精品解析：河南省开封市第三十三中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

开封市第三十三中学2025－2026学年第一学期期中测试试卷 八年级 数学 分值：120分 时间：100分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形的三边长分别为a，b，c，则a，b，c的值不可能是（　　） A. 3，4，5 B. 5，7，7 C. 10，6，4.5 D. 4，5，9 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，分别为的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，．依据尺规作图的痕迹，计算的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 7. 如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 8. 如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 下表是与（其中为自然数）的部分对应值表： 5 10 15 20 25 30 35 2 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368 根据表格提供的信息，计算的结果为（ ） A. 1048576 B. 33554432 C. 1073741824 D. 3435973836 10. 如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 计算的值为______． 12. 已知与点关于x轴对称，则______． 13. 如图，在中，，，平分，若，则的长度为___________． 14. 若，则的值为___________． 15. 如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，. （1）画出关于轴的对称图形； （2）直接写出点关于轴的对称点的坐标____； （3）直接写出的面积为____. 19. 如图，已知，，．求证：． 20. 如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分线段． 21. 如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 22. 某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． （1）用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （2）当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）． 23. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封市第三十三中学2025－2026学年第一学期期中测试试卷 八年级 数学 分值：120分 时间：100分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 一个三角形的三边长分别为a，b，c，则a，b，c的值不可能是（　　） A. 3，4，5 B. 5，7，7 C. 10，6，4.5 D. 4，5，9 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求解． 【详解】解：A、3＋4＞5，故正确，不符合题意； B、5＋7＞7，故正确，不符合题意； C、6＋4.5＞10，故正确，不符合题意； D、4＋5＝9，故错误，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方以及零指数幂的性质．根据相关运算法则计算即可判断． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，中，分别为的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，关键是熟练应用知识点解题； 根据中线平分三角形的面积即可得到. 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，在中，．依据尺规作图的痕迹，计算的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得出 ，进而根据 求出即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：D． 【点睛】此题考查了垂直平分线的作法和性质等知识，根据垂直平分线的性质得出 是解题关键． 7. 如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，，根据，得到，进而求得即可． 【详解】解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点，根据角平分线和垂直可得到，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：B． 9. 下表是与（其中为自然数）的部分对应值表： 5 10 15 20 25 30 35 2 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368 根据表格提供的信息，计算的结果为（ ） A. 1048576 B. 33554432 C. 1073741824 D. 3435973836 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算．利用表格找到和对应的指数，然后应用指数法则计算． 【详解】解：∵，（从表格中得）， ∴， 又∵（从表格中时得）， ∴． 故选：B． 10. 如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，找出全等三角形是解题的关键．由可证，可得，故①正确；由可证，可得，可证是等边三角形，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，则可证不一定等于，即不一定垂直平分，故②错误；由全等三角形的性质可得，由面积公式可证，由可证，可得，故④正确． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴不一定等于， 又∵， ∴不一定垂直平分， 故②错误； 如图，过点C作于G，于H， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 故④正确； 综上所述：正确的有①③④，一共3个； 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 计算的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算．依据“乘方的积等于积的乘方”进行化简计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 12. 已知与点关于x轴对称，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 【详解】解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 13. 如图，在中，，，平分，若，则的长度为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理先求和，根据角平分线的定义可得，推出，得到，利用在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ，， 平分， ， ， ， 在中，，， ， ． 14. 若，则的值为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂相乘的逆运算，先整理得，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：12 15. 如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，则，可得，作于点，由垂线段最短，可知的最小值为线段的长度，解直角三角形即可． 【详解】解：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， 作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，含角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查幂运算和多项式的乘法． （1）根据同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方的运算法则计算即可； （2）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的运算方法即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查单项式乘多项式，解题关键在于掌握运算法则． 首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，. （1）画出关于轴的对称图形； （2）直接写出点关于轴的对称点的坐标____； （3）直接写出的面积为____. 【答案】（1） 如图所示即为所求作的图形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别作出点、、关于轴对称的点，然后顺次连接即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征写出点的坐标即可； （3）用三角形所在矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为的坐标为，所以点关于轴的对称点的坐标； 故答案为：； 【小问3详解】 解：的面积：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了画轴对称图形，求关于坐标轴对称的点的坐标，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 19. 如图，已知，，．求证：． 【答案】 证明：， ． ， 在与中 ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法．根据三角形全等的判定，由已知先证，再根据可证． 【详解】略 20. 如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分线段． 【答案】 证明：平分，， ，，， ， ， 又∵， 垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合三角形的角平分线的性质和定义证明，得到，再根据线段垂直平分线的判定定理即可证明结论． 【详解】略 21. 如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2） 证明：， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 是的中点， 是边的中线， 是等边三角形， ． 【解析】 【分析】此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论； （2）由平行线的性质可得，根据等边三角形的判定与性质可得，再由直角三角形的性质可得是边的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． （1）用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （2）当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）． 【答案】（1），； （2）420平方米，930平方米； （3）88500元 【解析】 【分析】本题考查整式乘法的应用． （1）根据长方形面积公式即可求解； （2）代入（1）中的式子计算即可； （3）根据每平方米的费用乘以面积计算即可． 【小问1详解】 解：（平方米） （平方米） 【小问2详解】 当米，米时 （平方米） （平方米） 【小问3详解】 （元） 23. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图③， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②当时，，如图④， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③当时，，如图⑤， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $