24.2.2 直线和圆的位置关系 暑期预习讲义（思维导图+知识梳理+巩固练习）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.2.2 直线和圆的位置关系 暑期预习讲义-2025-2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、直线与圆的位置关系分类 1. 相离 定义：直线与圆没有公共点 数量关系：圆心到直线的距离 图形特征：直线在圆外，无交点 2. 相切 定义：直线与圆有唯一公共点（切点） 数量关系：圆心到直线的距离 图形特征：直线与圆只有一个交点，该点称为切点，直线称为切线 3. 相交 定义：直线与圆有两个公共点 数量关系：圆心到直线的距离 图形特征：直线穿过圆，交点称为交点，直线称为割线 二、位置关系的判定方法 1. 几何法（首选） 步骤：计算圆心到直线的距离 的大小： 2. 代数法 步骤：联立直线与圆的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断： 三、切线的判定与性质 1. 切线的判定定理 定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 符号语言： 2. 切线的性质定理 定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 符号语言： 推论： 1. 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； 2. 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。 四、切线长定理 1. 切线长定义 从圆外一点引圆的两条切线，这点到切点之间的线段长称为切线长。 2. 定理内容 定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 符号语言： 图形性质： 五、三角形的内切圆 1. 内切圆与内心 内切圆：与三角形各边都相切的圆，圆心称为内心。 内心性质： 内心是三角形三条角平分线的交点； 内心到三角形三边的距离相等（）。 2. 内切圆半径公式 。 直角三角形： 六、易错点警示 1. 忽略前提条件：切线判定定理中“半径外端”和“垂直”缺一不可； 2. 混淆切线与切线长：切线是直线，切线长是线段长度； 3. 多解情况：过圆外一点引切线有两条，注意分类讨论斜率不存在的情况； 4. 圆心距计算：用点到直线距离公式时，需先将直线方程化为一般式。 巩固练习 一、选择题 1．如图，、分别与相切于、两点，，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，∠APB＝30°，点O在射线PA上，⊙O的半径为2，当⊙O与PB相切时，OP的长度为（　　） A．3 B．4 C． D． 3．如图，是的弦，是的切线，A为切点，经过圆心O，若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 4．如图，与相切于点，交于点，点在上，连接、，，若，则的度数为（　　） A．20° B．25° C．40° D．50° 5．如图，点为外一点，为的切线，为切点，交于点，，，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（　　） A．或5 B．5或6 C．或6 D．5 7．如图，在△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边 AB 中点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点 P，Q 分别是边 BC 和半圆上的动点，连接 PQ，则 PQ 长的最大值与最小 值的差是（　　） A．6 B． C．9 D．7 8．如图，是的直径，是延长线上一点，过作的切线，切点为点，点是劣弧上一点，连接、、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，分别切于点是上一点，是上一点．若，则的度数是　 　． 10．如图，、是切线，切点为B、C，连接，若是等边三角形，弦所对的圆周角为　 　． 11．如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为　 　． 12．如图，AB为的切线，切点为点A，BO交于点C，点D在上，若的度数是32°，则的度数是　 　. 13．如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接若，则的度数为　 　 ． 14．如图，是以原点为圆心，半径为的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为　 　． 三、解答题 15．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E．过点D作于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，．求阴影部分的面积． 16．已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为，的半径为，求的长． 17．如图，是边长为4的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边、相交于点D、E，，垂足为F. （1）求证：直线是的切线； （2）当直线与相切时，求的半径. 18．如图，是的弦，交于点，过点的切线交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若的半径为，，求的长． 19．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分． （1）求证：是切线； （2）若，求的半径和的长． 20．如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，且交的延长线与点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2.2 直线和圆的位置关系 暑期预习讲义-2025-2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、直线与圆的位置关系分类 1. 相离 定义：直线与圆没有公共点 数量关系：圆心到直线的距离 图形特征：直线在圆外，无交点 2. 相切 定义：直线与圆有唯一公共点（切点） 数量关系：圆心到直线的距离 图形特征：直线与圆只有一个交点，该点称为切点，直线称为切线 3. 相交 定义：直线与圆有两个公共点 数量关系：圆心到直线的距离 图形特征：直线穿过圆，交点称为交点，直线称为割线 二、位置关系的判定方法 1. 几何法（首选） 步骤：计算圆心到直线的距离 的大小： 2. 代数法 步骤：联立直线与圆的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断： 三、切线的判定与性质 1. 切线的判定定理 定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 符号语言： 2. 切线的性质定理 定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 符号语言： 推论： 1. 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； 2. 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。 四、切线长定理 1. 切线长定义 从圆外一点引圆的两条切线，这点到切点之间的线段长称为切线长。 2. 定理内容 定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 符号语言： 图形性质： 五、三角形的内切圆 1. 内切圆与内心 内切圆：与三角形各边都相切的圆，圆心称为内心。 内心性质： 内心是三角形三条角平分线的交点； 内心到三角形三边的距离相等（）。 2. 内切圆半径公式 。 直角三角形： 六、易错点警示 1. 忽略前提条件：切线判定定理中“半径外端”和“垂直”缺一不可； 2. 混淆切线与切线长：切线是直线，切线长是线段长度； 3. 多解情况：过圆外一点引切线有两条，注意分类讨论斜率不存在的情况； 4. 圆心距计算：用点到直线距离公式时，需先将直线方程化为一般式。 巩固练习 一、选择题 1．如图，、分别与相切于、两点，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：连接、， 直线、分别与相切于点、， ，， ，是上一点， ， ． 故答案为：D 【分析】连接、，根据切线的性质定理可得，，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据四边形内角和即可求出答案. 2．如图，∠APB＝30°，点O在射线PA上，⊙O的半径为2，当⊙O与PB相切时，OP的长度为（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：设⊙O与PB相切于点C， 连接OC， 如图所示： ∵⊙O与PB相切于点C， 2， 故答案为：B. 【分析】设⊙O与PB相切于点C，连接OC，由切线的性质得出 由直角三角形的性质得出 即可. 3．如图，是的弦，是的切线，A为切点，经过圆心O，若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接， ∵是的切线，A为切点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【分析】 有切线，连半径是解决圆的计算与证明的常用策略，故连接，则由切线的性质可得，再由圆周角定理得，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可． 4．如图，与相切于点，交于点，点在上，连接、，，若，则的度数为（　　） A．20° B．25° C．40° D．50° 【答案】B 【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的切线， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°， ∵， ∴∠O＝90°−40°＝50°， ∴∠ADC＝∠O＝×50°＝25°． 故答案为：B． 【分析】根据切线的性质得到∠OAB＝90°，则利用互余可计算出∠O＝50°，然后根据圆周角定理得到∠ADC的度数． 5．如图，点为外一点，为的切线，为切点，交于点，，，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：连接OA，如图， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP=90°， 在Rt△AOP中，∠P=30°， OB=3， ∴AO=3，则OP=2AO=6， ∴BP=6-3=3. 故答案为：A. 【分析】根据切线的性质得出∠OAP=90°，在Rt△AOP中，利用直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半得出OP的长，从而求解. 6．如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（　　） A．或5 B．5或6 C．或6 D．5 【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示：设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H， 与x轴相切， ， ∠KOM=∠OHM=90°， 四边形OKMH是矩形， M在一次函数的图象上， 设点M的坐标为， OK=MH=a，CM=MK=， CM=MH， ， 在中，， 即， 解得：a=5或， MK=6或MK=. 故答案为：C. 【分析】设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，先证四边形OKMH是矩形，设点M的坐标为，利用等腰三角形的性质及矩形的性质分别表示出CM、CH、MH的长，再利用勾股定理求出a的值，进而得到圆的半径. 7．如图，在△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边 AB 中点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点 P，Q 分别是边 BC 和半圆上的动点，连接 PQ，则 PQ 长的最大值与最小 值的差是（　　） A．6 B． C．9 D．7 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，设与AC相切于点E连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交于Q1， 此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1， ∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴AB2= AC2+BC2， ∴∠C = 90°， ∵∠OP1B=90°， ∴OP1∥AC， ∵AO=OB， ∴P1C=P1B， ∴， ∴P1Q1最小值为OQ1-OQ1=1， 如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心， 经过圆心的弦最长， P2Q2最大值=5+3=8， ∴PQ长的最大值与最小值的差是7. 故答案为：D. 【分析】如图，设与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题. 8．如图，是的直径，是延长线上一点，过作的切线，切点为点，点是劣弧上一点，连接、、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：连接OC ∵PC与圆相切 ∴OC⊥PC ∴∠OCP=90° ∵∠OPC=20° ∴∠POC=90°-20°=70° ∴ ∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠A+∠BDC=180° ∴∠BDC=145° 故答案为：C 【分析】连接OC，根据切线性质可得∠OCP=90°，再根据三角形内角和定理可得∠POC=70°，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠A=35°，再根据圆内接四边形性质即可求出答案. 二、填空题 9．如图，分别切于点是上一点，是上一点．若，则的度数是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图所示，连接， ∵分别切于点A，B， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 故答案为：°． 【分析】 连接，根据切线性质可得，再根据四边形的内角和求得，然后利用圆周角定理得，圆内接四边形对角互补即可求解． 10．如图，、是切线，切点为B、C，连接，若是等边三角形，弦所对的圆周角为　 　． 【答案】60或120 【解析】【解答】解：在弦所对优弧和劣弧上取点和，连接，，，，，， ，分别与圆相切于和， 半径，半径， ， 是等边三角形， ， ， ，， 弦所对的圆周角为或． 故答案为：60或120． 【分析】在弦所对优弧和劣弧上取点和，连接，，，，，，由切线性质可得，再根据等边三角形的性质可得，由四边形内角和，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据圆内接四边形性质可得，即可求出答案. 11．如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵与相切， ∴． 又∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． 故答案为：． 【分析】根据切线性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案. 12．如图，AB为的切线，切点为点A，BO交于点C，点D在上，若的度数是32°，则的度数是　 　. 【答案】29 【解析】【解答】解：AB切 ⊙O于点A， ∴OA⊥AB， ∵∠ABO=32°， ∴∠AOC=90°-32°=58°， ∴∠ADC =∠ AOB=x 58°= 29°， 故答案为： 29°. 【分析】：先根据切线的性质求出∠AOC的度数，再根据三角形内角和定理求出∠AOB的度数，由圆周角定理即可解答. 13．如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接若，则的度数为　 　 ． 【答案】80° 【解析】【解答】∵是的切线， ∴∠CAB=90°， ∵， ∴∠B=180°-∠CAB-∠C=40°， ∴∠AOD=2∠B=80°， 故答案为：80°. 【分析】先利用切线的性质及三角形的内角和求出∠B=180°-∠CAB-∠C=40°，再利用圆周角的性质可得∠AOD=2∠B=80°. 14．如图，是以原点为圆心，半径为的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵ 为 的切线， ∴， 又∵ 圆的半径为， ∴OQ=2， ∴， 则欲求的最小值 ，只需求的最小值； 又∵为直角三角形， ∴，即， ∴当OP最小时，PQ最小； 由题意，当时，OP最小； 根据直线，可得OB=6，OA=6； 由勾股定理可得， 当时，， 即， 解得， 此时由，可得，解 ∴； 故答案为：. 【分析】根据可将 的最小值转化为求的最小值，根据勾股定理和等面积法求的最小值即可. 三、解答题 15．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E．过点D作于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，．求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴． 又， ∴D是的中点， ∴． ∵， ∴， 又， ∴． ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点B作于M，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得，结合等腰三角形的性质即可得，再根据直线平行判定定理可得，再根据切线判定定理即可求出答案. （2）根据等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理求得，由等边对等角可得，过点B作于M，则，再根据勾股定理即可求得，再根据三角形面积即可求出答案. （1）证明：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴． 又， ∴D是的中点， ∴． ∵， ∴， 又， ∴． ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点B作于M，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 16．已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为，的半径为，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接， ∵是的直径，，垂足为，的半径为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】本题考查切线的判定、同弧所对的圆周角相等、等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理、垂径定理、含度角的直角三角形的性质、勾股定理. （1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，根据AB=AD，利用等边对等角可得，利用圆周角定理得到，利用三角形内角和定理可得：代入数据可求出，据此可得：，利用圆切线的判定定理可证明直线是的切线； （2）连接，根据垂径定理得到，根据，利用圆周角定理可得：，利用角的运算可求出，根据含度角的直角三角形的性质可得：，根据勾股定理可求出AM，根据可求出AE． （1）证明：如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接， ∵是的直径，，垂足为，的半径为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．如图，是边长为4的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边、相交于点D、E，，垂足为F. （1）求证：直线是的切线； （2）当直线与相切时，求的半径. 【答案】（1）证明：连接OE，如图： ∵是等边三角形 ∴ ∠C=∠OBE=60° ∵ OB=OE ∴ ∠OEB=∠OBE=60° ∵ EF⊥AC ∴ ∠EFC=90° ∴ ∠FEC=30° ∴ ∠OEF=180°-∠OEB-∠FEC=90° ∴ 直线EF是的切线 ； （2）解：设 的半径为r，则OB=OE=OD=r ∵ 是边长为4的等边三角形 ∴ AB=BC=AC=4，∠A=60° ∴ CE=4-r，AD=4-2r， 由（1）知：∠FEC=30°，EF⊥AC ∴FC=CE=（4-r） ∴ AF=4-（4-r） ∵ DF 与相切 ∴ ∠ODF=∠ADF=90°， ∴ AF=2AD=2（4-2r） ∴ 4-（4-r）=2（4-2r） 解得：r= ∴的半径为. 【解析】【分析】本题考查圆的切线判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握圆的切线判定与性质是关键。（1）由等边和OB=OE得 ∠OEB=60°，由EF⊥AC得∠FEC=30°，可证∠OEF=90°，可证EF是∠FEC=30°；（2）设半径为r，得OB=OE=OD=r，由等边 的边长为4得 CE=4-r，AD=4-2r；根据∠FEC=30°，EF⊥AC得AF=4-（4-r）；根据 DF 与相切 ，∠A=60°得AF=2AD=2（4-2r），可得r. 18．如图，是的弦，交于点，过点的切线交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：设，则， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴，解得， 即的长为． 【解析】【分析】（）连接，根据切线的性质可得，由垂直的定义得到，等量代换得到，，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案. （）设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. （1）证明：连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：设，则， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴，解得， 即的长为． 19．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分． （1）求证：是切线； （2）若，求的半径和的长． 【答案】（1）证明：如图，连接，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE=90°． ∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ADO， 又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO， ∴∠DAE+∠OAD=90°，，是切线； （2）解：如图，取中点，连接，于点． 四边形AEFO是矩形， ，． 在Rt中，， 在Rt中，， ，的长是 【解析】【分析】（1）连接，进而根据垂直得到∠DAE+∠ADE=90°，再根据角平分线的定义得到∠ADE=∠ADO，再根据等腰三角形的性质得到∠OAD=∠ADO，从而结合题意运用切线的判定即可求解； （2）取中点，连接，先根据矩形的判定与性质得到，进而运用勾股定理求出OD和AD即可求解。 20．如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，且交的延长线与点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接OD，AD，如图所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=CD， ∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵EF⊥AC， ∴OD⊥EF， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=30°， ∴BD=AB=×8=4． 【解析】【分析】（1）连接OD，AD，先根据圆周角定理得到AD⊥BC，进而结合平行线的性质运用切线的判定即可求解； （2）先根据题意结合含30°角的直角三角形的性质即可得到∠BAD的度数，进而即可求解。 学科网（北京）股份有限公司 $$