辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025~2026学年第一学期高二期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B直线x=一2垂直于x轴，所以其倾斜角为乏.故选B. 2.C由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=16,因为PF|=6,所以|PF2|=10.故选C. 3.D由题意，得(-3)+1-4>0，解得1号.故选D 4C由题意知婴-二≠号，所以m=2,则4红一y一7=0化为2x-3y一名-0，所以两平行直线2x-3) 2=0与4x一6y一7=0之间的距离为d=- =33 26 故选C 22+(-3) 5.B由题意得P0=(0,42),所以点Q到平面a的距离1=P0:m=是=反.故选B n√2 6.A由题知PF十PF2|=2a=4,F1(-1,0),F2(1,0),则在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠FPF2= PE+PE2-4-PE+PEP-2PF·PF,二4=16-74=号.故选A 2PF1·PF2 7.B设正方体外接球半径为R,内切球半径为r,正方体的中心为O,则2r=2,所以r=1,(2R)2=2+22+2 =12,所以R=3,即|PO|=3,因为MN=2,所以MN是正方体内切球的直径，所以OM=一O,所以 PM.PN=(PO+OM).(PO+ON)=(PO-ON).(PO+ON)=PO2-ON2=R2-2=3-1- 2.故选B. 8.D设M(,y),由AM+1BM2=m,得2+（十1）2=m,18,即点M在圆x2+(y+1D2= 2 2一18m>18)上，圆心为N0,-1D,半径n=√2.圆C的圆心为C(-6,7),半径n=7,又点M 2 2 在圆C上放圆C与圆N有公共点，所以√应。8-7≤6牛中8≤√，驱+7，解得36≤m㎡≤ 2 596,所以-2√149≤m≤-6或6≤m≤2√149，即m的最小值为-2√149.故选D. 2(10-m)>0, 9.D方程0n兰2=2，即2m十2产=1，依题意可得2m2)0。 解得2<m 2(10-m)≠2(m-2), <10且m≠6，即m的取值范围为(2,6)U(6,10),结合选项可知B,D符合题意.故选BD. 10.BCD对于A项，直线l的方程为(m一1)x+(m+1)y+2=0化为(x+y)m+(一x+y+2)=0,由 x+y=0, 十J十2=0解得1所以直线1恒过定点1，D,A错误对于书项，当直线1在x上的截距 为一2时，令=0，则=己二一2，解得m=2,此时直线1的方程为x十3y十2=0，则1在)轴上的裁距 为一号，B正确：对于C项，由A项可知直线过1，-1)，因为(1-1)2+(-1)2<2，所以点(1，-1D在圆C的 内部，故直线1与圆C:(x一1)2+y2=2相交，C正确；对于D项，当点P(一1,0)与点(1，一1)的连线与l垂 直时，点P(-1,0)到直线1的距离最大，且为√（一1一1）P+(0+1)严=√5，D正确.故选BCD. 1.BCD因为点P是三角形CHF的重心，所以A泸=号A心+号A泸+号A疗=号(A+AD)十 号(A+A花)+号(A市+A花)=号A+号A市+号A范，所以A2=号(A:+AD+|A?+ 2A店.A市计2A.A花+2市，花)=告1+1+1+1+1+1)=号，所以AP=2,故A错误：因为 AB/CD,所以∠PAB就是异面直线AP与CD所成的角，因为A市，A花=（号+号AD+号A正）·A花 【高二期中考试·数学参考答案第1页（共4页）】 26-T-203B -放B正确：亦·励-号+· 4 =号，所以cos∠PAB= 市.A店 IAPIIABI 26×1 (AD-AB)=号(A心-A+A花.AD-A花.A)=0,所以AP⊥BD,故C正确：若E,Q,B,D四点共 面，则存在有序数对(x,y),使B戒=xBD+yB配，即AQ-AB=x(AD-AB)十y(A正-A),即 号-1=--y (学-1)+号A心+号症=（一应+x市+y忘.所以号= 解得入=2，所 号= 以点Q是线段AP的中点，故D正确.故选BCD. 12.2因为a⊥b,所以a·b=0,即1×2-m=0,故m=2. 13.x十1=0或3x一4y一1=0易知C(1,3),且点A在圆C外，若直线斜率存在，设切线方程为y+1= 6(十1)，即6x一y十k-1=0,则3士=2，解得k=圣，故切线方程为3x-4y-1=0,易验证 /+（-1) x+1=0也是圆C的切线，故所求切线方程为x+1=0或3x一4y一1=0. 设椭圆C的焦距为2c,设B(m,),A(0,一b),F(c,0),所以AF=(c,b),F市=(m-c,),因为A市= 3 Jc=2(m一c)即 m= )°()》 2FB,所以 即B(多c,),因为点B在椭圆C上，所以 1 b=21, a2 2 n=21 所以导-子，所以C的离心率为e=日-号 a 3 15.解：(1)因为直线3x-y十2=0过点A(-2,2), 所以一6-2m十2=0，解得m=一2，… …3分 因为3x+2y+2=0与l垂直， 所以日-子a= 6分 a (2)解法一：若点A与点B(1,一1)到直线1的距离相等， 则直线AB与l的斜率相等或AB的的中点在l上， 7分 又直线AB的斜率为2二合}=-1，AB的中点坐标为（一日·号）。 ……9分 所以日=-1或-号-7a+2a-1=0, a 解得a=-1或a=1.… 11分 当a=一1时，l的斜截式方程为y=一x+3, 当a=1时，l的斜截式方程为y=x+1. 13分 解法二：因为点A与点B(1,一1)到直线l的距离相等， 由点到直线的距离公式得一3一=3aL …9分 /a+1wa2+1 解得Q=士1，…11分 当a=一1时，l的斜截式方程为y=-x十3， 当a=1时，l的斜截式方程为y=x十1.…13分 16.(1)证明：因为AD=PD,M是PA的中点，所以DM⊥PA,… …1分 因为CD⊥PA,DM∩CD=D,DM,CDC平面MCD,所以PA⊥平面MCD.…3分 又PAC平面PAB,所以平面PAB⊥平面MCD.…4分 (2)解：因为∠ADC=90°，所以CDLAD, 因为CD⊥PA,PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以CD⊥平面PAD, 【高二期中考试·数学参考答案第2页（共4页）】 26-T-203B 又PDC平面PAD,所以CD⊥PD. 5分 因为PA=2,所以AD+PD=PA2,所以AD⊥PD. 6分 所以CD,AD,PD两两垂直，故以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴，y轴，之轴建立如图所 示的空间直角坐标系，A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1) 则PB=(1,1,-1),PC=(0,2,-1),…8分 m·P=0, 设m=(x,y,之)是平面PBC的法向量，则 lm·PC=0, 十y-=0令y=1得.x=1,g=2,所以m=(1,1,2).…10分 2y-x=0, 由(1)知PA⊥平面MCD,所以平面MCD的一个法向量为PA=(1,0,-1). … …11分 因为cos(m,Pi)=,m:可 1-2 13分 |m|PA√6×/2 6 所以平面PBC与平面AMCD夹角的余弦值为。 15分 17.解：(1)设P(x,y),由|PE=√2|PF|,得W(x+2)+y=√2/(x-1)2+y,…2分 化简，得(x一4)2+y2=18.… 4分 (2)若两条直线都存在斜率，设直线AB的方程为y=k(x一1)(k≠0)， 则直线CD的方程为y=一十(x-1), k 5分 由(1)知曲线Γ是以(4,0)为圆心3√2为半径的圆， 所以圆心到直线AB的距离为46一 3k 7分 k2+1 R2+1 所以|AB|=2/18- 9k2 +2 +=6+1 8分 2k2+1 同理ICD=6√+1， 。。。。。。。。。。。 10分 所以四边形ACBD的面积S=之|AB1CD|=18√×+司 =18/ …11分 令1=市则0<1<1，所以S=18+02-万=18√厂(-z)广+是≤21，当且仅当=，即大 1 =士1时，等号成立.… 13分 若两条直线中一条斜率不存在，则另一条斜率为0，此时|AB=6,CD=6√2或|AB=62,CD=6, 所以S=号×6×62=18D<27, 所以四边形ACBD的面积的最大值为27. 15分 18.(1)解：设椭圆C的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B), …1分 4A=1, 由题意可得 2A+2B=1 解得A=子，B=1,… 3分 故椭圆C的方程为+y=1. 4分 (2)(1)证明：易知直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x=ty+m,则m≠一2，…5分 联立C与直线1的方程，得 写+y=1消去x并整理得十4y+2m+-40, x=ty-+m, 则△=4m22一4(t+4)(m2-4)>0,所以t一m2+4>0, 【高二期中考试·数学参考答案第3页（共4页）】 26-T-203B 设M,则十g==干 t2+4· 7分 因为∠MAN=罗，所以Ai,衣=（十2）(m十2)十M为=0，…8分 即(1+m十2)(12+m+2)+12=0,所以(2+1)M2十1(m+2)(y+为)+(m+2)2=0, 则(2十1)，+m十23)十(0m十2y=0,……9分 整理，得5m2+16m+12=0,解得m=- 号(i=-2合去) 所以直线1的方程为x=少号，放直线L过定点(-号，0）， ……… 10分 (i)解：由(1)知m=一号则十为一+0257干④ 12t -64 直线1过定点(-号0），设为D,则AD=告… 11分 所以△AMN的面积为S△w=号|AD|·M-=号V+)-4M边= 825t+64 25(2+4) …12分 设a=/+,则≥8，所以Sm芳×。 8 264+4w36 …13分 25 由函数)=叶9在[8，十)上单调递增知叶2≥8十号=空，所以S%Mm≤ 8 2 8当且仅当“=8， 2 即t=0时等号成立，… 15分 故△AMN的面积的最大值为票 17分 19.I)证明：设AC交CD于点G,连接EG,在三棱台ABC-ABC中，AC∥AC,AC=号AC,又D为 AC的中点，所以A1C∥DC,A1C=DC,四边形A1CCD是平行四边形，G为AC的中点.…3分 又E为BC的中点，所以EG∥A1B,又EGC平面CDE,AB过平面CDE,所以AB∥平面CDE. ……………………5分 (2)解：(i)连接BD,因为CC1⊥平面ABC,且CCC平面AA1CC,所以平 面ABC⊥平面AAC1C, 因为AB=BC,D为CA的中点，所以BD⊥AC,又平面ABC∩平面 AA1CC=AC,BDC平面ABC,所以BD⊥平面AACC,所以BD⊥AC, 又BC⊥A1C,BC∩BD=B,BC,BDC平面BDC,所以AC⊥平面￥ BDC1,AC⊥DC,故四边形ACCD为菱形，CC=1,…8分 所以三楼台AB,G-ABC的体积为号×1×(++√5×) 7 12 10分 (i)如图所示建立平面直角坐标系，则C(0,0,1),A1(1,0,1),A(2,0,0),B(1,5,0),不妨设FA=入BA, 则F(2-入3入，0)，CF=(2-λ3入，-1)，… …12分 n·AA1=0, 一x十2=0， 设平面ABB1A的一个法向量为n=(x,y,),令 n.AB=0 得 -x+√5y=0, 令y=1,可得n=(W5,1,5),… 15分 设CF与平面ABB1A1所成角为0，则sin0=|cos(n,CF)|= 5 7X√(2-1)2+41 ，当且仅当= 时，等号成立， 所以CF与平面ABB,A所成角的正弦值的最大值为② 14 17分 【高二期中考试·数学参考答案第4页（共4页）】 26-T-203B20252026学年第一学期高二期中考试 学校 数 学 考生注意： 班 级 装 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0,5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0,5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 姓名 4,本卷命题范围：人教B版选择性必修第一册第一章一第二章第5节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 装 1.直线x=一2的倾斜角为 订 A.0 B受 c晋 D-受 线 2已知R,R是椭圆C若+若-1的左，右焦点，P是C上-点，若PR=6,则|P:- A.6 B.8 C.10 D.12 内： 3.若方程x2十y2一3x十y十t=0表示圆，则实数t的取值范围是 不 A(-3,+eo) B(-,-) c(停，+) D.(-∞，8) 要 4.两平行直线mx一3y一2=0与4x一6y-7=0之间的距离为 civs D.5I3 答线 A需 B晋 26 26 5.已知点P(1,一2,1)，Q(1,2,3),点P在平面a内，若平面a的法向量m=(1,0,1),则点Q到 题 平面a的距离为 A1 B.√2 C.3 D.2 6.已知椭圆C+号=1的左右焦点分别为R,R,点P为椭圆C上一点，若PR·PF, 7 =2,则cos∠FPF2= A号 B号 c是 D是 【高二期中考试·数学第1页（共4页）】 26-T-203B 7.已知正方体的棱长为2，点P是正方体外接球的球面上一点，M,N为正方体内切球的球面上 的两点，若MN=2,则PM.PN= A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知圆C:(x+6)2+(y-7)2=49和点A(0,一4)，B(0,2),若点M在圆C上，且|AM2+ |BM2=m2,则实数m的最小值是 A.2√149 B.6 C.-6 D.-2√149 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9若0产n十兰2=2为椭圆的方程，则m的值可以为 A.1 B.3 C.6 D.8 10.设m∈R,直线1的方程为(m-1)x十(m+1)y+2=0,则 A.直线l过定点(1,1) B,若直线1在x轴上的截距为一2，则1在y轴上的截距为一号 C.直线l与圆C:(x一1)2+y2=2相交 D.点P(一1,0)到直线1的最大距离为5 11.如图，多面体ABCD-EFH是各棱长均为1的平行六面体ABCD-EFGH截去三棱 锥G-CFH后剩下的几何体，若点P是三角形CHF的重心，∠EAB=∠EAD=∠DAB= 60°，A白=λAP,则下列说法正确的是 AAP=号 B.异面直线AP,CD所成角的余弦值为写 C.AP⊥BD D.若E,Q,B,D四点共面，则点Q是线段AP的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设向量a=(1,m,2),b=(2,一1,0)，若a⊥b,则m= 13.过点A(一1，一1)与圆C:(x一1)2十(y一3)2=4相切的直线方程为 14.已知点A是椭圆C:若+芳=1（®>b>0)的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B, 若AF=2FB,则C的离心率为 【高二期中考试·数学第2页（共4页）】 26-T-203B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知直线l:x-ay+2a一1=0及点A(-2,2). (1)若与l垂直的直线3x一my十2=0过点A,求m与a的值； (2)若点A与点B(1,一1)到直线1的距离相等，求l的斜截式方程。 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD,∠ADC=90°，AB=AD= PD=CD=1,CDLPA,M是PA的中点. (1)求证：平面PAB⊥平面MCD; (2)若PA=√2，求平面PBC与平面MCD夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分) 在平面直角坐标系xOy中，点E(一2,0)，F(1,0),动点P满足|PE=√2|PF|,记动点P 的轨迹为曲线了. (1)求Γ的方程； (2)过F的两条互相垂直的直线与曲线T分别相交于A,B两点和C,D两点，求四边形 ACBD面积的最大值， 【高二期中考试·数学第3页（共4页）】 26-T-203B 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C经过点A(一2,0)与点B(2,号) (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C交于异于A的M,N两点，且∠MAN=受. (1)证明：直线l过定点； (i)求△AMN的面积的最大值， 19.(本小题满分17分) 在三棱台ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC,AB=BC=AC=2A1B1=2,D,E分别为CA, CB的中点. (1)证明：A1B∥平面CDE； C (2)已知BC1⊥A1C,F为线段AB上的动点（包括端点）. (1)求三棱台A1B1C1-ABC的体积； (i)求CF与平面ABB1A1所成角的正弦值的最大值 【高二期中考试·数学第4.页（共4页）】 26-T-203B