24.2.2直线和圆的位置关系（基础篇）讲义 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

24.2.2直线和圆的位置关系 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 直线与圆的位置关系 （1） 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。 （2） 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示 若设⊙O的半径是r，直线l与圆心0的距离为d，则有： 直线l和⊙O相交 d ＜ r； 直线l和⊙O相切 d = r； 直线l和⊙O相离 d ＞ r。 切线的判定和性质 （1） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2） 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 （3） 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线长定理 （1） 切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （2） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 （3） 注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。 三角形的内切圆和内心 (1) 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。 (2) 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。 (3) 注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。 (4) 直角三角形内切圆半径的求解方法： ①直角三角形直角边为a.b，斜边为c，直角三角形内切圆半径为r. a-r+b-r=c,得 。 ②根据三角形面积的表示方法：ab=, . 型 习 练 题 判断直线和圆的位置关系 1．下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．切线垂直于半径 C．长度相等的弧是等弧 D．若直线和圆有公共点，则直线和圆相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，包括确定圆的条件、切线的性质、等弧的定义以及直线与圆的位置关系．根据以上知识逐项判断． 【详解】解：不在同一直线上的三点才能确定一个圆，故 A错误； 切线垂直于经过切点的半径，而非任意半径，故B错误； 等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，故 C错误； 直线与圆有公共点时，位置关系为相交或相切，故 D正确． 故选：D． 2．⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为2，则反映直线l与⊙O位置关系的图形（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，能熟练地运用数量关系进行判断直线l与的位置关系是解答此题的关键. 根据的半径和圆心O到直线l的距离的大小关系即可选出答案. 【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，， ∴， ∴直线l与的位置关系是相交，且不过圆心. 故选：B. 3．在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长． 求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 4．已知的半径为3，P为所在平面内某直线l上一点，，则过点P的直线与的公共点个数为（    ） A．1或2 B．2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．根据圆心到直线的距离d与半径R的关系判断直线与圆的位置关系，由于P在直线l上且，故，从而直线l与圆相切或相交，公共点个数为1或2，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵P在直线l上且， ∴ 圆心O到直线l的距离， ∵的半径， ∴， ∴ 直线l与相切或相交， ∴公共点个数为1或2， 故选：A 5．在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ） A．点在内 B．点在上 C．直线与相切 D．直线与相离 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，熟练掌握点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系是解题的关键，过点作于，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可求出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对选项A、B进行判断，根据直线与圆的位置关系对C、D进行判断即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图， ∵ ∴， 在中，， ∵， ∴点在外，则A不符合题意； ∵， ∴点在外，则B不符合题意； ∴，， ∴直线与相切， 则C符合题意；D不符合题意； 故选：C． 求圆心到直线的距离 6．已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交即，即可判断． 【详解】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 7．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 8．如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围． 【详解】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 9．的直径为，直线l与相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系的性质． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，得． 【详解】解：∵的直径为，直线l与相交，点O到直线l的距离为d， ∴，即， 故选：B． 10．平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆相离的判定，根据相离的判定逐项验证即可得到答案，熟记直线与相离，得到圆心到直线的距离大于半径是解决问题关键． 【详解】解：的半径为5，若直线与相离， 由相离定义可知圆心到直线的距离大于半径5， 根据四个选项中的距离可知，只有6符合要求， 故选：A． 切线的应用 11．如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（　　） A．5﹣1 B．5﹣(﹣1) C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣(﹣1) 【答案】B 【分析】根据图形，过和垂直于数轴的直线与圆相切，结合圆的切线性质，两个切点间的距离就是圆形图片的直径，根据数轴上两点之间的距离直接求解即可． 【详解】解：结合数轴，圆形图片的直径是5﹣（﹣1）， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的概念、切线性质及数轴上两点之间的距离求法，掌握数轴的基本性质是解决问题的关键． 12．如图，直线AE与四边形ABCD的外接圆相切于A点．若∠DAE＝12°， ，则∠ABC的度数是（    ） A．64° B．65° C．67° D．68° 【答案】D 【分析】如图：作直径AF、连接DF，根据切线的性质求出∠F的度数，求出弧AD、弧DC的度数，进而弧ADC的度数即可. 【详解】解：如图：作直径AF，连接DF， ∵AE是圆O的切线， ∴∠EAF=90°， ∵∠ADF=90°， ∴∠EAD+∠DAF=90°，∠F+∠DAF=90°， ∴∠F=∠DAE ∵∠DAE=12°（已知）， ∴∠F=12°， ∴的度数是2×12°=24°， ∵， ∴弧的度数是×（360°-24°）=112°， ∴的度数是24°+112°=136°， ∴∠ABC=×136°=68°． 故答案为D. 【点睛】本题主要考查了切线的性质的应用、圆周角定理、弦切角等于该弦与切线所夹弧所对的圆周角等知识点，正确作出辅助线、求出的度数是解答本题的关键． 13．如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则点P的横纵坐标的绝对值相等，即x＝y或x＝﹣y，再判断一元二次方程解的情况即可求解． 【详解】解：∵若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切， ∴x＝y或x＝﹣y， 当x＝y时，即x2﹣3x+1＝x， ∵Δ＝b2﹣4ac＝12＞0， ∴方程有两个不相等的实数解； 当x＝﹣y时，即x2﹣3x+1＝﹣x， ∵Δ＝b2﹣4ac＝0， ∴方程有两个相等的实数解； 综上可知符合上述条件的所有的点P共有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得到x＝y或x＝﹣y是解题的关键． 14．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=30°，则∠ABO的度数为（  ） A．25° B．20° C．30° D．35° 【答案】C 【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：为圆的切线， ，即， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 15．如图，已知，，，与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 【分析】在Rt△AOB中，由勾股定理求得；再求得直线AC的解析式为；设的半径为m，可得P（m，-m+6）；连接PB、PO、PC，根据求得m=1，即可得点P的坐标为（1，5）；再由抛物线过点P，由此即可求得． 【详解】在Rt△AOB中，，， ∴； ∵，， ∴OC=6， ∴C（0，6）； ∵， ∴A（6，0）； 设直线AC的解析式为， ∴ ， 解得， ∴直线AC的解析式为； 设的半径为m， ∵与相切， ∴点P的横坐标为m， ∵点P在直线AC上， ∴P（m，-m+6）； 连接PB、PO、PA， ∵与、均相切， ∴△OBP边OB上的高为m，△AOB边AB上的高为m， ∵P（m，-m+6）； ∴△AOP边OA上的高为-m+6， ∵， ∴， 解得m=1， ∴P（1，5）； ∵抛物线过点P， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、待定系数法求解析式，正确求出的半径是解决问题的关键． 有关切线的概念 16．下列命题中，是真命题的为（   ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括确定圆的条件，圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系和切线的判定，掌握相关知识是解题的关键．根据圆的有关性质逐一判断各选项的真假即可． 【详解】解：A选项：三点确定一个圆，但三点必须不共线，否则不能确定圆，故A是假命题，不符合题意； B选项：同弦所对的圆周角相等或互补，故B是假命题，不符合题意； C选项：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C是真命题，符合题意； D选项：垂直于半径的直线不一定经过切点，因此不一定是切线，故D是假命题，不符合题意． 故选：C． 17．下列命题中，是真命题的为（    ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．对角互补的四边形四点共圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【分析】本题主要考查真假命题的判定，圆的性质，圆周角定理，四点共圆的判定以及切线的判定，根据这些知识一一判定即可得出答案． 【详解】解：．不共线的三点确定一个圆，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．对角互补的四边形四点共圆，原命题是真命题，故该选项符合题意； ．经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 18．下列说法中，正确的是（ ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 C．三角形有且只有一个内切圆 D．三角形的内心到三角形的个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】此题考查了圆的切线的定义，三角形的内心的概念，要求学生对这些概念熟练掌握．根据切线的定义判断选项A；根据同弦或等弦所对的圆周角判断选项B；根据三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点判断选项C；根据三角形的内心的性质判断选项D． 【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； B、在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，则不一定相等； C、三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个； D、三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等．由此可见只有选项C是正确的． 故选：C． 19．下列判断正确的是（   ） A．同弧或等弧所对的圆心角相等 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】A 【分析】本题主要考查了等弧的定义，弧与圆心角之间的关系，确定圆的条件，切线的定义，分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可． 【详解】解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，原说法正确，符合题意； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； C、能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误，不符合题意； D、经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 20．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 证明某直线是圆的切线 21．如图，点，，，点为线段的中点，以点为圆心，为半径作⊙，则下列结论中正确的是（  ） A．与⊙相切 B．点在⊙上 C．点在⊙上 D．点在⊙上 【答案】A 【分析】本题考查点、直线与圆的位置关系，熟练掌握点、直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 根据两点间距离公式计算出、、的距离，分别与半径相比较，得出点是否在圆上；根据圆心到直线的距离等于半径，判断直线与相切即可． 【详解】解：由于点，，点为线段的中点， 那么点的坐标为，直线方程为：， 选项A、过点作于点，由题意得，，设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， ，即长等于半径， 则与相切，故结论正确； 选项B、，则点在外，故结论错误； 选项C、，则点在外，故结论错误； 选项D、，则点在外，故结论错误； 故选：A． 22．如图，过外一点P画的切线，图中画法的根据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．切线长定理 C．切线的性质定理 D．切线的判定定理 【答案】D 【分析】根据切线的判定定理解答即可． 本题考查了切线的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由为直径， 故， 根据切线的判定定理，可知为的切线， 故选：D．    23．如图，点为的外心，连接，作正方形．下列说法不一定正确的是（   ） A．点在边的垂直平分线上 B．点为的外心 C．平分 D．直线与的外接圆相切 【答案】C 【分析】此题考查了三角形外接圆与外心，正方形的性质、线段垂直平分线的性质、切线的判定等知识，根据相关知识逐项进行分析即可． 【详解】解：∵点为的外心， ∴， ∴点在边的垂直平分线上，故选项A正确，不符合题意， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴点为的外心， 故选项B正确，不符合题意， ∵， ∴点在的外接圆上，即是的外接圆的半径， ∵， ∴直线与的外接圆相切， 故选项D正确，不符合题意， 不一定平分，故选项C错误，符合题意， 故选：C． 24．如图，在中，，以为圆心，为半径作，则下列说法正确的是（    ） A．点在上 B．点在外 C．直线与相切 D．直线与只有一个交点 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，熟练掌握位置关系是解题的关键．根据点在圆外，点在圆上判断选项A B错误；再根据直线与圆的位置关系判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 故点在外，故选项A错误； ，故点在上，故选项B错误； ，故直线与相切，故选项C正确； 直线与有两个交点，故选项D错误． 故选C． 25．如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．结合等腰三角形三线合一的性质和平角的定义分析即可． 【详解】解：A、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； B、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； C、由，可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； D、不能判断出直线是切线，符合题意； 故选：D． 切线的性质定理 26．如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的性质和判定，连接，证明是等边三角形，得到，由圆周角定理和切线的性质证得，进而证得，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 27．如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；由切线的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ，是的切线， ，， ， ， ， ， 故选：C． 28．如图，切于点C，交于点P，且为的直径，点Q是上异于点B、P的一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，以及同角的余角相等，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵切于点C，交于点P，且为的直径， ∴， ， ， ， 故选：B． 29．如图，两个圆是以为圆心的同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则下列结论可能错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形三线合一，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，由切线的性质，可知，结合，可知，从而得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： 两个圆是以为圆心的同心圆，大圆的弦与小圆相切于点， 不一定能得到， ，故B正确； 、都是大圆的半径， ，故D正确； ，故A正确； 故选：C． 30．如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据切线的性质可得，根据直角三角形的性质求出，然后利用圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：B． 应用切线长定理求证 31．如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， 设，则，， 在中 ， 解得：，， ，，或，， ． 故选：B． 32．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 33．如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 34．如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，设，根据切线长定理得出，，，得到，，由，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设， 的内切圆与分别相切于点， ，，， ，，， ，， ， ， 解得：， 即， 故选：B． 35．如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴， 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2.2直线和圆的位置关系 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 直线与圆的位置关系 （1） 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。 （2） 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示 若设⊙O的半径是r，直线l与圆心0的距离为d，则有： 直线l和⊙O相交 d ＜ r； 直线l和⊙O相切 d = r； 直线l和⊙O相离 d ＞ r。 切线的判定和性质 （1） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2） 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 （3） 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线长定理 （1） 切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （2） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 （3） 注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。 三角形的内切圆和内心 (1) 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。 (2) 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。 (3) 注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。 (4) 直角三角形内切圆半径的求解方法： ①直角三角形直角边为a.b，斜边为c，直角三角形内切圆半径为r. a-r+b-r=c,得 。 ②根据三角形面积的表示方法：ab=, . 型 习 练 题 判断直线和圆的位置关系 1．下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．切线垂直于半径 C．长度相等的弧是等弧 D．若直线和圆有公共点，则直线和圆相交或相切 2．⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为2，则反映直线l与⊙O位置关系的图形（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 4．已知的半径为3，P为所在平面内某直线l上一点，，则过点P的直线与的公共点个数为（    ） A．1或2 B．2 C．0 D．1 5．在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ） A．点在内 B．点在上 C．直线与相切 D．直线与相离 求圆心到直线的距离 6．已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 8．如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 9．的直径为，直线l与相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 切线的应用 11．如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（　　） A．5﹣1 B．5﹣(﹣1) C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣(﹣1) 12．如图，直线AE与四边形ABCD的外接圆相切于A点．若∠DAE＝12°， ，则∠ABC的度数是（    ） A．64° B．65° C．67° D．68° 13．如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=30°，则∠ABO的度数为（  ） A．25° B．20° C．30° D．35° 15．如图，已知，，，与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 有关切线的概念 16．下列命题中，是真命题的为（   ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 17．下列命题中，是真命题的为（    ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．对角互补的四边形四点共圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 18．下列说法中，正确的是（ ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 C．三角形有且只有一个内切圆 D．三角形的内心到三角形的个顶点的距离相等 19．下列判断正确的是（   ） A．同弧或等弧所对的圆心角相等 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．垂直于半径的直线是圆的切线 20．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 证明某直线是圆的切线 21．如图，点，，，点为线段的中点，以点为圆心，为半径作⊙，则下列结论中正确的是（  ） A．与⊙相切 B．点在⊙上 C．点在⊙上 D．点在⊙上 22．如图，过外一点P画的切线，图中画法的根据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．切线长定理 C．切线的性质定理 D．切线的判定定理 23．如图，点为的外心，连接，作正方形．下列说法不一定正确的是（   ） A．点在边的垂直平分线上 B．点为的外心 C．平分 D．直线与的外接圆相切 24．如图，在中，，以为圆心，为半径作，则下列说法正确的是（    ） A．点在上 B．点在外 C．直线与相切 D．直线与只有一个交点 25．如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 切线的性质定理 26．如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 27．如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 28．如图，切于点C，交于点P，且为的直径，点Q是上异于点B、P的一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 29．如图，两个圆是以为圆心的同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则下列结论可能错误的是（   ） A． B． C． D． 30．如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 应用切线长定理求证 31．如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 32．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 33．如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 34．如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 35．如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 学科网（北京）股份有限公司 $