精品解析：山西大同市平城区部分学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年第一学期阶段性练习 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 4. 平定紫砂壶历史悠久，曾与宜兴紫砂壶齐名，有“南宜兴，北平定”的美誉．某生产商生产某款平定紫砂壶，这款茶壶7月份的产量为100套，9月份的产量为121套．设该生产商这款茶壶产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，随增大而减小 6. 已知抛物线经过三点，则a，b，c的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试，飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：s）的函数解析式是，则飞行着陆后停下来需滑行的时间是（ ） A. 40秒 B. 30秒 C. 20秒 D. 10秒 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. （m为实数） 第Ⅱ卷 非选择题（共70分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是关于x的方程的一个根，则m的值为______． 12. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 13. 下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与的相同；乙：顶点在轴上；丙：对称轴是直线．请你写出这个二次函数：________． 14. 根据关于x的二次函数，可列表如下： x 0 1 y 2.29 则方程的一个近似解是______． 15. 如图为某景区土窑洞窑面及其部分示意图，其轮廓由矩形和部分抛物线构成，横梁，且点，在抛物线上．已知米，米，洞口的最高点到的距离为2.81米，点到的距离为2.17米，则横梁的长为_____________米． 三、解答题（本大题共6个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，要使装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 19. 先阅读下列材料，然后解决问题． 材料：因为二次三项式，所以方程可以这样解：，或．所以，． 问题： （1）关于的一元二次方程的根为________． A．， B．， C．， D．， （2）观察下列一组方程：①，②，③，④，，这些方程的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，请你求出该方程的实数根及的值． 20. 项目式学习 【项目背景】玉米是重要的粮食作物，科学合理施肥能有效提高玉米的产量与种植收益．某农作物种植研究团队对玉米产量与钾肥施用量的关系进行试验研究．为实现利润最大化，该团队通过市场调研，建立销售收入、种植成本与钾肥施用量的函数模型，优化种植策略． 【信息收集】 信息1：该试验中每亩玉米的钾肥施用量（公斤）的取值范围是． 信息2：每亩玉米的销售收入（元）与钾肥施用量（公斤）之间的关系如下表所示： 钾肥施用量（公斤） 0 5 销售收入（元） 信息3：经市场调查，每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系，如果不施用钾肥，那么每亩玉米的种植成本为m元；如果钾肥施用量为公斤，那么每亩玉米的种植成本为元． 信息4：每亩玉米的销售利润为w元，． 【建立模型】 （1）根据信息2可知，销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）满足 函数关系（选填“一次”、“二次”、“反比例”），其函数解析式为 ． （2）当时，解决下列问题： ①每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式为 . ②若每亩玉米的销售利润为元，求每亩玉米的钾肥施用量． （3）当每亩玉米的钾肥施用量为公斤时，销售利润最大，请通过计算确定m的值． 21. 综合与实践 【问题情境】：投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）【建立模型】求抛物线的解析式． （2）【应用分析】若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离的长）． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期阶段性练习 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断一元二次方程需关注两个易错点：一是二次项系数不能为0，二是方程需化简后再判断次数. 【详解】解：∵ 选项A的方程含,两个未知数， ∴ 不是一元二次方程； ∵ 选项B的方程只含一个未知数，且最高次数为2，是整式方程， ∴ 是一元二次方程； ∵ 选项C未明确，当时无二次项， ∴ 不是一元二次方程； ∵ 选项D化简后为，未知数最高次数为1， ∴ 不是一元二次方程 2. 用配方法解方程，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得，掌握配方的步骤是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【详解】解：将方程整理为一般形式，得， ∵， ∴该一元二次方程无实数根. 4. 平定紫砂壶历史悠久，曾与宜兴紫砂壶齐名，有“南宜兴，北平定”的美誉．某生产商生产某款平定紫砂壶，这款茶壶7月份的产量为100套，9月份的产量为121套．设该生产商这款茶壶产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程的增长率问题，核心规律为：若初始基数为，每期平均增长率为，经过期后数值为，则满足公式． 【详解】解：7月产量是初始基数套，月平均增长率为， 从7月到9月间隔2个月：8月产量为套，9月产量在8月基础上再次增长，即， ∴列式为． 5. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，随增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式的性质判断各选项． 【详解】解：在中，，抛物线开口向上，A正确； 顶点坐标为，对称轴为直线，B错误，C正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小，D正确． 6. 已知抛物线经过三点，则a，b，c的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的顶点式确定抛物线的开口方向和对称轴，通过比较三点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵， ∴，即． 7. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次函数图像的平移法则：左加右减、上加下减． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得， 再向下平移3个单位长度，得． 8. 函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于一次函数：①当时，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．对于反比例函数，若，反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小；若，反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大． 【详解】解：①若， 则反比例函数的图象在第一、三象限；一次函数的图象经过第一、二、四象限； ②若， 则反比例函数的图象在第二、四象限；一次函数的图象经过第一、三、四象限； 只有A选项图象满足题意． 9. 某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试，飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：s）的函数解析式是，则飞行着陆后停下来需滑行的时间是（ ） A. 40秒 B. 30秒 C. 20秒 D. 10秒 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际运用，由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当s取得最大值时，t也取得最大值，即为飞行着陆后停下来需滑行的时间． 【详解】解：， 当时，s取最大值， 即飞行着陆后停下来需滑行的时间为20秒， 故选C． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. （m为实数） 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 第Ⅱ卷 非选择题（共70分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是关于x的方程的一个根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得． 12. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∵， ∴将代入得． 13. 下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与的相同；乙：顶点在轴上；丙：对称轴是直线．请你写出这个二次函数：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵这个二次函数图象的形状、开口方向与的相同， ∴二次项系数， ∵顶点在轴上，对称轴是直线， ∴顶点坐标为， ∴这个二次函数的解析式可以是． 14. 根据关于x的二次函数，可列表如下： x 0 1 y 2.29 则方程的一个近似解是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】方程的解对应二次函数的函数值为0时的自变量取值，通过表格中相邻自变量对应的函数值的符号变化，定位解所在的区间，即可得到近似解． 【详解】解：一元二次方程的解就是二次函数中函数值时对应的自变量的值， ∵ 由表格数据，当时，对应的函数值，当时，对应的函数值， ∴ 二次函数的函数值在的区间内从负值逐渐变化为正值，必然存在某一个使得，即方程的解落在的范围内． ∴ 方程可取的近似解为． 15. 如图为某景区土窑洞窑面及其部分示意图，其轮廓由矩形和部分抛物线构成，横梁，且点，在抛物线上．已知米，米，洞口的最高点到的距离为2.81米，点到的距离为2.17米，则横梁的长为_____________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．以直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，利用待定系数法求得抛物线的解析式，再求得点，的坐标，据此求解即可． 【详解】解：以直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图， 由题意得，，，， 抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点到的距离为米， ∴点，的纵坐标为， ∴当时，， 解得， ∴点，， ∴，即横梁的长为米； 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ，  ，  ，    解得，； 【小问2详解】  ， 移项得 ， 提取公因式得，  整理得，  即或，  解得，． 17. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，要使装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【答案】右边宽为2厘米 【解析】 【分析】设右边宽为，根据右边宽与天头长的比为得到天头长为，则装裱后作品的长为，宽为，据此结合长方形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设右边宽为，则天头长为，根据题意，得， ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：右边宽为2厘米． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式；一次函数的解析式 （2）2.5 （3）或 【解析】 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，可得到，把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）求出直线与y轴交点C的坐标，利用，确定底和高后计算即可； （3）找出一次函数在反比例函数上方的部分，再确定这部分对应的的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将代入： ， ∴， ∴反比例函数为， 将代入： ， ∴， ∴， 将，代入： ， 解得：， ∴一次函数为； 【小问2详解】 解：已知，，， 一次函数与轴交于点， ∴； 【小问3详解】 解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方的部分为：当或时 ∴不等式的解集为或． 19. 先阅读下列材料，然后解决问题． 材料：因为二次三项式，所以方程可以这样解：，或．所以，． 问题： （1）关于的一元二次方程的根为________． A．， B．， C．， D．， （2）观察下列一组方程：①，②，③，④，，这些方程的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，请你求出该方程的实数根及的值． 【答案】（1）C （2）方程的两个根是7和8， 【解析】 【分析】（1）根据材料给出的十字相乘法解答即可； （2）根据“连根一元二次方程”的定义得出这个方程的两个根是7和8，将方程分解因式可得，展开后即可解答； 【小问1详解】 解：根据材料给出的十字相乘法分解规则：， 对，需要找到两个数，它们的和是，乘积是，这两个数是和， ∴方程可分解为：， ∴或， 解得，，对应选项C； 【小问2详解】 解：根据“连根一元二次方程”的定义：方程的两个根是连续自然数，且两根的乘积等于常数项56，乘积为56的连续自然数只有7和8， ∴这个方程的两个根是7和8， ∴将方程分解因式可得，展开后为，和对比，可得． 20. 项目式学习 【项目背景】玉米是重要的粮食作物，科学合理施肥能有效提高玉米的产量与种植收益．某农作物种植研究团队对玉米产量与钾肥施用量的关系进行试验研究．为实现利润最大化，该团队通过市场调研，建立销售收入、种植成本与钾肥施用量的函数模型，优化种植策略． 【信息收集】 信息1：该试验中每亩玉米的钾肥施用量（公斤）的取值范围是． 信息2：每亩玉米的销售收入（元）与钾肥施用量（公斤）之间的关系如下表所示： 钾肥施用量（公斤） 0 5 销售收入（元） 信息3：经市场调查，每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系，如果不施用钾肥，那么每亩玉米的种植成本为m元；如果钾肥施用量为公斤，那么每亩玉米的种植成本为元． 信息4：每亩玉米的销售利润为w元，． 【建立模型】 （1）根据信息2可知，销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）满足 函数关系（选填“一次”、“二次”、“反比例”），其函数解析式为 ． （2）当时，解决下列问题： ①每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式为 . ②若每亩玉米的销售利润为元，求每亩玉米的钾肥施用量． （3）当每亩玉米的钾肥施用量为公斤时，销售利润最大，请通过计算确定m的值． 【答案】（1）二次； （2）① ②每亩玉米的销售利润为元时，每亩玉米的钾肥施用量为6公斤或19公斤. （3） 【解析】 【分析】（1）观察信息2的表格中的数据，即可得销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）满足二次函数关系，设该二次函数的解析式为，选择三组信息2的表格中的数据，代入列出方程组，解出即可得销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）的解析式. （2）①根据不施用钾肥，每亩玉米的种植成本为m元，每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系，再根据，钾肥施用量为公斤，每亩玉米的种植成本为元即可列方程组，解出即可得每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式. ②根据（1）得，再根据（2）①得，再把、代入，化简即可得 ，当每亩玉米的销售利润为元时，，化简后解出即可得每亩玉米的销售利润为元时，每亩玉米的钾肥施用量. （3）根据（1）得，再根据不施用钾肥，每亩玉米的种植成本为m元，结合钾肥施用量为公斤，每亩玉米的种植成本为元即可求出每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）的函数关系，再把、代入，化简即可得，进而得与的满足二次函数关系，开口向下，对称轴为直线，当时，利润有最大值，根据每亩玉米的钾肥施用量为公斤时，销售利润最大，即可得，解出即可得每亩玉米的钾肥施用量为公斤，销售利润最大时，m的值. 【小问1详解】 解：观察信息2的表格中的数据，即可得销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）满足二次函数关系，设该二次函数的解析式为，把，；，；，三组数据代入得： ，解得：， ∴， ∴销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）的解析式为. 【小问2详解】 解：①∵不施用钾肥，每亩玉米的种植成本为m元，每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系， ∴可设每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式为， 根据，钾肥施用量为公斤，每亩玉米的种植成本为元可得： ，解得：， ∴， ∴每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式为. ②根据（1）得， 再根据（2）①得：， ∵每亩玉米的销售利润， ∴ ， 当每亩玉米的销售利润为元时， ，化简得：，解得：，， ∵，在的范围内， ∴，都符合题意， ∴每亩玉米的销售利润为元时，每亩玉米的钾肥施用量为6公斤或19公斤. 【小问3详解】 解：根据（1）得， ∵不施用钾肥，每亩玉米的种植成本为m元，每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系， ∴可设每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式为， 根据钾肥施用量为公斤，每亩玉米的种植成本为元可得： ，解得：， ∴， ∵每亩玉米的销售利润， ∴ ， ∴， ∴与满足二次函数关系，开口向下，对称轴为直线， 当时，利润有最大值， ∵每亩玉米的钾肥施用量为公斤时，销售利润最大， ∴，解得：， ∴每亩玉米的钾肥施用量为公斤，销售利润最大时，m的值为． 21. 综合与实践 【问题情境】：投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）【建立模型】求抛物线的解析式． （2）【应用分析】若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离的长）． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，把代入，求出，即可求出抛物线的解析式； （2）令，得出，解方程求出符合题意的，根据即可得出答案； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为，由（2）可知，代入，解方程可求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度． ∴抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ，解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为，， ∴当时，， 解得，（舍去）， ∵壶口的宽度， ∴． 【小问3详解】 解：∵仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变， ∴设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为， 由（2）可知，， 把代入得，， 解得， ∴再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为， 当时，，即， ∴时，箭刚好由点处擦边投入壶中， 由（2）可知，时，箭刚好由点处擦边投入壶中， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $