北京市第十四中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

北京十四中2025—2026学年度第一学期期中检测 数学测试卷 2025.11 注意事项 1.本试卷共三页，共23道小题，满分150分.考试时间120分钟. 2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.答题不得使用任何涂改工具. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 如图，在平行六面体中，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 直线过,的中点 B. 直线的斜率为 C. 直线的斜率为3 D. 直线的一个方向向量的坐标是 5. 直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设平面的法向量为，直线的方向向量为，那么“”是“直线与平面夹角为”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与直线相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. 8 C. D. 7 9. 是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，给出下列结论： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③； ④在平面内，若以点，为焦点的椭圆过点，则椭圆的离心率为定值. 其中所有正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共8小题，每小题5分，共40分. 11. 直线的倾斜角为________ 12. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________． 13. 若直线与直线平行，则______. 14. 已知长方体中，，，则平面与平面所成的角的余弦值为____________. 15. 如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，3个点，F是椭圆的一个焦点，则__________. 16. 已知，，点在坐标平面上，且、、三点共线，则点的坐标为______. 17. 给定一个点及两条直线和，则过点且与都相切的圆方程为______. 18. 已知曲线：，：，给出下列四个结论： ①曲线与且只1个公共点； ②曲线与中，有且只有一个是轴对称图形； ③曲线与中，有且只有一个关于原点成中心对称图形； ④设P为上一点（异于坐标原点O），过点P作直线，则l与有且只有1个公共点． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 19. 在棱长为2的正方体中，E，F分别为的中点．应用空间向量方法求解下列问题． （1）求的长； （2）证明：平面． 20. 已知圆C的圆心在y轴上，若直线与圆C相切于点. （1）求出圆C的标准方程； （2）过原点的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程. 21. 如图①，是梯形的高，，现将梯形沿折起成如图②的四棱锥，使得．点E是线段上一动点． （1）判断和是否可能垂直，并说明理由． （2）当时，求与平面所成角的正弦值． 22. 已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l椭圆C交于两点，且．问：x轴上是否存在点N使得直线，直线与y轴围成的三角形始终是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由． 23. 在空间直角坐标系O-xyz中，已知向量，经过点，且以为法向量的平面α的方程为． （1）求原点到平面的距离； （2）根据平面直角坐标系中点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并利用有关知识证明； （3）已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 北京十四中2025—2026学年度第一学期期中检测 数学测试卷 2025.11 注意事项 1.本试卷共三页，共23道小题，满分150分.考试时间120分钟. 2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.答题不得使用任何涂改工具. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共8小题，每小题5分，共40分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】15 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】或 【18题答案】 【答案】①④ 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【19题答案】 【答案】（1）； （2）证明见解析 【20题答案】 【答案】（1） （2）或 【21题答案】 【答案】（1）和不可能垂直，理由见解析. （2） 【22题答案】 【答案】（1） （2）存在， 【23题答案】 【答案】（1） （2），证明： 由点到直线的距离公式， 类比：点到平面的距离公式为， 证明如下： 不妨设，在平面内取一点， 则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为： （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $