第三章 勾股定理 素养提升检测卷-【优+密卷】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四学制·新教材）

优密卷七年级上册数学·O 为() A.36 B.9 C.6 D.18 第三章素养提升检测卷 6.已知△ABC中，AB=17cm,AC=10cm,BC边上的高 ) 中回时同：120分钟道满分：120分 AD=8cm,则边BC的长为( A.21cm B.9cm或21cm 第11题图 第12题图 题号 三 分 C.13 cm D.13cm或21cm 12.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AB=5, 帝 分 7.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作 点E为射线BC上一点，若△ABE是直角三角形，则 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有 半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希被克拉底月牙” △ABE的面积是 一个选项符合题目要求) 当AC=4,BC=2时，阴影部分的面积为() 13.如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=10,D是AC上 A.4 B.4 C.8x D.8 1.某直角三角形的一直角边长为8，另一直角边长与斜边长的 点，AD=15,BC+CD=AB十AD,则AC的长为 和为32，则斜边的长为( A.8 B.10 C.15 D.17 2.如图所示是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形， 其中阴影部分的面积是( ) 第？题图 第8题图 A.16 B.25 C.144 D.169 8.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC= 6cm,点D从点A出发以每秒1cm的速度向点C运动，当 第13题图 第14题图 点D运动到线段AB的垂直平分线与线段AC的交点处 14.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠D=90°，AD 时，运动时间是( ) 第2题图 第3题图 4,BC=3.分别以点A,C为圆心，大于2AC长为半径作 3.(南通中考)“赵类弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定 弧，两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点 理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中 9.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4, O.若点O是AC的中点，则以CD为斜边的等腰直角三角 间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条 点D在AB上，AD=AC,AF⊥CD于点E,交CB于点F, 则CF的长是() 形的腰长为 直角边长分别为m,n(m>n),若小正方形的面积为5， A.2.5 B.2 C.1.8 D.1.5 15.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3, 线 (m+n)2=21,则大正方形的面积为( 将△ABC扩充为等腰三角形ABD,使扩充的部分是以AC A.12 B.13 C.14 D.15 为直角边的直角三角形，则CD的长为 4.如图所示，△ABC是一张纸片，∠ACB=90°，AC=4,BC= 3,将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的 点E处，折痕为AD,则CE的长为() 第9题图 第10题图 10.(芜湖无为月考)如图所示，点A是射线BM外一点，连接 A.1 C.2 p. 3 AB,若AB=5cm,点A到BM的距离为3cm,动点P从 第15题图 第16题图 点B出发沿射线BM以2cm/s的速度运动.设运动的时 间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为( 16.如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD,因使用时 靠 A空 B.2 c2或9 D.2或智 间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面 第4题图 第5题图 直径 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 元m,已知AE+BF=20m,BC=10m,一只蚂蚁 5.如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且11.如图所示，BD为△ABC的中线，AB=10,AD=6,BD 从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 EF∥BC交AC于点M,若CM=3,则CE+CF2的值 8,△ABC的周长是 m的路程. -13 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证「20.（本小题满分10分）如图所示，等腰三角形ABC的底边 (1)如图②所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4, 明过程或演算步骤) BC为8cm,腰长为5cm,一动点P在底边上从点B向点 AC=5,BC=6,设BD=x,求x的值」 17.(本小题满分8分)如图所示，在△ABC中，AC=9,D为 C以0.25cm/s的速度移动，请你探究：当点P运动几秒 (2)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要 BC上一点，CD=12,AD=15,AB=41,求BD的长. 时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直？ 的数学思想，是 A.函数思想 B.整体思想 C.分类讨论思想 D.数形结合思想 (3)请借助图③，利用“双求法”验证勾股定理： 21.(本小题满分12分)如图所示，已知△ABC中，边AB,AC 18.(本小题满分8分)如图所示是某超市购物车的侧面简化示 的垂直平分线分别交BC于点E,F,AF=3,AE=4, 意图，测得支架AC=8dm,AB=6dm,两轮中心的距离 EF=5. BC=10dm,滚轮半径R=1dm (1)求边BC的长. 23.(本小题满分14分)如图所示，在△ABC中，AB=AC. (1)判断△ABC的形状，并说明理由. (2)分别求出∠EAF和∠BAC的度数， (1)若P是BC边上的中点，连接AP,试说明：BP·CP= (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD=13dm, AB-AP:. AE=5dm,且AE⊥DE,AE和BC都与地面平行，求购物 (2)若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若 车上篮子的左边缘D到地面的距离。 成立，请试说明：若不成立，请说明理由。 (3)若P是边BC延长线上一点，线段AB,AP,BP,CP 之间有什么样的数量关系？请试说明你的结论. 22.(本小题满分12分)请阅读下面文字并完成相关任务 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何 学的基石”，在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时 期的数学家赵爽.如图①所示是著名的赵爽弦图，由四个 全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是： 19.(本小题满分8分)如图所示，一块四边形花ABCD中 大正方形的面积有两种求法，一种是等于c,另一种是等 已知∠B=90°，AB=4m,BC=3m,CD=12m,AD= 于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到 13m. (1)求四边形花圃ABCD的面积. 等式c2=2ab×4+(6-a八，化简得a+62=六这里用 (2)求C到AD的距离， 两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我 们称之为“双求法”，请你用“双求法”解决下面问题： 4所以∠DAE=∠EAB=号∠BAD=号×60°=30. 因为△BCE2△ACD,所以CE=CD 在Rt△ABD中，因为AD=4cm,BD=3cm 在△CEM和△CDM中，因为CE=CD,∠ECM 所以AB=BD+AD=3+4*=5, 因为DF∥AB,所以∠F-∠EAB-30,所以∠DAE ∠DCM,CM=CM 所以AB=5c F=30”, 所以△CEM2△CDM(SAS), 所以蚂蚊和行的最短距离为5cm 所以AD-DF 所以EM=DM, 又因为蚂蚁爬行的速度为2©m/s,所以它从下居面的点A 周为∠B-90°-∠BAD-90°-60°-30°， 所以BE=AD=AM+DM=AM+EM, 处沿表面经过右侧面爬行至点B处，少需要用？= 所以AD-号AB=×9=45 即BE=AM+EM. 由∠FCE=30°可知，点F在等边△ABC的角平分线CN 2.50x} 23.解：(1)这组等角是∠BED=∠CDF,理由如下： 所以DF=4.5. 上运动，因为点A关于线段CN的对称点是点B, 在△BED中，∠BDE+∠B+∠BED=18O 22.解：小刚同学测量的结果正确，理由如下 20,解：如图所示，延长ED交C于点M, 所以FA+FM=FB+FMBM. 因为点D在边BC上 因为PA-14m,PB-13m,PC-5m,BC=12m, 当B,F,M三点共线且BM⊥AC时，FA十FM取得最 所以∠BDE+∠EDF+∠CDF=l80 所以AC=PA-PC=9m,PC2+BC2=5'+12=169, 延长A)交BC干点N 因为AB-AC,AD平分∠BAC PB3-13-169 因为∠B=∠EDF, 即转化为求等边△ABC的高 所以AN⊥BC,BN-CN, 所以PC+BC=PB, 所以∠BED一∠CDF 因为△ABC的面积是a, 因为∠EBC一∠E60, 所以△BCP是直角三角形，且∠BCP=0°， (2)客案不唯一，若添加条件：BE■CD. 所以BM·AC=a, 所以∠ACB-90 所以△BEM为等边三角形 在△BED和△CDF中， 所以AB=AC+BC=91+12=15, 因为BE=7cm,DE-2cm I∠B-∠C, 所以BM-a 所以AB=15m 所以BM-7cm,DM=7-2=5(cm)., BE-CD. 即FA十FM的最小值是a 23.解：(1)24不 因为△BEM为等边三角形，所以∠EMB=60 ∠BED-∠CDF, (2)由题可知，CD∥A0,∠A0B-90°，BC-AB-25米， 因为AN⊥BC,所以∠DNM=g0, 所以△BDE≌△CFD(ASA). 第三章基础达标检测卷 CD15米，OB=7米， 所以∠NDM=90°-60'=30°， (3)①因为△ABC是等边三角形， 所以∠AOB ∠CDB=0 2DM=2.5cm, 所以∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC 1.B2.B3.C4.C5.C6.C7.C8.B9.D10.B 所以BD=BC-CD=25-15=400. 所以NM= 因为△DEF是等边三角形， 11.直角12.24cm13.15厘米14.16.9 所以BD-20米，所以OD=OB+BD-7+20-27(米》， 所以BN-7-2.5-4,5(cm) 所以DE=EF,∠DEF=60, 15,10m16.15 所以这两面墙之同的距离为27米 所以BC-2BN-9cm 所以∠DEF=∠A, 17,解：设AB=x,则BC=x一1. 《3》A0=20米.AA=5米，BB=5米 2L.解：(1)在△A0和△CD0中，因为OA=OC,∠BOA 据(1)可知∠CEF=∠ADE 在Rt△ABC中，因为AB-AC+BC,即x5+ 所以AO=0A一AA'-15米， D0COBOD 方法 (x-1)2. 设OB-a米，则OB'-OB十BB'-(a十5)米 所以△ABO2△CDO(SAS》 在AC上截取CH=AE,连接FH,如图①所示， 解得x=13,即AB=13. 又因为A'B'=AB, 所以AB=C刀 因为BD=2AE, 所以BC=12. 所以0A+0B2=0A2+OB2,即202+a=15+(a (2)如图所示，延长OF,CE交于点G. 所以AE+CH=2AE=BD. 所以SaAC= 又因为AB=AC ·AC·BC=号×5×12=30 所以8=15， 所以AD■EH 18.架：因为E为AB的中点，CE⊥AB, 所以AB=20+a-203+15=625 所以AC=BC 所以AB一25米，所以梯子的长度是25米 在△ADE和△HEF中 AD-HE. 因为BC=3,所以AC=3. 又因为AD=5,CD-4,所以AC+CD-AD, 第三章素养提升检测卷 ∠ADE=∠HEF DE-EF, 所以∠ACD=90 19.解：因为在R1△ABC中，两直角边AC一6cm,BC- 1.D2.B3.B4.A5.A6.B7.A8.B9.D 所以AADE2AHE5(SAg) 因为∠CEF=140°，∠OFE=110°， 所以AE=FH,∠EHF=∠A=60 8 cm 10.D11.3212.6成013.18.7514.2 所以∠FEG=40',∠EFG-70°， 所以AB=AC2+BC=82+8-10, 所以FH=CH,日FHC=120°， 所以∠G-180°-40-70-70'， 所以AB=10cm. 所以∠FCE-30 15.3或2或216.26 所以∠EFG=∠G,所以EF=EG 由折叠的性质可知DC=DE,AC=AE=6cm,∠DEA 方法二 17.解：因为AC=9,CD=12,AD=15, 因为CE-11m,EF-10m,所以CG-CE+EG-CE十 /C=90". 过点F作FG∥BC,交BD于点G,交AC于点H,则 所以AC+CD=AD, EF=11+10=21(m) 所以BE=AB-AE=10-6=4(cm),∠DEB=90 ∠FHE=∠BCA=60,如图②所示， 所以△ADC是直角三角形，∠C-90 因为CG∥AB,所以∠A=∠C 设CD=xcm,则BD=(8-x)em,DE=xcm, 所以∠A=∠FHE 在Rt△ACB市， 在△AB0和△CGO中，因为∠A=∠C,OA=OC 在Rt△BDE中，由勾股定理得BE十DE=BD 在△ADE和△HEF中 因为AB2-AC十BC, ∠AOB=∠COG. 即42+x (8-x)2 ∠A= ∠FHE, 所以BC-AB-AC-41-9=402 解得x=3, 所以△ABO2△CGD(ASA) ∠ADE=∠HEF， 即CD=3 所以BC=40, 所以AB=CG=21m. DE=EF. 所以BD=BC-CD=40-12=28. 20.解：因为MN⊥AB,所以△AMN和△BMN都是直角三 22.解：(1)因为AC,BF是△ABD的高，所以∠BCE= 18.解：(1)△ABC是直角三角形，理由如下： 所以△ADE2AHEF(AAS) 角形， ∠ACD=∠AFE=90 购物车侧面简化示意图中，支架AC=8dm.AB=6dm: 同理可得△HEF≌△GFD, 所以AN2=AM-MN2,BN=BM-MN, 因为∠AEF=∠BEC,∠CAD+∠AEF=90°，∠EBC+ 周轮中的离BC=10dm ∠BEC=90, 所以FH=DG-AE,EH-DA. 所以AN-BN=AM*-BM 又因为8十62 10,即AC+AB2-BC, 所以AG=AH 在Rt△ACM中，因为∠C-g0 所以∠DAC=∠EBC 所以△ABC是直角三角形， 又因为AB-AC, 所以AM*-CM=AC (2AD=13 dmAF=5dmAE DE. 因为∠ACB=90',∠ABC=45 所以AB-AG=AC-AH, 因为AM是△ABC的中线 所以∠BAC=45',所以BC=AC 在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE=AD-AE 即CH=BG. 所以CM=BM 13-5=144,所以DE=12dm. 在△BCE和△ACD中，因为∠BCE=∠ACD,BC=AC 又因为BD-2AE 所以AN-BN'-AM-BM'=AM-CM=AC 如图所示，过点A作AG⊥BC于点G ∠EBC=∠DAC, 所以BD=2DG, 2L,解：展开前面右面，如图所示 所以△BCE≌△ACD(ASA) 所以DG=BG, 折以BE=AD 所以CH=DG=FH (2)因为CMAB 又因为∠FHE=60, 所以∠MCE=∠BAC=45 所以∠FHC=120°， 为∠ACD=0 所以∠FCE=30 所以∠MCD=45°=∠MCE. 团FA十FM的最小值是a,如图所示， 由(1)得，△ABC是直角三角形， 线PA与腰垂直. 2L.解：(1)B(2)C SA-2AB·AC-2BC·AG. 21.解：(1)因为点E在AB的垂直平分线上，所以BE=AE= 期中综合能力检测卷（一） (3)证明：如图所示，延长AD到点M,使AD=DM,连 4.同理可得C下-AF-3所以BC-CF+BE+EF-12 接BM 所以AG=AAC-85=4.8dm。 (2)因为AF-3,AE-4,EF-5, 1.C2.B3.B4.B5.B6.E 因为AD是△ABC中线， AB 所以AE+AF=EF2, 7.C8.C9.B10.B 所以D=BD 所以购物车上篮子的左边缘D到地面的距离为DE十 所以∠EAF一90°. 11.5412.4m13.3414.6515.1216.10 因为在△ADC和△MDB中， AG+R-12+4.8+1=17.8(dm). 所以∠AEF十∠AFE-9O. I7,解：∠BCD是直角.现由如下： DC=DB. 19,解：(1)连接AC,如图①所示. 因为AE=BE,所以∠B一∠BAE 如图所示，连接BD. ∠ADC=∠MDB,所以△ADC2△MDB(SAS), 因为∠B+∠BAE=∠AEF, DA-DM. 所以∠B=号∠ABE 所以BM=AC,∠CAD=∠M. 因为AE=EF, 同理可得∠C-号∠AFE, 所以∠CAD=∠AFE. 因为∠AFE一∠BFD 所以∠B+∠C=∠AEF+∠AFE)=S 所以∠BFD=∠CAD=∠M 所以BF=BM=AC, 因为∠B-90°，AB-4m,BC-3m, 所以∠BAC=180°-（∠B+∠C)=135. 即AC-BF 由图形可得，BC=42+22=20,CD2=22+12=5,BD2- 所以AC-AB+C-4+3-5 22.解：(1)因为AD是BC边上的高， 31+4-25. 所以ACm5m 所以ADB 因为BC*+CD2-25-BD. 因为CD-12m,AD-13m, 因为AB=4,AC=5,BC=6,BD=x, 所以∠BCD=90 所以AC+CD2-5+12-13-AD, 所以CD=BC-BD=6-x】 18解：小华的想法对，理由如下， 所以△ACD是直角三角形，且∠ACD-90°， 在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理，得AD 所以图边形花圆ABCD的面积=S△Ac十Sam 因为O是C下的中点，所以CO一F0, AB一BD=A2✉C月 在△COB和△FOE中，因为CO-FO.∠COB=∠FOE, 2AB·BC+zAC·CD=×4×3+X5X12 即-x2=5-(6-x) BO-EO. 36(m), 所以△COB≌△FOE(SAS), 所以四边形花ABCD的面积是36m. 所以BC-EF,∠BCO=∠F (2)D (2)过点C作CE⊥AD于点E,如图②所示. 所以AB∥DF,所以∠ACE和∠DEC互补 22.解：(1)如图所示，作AH⊥MN于点H,在R:△APH中， 3)证明，sm-a+6(a+b)-之+之+ab, 19.解：如图所示，连接CE, 因为∠HPA=30, 因为AE平分∠BAC,所以 形的面积又可表示为S=号山十+山 ∠BAE-∠CAE. 所以AH=AP=×160=80(m. 因为AB=AC,AE=AE, 因为80<100，所以拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶 tab, 所以△ABE≌AACE(SAS), 时学校会受到噪声影响， 所以0+号62+ab=+ 所以BE-CE,S△Ar-Sar (2》如图所示，以点A为圆心。 在Rt△ADB中， 100m为半径西弧交MN于点 B.C.AB=AC=100 m 因为Sm=ADCE=ACCD, 即a'+b2-e2, 因为AB=AC=10,BD=8 23.解：(1)因为AB-AC,P是C的中点， 所以AD-AB-BD-6' 因为AH⊥C,所以BH=CH 所以13CE=5×12, 所以AP⊥BC,BP=CP 所以AD=6, 在Rt△ABH中，BH-AB- AH=100-80=60,所以BH=60m,所以BC= 所以CE-智， 在Rt△ABP中，AB=AP+BP2,AB-AP=BP 所以CD=AC-AD=4, BP·CP 2BH-120m. 所以C到AD的距高是智 (2)成立.如图①所示，过点A作 6 因为抱拉机的迷度为18k/h一5m/s, AM⊥BC于点M 42 所以学校受爹响的时间为120÷5=24（秒） 23.解：(1)因为BA⊥AM,MN⊥AC, 20.解：如图所示，作AD⊥BC,交BC于点D 2CD·DE AB=AM+BM 所以BAM=/ANM=90° AP!-AM+MP 设SAADE-3动，则SCmr一2表 所以∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90 则AB一AP1=BM'一MP= 所以SaA脑=Sam=5k,Sae=8k=zAD·BD= 所以∠PAQ-∠AMN, (BM+MP)(BM-MP)=BP.CP. 因为PQLAB,MN⊥AC, (3)AP2一AB=BP·CP,如图②所 ×6×8-24，解得-3 所以∠PQA-∠ANM=90, 示，过点A作AN⊥C于点N, 在△PO4和△ANM由，因为PAO=/AfN,AO= 图为BC=8cm,所以BD=CD=BC=4em 所以△ABE的面积-5泰一15， AB=AN+BN, 20,解：(1)如图所示，点C为所找到的位置. MN,∠AQP=∠MNA,所以△PQA△ANM(ASA). 在R:△ABD中，AB-5cm,所以AD-3Cm AP-AN+NP 所以AP=AM, AP:-AB'-NP1-BN=(NP+BN)(NP-BN)- 所以△APM是等三角形 分两种情况：当点P运动：秒后有PA⊥AC时，如图① (2)由(1)知，△PQA2△ANM, 所示 BP·CP 所以AN=PQ,AM=AP 因为AP=PD+AD-PC-AC, 所以AP-AB=BP·CP 所以∠AMB-∠APM 所以PD+3=(PD+4)-5, 因为∠APM=∠BPC,∠BPC+∠PBC=90,∠AMB+ 所以PD-225cm, ∠ABM=90 所以BP=4-2.25-1.75-0.25t 所以∠ABM=∠PBC. 所以t7: (2)如图所示，点D为所找到的位置 因为PQ⊥AB,PC⊥BC,所以PQ=PC,所以PC=AN 当点P运动：秒后有PA⊥AB时，如图②所示.同理可证 得，PD-2.25cm, 期中综合能力检测卷（二） 所以BP=4十2.25=6.25=0,25t, 所以1=25 1.B2.A3.B4.B5.A6.B7.C8.C9.C 综上所述，当点P运动？s或25s时，P点与顶点A的连 10.A11.412.150413.70°14.615.2016.4