19 专项突破三 利用轴对称解决最值问题-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学(鲁教版 五四学制2024)

专项突破三 利用轴对称解决最值问题 类型一 将军饮马 1.该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？下列给出了四个图形，你认为 符合要求的图形是 () B 中 D A B.C B A 2.如图，在等边三角形ABC中，E是AB上的点，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的点。若AD=6,则 PE+PB的最小值为 9 类型二三点共线 3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,EF垂直平分BC,P为直线EF上的任意一点，则AP+ BP的最小值是 A.5 B.4 C.3 D.7 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点N,交AB于点M,AB=10,△BMC的周长是 16。若点P在直线MN上，则PA-PB的最大值为 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,AB=5,D,E,F分别是边AB,BC,AC上的动点，则 △DEF的周长的最小值是 0 类型三双对称周长最小 养 6.如图，在四边形ACDB中，∠CAB=114°，M,N分别是BD,CD上的点，当△AMN的周长 最小时，∠MAN的度数为 )B6 A.66° B.48° C.57° D.90° 7.如图，P为∠AOB内一点，点M,N分别是射线OA,OB上一点，当△PMN的周长最小时，∠OPM= 50°，则∠A0B的度数是 () B A.55 B.50° C.40° D.45 类型四两定两动 8.如图，∠AOB=20°，M,N分别是边OA,OB上的定点，P,Q分别是边OB,OA上的动点，记∠MPQ=a, ∠PQW=B,当MP+PQ+QN最小时，B-a的值为 A.10° B.20° C.40° D.50° A E D 0 B4 N B 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，D,E是边AB上的两个定点，M,N分别是边AC,BC上的两个 动点。当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是 () A.45° B.90° C.75° D.135° 10.如图，在△ABC中，点E和点D分别在边AB和AC上，∠AED=∠ACB,ED=CD,连接BD,点F和点G 分别是线段BD和BC上的两个动点，AB=4,△ABC的面积是6，则FG+CF的最小值是 0 类型五两定一定长 11.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，点A,B到河岸CD的距离分别为AC,BD, 河 且AC=BD。若点A到河岸CD的中点的距离为500m。牧童从A处把牛牵到 A B 河边饮水后再回家，所走的最短路程为 A.500m B.1000m C.1500m D.2000m 12.如图，小虎住在甲村，小虎的姥姥住在乙村。星期天，小虎去看姥姥，他先去北山坡打一捆草，又去 南山坡砍一捆柴，然后给姥姥送去。问：小虎应怎样选择最短的路线？ 北山坡 乙村 甲村 南山坡 ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·37· 类型六两动一定 13.如图，在锐角三角形ABC中，AB=5,△ABC的面积为15，BD平分∠ABC。若M,N分别是BD,BC上 的动点，则CM+MW的最小值为 () A.3 B.4 C.5 D.6 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10,AD是∠BAC的平分线。若P,Q分别是 AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 A.2.4 B.4.8 C.4 D.5 15.如图，在△ABC中，BA=BC=10,BD是边AC的中线，E是边BD上的动点，F是边BC上的动点。若 CE+EF的最小值为9.6，则△ABC的面积为 () A.96 B.48 C.38 D.24 16.如图，钝角三角形ABC的面积为12，最长边AB为6，BD平分∠ABC,点M,N分别是BD,BC上的动 点，则CM+MN的最小值为 M 17.如图，∠M0N=a,a<30°，A为ON上一定点，C为ON上一动点，B,D为OM 上两动点，当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC= 0 类型七费马点 18.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：对于不在同一条直线上的三个点A,B,C,存 在一点P,使它到这三个点的距离之和最小，这个点后来被称为“费马点”。如图，△ABC三个内角 均小于120°，点P是△ABC内部一点，当PA+PB+PC取得最小值时，请分别求∠APB,∠APC, ∠CPB的度数。 ·38· ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 19.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫作△ABC的费马点。 E .A D 的 图1 图2 图3 (1)如图1，若点0是等边三角形ABC的费马点，且OA+OB+0C=18,则OA的长度为 (2)如图2，已知△ABC,分别以AB,AC为边向外作等边三角形ABD与等边三角形ACE,线段CD, BE交于点P,连接AP,请说明点P是△ABC的费马点； (3)如图3，有A,B,C三个村庄，能否在合适的位置建一个污水处理站Q,使得该处理站分别连接这 三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并说明该 位置满足设计要求。14.解：如图所示。 设∠B=∠C=∠BAD=B,∠CAD=∠CDA=aO 之0 同①，得LADC=∠BAD+∠B,所以a=2B。 340° 40°220 ∠40°680° 因为3B+a=180°，所以5B=180°。 图1 图2 所以B=36°，a=72°。 15.解：(1)能。如图甲，将60角分成40°和20°两个角；如 所以∠BAC=a+B=108°。 图乙，将105°角分成35°和70°两个角。 综上，等腰三角形纸片的顶角的度数共有四种情况，分 40°9 别为36°或180或90°或108。 35o 709 40 809 17.解：能围成，底边长为9cm或7cm。理由如下， 35° 40° 甲 当底边长为9cm时，腰长为(25-9)÷2=8(cm), (2)如图1，当三角形是直角三角形时，斜边的中线能 因为8+8>9，所以能围成底边长为9cm的等腰三 将三角形分成两个等腰三角形；如图2，当三角形中一 角形； 个角是另一个角的2倍时，一定能分成两个等腰三角 当腰长为9cm时，底边长为25-9-9=7(cm), 形；如图3，当三角形中有一个角是另一个角的3倍时， 因为7+9>9，所以能围成腰长为9cm的等腰三角形。 一定能分成两个等腰三角形。 18.解：(1)△APB是直角三角形。理由如下： 因为AB=AC,∠B=30°， 所以∠C=∠B=∠APQ=30°。 因为PQ∥CA,所以∠BPQ=∠C=30°。 2a Ja 所以∠APB=∠BPQ+∠APQ=30°+30°=60°。 图1 图2 图3 所以∠BAP=180°-∠B-∠APB=180°-30°-60°= 16.解：有四种情况， 90°。所以△APB是直角三角形。 (2)当AQ=PQ时，∠QAP=∠APQ=30°， 由三角形的内角和以及平角的定义， 得∠BQP=∠QAP+∠APQ=30°+30°=60°； 2a B Ka B7 D 当AP=PQ时，∠AQP=∠PAQ=2x(180-∠APQ)= 图1 图2 图3 图4 ①如图1，因为AB=AC,AD=BD=BC, 2×(180°-30)=75°， 设∠A=,则LABD=a。 所以∠BQP=180°-∠AQP=180°-75°=105°； 因为∠BDC+∠ADB=180°，由△ADB内角和，得 当AQ=AP时，∠AQP=∠APQ=30°， ∠ADB=180°-∠A-∠ABD。 因为点P不与点B,C重合，所以此种情况不存在。 所以∠BDC=2a。 综上，∠BQP=60°或105°。 所以∠ABC=∠C=∠BDC=2a。 19.解：因为等腰三角形ABC是“倍长三角形”， 因为∠BDC=2∠A,所以∠ABC=2∠A。 所以AB=2BC或BC=2AB。 因为∠A+∠ABC+∠C=180°， 若AB=2BC=6,则△ABC三边分别是6,6,3，符合题 所以5a=180°，a=36°。 意，所以腰AB的长为6； 所以∠A=36°； 若BC=2AB=3,则AB=1.5, ②如图2，AD=BD,BC=CD, 此时△ABC三边分别是1.5,1.5,3， 设∠A=B,则∠ABD=B。同①，得∠1=2B=∠2。 因为1.5+1.5=3，所以此时不能构成三角形。 因为∠ABC=∠C,所以∠C=∠2+B。 综上，腰AB的长是6。 所以∠C=3B。所以7B=180°。 20.小斗分析：(1)根据三角形的“双等腰线”定义即可解决问题； 所以B=10,即∠A19； 7； (2)分两种情况：①当AD=BD,BD=BC时；②当AD=BD,BC= ③如图3，AD=DB=DC,则∠BAC=90°； CD时。设顶角为x,列方程即可解决问题；(3)运用三角形的 ④如图4，AB=AC=CD,AD=BD, “双等腰线”定义和等腰三角形性质即可求得答案。 解：(1)①如图1，在AB上取一点D,连接CD,使CD=BC, 所以∠C=∠DAC=33°，∠EAD=180°-∠B-∠C- 所以∠CDB=∠B=70°。 ∠DAC=114°-y,∠ADB=66°。 因为∠A=35°，由三角形的内角和以及平角的定义， 因为BE=DE,所以∠B=∠BDE=y。 得∠ACD=70°-35°=35°。 所以∠AED=2y,∠ADE=∠ADB-∠BDE=66°-y。 所以∠ACD=∠A。所以AD=CD=BC。 因为AD和DE是△ABC的“三等腰线”， 所以△ADC和△BCD是等腰三角形； 所以△ADB或△ADE是等腰三角形。 当AD=AB时，∠B=∠ADB,则∠B=y=66°。 5 D54° 又因为BE=DE,所以∠EDB=∠B。 A∠35°0902B 54 D A27 27T9B 所以∠EDB=∠ADB。 此时点E与点A重合，与题意矛盾； 图1 图2 当AD=BD时，∠EAD=∠B, ②如图2，作AB的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB 则114°-y=y,解得∠B=y=57°； 于点E,连接BD, 当AB=BD时，∠EAD=∠ADB, 所以AD=BD。所以∠A=∠ABD=27°。 则114°-y=66°，解得∠B=y=48; 由三角形的内角和以及平角的定义，得∠CDB=54°。 当AD=DE时，∠EAD=∠AED, 因为∠ABC=81°， 则114°-y=2y,解得∠B=y=38°； 所以∠CBD=81°-27°=54°=∠BDC. 当AD=AE时，∠ADE=∠AED, 所以CD=BC。 则66°-y=2y,解得LB=y=22°； 所以△ADB和△BCD是等腰三角形。 当AE=DE时，∠EAD=∠ADE, (2)72或40° 【解析】根据题意，设∠A为顶角， 则114°-y=66°-y,无解。 综上，∠B的度数为57°或48°或38°或22°。 AB=AC,BD为“双等腰线”。 专项突破三利用轴对称解决最值问题 ①如图3，当AD=BD,BD=BC时， 1.D 设∠A=x,则∠ABD=x, 所以∠BDC=∠C=2x。所以LABC=∠C=2x。 2.6【解析】如图，由题意可知点B关 因为∠A+∠ABC+∠C=180°， 于直线AD的对称，点为C,连接CE,设 CE与直线AD的交点为P,则PB+PE 所以x+2x+2x=180°。 所以x=36°，2x=72°。所以∠C=72°； =CE,即当CE⊥AB时取得最小值。 因为△ABC是等边三角形， A 4 所以CE=AD=6。 3.B【解析】如图，连接CP, D x 因为EF垂直平分BC, 所以BP=CP。 图3 图4 所以AP+BP=AP+CP≥AC。 ②如图4，当AD=BD,BC=CD时， 所以当A,P,C三点共线时，AP+BPE 设∠A=x,则∠ABD=x, 的值最小。 所以∠BDC=∠CBD=2x。 因为AC=4,所以AP+BP的最小值为4。 所以∠ABC=∠C=3x。 4.6【解析】因为MN垂直平分AC, 因为∠A+∠ABC+∠C=180°， 所以MA=MC。 所以x+3x+3x=180°。 因为△BMC的周长是16，AB=10, 所以-180,3x-549。 7。所以LC=540° 所以BC=△BMC的周长-(MC+ 7。 MB)=16-(AM+MB)=16-AB= ,'M 筛上，底角庭载是72或50。 16-10=6。 ,点P在直线MN上，如图，连接PA, (3)设∠B=y, PC,PB 因为∠C=33°，AD=DC, ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·69· 因为点P在AC的垂直平分线MN上， 所以△P1OP2是等腰三角形。 所以PA=PC。所以PA-PB=PC-PB≤BC=6。 所以∠OP,N=∠OP,M=50°。 故PA-PB的最大值为6，此时点P是直线MN与直线 所以∠P10P2=180°-2×50°=80°。 BC的交点。 所以∠A0B=40°。 5.4.8【解析】如图，作点D关于直线AC的对称点M,作8.C【解析】如图，作，点M关于OB的对称点M',点V关 点D关于直线BC的对称点N,连接CM,CN,CD,EN, 于OA的对称点N',连接M'N'交OA于点Q,交OB于点 FM,DN,DM。 P,则MP+PQ+QN最小，过点Q作QF∥OB。 所以DF=FM,DE=EN,CD=CM,CD=CN。 所以∠OPM=∠OPM'=∠NPQ, N 所以CD=CM=CN。 D ∠OQP=∠AQN'=∠AQN。 因为∠MCA=∠DCA,∠BCN=∠BCD: 所以∠0PN=2(180°-a）= mMe 07 ∠ACD+∠BCD=90°， B 所以∠MCD+∠NCD=180°。 ∠FQP=∠FQM+∠MQP=∠AOB+∠MQP=20°+ 所以点M,C,N共线。 因为DF+DE+EF=FM+EN+EF,FM+EN+EF≥MN, (180°-B)。 所以180°-a=40°+(180°-B)。 所以当点M,F,E,N共线，且CD⊥AB时，DE+EF+FD 所以B-α=40°。 的值最小，最小值为MN=2CD。 9.B【解析】如图，作，点D关于BC的对称点D',作点E 因为CDLAR,所以AB.CD=2BC·AC。 关于AC的对称点E',连接D'E分别交AC,BC于，点M', 所以mCAc-号=24 N',连接ME',ND',EM',DW', 则ME=ME',ND=ND', 所以DE+EF+FD的最小值为4.8。 所以四边形DEMN的周长= 所以△DEF周长的最小值为4.8。 DE ME MN ND DE D 6.B【解析】如图，作，点A关于BD和CD的对称点A',A", ME'+MN+ND'≥DE+D'E'。 连接A'A",交BD于，点M,交CD于点N,此时△AMN的 因为DE长固定，所以，点M与B H:N'N 周长最小， 点M'重合，点N与点N'重合 -A 时，四边形DEMN的周长最小，此时∠DNM+∠EMN= ∠DN'M'+∠EM'N'。 因为∠DD'N'+∠D'DN'+∠DN'D'=180°，∠DW'M'+ ∠DN'D'=180°， 因为∠A'+∠A"+∠CAB=180°，∠CAB=114°， 所以∠DD'N'+∠D'DN'=∠DN'M'。 所以∠A+∠A”=66°。 又因为∠DD'N'=∠D'DN',所以∠DN'M'=2∠N'D'D。 因为∠A'=∠BAM,∠A"=∠CAN, 同理，∠EM'N'=2∠M'E'E。 且∠A'+∠BAM+∠A"+∠CAN+∠MAN=180°， 因为∠BDD'+∠D'DE'=180°， 所以66°×2+∠MAW=180°。 ∠N'D'D+∠M'E'E+∠D'DE'=180°， 所以∠MAN=48°。 所以∠BDD'=∠N'D'D+∠M'E'E。 7.C【解析】如图，作点P关于OA,OB的对称点P1,P2, 所以∠DW'M'+∠EM'N'=2∠N'D'D+2∠M'E'E= 连接PP2,则当M,V是P1P2与OA,OB的交点时， △PMW的周长最短，连接P1O,P2O, 2(180°-∠D'DE)。 因为点P,P关于OA对称，所以 设DD'与BC交于点H。 ∠P1OP=2∠MOP,OP1=OP,P,M 因为AB=AC,∠BAC=90°， =PM,∠OP1M=∠OPM=50°。 所以∠B=45°，∠BDH=90°-∠B=45°。 同理，∠P2OP=2∠NOP,OP=OP2.0 所以∠D'DE'=180°-45°=135°。 所以∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP= 所以∠DW'M'+∠EM'N'=2(180°-135)=90°，即当 2(∠MOP+∠NOP)=2∠AOB,OP,=OP2=OP。 四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小 是90°。 。70· ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 10.3【解析】如图，过点D作DN⊥AB,垂足为N,作 点M',过点M'作M'N'⊥BC于点N', DM LBC,垂足为M,过，点C作CK⊥AB,垂足为K, 因为BD平分∠ABC,ME⊥AB于点E,M'N'⊥BC于点N, 所以∠DNE=∠DMC=90°。 所以M'N'=M'E。所以CE= 因为∠NED=∠MCD,ED=CD, CM'+M'E=CM'+M'N'是CM 所以△DEN≌△DCM(AAS)。 +MW的最小值，此时点M与点 所以DN=DM。 M'重合，点N与，点N'重合。 H 因为DW⊥AB,DM⊥BC, 因为三角形ABC的面积为15， 所以BD平分∠ABC。 AB=5, 所以∠DBN=∠DBM。 所以3x5:CE=15。 在BA上取BH=BG,连接HF。 因为BF=BF,∠HBF=∠GBF, 所以CE=6,即CM+MW的最小值为6。 14.B【解析】如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M,交 所以△BHF≌△BGF(SAS)。所以FG=FH。 AD于点P,过点P作PQ⊥AC于点Q, 所以CF+FG=CF+FH。 因为AD是∠BAC的平分线， 因为S△Mc=2×AB×CK=6,所以CK=3。 所以PQ=PM,这时PC+PQ有 由垂线段最短可知CF+FH≥CK,即CF+FG≥3。 最小值，即CM的长度。 所以当C,F,H三，点共线，且CF⊥AB时，FG+CF最 因为AC=6,AB=10,∠ACB= 90°，BC=8, 小，最小值是3。 11.B【解析】如图，作，点A关于CD的对称，点A',连接A'B Sx=方4B.CM=方4C,BC, 与CD相交于点M,则牧童从A处把牛牵到河边饮水再 所以CM=ACBC=4.8,即PC+P0的最小值为4，.8。 回家，最短距离是A'B的长。 AB A'、 15.B【解析】如图，连接AE,AF, 、M 河 因为BA=BC=10,BD是边AC 的中线， A B 所以直线BD是等腰三角形 因为AC=BD,所以A'C=BD。 BAC的对称轴。 A 因为∠A'CM=∠BDM=90°，∠A'MC=∠BMD, 所以AE=CE。 所以△A'CM≌△BDM(AAS)。 所以CE+EF=AE+EF≥AF。 所以CM=DM,即M为CD的中点。 又因为F是边BC上的动点， 由于点A到河岸CD的中点的距离为500m, 所以当AF是边BC上的高时，CE+EF取最小值。 所以，点A'到，点M的距离为500m。 因为CE+EF的最小值为9.6，所以边BC上的高为9.6。 所以A'B=2A'M=1000m。 所以△ABC的面积=7×10x9.6=48。 12.解：如图，作甲村关于北山坡的对称点A,作乙村关于南 山坡的对称点B,连接AB分别交两个山坡于点C,D, 16.4【解析】如图，过，点C作CE⊥AB于点E,交BD于，点 所以甲村到点C的距离等于AC,乙村到点D的距离等 M,过点M作MN⊥BC于点N, 因为BD平分∠ABC,ME⊥ 于BD。 AB,MW⊥BC, E 从甲村到北山坡，再到南山坡，再到乙村的最短路线为 M 所以MN=ME。 甲村→C→D→乙村。 所以当C,M,E三点共线时，B 北山坡 N LLLLL CM+MW有最小值。 所以CE=CM+ME=CM+MN。 乙村 甲村 因为三角形ABC的面积为12，AB=6, 77 南山坡 所以2×6CB=12。 13.D【解析】如图，过点C作CE⊥AB于点E,交BD于 所以CE=4,即CM+MN的最小值为4。 17.6α【解析】如图，作 Q 点C关于OM的对称 点C',过点C作射线 D'A 、C 、B OP,则∠MOP=a,连 D 接CB,C'D,则C'B=O C CB,C'D=CD,作，点D 关于OP的对称点D',过点D'作射线OQ,则∠POQ= a,连接C'D',则C'D'=C'D=CD, 所以AB+BC+CD=AB+BC'+C'D'。 要使AB+BC+CD最小，需点A,B,C',D'在一条直线 上，且AD'⊥OQ, 因为a<30°，所以∠N0Q=3a<90°。 所以可以过点A作AD'⊥OQ,此时∠BCD=∠BC'D= 180°-(180°-∠D'0C'-∠C'0D)=2a=∠M0Q. 由平角性质及三角形内角和可知， ∠ABC=∠BCD+∠BC'D=4a。 所以当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC=2a+ 4a=6a。 18.解：如图，分别以AP,AC为边作等边三角形APD,等边 三角形ACE,连接DE, 当B,P,D,E四点在同一直线上 时，PA+PB+PC取得最小值。 因为△APD是等边三角形， 所以∠APD=∠ADP=60°。 因为B,P,D,E四点在同一直B 线上， 所以∠APB=180°-∠APD=120°， ∠ADE=180°-∠ADP=120°。 因为∠PAD=∠CAE=60°， 所以∠PAC=∠DAE。 在△APC与△ADE中， AP=AD,∠PAC=∠DAE,AC=AE, 所以△APC≌△ADE(SAS)。 所以∠APC=∠ADE=120°。 所以∠CPB=360°-∠APB-∠APC=120°。 所以∠APB=∠APC=∠CPB=120°。 19.解：(1)6【解析】如图1，延长A0交BC于点D。 因为△ABC是等边三角形， 所以AB=BC,∠ABC=60°。 所以∠AB0+∠CB0=60°。 因为，点O是等边三角形ABC的费马点， 所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°。 所以∠BA0+∠AB0=60°。 所以∠BAO=∠CBO。 所以△OAB≌△OBC(AAS)。 所以OA=OB=OC。 所以点O是三边垂直平分线的交点。 所以∠OBC=∠OCB,∠OBA=∠OAB。 所以L0BC=7LABC=30. 因为OA+0B+0C=18, 所以0A=0B=0C=6。 D 图1 图2 (2)如图2，作AM⊥CD于点M,AN⊥BE于点N,设AB 与CD交点为G。 因为△ABD与△ACE都是等边三角形， 所以AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠EAC=60°。 所以∠CAD=∠EAB。 所以△CAD≌△EAB(SAS)。 所以∠ADC=∠ABE,CD=BE,S△CD=S△EABO 又因为∠DGA+∠AGP=180°，∠AGP+∠PGB=180°， 所以∠DGA=∠BMP。 所以∠ADC+∠DAG=∠ABE+∠GPB。 所以∠GPB=∠DAG=60°。 所以∠BPC=∠DPE=120°，∠EPC=60°。 因为S△GD=2 之CD·M,SAm=2BE·AW, 所以时cD·AM=BE·AW。 所以AM=AN。 所以PA平分∠DPE。所以∠APD=∠APE=60°。 所以∠APB=∠APC=120°=∠BPC。 所以点P是△ABC的费马点。 (3)能，分别以AB,AC为边向外作等边三角形ABD与 等边三角形ACE,线段CD,BE交于一点，由(2)知该点 是△ABC的费马点，即为所要建的污水处理站Q的 位置。 如图3，设点Q是△ABC内一点，连接QA,QB,QC,并 在QB同侧作等边三角形ABD与等边三角形QBK,连 接DK。 D 、K Q 图3 因为△ABD与△QBK都是等边三角形， 设点P运动时间为ts。 所以BA=BD,BQ=BK=QK,∠ABD=LQBK=60°。 如图1，当PA⊥AC时， 所以∠KBD=∠QBA。 因为PA2=PD2+AD2=PC2-AC2, 所以△KBD≌△QBA(SAS)。 所以PD2+32=(PD+4)2-52。所以PD=2.25。 所以∠DKB=∠AQB,DK=AQ。 所以PB=4-2.25=1.75=0.25t。所以t=7; 所以QA+QB+QC=DK+KQ+QC≥DC。 如图2，当PA⊥AB时，同理可得PD=2.25。 当点D,K,Q,C共线时，QA+QB+QC=DC为最小值。 所以PB=4+2.25=6.25=0.25t。所以t=25。 又因为∠BKQ=∠BQK=60°， 综上，点P运动的时间为7s或25s。 所以这时∠DKB=∠AQB=120°，∠CQB=120°。 6.B【解析】由题意，得中间小正方形的边长为m-n, 同理可得，∠AQC=120°。 所以(m-n)2=5,即m2+n2-2mn=5。 所以点Q是△ABC的费马点， 因为(m+n)2=21,所以m2+n2+2mn=21。 即当点Q是△ABC的费马点时，QA+QB+QC的值最小。 所以(m-n)2+(m+n)2=2(m2+n2)=26。 专项突破四勾股定理及应用 所以大正方形的面积为m2+n2=13。 1.c 7.B【解析】如图，设阴影部分的直角三角形的未知边长 2.26【解析】根据题意， 为x, 得CD=BF-DE=8-6=2(cm）,AD=AB。 设钟摆AD的长为xcm,则AC的长为(x-2)cm, 因为BC⊥AD,BC=10cm, 所以AC2+BC2=AB2,即(x-2)2+102=x2, 解得x=26,即钟摆AD的长为26cm。 31【解折1因方B0-(0C,C ,AB=7, 则BC=x+b,AC=x+a,BA=a+b。 由勾股定理，得(x+b)2+(a+b)2=(x+a)2。 72-52 BC=6,4C=5,所以BD=6+ 6 =5 因为a=10,b=2, 所以CD=BC-BD=6-5=1。 所以(x+2)2+(10+2)2=(x+10)2,解得x=3。 4.解：(1)16+x2【解析】因为AD LBC, 所以AB=10+2=12,BC=3+2=5。 所以∠ADB=∠ADC=90°。 所以△ABC的面积为3×12x5=30。 因为BD=3,AB=5, 所以AD2=AB2-BD2=52-32=42。所以AD=4。 8.169【解析】在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42= 因为CD长为x,所以AC2=AD2+CD2=42+x2=16+x2。 25,在Rt△ACF中，FC2=AF2+AC2=122+25=169。 (2)因为BD=3,CD=x,所以BC=BD+CD=3+x。 所以正方形CDEF的面积=FC2=169。 因为∠BAC=90°， 9,114小斗分析：连接AC,先根据勾股定理求出AC的长，再根据 所以AC2=BC2-AB,AC2=16+x2,AB=5。 勾股定理逆定理求出△ACD为直角三角形，利用分割法求出绿 所以(3+)-52=16+，解得x=5。 地的面积即可。 【解析】如图，连接AC, 5.解：如图，作AD⊥BC,交BC于点D, ) 住宅 B街道C 图1 图2 因为△ABC是等腰三角形， 因为∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m, 所以AC2=AB2+BC2。所以AC=15m。 所以BD=CD=2BC=4cm。 因为CD=17m,AD=8m,152+82=172, 在Rt△ABD中，因为AD+BD2=AB2, 所以AC2+AD2=CD2。 所以AD2=AB2-BD2=52-42=9。所以AD=3cm。 所以△ACD为直角三角形，∠DAC=90°。 ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·71·