精品解析：江西省部分校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，直接求出，即可求解. 【详解】由题知，所以， 所以焦距为， 故选：A. 2. 若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（ ） A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程求得，根据双曲线定义可得答案. 【详解】由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A 3. 过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由斜率公式求出斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】，则， 由于，则， 故选：C. 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程转化为标准形式，再求解即可. 【详解】将抛物线方程转化为标准形式, 因此其准线方程为. 故选：C. 5. 设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（ ） A. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 【答案】C 【解析】 【分析】设点的坐标，然后根据列出等式，代入圆的方程中即可得到的轨迹为椭圆. 【详解】设，则， 所以. 因为，所以 代入，得，即， 则动点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆. 故选：C. 6. 若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦距为4，求得m的值，利用点差法，结合中点坐标，求得直线的斜率. 【详解】由题可知，解得. 所以双曲线. 若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性知，线段的中点均在轴上，不合题意，所以直线的斜率存在. 设，则，整理得. 因为线段的中点为，所以. 所以. 直线的斜率为2. 故选：D. 7. 某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（ ） A. 8m B. 7m C. 7.5m D. 6.5m 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，求解圆的方程，再将坐标代入求解即可. 【详解】由题意可得，，圆拱的跨度，拱高，所以， 如图，以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系， 设圆心，半径为，所以圆：， ，，， 所以，解得，， 所以圆：， 将代入，因为，解得， 所以. 故选：B. 8. 如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由几何图形分析椭圆的长半轴及短半轴长，结合椭圆离心率公式进行求解. 【详解】设球的半径为， 球的大圆在光线照射下形成椭圆形，易知椭圆的长半轴长，短半轴长， 因为，所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线上一点到的焦点的距离为5，则（ ） A. B. 的坐标为 C. D. 在上存在点，使得为正三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】由抛物线的定义，结合题意先求得，判断选项A；由抛物线的方程求得焦点的坐标，判断选项B；将代入抛物线方程，求得，判断选项C；假设在上存在点，使得为正三角形，求出点的坐标，求得的长度，判断选项D. 【详解】抛物线的焦点为，准线为. 对于AB，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以，解得. 所以，所以选项A错误，选项B正确； 对于C，因为，所以抛物线. 因为点在抛物线上，所以，所以，所以选项C正确； 对于D，由C知，假设在上存在点，使得为正三角形，则. 设，则，所以，所以. 因为点异于点，所以点. 此时，，不等于，所以不是正三角形. 所以假设错误，在上不存在点，使得为正三角形，所以选项D错误. 故选：BC. 10. 已知圆与圆外离，则m的取值可能是（ ） A. -3 B. 1 C. 4 D. 6 【答案】BC 【解析】 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，根据两圆外离可知圆心距大于两半径之和，解出m的取值范围，即可得到结果. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为， 半径（其中，即）， 圆与圆的圆心距为， 若圆与圆外离，则，即，解得：， 故满足题目要求的为BC选项， 故选：BC. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 D. 若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，，对A和B，利用数量积的坐标运算及，直接求出和，再利用的取值范围，即可求解；对C和D，根据条件得，结合的取值范围，得，即可判断出C和D的正误. 【详解】由题知，设， 对于A，因为， 则，又， 则， 又，所以，故A正确， 对于B，因为， 则，又， 则， 又，所以，故B正确， 若，的斜率分别为，，又，且， 则，整理得到，由，得到， 所以选项C错误，选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两条平行直线之间的距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】 之间的距离， 即直线之间的距离为. 故答案为：. 13. 已知椭圆C的两焦点为，P，Q为椭圆C上的动点，的周长为10，则 的最大值为___． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义得到和的关系，再结合椭圆的性质即可求出. 【详解】椭圆C的两焦点为，P为椭圆C上的动点，的周长为10，，即， 又Q为椭圆C上的动点，到焦点距离的最大值为， 的最大值为. 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，射线分别与抛物线交于异于的点，且，直线垂直于，垂足为，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线上异于的点，其中，根据条件可得，结合两直线垂直计算得到点的横坐标，分类讨论，进而计算得到的取值范围. 【详解】设抛物线上异于的点，其中， 由，得， 直线的斜率，其方程， 化简得， 焦点，直线垂直于，故直线的斜率为， 方程为， 联立，解得， 则 当，，故，从而 因此，当时，.当时，.. 当，此时垂直与轴，点在轴上且是的中点，由， 得，解得故，所以的横坐标为， 综上，的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）分别求直线在轴、轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程． 【答案】（1）在轴、轴上的截距分别为10，；（2）. 【解析】 【分析】（1）求得直线的截距式方程，可得在轴、轴上的截距，或根据直线方程，求得直线与轴、轴的交点，从而得到在轴、轴上的截距； （2）由与直线垂直，设所求直线的一般式方程，代入点，求出参数，得所求直线方程.或根据与直线垂直求得所求直线的斜率，写出所求直线的点斜式方程，变形得其一般式方程. 【详解】（1）（方法一）由，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为10，． （方法二）令，得；令，得. 所以直线在轴、轴上的截距分别为10，． （2）（方法一）依题意设所求直线方程为， 将点的坐标代入得，解得， 所以所求直线的方程为． （方法二）因为直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为2， 所以所求直线的方程为，即． 16. 已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）①；②或. 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般方程成立条件，建立不等式，可得答案. （2）①根据弦长公式，建立方程，求出参数；②根据切线方程的求法，可得答案. 【小问1详解】 （方法一）由题意得，则， 得，所以的取值范围为. （方法二）由， 得，所以的取值范围为. 【小问2详解】 ①由题意得到的距离， 则圆的半径为， 得. ②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即. 由，得， 所以所求的切线方程为，即. 综上，过点的圆的切线方程为或. 17. 已知抛物线的焦点为，斜率为4的直线与抛物线交于点，与轴交于点． （1）若，求直线的方程； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得关于的一元二次方程，根据韦达定理，.由抛物线的定义，将，转化为，从而得到. （2）由，得，结合（1）求得点的坐标，根据两点间距离公式求得. 【小问1详解】 设直线的方程为． 由消去，整理得． 因为直线与抛物线有两个交点，所以，解得． ． 因为，所以，解得， 所以直线的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，则. 因为，所以，所以． 因为由（1）知，所以． 由，解得，所以，即． 所以． 18. 已知椭圆的右顶点为，离心率为. （1）求的方程. （2）设直线与相交于，两点，关于轴的对称点为. （i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线的斜率. （ii）试问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）过定点，坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，计算可得； （2）（i）联立直线和椭圆方程，用坐标表示出直线的斜率，利用韦达定理代入化简即可；（ii）利用韦达定理表示出直线的斜率，进而表示出直线的方程，令，结合韦达定理化简可得定点. 【小问1详解】 由题知，，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设，则， 联立消去整理得， 则，， 所以， 若，则， 因为的横坐标大于的横坐标，所以， 所以， 所以. （ii）过定点，证明如下： 由上可知， 所以直线的方程为， 令，得 ， 所以直线过定点. 19. 已知是双曲线上两个不同的点，为坐标原点，点． （1）若点在上，求的渐近线方程． （2）当四点共线时，，点． （i）求的方程； （ii）若三点共线，两点均不在轴上，分别为的左、右顶点，直线与交于点，证明：动点在一条定直线上． 【答案】（1） （2）（i）;（ii）动点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）直接将点代入双曲线方程求解即可； （2）联立直线与双曲线方程，求出的横坐标，再运用弦长公式即可求解； （ii）设出直线,与双曲线方程联立，设出两点，表示出直线与及其交点,再运用韦达定理化简求解. 【小问1详解】 因为点在上，所以． 又 ,所以, 故的渐近线方程为. 【小问2详解】 （i）直线的方程为． 由,得． 因为,所以, 所以, 解得, 故的方程为. （ii）证明：因为两点均不在轴上，所以直线的斜率不为0，则可设直线的方程为. 由得, 则. 设,则. 直线,直线, 由,得 , 解得, 故动点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 2. 若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（ ） A. B. C. D. 10 3. 过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（ ） A. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 6. 若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（ ） A. 8m B. 7m C. 7.5m D. 6.5m 8. 如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线上一点到的焦点的距离为5，则（ ） A. B. 的坐标为 C. D. 在上存在点，使得为正三角形 10. 已知圆与圆外离，则m的取值可能是（ ） A. -3 B. 1 C. 4 D. 6 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 D. 若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两条平行直线之间的距离为____________. 13. 已知椭圆C的两焦点为，P，Q为椭圆C上的动点，的周长为10，则 的最大值为___． 14. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，射线分别与抛物线交于异于的点，且，直线垂直于，垂足为，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）分别求直线在轴、轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程． 16. 已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 17. 已知抛物线的焦点为，斜率为4的直线与抛物线交于点，与轴交于点． （1）若，求直线的方程； （2）若，求． 18. 已知椭圆的右顶点为，离心率为. （1）求的方程. （2）设直线与相交于，两点，关于轴的对称点为. （i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线的斜率. （ii）试问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 19. 已知是双曲线上两个不同的点，为坐标原点，点． （1）若点在上，求的渐近线方程． （2）当四点共线时，，点． （i）求的方程； （ii）若三点共线，两点均不在轴上，分别为的左、右顶点，直线与交于点，证明：动点在一条定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $