精品解析：广东省广州市第三中学2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷

2025学年第一学期期中检测 初二级数学（问卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，5，12 C. 1，5，9 D. 2，5，7 2. 下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若，且，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 按图中所给的条件，的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知：如图，，添加以下条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，， ，为中线，则与的周长之差为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 在下列条件中：①；② ；③都是锐角；④三个外角的度数之比是；⑤，其中能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 10. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：，所以8，……都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（ ） A. 86 B. 230 C. 462 D. 480 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图， 的度数为______． 12. 等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为_____． 13. 如图，经测量，处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向，为正北方向，且，则的度数是__________． 14. 展开后不含的一次项，则______． 15. 若，则的值为______． 16. 如图，是的中线，点是的三等分点（点靠近），是延长线上一点，，连接是的中点，连接．下列说法：；②；③和的面积相等；与的面积之比是1：2．其中正确的有_______．（填上序号） 三、解答题（本大题共有9小题，满分72分，解答要写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 计算 （1） （2） 18. 已知点B，F，C，E在一条直线上， ，， ．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，中，垂足为D． （1）求证： （2）若，，，求的长． 21. 在中，是的角平分线． （1）过点D作，交于点E（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）若 ， ，求 的度数． 22. 学习了《整式的乘除》这一章之后，小明类比小学除法的运算法则，推理出多项式除法法则：被除式 除式商余式．请根据以上法则，解决下列问题： （1）如果一个多项式（设该多项式为）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？请求出多项式； （2）已知关于的多项式除以的商为，余式为，求出的值． 23. 如图，在中，平分，交于点D，动点E在射线上（不与点D重合），过点E作 交线段于点F（不与点A，C重合），的平分线所在的直线与射线交于点G． （1）当点E在线段上时． ①若 ，， 的度数为______； 的度数为______； ②求证； （2）当点E在线段的延长线上时，直接写出 与之间的数量关系． 24. 某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为、宽为的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：___________． （2）利用（1）中的等式解决问题： ①若，则的值为___________． ②若满足，求的值． （3）如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着， 所在直线将正方形分成四个部分．若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 25. 如图1，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点， ． （1）求证：； （2）如图2，点的坐标为，点为上一点，且，求的长； （3）在（1）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，（如图3），当在上移动，点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中检测 初二级数学（问卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，5，12 C. 1，5，9 D. 2，5，7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系． 根据三角形“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可逐项判断． 【详解】解：， 可以构成三角形，A选项符合题意； ， 不能构成三角形，B选项不符合题意； ， 不能构成三角形，C选项不符合题意； ， 不能构成三角形，D选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的定义即可求解． 【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得D选项中，BE是△ABC中AC边长的高， 故选：D． 【点晴】此题主要考查高的作法，解题的关键是熟知高的定义． 3. 如图，若，且 ，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质．根据全等三角形的对应边相等，即可求得的长，即可得到的长． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B． 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括幂的运算性质，如同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等．需根据运算法则逐一判断． 【详解】解：∵选项A：不是同类项，不能合并，故错误； ∵选项B：，故正确； ∵选项C：，故错误； ∵ 选项D：，故错误． ∴故选B． 5. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式：判断即可． 【详解】解：A、，其中，符合公式，符合题意． B、，第二项不是相反项，不符合题意． C、，不符合题意． D、，无相同项和相反项，不符合题意． 故选A． 6. 按图中所给的条件，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及其外角的性质． 根据三角形外角的性质得到，根据三角形内角和得到，进而计算即可． 【详解】如图， 可知， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 已知：如图，，添加以下条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，解决本题的关键是熟练地掌握全等三角形的判定方法．由已知条件可知，，如果增加的条件与已知的条件符合全等三角形判定方法中的任何一种，则可以判定三角形全等，否则不能判定全等． 【详解】解：在和 中，已知，， 再添加，根据 可证， 故A选项不符合题意； 再添加，根据 可证， 故B选项不符合题意； 再添加，根据 可证， 故C选项不符合题意； 再添加 ， 则对应相等的条件的位置关系是，不能判定， 故D选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，在中，， ，为中线，则 与的周长之差为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据三角形中线的性质得，则两个三角形的周长之差就是和长度的差． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 9. 在下列条件中：①；② ；③都是锐角；④三个外角的度数之比是；⑤，其中能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及直角三角形的判定，解决本题的关键是可以根据不同条件判定直角三角形． 根据三角形内角和定理及直角三角形的判定条件，逐一分析各条件是否能使三角形有一个角为即可． 【详解】解：① ∵，且 ， ∴，即， ∴ ， ∴是直角三角形； ② ∵ ，设 ， 则，即， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ③ ∵ 和 都是锐角，但 不一定为 ，如等边三角形， ∴ 不能确定是直角三角形； ④ ∵ 三个外角度数之比为，外角和为 ， 设外角分别为， 则，即， ∴ ， ∴外角分别为， 对应内角为，，， ∴有一个内角为，是直角三角形； ⑤ ∵，设，则， ， 则， ∴，即 ， ∴不是直角三角形； 综上所述，能确定是直角三角形的有①②④，共3个． 故选：C． 10. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：，所以8，……都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（ ） A. 86 B. 230 C. 462 D. 480 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式． 设两个连续奇数为 和 （为正整数），，根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为的倍数，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：设两个连续奇数为 和 （为正整数）， ∵， 根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为8的倍数， A．， 不是“凤凰数”，不符合题意； B．，不是“凤凰数”，不符合题意； C．，不是“凤凰数”，不符合题意； D．， 是“凤凰数”，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图， 的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】解： 故答案为： 12. 等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 因为已知等腰三角形的两边长，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：若等腰三角形的两边长分别为 3 和6，分两种情况： 当 3 为底时，其它两边都为6，而、6、6可以构成三角形，周长为； 当 3 为腰时，其它两边为 3 和，所以不能构成三角形，故舍去， 所以等腰三角形的两边长分别为 3 和6，其周长为 15． 故答案为：15． 13. 如图，经测量，处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向，为正北方向，且，则的度数是__________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了方位角的计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据题意可得，，根据求得，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东方向，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 展开后不含的一次项，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，将原式展开后按照的降幂排列，由整式不含的一次项得出其系数为 可得答案，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵不含的一次项， ∴ ，解得， 故答案为：． 15. 若，则的值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算，根据同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】∵ ∴． 故答案为：18． 16. 如图，是的中线，点是的三等分点（点靠近），是延长线上一点，，连接是的中点，连接．下列说法：；②；③和的面积相等；与的面积之比是1：2．其中正确的有_______．（填上序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据平行线的判定和性质，根据三角形中线求面积，三角形全等的判定和性质． 根据三角形全等的判定和性质，可判断 ，由平行线的判定和性质，可判断 ，由三角形中线分面积相等，可判断． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， 故 正确； ∵是BC边上的中线， ∴，， ∴， ∴， 故正确； ∵是的中线，点是的三等分点，G是的中点， ∴ ∴， 故 不正确． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有9小题，满分72分，解答要写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）先进行同底数幂的乘法和积的乘方运算，再合并同类项即可； （）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； 本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知点B，F，C，E在一条直线上， ，， ．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，根据等式的性质可得出 ，根据 证明 ，得出 ，然后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵ ， ∴，即 ， 在和 中， ， ∴， ∴ ， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减化简求值及乘法公式，关键是熟练掌握运算法则进行运算； 先利用整式的乘法公式去括号再合并同类项进行化简，最后代入求值. 【详解】解：， ， ， 当时， 上式， ， . 20. 如图，中，垂足为D． （1）求证： （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、余角的性质以及三角形的面积公式等知识；熟练掌握直角三角形的性质，灵活运用三角形面积公式是解题的关键． （1）利用直角三角形两锐角互余的性质，结合同角的余角相等来证明角相等； （2）根据三角形面积的两种不同计算方式（以两条直角边为底和高、以斜边为底和斜边上的高为高）建立等式，进而求解斜边上的高的长度． 【小问1详解】 证明：， ， ， ，即， ， 故 ； 【小问2详解】 ， ， ， ． 21. 在中， 是的角平分线． （1）过点D作，交 于点E（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）若 ， ，求 的度数． 【答案】（1） 解：如图，线段即为所求． ； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）尺规作即可； （2）利用三角形内角和定理求得的度数，再利用角平分线的定义以及平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 是的角平分线， ， ， ． 22. 学习了《整式的乘除》这一章之后，小明类比小学除法的运算法则，推理出多项式除法法则：被除式除式商余式．请根据以上法则，解决下列问题： （1）如果一个多项式（设该多项式为）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？请求出多项式； （2）已知关于的多项式除以的商为，余式为，求出的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据多项式除法法则列式计算即可； （）根据多项式除法法则得到，再化简左式，然后根据多项式相等的条件列式求出的值即可求解； 本题考查了整式的除法，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ∴多项式为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 即， ∴，， ∴ ，， ∴． 23. 如图，在中，平分，交于点D，动点E在射线上（不与点D重合），过点E作 交线段于点F（不与点A，C重合），的平分线所在的直线与射线交于点G． （1）当点E在线段上时． ①若 ，， 的度数为______； 的度数为______； ②求证； （2）当点E在线段的延长线上时，直接写出 与之间的数量关系． 【答案】（1）①20°；50°；②见解析 （2） 【解析】 【分析】 本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． （1）①根据平行线的性质与角平分线的定义求解，即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到即可解答； （2）先证明，，，．由角平分线的定义可得，结合三角形的外角的性质可得，可得结论． 【小问1详解】 解：①， ∴在中，， ∵ ， ，， 平分， 平分， ，， ，； ②∵平分， ∴． ∵ ， ∴，． ∵ 平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下：如图，点E在线段的延长线上． ∵平分， ∴． ∵ ， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 24. 某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为、宽为的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：___________． （2）利用（1）中的等式解决问题： ①若，则的值为___________． ②若满足，求的值． （3）如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着， 所在直线将正方形分成四个部分．若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 【答案】（1） （2）①62；②80 （3）11 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据正方形面积的两种计算方法即得答案； （2）①直接利用（1）中的公式计算即可；②把和看作整体，利用（1）的公式计算即可； （3）设正方形和正方形的边长分别为x和y，则阴影部分的面积为，长方形和长方形的面积均为，然后根据已知求得 ，再根据计算即可． 【小问1详解】 解：阴影部分的面积既可以表示为，又可以表示为， 即 ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①当时， ． 故答案为：62． ②， 当，时， ； 【小问3详解】 解：设正方形和正方形的边长分别为x和y， 则阴影部分的面积为，长方形和长方形的面积均为，且，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 即长方形的面积为11． 25. 如图1，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上， 平分与轴交于点， ． （1）求证：； （2）如图2，点的坐标为，点为上一点，且，求的长； （3）在（1）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，（如图3），当在上移动，点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）8 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线定理、等腰三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． （1）根据角平分线得出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点作 于，根据角平分线得出，进而判断出 ，得出，进而判断出 ，得出，再判断出，即可得出结论； （3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出 ，得出，，进而判断出，进而判断出 ，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 ∵ 平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图2， 过点作 于， ∵ 平分，， ∴， 在 和 中， ， ∴ ， ∴， 在 和 中， ， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 ； 证明：如图3， 在的延长线上取一点，使， ∵ 平分，，， ∴， 在和 中， ， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， 在和 中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $