精品解析：福建省宁德市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中九年级质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 第Ⅰ卷 一、选择题：每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂． 1. 下列方程中属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程进行判断即可． 【详解】解：A. ：∵ 含有两个未知数，∴ 不是一元方程， B. ：∵ 可化为 ，只含一个未知数且最高次数为2，∴ 是一元二次方程， C. ：∵ 最高次数为1，∴ 是一元一次方程， D. ：∵ 是分式方程，∴ 不是整式方程， 故选：B． 2. 如图，陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，闽南语称作“干乐”，是圆锥与圆柱的组合体，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义逐项判断即可得． 【详解】解：因为圆锥的主视图三角形，圆柱的主视图是长方形， 所以陀螺的主视图是， 故选：A． 3. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．通过移项和开平方求解方程． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C 4. 已知（，），下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴，，，故B，C，D选项正确，不符合题意；A选项错误，符合题意． 故选：A 5. 如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 甲和乙和丙 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例． 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【详解】解：三个矩形的角都是直角，丙、乙、甲相邻两边的比分别为：， ∴甲和丙相似， 故选：C． 6. 如图，在中，，点D是边的中点，，则的长是（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，点D是边的中点， ∴， 故选：B． 7. 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ） A. 点R B. 点P C. 点Q D. 点O 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】解：连接，交于点O， ∴点O是位似中心， 故选：D． 8. 小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（ ） A. 转动转盘后，出现比5小的数 B. 转动转盘后，出现奇数 C. 转动转盘后，出现能被5整除的数 D. 转动转盘后，出现3的倍数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【详解】解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为0.4，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为0.5，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为0.2，不符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有3种，故概率为0.3，符合题意． 9. 如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，关键是菱形的性质的应用； 连接，由菱形的性质可得，利用勾股定理求得，菱形的面积即可求得. 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：B ． 10. 如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地，长为，宽为，现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供学生赏花，且观花道的宽度相同，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的宽度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，不规则图形面积的计算等相关知识点．解题的关键点在于通过平移将不规则的空白部分转化为规则的长方形，以便利用长方形面积公式建立方程．将空白部分平移后得到新的矩形（空白部分），设步道宽度为，表示出新的矩形面积，计算即可得解． 【详解】解：设观花道的宽度为米． 根据长方形面积公式，可列出方程 解得，． ∵观花道的宽度不能超过油菜花田地的长和宽， ∴ 不符合实际情况，舍去． 故，即观花道的宽度是． 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一元二次方程的实数根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用因式分解法解答即可． 【详解】解：， ∴或， 解得：． 故答案为： 12. 皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲．表演时，用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐．皮影戏也称为影戏、灯影戏、土影戏等．则皮影形成的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影． 【详解】解：“皮影戏”中是用灯光向外散射形成的投影， ∴“皮影戏”中的皮影是中心投影． 故答案为：中心 ． 13. 如图，若，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵， ， 即， 解得：， 故答案为：4． 14. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高是，蜡烛与凸透镜的距离是，蜡烛的像与凸透镜的距离是，则像的高是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ， ， ． 故答案为：2． 15. 小明和小颖打算一起玩游戏，有两组牌，每组三张，牌面数字分别是2，3，4．将两组纸牌背面朝上，洗匀后从每组纸牌中各摸出一张．当摸出的两张纸牌的牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小颖获胜．则小明获胜的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的求法．采用列表法进行求解，找出所有可能的结果中两张牌的数字之和为偶数的情况，即可求解． 【详解】解：列表如下： 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 由表格知，总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．其中两张牌的数字之和为偶数的结果有5种， 因此小明获胜的概率为． 故答案为． 16. 如图，在正方形中，点E是的中点，F、G分别是、上的动点，且交于点H，连接和，则下列结论正确的是______． ①； ②； ③； ④当时，的最小值是． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质． 以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点I，连接，根据垂线的定义证明，根据正方形的性质得到，，根据平行线间的距离处处相等得到，可知，根据证明，进而得到，，故①、③正确；根据正方形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质得到，进而证明是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，由可知当A、G、N在一条直线上时最小，为，故④正确；假设成立，可得，与实际情况不符，故②错误． 【详解】解：如图，以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点I，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①、③正确； ∵正方形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，为，故④正确； 若，则， ∵， ∴F、G在、上同向运动， 当F、G在、上向上运动时，变大，变小， ∴不成立，故②错误； 则结论正确的是①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 可灵活选用配方法、公式法或因式分解法解方程即可． 【详解】解：因式分解，得， 于是，得或， ∴，． 18. 如图，在中，，将边沿平移至，连接，得到四边形． 求证：四边形是菱形． 【答案】 解：由平移可知， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，掌握知识点是解题的关键； 先证明四边形是平行四边形，再根据，得到四边形是菱形，即可解答． 【详解】略 19. 如图，一路灯距地面米，身高米的小方在距离灯的底部（点）米的处，请画出小方的影子，并求小方的影长． 【答案】 如图所示，为所要求的图形， 小方的影长为米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，然后证明，则，设，则，代入得，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∴， 解得， 经检验：是原方程的解， 答：小方的影长为米． 20. 今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了4张分别印有电影名字的卡片：A．《南京照相馆》、B．《东极岛》、C．《731》、D．《志愿军》．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率： （1）第一次抽取的卡片是D．《志愿军》的概率是___________； （2）求抽取的两次结果都不含有D．《志愿军》的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． （1）根据题意，可以直接写出第一次抽取的卡片是D．《志愿军》的概率； （2）根据题意可以列出相应的表格，然后即可计算出求抽取的两次结果都不含有D．《志愿军》的概率即可． 【小问1详解】 解：第一次抽取的卡片共有4种等可能性结果，其中是D．《志愿军》的情况有1种， ∴第一次抽取的卡片是D．《志愿军》的概率是； 【小问2详解】 小明 小红 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，抽取两次结果都不是志愿军的结果有6种， ∴P(抽取两次结果都不是志愿军)． 21. 阅读下列材料，并完成以下任务． 项目背景 九年级数学兴趣小组开展数学微项目研究，结合所学内容，他们对“矩形的判定与性质”产生了浓厚的兴趣 素材一 小组成员只用卷尺（带刻度）就可以确定桌面形状（如：四边形）是矩形； 素材二 经过小组讨论，他们还发现若将矩形的边向左延长至点E，使得，连接，可得出结论：． 解决问题 任务一 根据素材一完成以下填空： （1）首先，测量两组对边的长度分别相等，确定四边形是 ①，其次，测量 ②，确定四边形是矩形； （2）证明过程：在四边形中，∵，∴ ③ ，∴ ④，∴四边形是矩形． 任务二 请你证明素材二中小组发现的结论：． 【答案】任务一：①平行四边形；②对角线相等；③四边形ABCD是平行四边形；④AC=BD； 任务二：证明：方法一： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是垂直平分线， ∴， ∴， 方法二： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 任务一：（1）首先，测量两组对边的长度分别相等，确定四边形是平行四边形，其次，测量对角线相等，确定四边形是矩形，即可解答； （2）先证明，推导出四边形是平行四边形，得到，则四边形是矩形，即可解答． 任务二：方法一：先推导出，继而证明是垂直平分线，得到，则，即可解答； 方法二：先证明，推导出，得到，则，继而证明四边形是平行四边形，得到，即可解答． 【详解】解：任务一：（1）首先，测量两组对边的长度分别相等，确定四边形是平行四边形，其次，测量对角线相等，确定四边形是矩形； （2）证明过程：在四边形中， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形． 故答案为：①平行四边形，②对角线相等，③四边形是平行四边形，④． 任务二：略 22. 若某种头盔每个进价为元，调查发现，当售价是每个元时，平均月销售量是个，而当售价每上涨元时，平均每月少售出个，要想这种头盔的销售利润平均每月达到元，且尽可能让顾客得到实惠，每个头盔的定价应为多少元？ 【答案】每个头盔的定价应为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 设头盔售价的上涨了元，根据当售价每上涨元时，平均每月少售出个，可得销量为，由利润=（售价-进价）×销量，列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，再根据尽可能让顾客得到实惠，即可确定的值． 【详解】解：设头盔售价的上涨了元， 依题意得：， 解得，． ∵尽可能让顾客得到优惠， ∴． ∴． 答：该品牌头盔每个售价定为元． 23. 如图，等边三角形的边长为，是边上一点，且． （1）请利用尺规，在边上找一点，使沿折叠后，点的对应点恰好落在边上的点处（不写做法，保留作图痕迹）； （2）在（）的条件下，求的长． 【答案】（1） 如图，点为所要求作的点； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，等边三角形的性质，勾股定理，折叠性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作垂直平分线即可； （）连接，过点作交于点，由是等边三角形，所以，故有，则有，然后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，过点作交于点， ∵是等边三角形 ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴ 由折叠可知， 由勾股定理的， 在中由勾股定理的， ∴； 故的长为． 24. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若原方程的两个根是，，满足，求k的取值范围； （3）当k是整数时，是否存在整数k，使得原方程的根是有理数?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明： ， ， ， ∴无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2） （3）不存在整数k，使得原方程的根是有理数，理由如下： 设方程有有理数根 ∴设 即， ， ， ， 为整数，n也为整数 和同奇同偶， ∴或 ∴，或， 即 解得，与k为整数相矛盾， ∴不存在整数k，使得原方程的根是有理数． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握相关知识，灵活运用是解题的关键． (1)由根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； (2)根据韦达定理可得，，将变形为，再代入求解即可； (3)假设原方程的根是有理数，设则有，通过整理可得，由此可知和同奇同偶，于是有或，解得k的值判断是否与题意矛盾，由此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，是的根 ∴， ∵ 代入得 解得 ∴k的取值范围为； 【小问3详解】 略 25. 如图1，在矩形中，，E是边上一点且不与B，C重合，连接． （1）如图2，若，求的长； （2）如图3，过点E作，交边于点F，将沿折叠，点C的对应点G恰好落在边上，求证：； （3）在点E运动过程中，若，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）1或4 （2） 证明：连接，交于点H， 由折叠可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） ， 理由：延长，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质、矩形性质及平行四边形的判定，熟练掌握相关性质是解题关键， （1）先证明，设，则，根据相似三角形性质求出结论即可； （2）连接，交于点H，证明四边形是平行四边形，得出，进而证明，得出结论； （3）延长，在延长线上截取，连接，先证明，得出，再证明，进而得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴， 整理得， 解得， ∴的长为1或4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中九年级质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 第Ⅰ卷 一、选择题：每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂． 1. 下列方程中属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，闽南语称作“干乐”，是圆锥与圆柱的组合体，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 4. 已知（，），下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 甲和乙和丙 6. 如图，在中，，点D是边的中点，，则的长是（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 7. 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ） A. 点R B. 点P C. 点Q D. 点O 8. 小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（ ） A. 转动转盘后，出现比5小的数 B. 转动转盘后，出现奇数 C. 转动转盘后，出现能被5整除的数 D. 转动转盘后，出现3的倍数 9. 如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地，长为，宽为，现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供学生赏花，且观花道的宽度相同，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的宽度是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一元二次方程的实数根是_______． 12. 皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲．表演时，用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐．皮影戏也称为影戏、灯影戏、土影戏等．则皮影形成的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”） 13. 如图，若，，则_____． 14. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高是，蜡烛与凸透镜的距离是，蜡烛的像与凸透镜的距离是，则像的高是_______． 15. 小明和小颖打算一起玩游戏，有两组牌，每组三张，牌面数字分别是2，3，4．将两组纸牌背面朝上，洗匀后从每组纸牌中各摸出一张．当摸出的两张纸牌的牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小颖获胜．则小明获胜的概率是________． 16. 如图，在正方形中，点E是的中点，F、G分别是、上的动点，且交于点H，连接和，则下列结论正确的是______． ①； ②； ③； ④当时，的最小值是． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，将边沿平移至，连接，得到四边形． 求证：四边形是菱形． 19. 如图，一路灯距地面米，身高米的小方在距离灯的底部（点）米的处，请画出小方的影子，并求小方的影长． 20. 今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了4张分别印有电影名字的卡片：A．《南京照相馆》、B．《东极岛》、C．《731》、D．《志愿军》．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率： （1）第一次抽取的卡片是D．《志愿军》的概率是___________； （2）求抽取的两次结果都不含有D．《志愿军》的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由） 21. 阅读下列材料，并完成以下任务． 项目背景 九年级数学兴趣小组开展数学微项目研究，结合所学内容，他们对“矩形的判定与性质”产生了浓厚的兴趣 素材一 小组成员只用卷尺（带刻度）就可以确定桌面形状（如：四边形）是矩形； 素材二 经过小组讨论，他们还发现若将矩形的边向左延长至点E，使得，连接，可得出结论：． 解决问题 任务一 根据素材一完成以下填空： （1）首先，测量两组对边的长度分别相等，确定四边形是 ①，其次，测量 ②，确定四边形是矩形； （2）证明过程：在四边形中，∵，∴ ③ ，∴ ④，∴四边形是矩形． 任务二 请你证明素材二中小组发现的结论：． 22. 若某种头盔每个进价为元，调查发现，当售价是每个元时，平均月销售量是个，而当售价每上涨元时，平均每月少售出个，要想这种头盔的销售利润平均每月达到元，且尽可能让顾客得到实惠，每个头盔的定价应为多少元？ 23. 如图，等边三角形的边长为，是边上一点，且． （1）请利用尺规，在边上找一点，使沿折叠后，点的对应点恰好落在边上的点处（不写做法，保留作图痕迹）； （2）在（）的条件下，求的长． 24. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若原方程的两个根是，，满足，求k的取值范围； （3）当k是整数时，是否存在整数k，使得原方程的根是有理数?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图1，在矩形中，，E是边上一点且不与B，C重合，连接． （1）如图2，若，求的长； （2）如图3，过点E作，交边于点F，将沿折叠，点C的对应点G恰好落在边上，求证：； （3）在点E运动过程中，若，探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $