第二十四章圆 第8讲与圆有关的位置关系及计算讲义2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

第8讲 与圆有关的位置关系及计算 知识点1 点和圆的位置关系 点与圆的位置关系共有三种：圆内，圆上，圆外。 设点到圆心的距离为d，半径为r， 当d＜r时，点在圆内； 当d=r时，点在圆上； 当d＞r时，点在圆外。 【典例】 1.在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是 【答案】r＞5 【解析】解：∵点P的坐标为（3，4）， ∴OP==5， ∵点P（3，4）在⊙O内， ∴OP＜r，即r＞5． 2.如图，王大伯家屋后有一块长12m、宽8m的长方形空地，他在以较长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长最长不超过 【答案】4m 【解析】解：连接OA，交⊙O于E点， 在Rt△OAB中，OB=6m，BA=8m， 所以OA==10m； 又因为OE=OB=6m， 所以AE=OA﹣OE=4m． 因此拴羊的绳长最长不超过4m． 3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为 【答案】2﹣2 【解析】解：如图， ∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上， 连接CO交⊙O于点E′， ∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值， ∵AB=4，∴OA=OB=OE′=2， ∵BC=6，∴OC===2， 则CE′=OC﹣OE′=2﹣2 【方法总结】 在判定点与圆的位置关系时，先要确定两在要素： 1、 点与圆心的距离 2、 圆的半径 然后，通过两者的大小关系来判定点与圆的位置关系。 【随堂练习】 1．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠BCO=（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【解答】解：由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=80°， ∵OB=OC， ∴∠BCO=∠CBO=50°， 故选：B． 　 2．下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．圆内接四边形的对角互余 【解答】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，A错误； 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，B正确； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，C错误； 圆内接四边形的对角互补，D错误； 故选：B． 知识点2 直线和圆位置关系 直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交． (2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点． (3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离． 【典例】 1.已知圆的半径为4，一直线上有一点与此圆的圆心距离为5，则直线与圆的位置关系为 【答案】相离、相切、相交均有可能 【解析】解：直线上有一点与此圆的圆心距离为5， 则圆心到直线的距离可能大于4或等于4或小于4， 所以直线与圆可能相离，可能相切，也可能相交． 2.已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是 【答案】0＜x≤ 【解析】解： 当⊙O与直线AC相切时，设切点为D，如图， ∵∠A=45°，∠ODA=90°，OD=1， ∴AD=OD=1， 由勾股定理得：AO=，即此时x=， 所以当半径为1的⊙O与射线AC有公共点，x的取值范围是0＜x 3.如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则CE2+BE2的最大值是 【答案】6 【解析】解：连接AC，DE，如图， ∵∠AOC=90°，∴AC为⊙D的直径， ∴点D在AC上， ∵AO=BO=CO=1， ∴A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），AC=，D（，）， 设E（m，n）， ∵EB2+EC2=（m﹣1）2+n2+（m+1）2+n2 =2（m2+n2）+2， 而m2+n2表示E点到原点的距离， ∴当OE为直径时，E点到原点的距离最大， ∵OD为平分∠AOC， ∴m=n， ∵DE=AC=， ∴（m﹣）2+（n﹣）2=（）2， 即m2+n2=m+n ∴m=n=1， ∴此时EB2+EC2=2（m2+n2）+2=2（1+1）+2=6， 即CE2+BE2的最大值是6． 【方法总结】 　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　 　 一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：　 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么， （1）d＜r直线l与⊙O相交； （2）d=r直线l与⊙O相切； 　　 （3）d＞r直线l与⊙O相离. 【随堂练习】 1．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【解答】解：∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm， ∴3.5＜4， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交， 故选：A． 　 2．已知⊙O的半径是5cm，点O到同一平面内直线a的距离为4cm，则直线a与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相离 【解答】解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d， ∵d=4，r=5， ∴d＜r， ∴直线l与圆相交． 故选：A． 知识点3 切线的性质及判定定理 1.切线：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点。 2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直。 3.切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。 注意：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可。 4.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 5.切线长定理推论： 1、圆的外切四边形的两组对边的和相等； 如图，ABCD为圆O的外切四边形，∵AL=AP，BL=BM，CM=CN，DN=DP，故：AB+CD=AD+BC，即有以上结论。 2、外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 【典例】 1.如图，∠ABC=80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转 【答案】50°或110° 【解析】解：如图； ①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB=90°； Rt△OPB中，OB=2OP， ∴∠A′BO=30°； ∴∠ABA′=50°； ②当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时； 同①，可求得∠A′BO=30°； 此时∠ABA′=80°+30°=110°； 故旋转角α的度数为50°或110°， 2.如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为4，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2⊥CD于点P，O1O2=5．现将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转180°，则在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现 次？ 【解析】解：∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为4，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直CD于P点， 圆O1与以P为圆心，以2为半径的圆相外切， ∴根据图形得出有3次． 3.如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是 . 【答案】2cm或8cm 【解析】解：如图，连接OB， ∵AB⊥OC，∴AH=BH， ∴BH=AB=×8=4， 在Rt△BOH中，OB=OC=5， ∴OH==3， 又∵将直线l通过平移使直线l与⊙O相切， ∴直线l垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点， ∴当向下平移时，直线l平移的距离=5﹣3=2（cm）； 当向上平移时，直线l平移的距离=5+3=8（cm）． 综上：平移的距离是2cm或8cm。 【方法总结】 1、 在遇有圆的切线问题时，经常添加过切点的半径作为辅助线。 2、 遇有圆的直径时，通常在圆周上另找一点，从这一点分别向直径的两个端点连结线段，来构造一个直角三角形。 4.如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径． 判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由。 【解析】证：AE与⊙O相切． 理由如下： 连接OM，则OM=OB，∴∠OMB=∠OBM． ∵BM平分∠ABC，∴∠OBM=∠EBM． ∴∠OMB=∠EBM．∴OM∥BC． ∴∠AMO=∠AEB． 在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线， ∴AE⊥BC．∴∠AEB=90°． ∴∠AMO=90°．∴OM⊥AE． ∴AE与⊙O相切； 5.如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM,判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由. 【解析】解：CM与⊙O相切．理由如下： 连接OC，如图， ∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°， ∵AB为直径，∴∠ACB=90°， ∵M点为GE的中点， ∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1， ∵OB=OC，∴∠B=∠2， ∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°， ∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线； 6.如图所示，AB为⊙O的直径，AD平分∠CAB，AC⊥CD，垂足为C． （1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：∠CDA=∠AED． 【解析】证明：（1）CD是⊙O的切线， 如图，连接OD， ∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD， ∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠CAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∵AC⊥CD，即∠CAD+∠CDA=90°，∴∠ODA+∠CDA=90°， ∴OD⊥CD，即CD是⊙O的切线； （2）连接BD， ∵AB为直径，∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°，∠B=∠AED， ∴∠AED+∠BAD=90°， ∵∠CDA+∠CAD=90°，∠CAD=∠BAD， ∴∠CDA=∠AED． 【方法总结】 在证明圆的切线问题中，主要有两种题型： 1、知半径，证垂直 2、知垂直，证半径 解决切线相关问题的技巧 ①注意利用切线长定理进行线段转换。 ②注意利用切线长定理的推论进行角度转换。 ③见切线连半径是处理切线问题的“通法”。 【随堂练习】 1．如图△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若PD=，求⊙O的直径． 【解答】解：（1）证明：连接OA， ∵∠B=60°， ∴∠AOC=2∠B=120°， 又∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=30°， 又∵AP=AC， ∴∠P=∠ACP=30°， ∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°， ∴OA⊥PA， ∴PA是⊙O的切线． （2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°， ∴PO=2OA=OD+PD， 又∵OA=OD， ∴PD=OA， ∵PD=， ∴2OA=2PD=2． ∴⊙O的直径为2． 　 2．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C． （1）求证：AE与⊙O相切于点A； （2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长． 【解答】证明：（1）连接OA，交BC于F，则OA=OB， ∴∠D=∠DAO， ∵∠D=∠C， ∴∠C=∠DAO， ∵∠BAE=∠C， ∴∠BAE=∠DAO， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD=90°， 即∠DAO+∠BAO=90°， ∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°， ∴AE⊥OA， ∴AE与⊙O相切于点A； （2）∵AE∥BC，AE⊥OA， ∴OA⊥BC， ∴，FB=BC， ∴AB=AC， ∵BC=2，AC=2， ∴BF=，AB=2， 在Rt△ABF中，AF==1， 在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2， ∴OB=4， ∴BD=8， ∴在Rt△ABD中，AD====2． 　 知识点4 弧长和扇形面积 1．相关名词 弧长：在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长。 扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。 圆锥：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高； 圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。 圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线÷2；没展开时是一个曲面。 圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。 2.圆中有关计算： （1）圆的面积公式：，周长C＝2πR． （2）弧长：圆心角为n°、半径为R， ． （3）扇形的面积：圆心角为n°，半径为R，弧长为l， S （4）弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算． （5）圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为． （6）圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有． 【典例】 1.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为 【答案】（m2） 【解析】解：如图，连接AC， ∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°， ∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC， ∵AB2+BC2=22， ∴AB=BC=m， ∴阴影部分的面积是=（m2） 【题干】如图是一个餐盘，它的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，已知正三角形的边长为10，则该餐盘的面积是 【答案】50π﹣50 【解析】由扇形面积减去三角形面积求出弓形面积，三个弓形与一个等边三角形面积之和即为餐盘面积． 解：该餐盘的面积为3（﹣×102）+×102=50π﹣50 2.如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是 【答案】（30π+5π）m2 【解析】解：设底面圆的半径为R， 则πR2=25π，解得R=5， 圆锥的母线长==， 所以圆锥的侧面积=•2π•5•=5π； 圆柱的侧面积=2π•5•3=30π， 所以需要毛毡的面积=（30π+5π）m2 【方法总结】 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算． 需根据不同的情况作出不同的处理： 　　①当弓形所含弧为劣弧时，S弓=S扇-S△ 　　②当弓形所含弧为优弧时，S弓=S扇+S△ 　　③当弓形所含弧为半圆时，S弓=S圆 【随堂练习】 1．将一个边长为a的正方形纸片卷起来，恰好可以围住一个圆柱的侧面；又在这个正方形纸片上剪下最大的一个扇形，卷起来，恰好可以围住一个圆锥的侧面，那么该圆柱和圆锥两者的底面半径之比为多少？（如果保留π） 【解答】解：设圆柱的底面圆的半径为R，则2πR=a，解得R=， 设圆锥的底面圆的半径为r，2πr=，解得r=， 所以==， 即该圆柱和圆锥两者的底面半径之比为． 　 2．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接CA、CB，过点O作弦的垂线，交B»C于点D，连接AD． （1）求证：∠CAD=∠BAD； （2）若⊙O的半径为1，∠B=50°，求的长． 【解答】（1）证明：∵点O是圆心，OD⊥BC， ∴， ∴∠CAD=∠BAD； （2）连接CO， ∵∠B=50°， ∴∠AOB=100°， ∴的长为：L=． 　 3．已知：如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，设⊙O的半径为6cm． （1）求DE的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）连接OE， ∵D是CO的中点，⊙O的半径为6cm， ∴OD=OC=3cm， ∵OC⊥AB，DE∥AB， ∴∠ODE=90°， ∴DE==3； （2）∵OD=OC，∠ODE=90°， ∴∠OED=30°， ∴∠DOE=60°， ∴图中阴影部分的面积=﹣×3×3=6π﹣（cm2）． 综合运用：与圆有关的位置关系及计算 1.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人员需要跑到离爆破点120m以外的完全区域，已知这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？ 【解析】解：点导火索的人非常安全．理由如下： 导火索燃烧的时间为=20（s），此时人跑的路程为20×6.5=130（m）， 因为130＞120，所以点导火索的人非常安全； 答：点导火索的人非常安全． 2.如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作： （1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为　　． （2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧的长． （3）有一点E（6，0），判断点E与⊙D的位置关系． 【解析】解：（1）如图，D点坐标为（2，0）， 故答案为：（2，0）； （2）AD==2； 作CE⊥x轴，垂足为E． ∵△AOD≌△DEC， ∴∠OAD=∠CDE， 又∵∠OAD+∠ADO=90°， ∴∠CDE+∠ADO=90°， ∴扇形DAC的圆心角为90度， ∴的长为=π； （3）点E到圆心D的距离为4， ∴点E在⊙D内部． 3.如图，△ABC是等腰三角形，且AC=BC，∠ACB=120°，在AB上取一点O，使OB=OC，以O为圆心，OB为半径作圆，过C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD． （1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想； （2）已知AC=6，求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径． 【解析】解：（1）AC与⊙O相切， 理由： ∵AC=BC，∠ACB=120°， ∴∠ABC=∠A=30°． ∵OB=OC，∠CBO=∠BCO=30°， ∴∠OCA=120°﹣30°=90°， ∴AC⊥OC， 又∵OC是⊙O的半径， ∴AC与⊙O相切； （2） 如图，在Rt△AOC中， ∠A=30°，AC=6，则：AO=2CO，由勾股定理，解得：CO=2， ∴弧BC的弧长为：=， 设底面圆半径为：r， 则2πr=， 解得：r=． 4.如图，正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，BF与AC交于点P． （1）求证：四边形ABCF是菱形； （2）求证：AC2+BF2=4AB2； （3）若AB=2，求△CDF的周长． 【解析】解：（1）证明：正五边形的内角的度数为：=108°， ∵DE=DC，∴∠DEC=36°，∴∠AEC=72°， ∴∠BAE+∠AEC=180°，∴AB∥CF，同理，BC∥AF， ∴四边形ABCF是平行四边形， ∵BA=BC，∴四边形ABCF是菱形； （2）证明：∵四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF， 由勾股定理得PB2+PC2=BC2， ∴AC2+BF2=（2PC）2+（2PB）2=4PC2+4PB2=4BC2， ∴AC2+BF2=4AB2； （3）解：∵四边形ABCF是菱形， ∴CF=AF，∴△CDF的周长等于CF+DF+CD， 即△CDF的周长等于AD+CD， ∵在正五边形ABCDE中， ∴CD2=DF•DA，即AD•（AD﹣2）=4， 整理得，AD2﹣2AD﹣4=0， 解得，AD=+1， ∴△CDF的周长等于+3． 5.如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若∠E=60°，⊙O的半径为5，求AB的长． 【解析】解：（1）DE与⊙O相切，理由如下： 如图，连接DO并延长到圆上一点N，交BC于点F， ∵AD平分∠BAC交⊙O于点D， ∴∠BAD=∠DAC， ∴=， ∴DO⊥BC， ∵DE∥BC， ∴∠EDO=90°， ∴DE与⊙O相切； （2）连接AO并延长到圆上一点M，连接BM， ∵BC∥DE， ∴∠ACB=∠E=60°， ∴∠M=60°， ∵⊙O的半径为5， ∴AM=10， ∴BM=5，则AB==5． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 与圆有关的位置关系及计算 知识点1 点和圆的位置关系 点与圆的位置关系共有三种：圆内，圆上，圆外。 设点到圆心的距离为d，半径为r， 当d＜r时，点在圆内； 当d=r时，点在圆上； 当d＞r时，点在圆外。 【典例】 1.在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是 2.如图，王大伯家屋后有一块长12m、宽8m的长方形空地，他在以较长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长最长不超过 3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为 【方法总结】 在判定点与圆的位置关系时，先要确定两在要素： 1、 点与圆心的距离 2、 圆的半径 然后，通过两者的大小关系来判定点与圆的位置关系。 【随堂练习】 1．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠BCO=（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 2．下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．圆内接四边形的对角互余 知识点2 直线和圆位置关系 直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交． (2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点． (3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离． 【典例】 1.已知圆的半径为4，一直线上有一点与此圆的圆心距离为5，则直线与圆的位置关系为 2.已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是 3.如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则CE2+BE2的最大值是 【方法总结】 　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　 　 一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：　 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么， （1）d＜r直线l与⊙O相交； （2）d=r直线l与⊙O相切； 　　 （3）d＞r直线l与⊙O相离. 【随堂练习】 1．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 2．已知⊙O的半径是5cm，点O到同一平面内直线a的距离为4cm，则直线a与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相离 知识点3 切线的性质及判定定理 1.切线：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点。 2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直。 3.切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。 注意：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可。 4.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 5.切线长定理推论： 1、圆的外切四边形的两组对边的和相等； 如图，ABCD为圆O的外切四边形，∵AL=AP，BL=BM，CM=CN，DN=DP，故：AB+CD=AD+BC，即有以上结论。 2、外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 【典例】 1.如图，∠ABC=80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转 2.如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为4，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2⊥CD于点P，O1O2=5．现将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转180°，则在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现 次？ 3.如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是 . 【方法总结】 1、 在遇有圆的切线问题时，经常添加过切点的半径作为辅助线。 2、 遇有圆的直径时，通常在圆周上另找一点，从这一点分别向直径的两个端点连结线段，来构造一个直角三角形。 4.如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径． 判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由。 5.如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM,判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由. 6.如图所示，AB为⊙O的直径，AD平分∠CAB，AC⊥CD，垂足为C． （1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：∠CDA=∠AED． 【方法总结】 在证明圆的切线问题中，主要有两种题型： 1、知半径，证垂直 2、知垂直，证半径 解决切线相关问题的技巧 ①注意利用切线长定理进行线段转换。 ②注意利用切线长定理的推论进行角度转换。 ③见切线连半径是处理切线问题的“通法”。 【随堂练习】 1．如图△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若PD=，求⊙O的直径． 2．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C． （1）求证：AE与⊙O相切于点A； （2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长． 知识点4 弧长和扇形面积 1．相关名词 弧长：在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长。 扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。 圆锥：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高； 圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。 圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线÷2；没展开时是一个曲面。 圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。 2.圆中有关计算： （1）圆的面积公式：，周长C＝2πR． （2）弧长：圆心角为n°、半径为R， ． （3）扇形的面积：圆心角为n°，半径为R，弧长为l， S （4）弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算． （5）圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为． （6）圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有． 【典例】 1.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为 【题干】如图是一个餐盘，它的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，已知正三角形的边长为10，则该餐盘的面积是 2.如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是 【方法总结】 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算． 需根据不同的情况作出不同的处理： 　　①当弓形所含弧为劣弧时，S弓=S扇-S△ 　　②当弓形所含弧为优弧时，S弓=S扇+S△ 　　③当弓形所含弧为半圆时，S弓=S圆 【随堂练习】 1．将一个边长为a的正方形纸片卷起来，恰好可以围住一个圆柱的侧面；又在这个正方形纸片上剪下最大的一个扇形，卷起来，恰好可以围住一个圆锥的侧面，那么该圆柱和圆锥两者的底面半径之比为多少？（如果保留π） 2．（2018•椒江区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接CA、CB，过点O作弦的垂线，交B»C于点D，连接AD． （1）求证：∠CAD=∠BAD； （2）若⊙O的半径为1，∠B=50°，求的长． 3．（2017秋•绍兴期末）已知：如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，设⊙O的半径为6cm． （1）求DE的长； （2）求图中阴影部分的面积． 综合运用：与圆有关的位置关系及计算 1.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人员需要跑到离爆破点120m以外的完全区域，已知这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？ 2.如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作： （1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为　　． （2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧的长． （3）有一点E（6，0），判断点E与⊙D的位置关系． 3.如图，△ABC是等腰三角形，且AC=BC，∠ACB=120°，在AB上取一点O，使OB=OC，以O为圆心，OB为半径作圆，过C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD． （1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想； （2）已知AC=6，求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径． 4.如图，正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，BF与AC交于点P． （1）求证：四边形ABCF是菱形； （2）求证：AC2+BF2=4AB2； （3）若AB=2，求△CDF的周长． 5.如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若∠E=60°，⊙O的半径为5，求AB的长． 学科网（北京）股份有限公司 $