专项训练卷(四) 数学文化与跨学科-【优+密卷】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四学制·新教材）

优密卷七年级上册数学·0 6.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱9.《九章算术》提供了许多勾股数如(3,4,5)，(5,12,13)等，其 专项训练卷（四） 善之”，围棋的棋子分为黑、白两色，如图所示记载，这是围 中一组勾股数中最大的数称为“弦数”，经研究，若m是大于 数学文化与跨学科 棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白 1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则m与这两个 棋②的坐标为（一3，一1），黑棋①的坐标为(1，一4)，则白棋 数组成勾股数：若m是大于2的偶数，把它除以2后再平 ④的坐标为( 方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则m 一、选择题 与这两个数组成勾股数，根据上面的规律，由12生成的勾股 1.勾股，为古代传统数学的一个分支，《九章算术》勾股章是中 国古代最早系统的勾股理论，下列图形是《九章算术》“注 数的“弦数”是 10.我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行 释”中的图形，其中是轴对称图形的是( 一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行二百步，善行 A.(-2,-3)B.(1,-4)C.(-2.-5)D.(-5,-2) 者追之，问几何步及之？”如图所示是善行者与不善行者行 7.某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y(单位：厘米) 走路程s(单位：步)关于善行者的行走时间t的函数图象， 与观察时间x(单位：天)的关系，并画出如图所示的图象 则两图象交点P的纵坐标是 2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古 (AC是线段，射线CD平行于x轴)，下列说法错误的 步 代著名的数学著作《周牌算经》中，下列各组数中，是“勾股 是( 数”的是() 厘米 A.6.8,10B.2,3,5C.4,5.6D.1,2,5 封 3.《九章算术》中指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”， 作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”，例 三、解答题 如面积为8的正方形的边长称为8“面”，关于29“面”的值说 A.AC所在直线的函数表达式为y= 0 5x+6 11.小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了 法正确的是() 进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用根细绳悬挂一 B.该植物最高为16厘米 A.是4和5之间的实数 B.是5和6之间的实数 个小球A,小球A可以自由摆动，如图所示，OA表示小球 C.从开始观察时起，60天后该植物停止长高 C.是6和7之间的实数 D.是7和8之间的实数 静止时的位置，当小丽用发声物体靠近小球时，小球从OA D,第40天该植物的高度为14厘米 4.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈， 摆到OB位置，此时过点B作BC⊥OA于点C(图中的A, 线 二、填空题 末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原 B,O,C在同一平面上)，测得AC=2cm,BC=8cm,求 8.我国明代数学家程大位在《算法统筹》中记载着一道关于荡 高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹 OB的长. 秋千的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人 根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度 齐，五尺人高曾记.仕女佳人争慰，终朝笑语欢嬉，良工高士 为() 素好奇，算出索长有几？”译文：如图所示，有一架秋千OA, A.4.55尺B.5.45尺C.4.2尺D.5.8尺 当它静止时，踏板高地1尺(AB=1尺)，将它往前（水平距 5.我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾 离)推送10尺(A'C=10尺)时，秋千的踏板就和人一样高， 股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商 这个人的身高为5尺(A'D=5尺)，秋千的绳索始终拉得很 高定理”.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( 直，试问绳索有多长？请你结合图计算绳索长 尺 33 12.如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,那么该如何计算13.阅读下列材料，解决相关任务： 14.高铁站侯候车厅的饮水机（如图①所示）有温水、开水两个按 它的面积呢？我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆 钮，如图②所示为其示意图.小明先接温水后再接开水，接 出了如下公式： 周率精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数 满700mL的水杯，期间不计热损失，利用图中信息解决下 s-w-可 形式的近似值：号（约*）和( 密率).同时期数学家何承 列问题： 2 (秦九韶公式 温水开水 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下 天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的 水流速度 。水流速度 公式： 算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值 20mle0司5ml% S=√p(p-a)(p-b)(p-c)(海伦公式)，其中 分别为。和（即有 <i< ,其中a,b,c,d为正整数， 出水品 2 p=atb+c 2 则十是工的更为精确的近似值， 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的 a+c 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接 热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降 57 求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请 例如：已知 50 文<号，则利用一次“调日法”后可得 低的温度=温水体积×温水升高的温度， 使用这两个公式解决下面的问题： 生活经验：饮水最佳温度是35~38℃（包括35℃与 (1)如果一个三角形的三边长依次为13，/14，√15，那么 的-个更为相确的近似分数为十号-罗由于罗 38℃)，这一温度最接近人体体温. 它的面积为 17922 3.1404<x,再由57<x< ,可以再次使用“调日法”得 (1)若先接温水26秒，求再接开水的时间。 (2)如图所示，在△ABC中，已知AB=13,BC=14, (2)设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为y℃. 到π的更为精确的近似分数， AC=15. 任务： ①若y=50,求x的值： ①△ABC的面积为 ②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的 ②作AD⊥BC于点D,求CD的长， 1)约率号是( 取值范固 A无理数B有限小数C整数一D有理数 (2)已知<巨<多，请使用两次“调日法”，求，2的近似 7 分数 38设P(2,0)(t>0), 故接开水的时为12秒， 13解：(1)相等，理由，因为点B是点B关于直线m的对 当△OPM为等腰三角形时，分三种情况： (2)①由题意知，温水体积20zmL,开水体积为(700 际点， 所以m+3引=23m-1,解得m=7或m=-1. ①0P-OM-5,则P(5,0): 20x)mL. 所以PB-PB 当m=7时，m+310,3m一1-20：当m-一1时，m十3 ②当OP-PM时.则(2r)-(2:一4)2+3 则20x(50-30)=(700-20x)(100-50) 因为AB-AP+PB', 2.3w一1=-4， 解得一瓷。 解得x=25. 所以AB'=AP+PB. 所以点P的坐标为(10,20)或(2，一4) ②由①得20x(y-30)=(700-20r)(100-y) (2)AN十BN>AP+PB.理由：如图所示，连接AN,BN,9,解：因为菜个“美丽点“到y轴的距离为2，所以x=士2.因 所以2-约。 化简，得y=一2x+100, B'N. 为x+y-xy,所以当x一2时，则y+2-2y,解得y一2， 因为35≤y≤38，所以31≤x≤32,5， 因为A日=AP+PB 所以点P的坐标为(2,2)：当x=一2时，则y一2-一2y, 所以P(o): 所以y关于x的函数关系式为y一一2x+100,达到最佳 所以AN+NB-AN+NB>AB, 水温时x的取值范围为31≤x≤32.5. 所以AN+NB>AP+PB. 解得y=子，所以点P的坐标为（一2.号） ③当OM=MP时，过点M作MN⊥x轴，如图所示，则 易错专项训练卷（一）】 ON-3,OP-20N-6, 综上所述，点P的坐标为(2,2)或(-2，号) 三角形中易错题常见类型 10.解：(1)因为A(-3,0).B(1,D),所以AB-4. 1.D2.A 因为SaAc一6，所以△AC边AB上的高为3，即点C的 3.解：(1)设第三边长为x 佩坐标1y|=3, 则4一2<x<2+4,即2<x<6, 易错专项训练卷（三）】 所以点C的坐标为(0,3)或(0，一3)， 所以第三边长为奇数规格有：3和5 (2)因为A(-3,0).B(1,0), 所以可以设计2种不同提格的三角形根架，三角形框架的 位置与坐标中易错题常见类型 所以AB-4,AO-3 所以P(6,0. 边长为2米，3米，4米或2米，5米，4米 1,B2.东经35，南韩20°3.HOPE或希塑 又∠AOD=90, 综上，x轴正半轴上存在一点P,使△OPM为等覆三角 (2)自表格可4米的铁条母米曹用量少 4,解：如图所示，四边形ABCD是梯形 所以OD=-3=√7，所以D(0,7)或(0，一√7). 形，此时P点坐标为5,0)或P(6,0)或（o) 因为铁条长度可以，但不能拼接 11.解：(1)由已知|a-2+(b-3)2=0,(e-4)2≤0得a- 所以应尽可能多电使用4米肤条，才度使赏最少。 2=0,b一3=0.c一4■0. 由(1)知两种三角形框架的边长分别为2米，3米，4米和2 解得a=2,b=3,c=4, 专项训练卷（四） 数学文化与跨学科 米，5米，4米，各做一个， (2)因为a=2,b=3,r=4, 所以可以购买4米的3根，3米和5米的各一根，费用最少 所以A(0,2),B(3,0),C(3,4) 1.D2.A3.B4.A5.C6.C7.C 最少费用为10×3十8十15=53（元）， 所以OA=2,OB=3. 8.14.59.3710.500 答，购买铁条共需53元， 11,解：设OB的长为xcm,则OA=xcm 4.B5.③6.B7.B8.C9.A 因为SAAm-2×2×3-3, 因为AC-2cm, 10.解：图为AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线 因为A(一2,1)，B(-2,-1),C(2,-2),D(2,3》 所以OC=(x一2)c可 所以AB=2,CD=5,梯形的高为4， 因为BC⊥OA,BC=8em, 所以S5A-5AAm十S阳-3十（一m)3一m 所以在Rt△OBC中，OB=BC+OC,脚x=8+(x 所以四边形ABCD的面积 z×2+5)×4=14 22, (3)存在.因为S△w=2X4X3=6, 5.（=2.2)成(8,2〕 解得x=17. 因为△ABC的面积为24，AE-3,BF为△ABE中AE边 6.解：如图所示，设点B(一2，m), 若Sg聚Ap=S△Ae=3一m=6,则m=一3， 容：OB的长为17cm 上的亮， 所以存在点P(-3,）,使5EAar-5Ac。 2.解：1)16 所以Sm-吉AE,BF-×3BF-×24 由题意得·m一4·2-4， 2 所以m=0或8， 易错专项训练卷（四） (2)0①84 解得BF=4.即BF的长为4. 11.B12.D13.C14.A15.D16.A 所以点B的坐标为（一2,0）或 ~次函数中易错题常见类型 ⑦根新想意，符S=号BC·AD, (-2,8). 易错专项训练卷（二） 1.C2.-42 7.解：(1)因为a,6满足√a-4十6一6-0， 3.解：(1)根器一次函数的定义，得2一m=1, 即×14AD-84, 轴对称中易错题常见类型 所以a-4=0,6-6=0, 解得m=士1. 解得AD-12. 1.C2.B3,B4.C5.C6.B7.D8.A9.D 又因为一1≠0，即≠1 10.D11.B 所以点B的华标是(4.6》 所以当m=一1，n为任意实数时，这个函数是一次函数 在R△ACD中，根据勾股定理，得CD=√AC一AD= 12.解：(1)如图所示，△ABC即为所求 (2)因为点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 (2)根据正比例两数的定义，得2一m=1,n+4=0, √15-12-9. O→A→B→C+O的线路移动， 解得川一土】，程■一. 13,解：(1)D 所以点P移动的路程为2×4=8. 又因为得一1≠0，即得≠1， 2)因为<<是， 因为0Am4.6, 所以当m=一1，n=一4时，这个函数是正比例函数. 所以当点P移动4秒时，在线段AB上，AP=8一4=4 4.解：(1)因为y随x的增大而增大， 所以首次利用“调日法”后得到√区的一个更为精确的近 即当点P移动4秒时，点P的坐标是(4,4) 所以1一2m>0, 分数为是-9 (3)由题意，得在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个 所以< 单位长度时，存在两种情况： 因为子<2<号，所以再次利用“调甘法”后得到厄的 (2)3 第一种情况，当点P在QC上时 所以当m<号时y随x的增大而增大. (3)连接C,如图所示，点P即为所求 点P移动的时问是[2×(4十6)一5]÷2=7.5（秒） 个更为精磨的运敏分数为带-品 (2)因为一次函数y(1一2m)x十m十1的图象经过第一， 第二种情况，当点P在BA上时 二，四象限， 点P移动的时间是(5+4)÷2=4.5（秒）. 所以，尼的近椒分数为号 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度 所以月一2m<0. m+1>0, 14.解：(1)设接开水的时间为秒 时，点P移动的时何是4.5秒或7,5秒。 8.解：因为点P(m十3,3m-1), 解得n>司， 根据题意，得20×26+15t=700, 解得t=12, 所以点P(m十3,3m一1)到y轴的距离为1m十3，到x轴的 距离为13别一11， 所以当m>之时，一次函数y一（1一2m)江十m十1的图象