，则， 所以， 故答案为： 14. 已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得有两个不同的实根，分，，利用参变分离得，根据函数单调性分析求解即可. 【详解】因为，所以， 时，，无极值点，不符合题意； 时，恰有两个极值点，则方程有两个不同实根， 设，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 又时，，当时，，时，， 所以，解得， 当时，有两个变号零点（在零点的左右附近导函数值变号），符合题意． 故a的取值范围为． 故答案为：. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求在上的单调区间和值域； （2）若且求的值. 【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；值域为. （2）. 【解析】 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，再结合正弦型函数的性质求单调区间、值域； （2）根据已知求得，再由和角余弦公式求即可得. 【小问1详解】 由 ， 由，则， 故时，单调递增，时单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为，且值域为； 【小问2详解】 由，且，则， 所以 . 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的值； （2）求在上的值域； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由结合图象计算求解即可； （2）由（1）可得，再结合余弦型函数的最值性质进行求解即可； （3）结合余弦型函数性质列不等式求解即可. 【小问1详解】 （1）由图象可知且最小正周期， 所以且， 从图象来看，处于上升沿的一个零点， 所以，解得，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 当时，， 由余弦函数性质可知，当，即时，函数有最大值为， 当，即时，函数有最小值为， 所以函数在上的值域为； 【小问3详解】 由得，， 解得， 所以不等式的解集为. 17. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若的最小正周期为，求的值； （3）若，讨论在上的单调性. 【答案】（1） （2） （3）在递增，递减 【解析】 【分析】令，换元以后结合单调性即可求解; 由周期函数的定义得，化简求得; 利用复合函数同增异减即可求解. 【小问1详解】 令，则，， 在递增，故，所以的值域为. 【小问2详解】 因为的最小正周期为，所以， 故， 即， 故对于任意实数，总有： ， 故对任意实数恒成立， 所以, 化简得， 解得. 【小问3详解】 令，，， 又，，在递增. 而在递增，递减，故在递增，在递减. 18. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，求； （3）求的最小值． 【答案】（1） 因为，根据正弦定理得：. 又因为， 所以. 又为三角形内角，所以. （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和，可探索角的关系. （2）先利用（1）的结论，求角的正弦和余弦，再求角的正弦，利用正弦定理，可探索的关系，结合，可求的值，再用余弦定理求边. （3）先用表示，用正弦定理可得，再利用基本不等式，可求其最小值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，， 所以，， . 所以. 由正弦定理得， 又，所以，. 由余弦定理得. 所以. 【小问3详解】 因为 . 由正弦定理 因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以的最小值为. 19. 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质. （1）类比三角函数的三个性质：①倍角公式；②平方关系；③求导公式，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明； （2）若，试比较与的大小关系，并证明你的结论； （3）若，，证明： 【答案】（1） ①倍角公式：， ； ②平方关系：， ； ③求导公式：， ； （2），证明： ，. 依题意，， ， 当时，，，即， 于是，而，因此， 当时时，，则，， 即，而，因此， 于是，， 所以. （3）证明：因为， 所以原式变为， 即证， 设函数，即证，， 设，， 时，，在上单调递增，即在上单调递增， 设，则， 由于在上单调递增，， 所以，即，故在上单调递增， 又，所以时，， 所以，即， 因此恒成立， 所以成立，得证． 【解析】 【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明； （2）作差，结合指数函数单调性及正余弦函数的性质推理判断即可. （3）结合新定义将所证变为，设函数，即证，先利用导数求得在上单调递增，再设，利用导数得其单调性及，从而得到，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 .证明略； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三第一学期 数学试卷 考查时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设是非零向量，则“存在实数λ，使得”是“”的 （ ） A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知幂函数的定义域为，则（ ） A. B. 1 C. 4 D. 8 5. 已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，、、、是其中四个圆的圆心，则（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，函数极值点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二.选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 的值域为 D. 的图象关于直线对称 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是偶函数，则 B. 若是奇函数，则 C. 若，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为 11. 设函数，则（   ） A. 当时，在处取极大值 B. 当时，方程有个实根 C. 当时，是的极大值点 D. 存在实数，恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 13. 已知函数的定义域为，且，若，则__________. 14. 已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是___________． 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求在上的单调区间和值域； （2）若且求的值. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的值； （2）求在上的值域； （3）求不等式的解集. 17. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若的最小正周期为，求的值； （3）若，讨论在上的单调性. 18. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，求； （3）求的最小值． 19. 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质. （1）类比三角函数的三个性质：①倍角公式；②平方关系；③求导公式，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明； （2）若，试比较与的大小关系，并证明你的结论； （3）若，，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $