专项训练卷(三) 推理能力与模型型念-【优+密卷】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四学制·新教材）

优密卷七年级上册数学·0 B.a一b的结果必为有理数 A.①② 专项训练卷（三） C.a为无理数，b为有理数 B.①③ 推理能力与模型观念 D.a一b的结果可能为无理数 C.②③ 6.小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的 D.①②③ 部分数据如表： 10.对于一次函数y=一x十2，下列结论：①函数的图象不经 一、选择题 2 过第三象限：②函数的图象与x轴的交点坐标是(2,0)： 1.如图所示是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB= ③将函数的图象向下平移2个单位长度可以得到y=一x AC,点D,E分别是AB,AC的中点，DM,EM是连接弹簧 9 5 -2 -7 的图象：④若两点A(1,y1),B(一1，y2)在该函数图象上， 和伞骨的支架，且DM=EM,已知弹簧M在向上滑动的过 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误 则y1<y2.其中正确的结论有() 程中，总有△ADM≌△AEM,其判定依据是() 的函数值是() A.1个B.2个 C.3个 D.4个 A.ASA B.AAS C.SSS D.HL A.9 B.5 C.-2 D.-7 二、填空题 7.如图所示，用尺规过∠AOB的边OB上一点C(图①)作 11.在平面直角坐标系中，与点P(2,一3)关于原点对称的点 ∠DCB=∠AOB(图②).作图步骤如下： 的坐标是 ①作射线CQ: 12.已知a,n均为正整数，若n</10<n十1，n-1<√a<n, ②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OA, 则a的最大值为 第1题图 第2题图 OB于点N,M: 13.如图所示，O,A,B,C,D都为格点（方格纸中小正方形的 2.大观公园是国家4A级旅游景区，始建于明朝洪武元年（公元 ③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q: 顶点)，∠AOC的度数为a,∠BOC的度数为B,则∠AOD 1368年)，位于昆明市以西约2公里的滇池湖昨，完好保存着 ④以点C为圆心，OM的长为半径作孤，交OB于点P 的度数可以表示为 .(用含a,3的式子表示) 许多古典园林建筑群，既反映中国清代古建筑的风格，又具有 下列排序正确的是( 云南地方民族建筑的特色，是云南清代园林建筑的博览苑.如 14.一名考生步行前往考场，5分钟走了总路程的后，估计步行 0 图所示，建筑的顶端可看作等腰三角形ABC,AB=AC,D是 不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与 BC的中点.下列结论不一定正确的是() 时间关系如图所示，则他到达考场所花的时间比一直步行 A.∠B=∠C B.AD⊥BC 提前了 分钟 C.∠BAD=∠CAD D.AB=2AD A.①③②①B.①③①②C.②③①①D.②①③① 路程 线3.满足下列条件的△ABC(a,b,c为三边)，不是直角三角形 8.直线1，l2表示一条河的两岸，且1L2,若村庄P和村庄Q 的是() 在这条河的两岸，现要在这条河上建一座桥EF(桥EF与 A.∠B=50°，∠C=40° B.a=c-62 河的两岸1，l2垂直)，使得从村庄P经桥EF过河到村庄 57时间/分钟 C.a2=5,b2=12,c2=13 D.∠A￥∠B:∠C=1:2￥3 Q的路径PEFQ最短，即PE十EF十FQ最小.则下列图中 第13题图 第14题图 第15题图 4.在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点A(一1,2) 满足条件的是( 15.如图所示，已知在长方形纸片ABCD中，点E,F,G分别 和B(2,1),如图所示，则藏宝处点C的坐标应为( 为边AD,AB,CD上的动点，将三角形AEF沿EF翻折， 头 点A落在点A,处，将三角形DEG沿EG翻折，点D落在 点D1处.有以下四个结论： ..g..d ①若∠A,ED=2n°，则∠AEF=(90-n)°： 9.如图所示是一张钝角三角形纸片ABC,小明想通过折纸的 A.(1,-1)B.(1,0) C.(-1,1)D.(0,-1) ②若∠FEG=90°，则A1,D1,E三点一定在同一条直线上： 方式折出如下线段：①AC边上的中线BD:②∠B的平分线 ③若∠A1ED1=30°，则∠FEG=105°： 5.设实数a,b,若a十b的结果是有理数，则() BE:③AC边上的高BF,上述三条线段中能通过折纸折出 ④若∠FEG=m°，则∠A1ED1=(2m-180)° A.a为有理数，b为有理数 的是() 其中正确的结论有 .(填序号) 16.长方形纸片上有一数轴，剪下8个单位长度（从一2到6）的 19.在实数范围内定义运算“△”：a△b=ab-a十 2b,例如： 22.为了庆祝2026年的到来，小明准备去购买一些花束来和朋 一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某 友们跨年，她到达花店后发现有A,B两种优惠方案，方案 处剪一刀得到三条线段（如图所示），若这三条线段之比为 3△2=3×2-3+7×2=4 A为前4束花按原价购买，超过4束花时每束花打 1:1:2,则折痕处对应的点所表示的数可能是 a折：方案B为每束花都打b折.其中花束数量x(单位： (1)若a=1,b=-2,计算a△b的值. 束)和价格y(单位：元)之间的函数图象如图所示，请你根 (2)若-2△x=1,求x的值. 据图象回答下列问题： 折痕 剪断处 (3)若a一b=20,求a△b-b△a的值 (1)求出a,b的值以及方案A,B的函数表达式 三、解答题 (2)请你计算小明应该如何选择方案更省钱. 17.已知∠MON=40°，OE平分∠MON,点A,B,C分别是射 线OM,OE,ON上的动点(A,B,C不与点O重合)，连接 AC交射线OE于点D,设∠OAC=x. 20.《周眸算经》成书时间大约在两汉之间，小明在读《周眸算 经》时，看到了如下数表： 23.如图所示，直线y=kx十b(k≠0)与坐标轴分别交于A, n(n>1,n为正整数 (1)如图①所示，若ABON,则 B两点，OA=8,OB=6,点M(4,m)在直线AB上，动点 48 ①∠ABO的度数是 P从O点出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度 当∠BAD=∠ABD时，x= :当∠BAD= 14 4 运动. ∠BDA时，x= 10 17 26 50 (1)A点的坐标为 :B点的坐标为 (2)如图②所示，若AB⊥OM,则是否存在这样的x的值， (1)请你用含n的代数式写出：a (2)直线AB的函数表达式. 使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值：若 C= (3)设点P的运动时间为t秒(0≤1≤4)，△BPA的面积为S, 不存在，说明理由 (2)以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形？说明 求S与t之间的函数关系式，并求出当S=8时点P的坐标. 理由。 计密卷 (4)x轴正半轴上是否存在一点P,使△OPM为等腰三角 形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标；若不存 在，请说明理由 18.把△ABC放置在如图所示的网格图中，已知每个小正方形 的边长都为1. 21.在平面直角坐标系中，有一点P(2a-2,2a-12)】 (1)请在网格图中建立合适的平面直角坐标系，使点A,B 的坐标分别为(-3，一1)，（一1，一2）. (1)小明说“点P不可能位于第二象限”，请判断这种说法 (2)画出△ABC关于y轴的对称图形△A,B,C1,并写出点 是否正确，并说明理由。 C,的坐标 (2)若点P位于第四象限，且横、纵坐标都是整数，求满足 (3)已知点P是线段CC,上任意一点，用恰当的方式表示 条件的整数a的值。 点P的坐标 36所以∠ABE=∠DBE=号∠DBA, 因为点M,N分别是点P关于AO,BO的对称点， 当工>4时，设方案A的函数表达式yA=x十b(,b为霜 所以OM=OP,ON-OP,所以OM=ON, 所以-2红-（2+7=1， 数，且≠0)， 所以∠CBE∠ABC+∠ABE- 2(∠DAB+ 即△MON是等腰三角形. (2)△PEF的周长等于MN的长 -2红+2+之x-1. 将肇标(4,8D)和(5,94)分别代人ya-x+。 4k+h=80, ∠DBA)=45 理由：因为点M,N分别是点P关于AO,BO的对称点， (2)BH⊥EH,BH-EH 所以ME-PE,NF-PF, 2z-=-1, 理由：延长BA到点G,使AG=AE,连接EG,如图所示。 所以MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的 年得传二： 因为AB=AC, 所以AB+AG=AC+AE, 周长 所以ya-14x+24 所以BG-CE, (3)因为/AOB=30°， 因为BF=CE 所以∠MON=-2∠AOB=60', 棕上，方案A的系数表达式为一 所以△MON为等边三角形 (3)因为a△b=ab-a+2ba-b=20, 方案B每桌花的价格为64÷4一16（元）， 所以G=用F 在△EBG和△EBF中 所以MN=OM=N=OP=aam 所以方案B的函数表达式为yn=16x(x0) 因为由(2)知，当点E,F恰在MN上时，△PEF的周长最 所以a△b-b△e (BG-BF, (2)如图所示，设A,B两图象交于点C. ∠GBE-∠FBE, 小。比时，CAe=MN =b-a+号b-(ab-b+号a) BE-BE. 所以△PEF的周长的最小值为acm 所以△EEG≌△EBF(SAS), =h-a+2b-a6+b-2a 所以∠G-∠F 专项训练卷（三）推理能力与模型观念 因为AG=AE,所以∠G=∠AEG 所以∠DAB=∠G+∠AEG=2∠G, 1.C2.D3.C4.A5.D6.C7.D8.A9.D -ab-ab-a+b-za+7b 所以∠G-2∠DAB, 10.D11.(-2,3)12.813,a+314.20 -(a-)-za-b) B 15.①②③④16.1或2成3 所以∠G=∠C, 64- 17.解：(1)①20°②120.60 所以∠F=∠C (2)存在，理由如下：①当点D在线段OB上时 因为∠HEC-∠DEF, 3 所以∠BHE=∠C+∠HEC=∠F+∠DEF=90' 因为OE是∠MON的平分线， =-7×20 所以BHEH, 所以∠AOB=三∠MON=20 =-30. 因为∠HEB=∠HBE=A5 20.解：(1)m1-124为2+1 43 所以BH=EH, 因为AB⊥OM (2)以a,b,c为边的三角形是直角三角形，理由如下： 设C(m,),划 14m十24=n, 所以∠AOB+∠AB0=90° 因为a=m-1,b=2m,c=n十1， 16m=n: 所以∠ABO=70°， 所以a+b3=(2-1)+(2)=n'-2别+1+4为 若∠BAD=∠ABD=70,则x=20: 第释仁设 对+212+1=《n2+1》, 若∠BAD-∠BDA-是×a80-70)5期6， -（m+1)2, 所以C(12,192). 由图象可知，当0<x<12时，yA>y: 所以a*+b3=e2, 若∠ADB=∠ABD=70°，别∠BAD=180°-2×70°= 所以以a,b,c为边的三角形是直角三角形。 当x=12时，yA=yB1 40.所以x=50. 当x>12时，yA<y 21,解：(1)这种说法正确，理由如下： 4 22.解：y=-号x+8,当x=0时，y ×0+8=8,即点 ②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形 容：当0<x<12时，选择方案B更省钱：当x=12时，方 的内角和为180， 当点P位于第二象限时.仔-<0①. 案A和方案B费用相等：当x>12时，选择方案A更 B的坐标为(0,8)，所以OB=8. 所以只有∠BAD=∠BDA,此时x=125. 宿钱， 当y=0时，x一6，即点A的坐标为(6,0) 2a-12>0② 23.解：(1)(8,0)(0,6) 所以OA=6. 综上可知，存在这样的工的值，使得△ADB中有两个相等 由①得a3, 的角，x的值为20或35或50或125. (2)把A(8,0),B(0,6)代入y=k红十b(k≠0). 所以AB-AB'-OA+OB-10, 由②得a>6, 18.解：(1)建立平面直角坐标系如图所示， OB'-AB-OA-4,所以B'(-4,0) 所以原不等式组无解 (2)如图所示，△AB1C1即为所求 设OM=x,则B'M-BM-BO一MO-8-x. 所以点P不可能位于第二象限， 8+6-0.得=- 得66， b=6 在R△OB'M中，因为OM+OB=BM, r,1 (2)因为点P位于第四象限， 所以x2+4=(8一x),解得x=3,所以M(0,3). 所以4->0D 1 所以y=一3 x+6 设直线AM的函数表达式为y=kx十6， (3)由题意，得OP=2:, 将A(80),M0,3)代人 24-12<0②. 当0t≤4时，点P在线段OA上 得/6+6-0， 由①得a>3, 所以AP-8一2：， 由②得a<6, 得=一 所以3<a<6 所以△BPA的图积为S=OB·AP=×6×(8 因为a为整数， 2)=-6+24 6=3. 由图可得，点C,的坐标为(2,2). 所以a一4或5 当S=8时，得-6：十24=8， 因为点P的横，纵坐标都是整数 所以直线AM的函数表达式为y=一工十3 (3)点P的坐标为(m,2)(一2≤m≤2) 所以a=5. 解得一3， 23.解：(1)△MON是等腰三角形. 19.解：1)因为a△b=ab-a十2b,a-1,b=-2, 22.解：(1)每束花的原价为80÷4=20（元） 如图所示，连接OP 所以△B 所以OP-9所以P(停o）- 80+20×(5-4)×094 (4)x轴正半轴上存在一点P,使△OPM为等腰三角形. -1x-2》-1+号×(-20 解得a=7, =-2-1-1 20×4×品0=64 图为y一子x+6,把M4,m,代人得y=一子×4中 6=3 所以M(4,3), (2)因为a△b=ab-a+2b,-2△r=1, 解得b=8. 当0≤x≤4时，方案A的函数表达式yA=20r 所以OM=√3十4=5. 设P(2,0)(t>0), 故接开水的时为12秒， 13解：(1)相等，理由，因为点B是点B关于直线m的对 当△OPM为等腰三角形时，分三种情况： (2)①由题意知，温水体积20zmL,开水体积为(700 际点， 所以m+3引=23m-1,解得m=7或m=-1. ①0P-OM-5,则P(5,0): 20x)mL. 所以PB-PB 当m=7时，m+310,3m一1-20：当m-一1时，m十3 ②当OP-PM时.则(2r)-(2:一4)2+3 则20x(50-30)=(700-20x)(100-50) 因为AB-AP+PB', 2.3w一1=-4， 解得一瓷。 解得x=25. 所以AB'=AP+PB. 所以点P的坐标为(10,20)或(2，一4) ②由①得20x(y-30)=(700-20r)(100-y) (2)AN十BN>AP+PB.理由：如图所示，连接AN,BN,9,解：因为菜个“美丽点“到y轴的距离为2，所以x=士2.因 所以2-约。 化简，得y=一2x+100, B'N. 为x+y-xy,所以当x一2时，则y+2-2y,解得y一2， 因为35≤y≤38，所以31≤x≤32,5， 因为A日=AP+PB 所以点P的坐标为(2,2)：当x=一2时，则y一2-一2y, 所以P(o): 所以y关于x的函数关系式为y一一2x+100,达到最佳 所以AN+NB-AN+NB>AB, 水温时x的取值范围为31≤x≤32.5. 所以AN+NB>AP+PB. 解得y=子，所以点P的坐标为（一2.号） ③当OM=MP时，过点M作MN⊥x轴，如图所示，则 易错专项训练卷（一）】 ON-3,OP-20N-6, 综上所述，点P的坐标为(2,2)或(-2，号) 三角形中易错题常见类型 10.解：(1)因为A(-3,0).B(1,D),所以AB-4. 1.D2.A 因为SaAc一6，所以△AC边AB上的高为3，即点C的 3.解：(1)设第三边长为x 佩坐标1y|=3, 则4一2<x<2+4,即2<x<6, 易错专项训练卷（三）】 所以点C的坐标为(0,3)或(0，一3)， 所以第三边长为奇数规格有：3和5 (2)因为A(-3,0).B(1,0), 所以可以设计2种不同提格的三角形根架，三角形框架的 位置与坐标中易错题常见类型 所以AB-4,AO-3 所以P(6,0. 边长为2米，3米，4米或2米，5米，4米 1,B2.东经35，南韩20°3.HOPE或希塑 又∠AOD=90, 综上，x轴正半轴上存在一点P,使△OPM为等覆三角 (2)自表格可4米的铁条母米曹用量少 4,解：如图所示，四边形ABCD是梯形 所以OD=-3=√7，所以D(0,7)或(0，一√7). 形，此时P点坐标为5,0)或P(6,0)或（o) 因为铁条长度可以，但不能拼接 11.解：(1)由已知|a-2+(b-3)2=0,(e-4)2≤0得a- 所以应尽可能多电使用4米肤条，才度使赏最少。 2=0,b一3=0.c一4■0. 由(1)知两种三角形框架的边长分别为2米，3米，4米和2 解得a=2,b=3,c=4, 专项训练卷（四） 数学文化与跨学科 米，5米，4米，各做一个， (2)因为a=2,b=3,r=4, 所以可以购买4米的3根，3米和5米的各一根，费用最少 所以A(0,2),B(3,0),C(3,4) 1.D2.A3.B4.A5.C6.C7.C 最少费用为10×3十8十15=53（元）， 所以OA=2,OB=3. 8.14.59.3710.500 答，购买铁条共需53元， 11,解：设OB的长为xcm,则OA=xcm 4.B5.③6.B7.B8.C9.A 因为SAAm-2×2×3-3, 因为AC-2cm, 10.解：图为AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线 因为A(一2,1)，B(-2,-1),C(2,-2),D(2,3》 所以OC=(x一2)c可 所以AB=2,CD=5,梯形的高为4， 因为BC⊥OA,BC=8em, 所以S5A-5AAm十S阳-3十（一m)3一m 所以在Rt△OBC中，OB=BC+OC,脚x=8+(x 所以四边形ABCD的面积 z×2+5)×4=14 22, (3)存在.因为S△w=2X4X3=6, 5.（=2.2)成(8,2〕 解得x=17. 因为△ABC的面积为24，AE-3,BF为△ABE中AE边 6.解：如图所示，设点B(一2，m), 若Sg聚Ap=S△Ae=3一m=6,则m=一3， 容：OB的长为17cm 上的亮， 所以存在点P(-3,）,使5EAar-5Ac。 2.解：1)16 所以Sm-吉AE,BF-×3BF-×24 由题意得·m一4·2-4， 2 所以m=0或8， 易错专项训练卷（四） (2)0①84 解得BF=4.即BF的长为4. 11.B12.D13.C14.A15.D16.A 所以点B的坐标为（一2,0）或 ~次函数中易错题常见类型 ⑦根新想意，符S=号BC·AD, (-2,8). 易错专项训练卷（二） 1.C2.-42 7.解：(1)因为a,6满足√a-4十6一6-0， 3.解：(1)根器一次函数的定义，得2一m=1, 即×14AD-84, 轴对称中易错题常见类型 所以a-4=0,6-6=0, 解得m=士1. 解得AD-12. 1.C2.B3,B4.C5.C6.B7.D8.A9.D 又因为一1≠0，即≠1 10.D11.B 所以点B的华标是(4.6》 所以当m=一1，n为任意实数时，这个函数是一次函数 在R△ACD中，根据勾股定理，得CD=√AC一AD= 12.解：(1)如图所示，△ABC即为所求 (2)因为点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 (2)根据正比例两数的定义，得2一m=1,n+4=0, √15-12-9. O→A→B→C+O的线路移动， 解得川一土】，程■一. 13,解：(1)D 所以点P移动的路程为2×4=8. 又因为得一1≠0，即得≠1， 2)因为<<是， 因为0Am4.6, 所以当m=一1，n=一4时，这个函数是正比例函数. 所以当点P移动4秒时，在线段AB上，AP=8一4=4 4.解：(1)因为y随x的增大而增大， 所以首次利用“调日法”后得到√区的一个更为精确的近 即当点P移动4秒时，点P的坐标是(4,4) 所以1一2m>0, 分数为是-9 (3)由题意，得在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个 所以< 单位长度时，存在两种情况： 因为子<2<号，所以再次利用“调甘法”后得到厄的 (2)3 第一种情况，当点P在QC上时 所以当m<号时y随x的增大而增大. (3)连接C,如图所示，点P即为所求 点P移动的时问是[2×(4十6)一5]÷2=7.5（秒） 个更为精磨的运敏分数为带-品 (2)因为一次函数y(1一2m)x十m十1的图象经过第一， 第二种情况，当点P在BA上时 二，四象限， 点P移动的时间是(5+4)÷2=4.5（秒）. 所以，尼的近椒分数为号 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度 所以月一2m<0. m+1>0, 14.解：(1)设接开水的时间为秒 时，点P移动的时何是4.5秒或7,5秒。 8.解：因为点P(m十3,3m-1), 解得n>司， 根据题意，得20×26+15t=700, 解得t=12, 所以点P(m十3,3m一1)到y轴的距离为1m十3，到x轴的 距离为13别一11， 所以当m>之时，一次函数y一（1一2m)江十m十1的图象