精品解析： 江西省临川第一中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

临川一中2025—2026学年上学期期中考试 初三年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 3，6，4，7 B. 5，6，7，8 C. 2，4，6，8 D. 4，2，10，5 2. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 3. 若菱形两条对角线和的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（　　） A. B. 4 C. D. 5 4. 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点，连接，，若，有下列结论： ①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知线段，C为线段的黄金分割点，则______． 8. 若，求代数式的值为_____． 9. 若是方程的一个根，则的值是______． 10. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球_____________个． 11. 如图，是的边的中点，是上一点，且，连接并延长，交于点，则的值为______． 12. 如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当时，的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 某校为进一步培养学生的实践创新能力，提高学生的科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，并演示了以下四个科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．校团委组织了实验原理讲述活动． （1）若小宇从中随机抽取一个实验讲述原理，则抽到“C．漂浮的硬币”的概率是_____； （2）若小辰和小雅两人各从四个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他们恰好抽到同一个实验的概率． 15. 如图是的正方形网格，的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作线段，点D，E分别在上且； （2）如图2，在的边上找一点F，使． 16. 如图，在边长为4的正方形中，点是边上的一点，作于，当时，求的长． 17. 如图，，且，试说明． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若的斜边边长，另两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k值及此三角形的面积． 19. （本小题满分8分）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG、AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N． 求证：（1）AE=CG； （2）AN•DN=CN•MN． 20. 为满足居民日常对于水果的需求，某超市经销一种优质水果，进货价为30元/箱． （1）当售价为40元/箱时，经过连续两次降价后这种水果的售价为元/箱，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）经市场调查发现，当这种水果的售价为38元/箱时，每天可售出400箱，在进货价不变的情况下，该超市决定采取适当的涨价措施，若每箱每涨价1元，每天的销售量将减少20箱，现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，那么每箱应涨价多少元？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． （1）如图（1），若． ①填空： ；（用含α的式子表示） ②求证：． （2）将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 22. 某公司推出了两款人工智能（简称：）聊天机器人．有关人员开展了、B两款聊天机器人的使用满意度评分测验（百分制），并从中各随机抽取了20份，对数据进行收集、整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）．下面给出了部分信息： 收集整理 抽取的对款聊天机器人的评分数据中满意的数据： 84，86，86，87，88，89． 抽取的对款聊天机器人的评分数据： 66，68，69，79，85，86，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 描述分析 抽取的对A款聊天机器人的评分扇形统计图 抽取的对两款聊天机器人的评分统计表 聊天机器人 平均数 中位数 众数 非常满意所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 98 请根据以上信息，回答下列问题； （1）上述图表中的值为___________，的值为___________，的值为___________． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人会更受用户喜爱？请判断并说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次测验中，有480人对A款聊天机器人进行评分，600人对B款聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的人数． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 如图1，正方形的顶点在直线上，点与点关于直线对称，直线与直线交于点，连接，，探究与的数量关系． 【特殊感知】（1）①如图2．当，时，_____，_____； ②如图3，当时，_____，_____； 【猜想论证】（2）猜想与的数量关系，并结合图1进行证明； 【拓展应用】（3）若正方形的边长为2，当时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临川一中2025—2026学年上学期期中考试 初三年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 3，6，4，7 B. 5，6，7，8 C. 2，4，6，8 D. 4，2，10，5 【答案】D 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：由， 可知这一组线段不成比例． 所以A不符合题意； 由， 可知这一组线段不成比例． 所以B不符合题意； 由， 可知这一组线段不成比例． 所以C不符合题意； 由， 可知这一组线段成比例． 所以D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了成比例线段的判断，理解定义是解题的关键．即如果四条线段a，b，c，d满足，那么这四条线段称为比例线段． 2. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 3. 若菱形两条对角线和的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（　　） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理．先求出方程的解，即可得出，根据菱形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：， 解得：， 即， 如图，对角线和交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 故选：A 4. 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可． 【详解】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加，由题意，得：； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 5. 如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明是等边三角形，是等腰直角三角形是解题的关键． 根据矩形的性质可得，再证明是等边三角形，可得，，然后得到是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6. 如图，在矩形中，，交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点，连接，，若，有下列结论： ①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质，可证，于是，；由已知条件可得，根据三线合一，得，于是，，得证四边形是菱形．故④正确；求证，于是，．故①正确．求证，可得．故③正确；连接，中，，所以．故②错误； 【详解】解：矩形中，, ∵, ∴. ∴. ∴. ∵,， ∴. ∴． ∴． ∴ ∴． 四边形中，，， ∴四边形是菱形．故④正确； ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，. ∴ ∴ ∴，．故①正确． 在与中， ，， ∴． ∴． ∴．故③正确； 如图，连接，中， ∴． ∴．故②错误；     故选：C 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质；熟练掌握相关判定方法是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知线段，C为线段的黄金分割点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．据此列式计算即可． 【详解】解：为线段的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 8. 若，求代数式的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确用k表示x、y．由，设，，再代入化简求值即可． 【详解】解：由，设，（）， ∴， 故答案为：． 9. 若是方程的一个根，则的值是______． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入方程中，得到关于的一元二次方程，然后解方程即可． 【详解】解：把代入方程中， 得：， 解得：，， 所以的值为1或， 故答案为：1或． 10. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球_____________个． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据摸到红球的频率稳定于，可估计摸到红球的概率约为，再设袋中红球个数为，根据概率公式列出关于的方程，解之得出答案． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于 ∴可估计摸到红球的概率约为 设袋中红球个数为， 依据概率公式得： 解得 所以可估计袋中约有3个红球 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 11. 如图，是的边的中点，是上一点，且，连接并延长，交于点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理．过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 是的边的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当时，的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】进行分类讨论：当点在上方时，，易得点在上，，通过证明是等边三角形，即可求解；当点在下方时，延长交于点，此时，通过证明是等边三角形，即可求解；当时，先证明为等边三角形，得出为中点，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 当点在上方时，，如图， ，， 点在上，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ， 是等边三角形， ； 当点在下方时，延长交于点，如图，此时， ，， ， 在中，， ， 是等边三角形， ； 当， 是等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， 为中点， ， 根据勾股定理可得：， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：， 整理得， 开方得， 解得，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 14. 某校为进一步培养学生的实践创新能力，提高学生的科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，并演示了以下四个科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．校团委组织了实验原理讲述活动． （1）若小宇从中随机抽取一个实验讲述原理，则抽到“C．漂浮的硬币”的概率是_____； （2）若小辰和小雅两人各从四个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他们恰好抽到同一个实验的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的基本计算以及古典概型中的组合问题．第一问是简单的等可能事件概率计算，直接应用概率定义即可．第二问涉及两个独立个体从四个实验中各选一个的情况，需考虑所有可能的结果数，并找出满足“两人所选实验相同”的结果数，进而求出概率．可通过列表法或树状图法列出所有可能情况，再进行概率计算． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 （2）根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们恰好抽到同一个实验的结果有4种， 他们恰好抽到同一个实验的概率是 15. 如图是的正方形网格，的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作线段，点D，E分别在上且； （2）如图2，在的边上找一点F，使． 【答案】（1） 线段即为所求． （2） 点F即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质“对角线相互平分”，结合三角形中位线定理，分别取的中点E，D，连接即可． （2）取的中点D，连接，取的中点E，连接并延长，交于点F，则点F即为所求． 本题考查作图—应用与设计作图、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 解：如图所示，根据矩形的性质，分别取到的中点E，D，连接，则线段即为所求． 【小问2详解】 解：如图2，取的中点D，连接，取的中点E，连接并延长，交于点F， 此时，则， ∴， ∴，即， 则点F即为所求． 16. 如图，在边长为4的正方形中，点是边上的一点，作于，当时，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，含30度角直角三角形的性质及勾股定理等知识．连接交于点P，则，，由已知得，则可求得，从而由即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点P， ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 17. 如图，，且，试说明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．先证明得到，从而可证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∵． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若的斜边边长，另两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k值及此三角形的面积． 【答案】（1） （2）的值为4，三角形的面积为6． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，以及直角三角形的勾股定理和面积计算，解题的关键是掌握“方程有两个不相等实数根则判别式”的条件，熟练运用韦达定理表示根与系数的关系，并结合勾股定理将边长关系转化为方程系数的关系，同时注意边长为正数的隐含条件． （1）根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，确定方程中、、，代入判别式公式，解不等式求出的取值范围； （2）先由根与系数的关系得、，再根据直角三角形勾股定理，将变形为，代入计算值；验证是否满足方程有实根的条件，最后用计算三角形面积． 【小问1详解】 解：对于一元二次方程，其中，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴． 代入得， 即， 化简得， 解得． 【小问2详解】 解：∵、是方程的两个根，由根与系数的关系得，， ∵中，斜边， ∴由勾股定理得 又∵，代入得， 即， 化简得， 解得． 验证：当时，，方程有两个实根，符合题意． 此时，三角形面积． ∴的值为4，三角形的面积为6． 19. （本小题满分8分）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG、AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N． 求证：（1）AE=CG； （2）AN•DN=CN•MN． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件结合正方形的性质利用SAS证明△ADE≌△CDG即可得出结论； （2）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明△AMN∽△CDN，然后根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明（1）∵四边形ABCD、DEFG都是正方形， ∴AD=CD， DE=DG， ∠ADC=∠EDG=90°， ∴∠ADC+∠ADG=∠EDG+∠ADG， 即∠ADE=∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE=CG； （2）∵△ADE≌△CDG， ∴∠DAE=∠DCG， ∵∠ANM=∠CND， ∴△AMN∽△CDN， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 20. 为满足居民日常对于水果的需求，某超市经销一种优质水果，进货价为30元/箱． （1）当售价为40元/箱时，经过连续两次降价后这种水果的售价为元/箱，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）经市场调查发现，当这种水果的售价为38元/箱时，每天可售出400箱，在进货价不变的情况下，该超市决定采取适当的涨价措施，若每箱每涨价1元，每天的销售量将减少20箱，现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，那么每箱应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）元或元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为m，根据经过两次降价后的价格=原价每次下降的百分率，列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值； （2）设每箱应涨价y元，则每箱盈利元，每天可售出箱，根据现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，列出关于y的一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为m， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每箱应涨价y元，则每箱盈利元，每天可售出箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：每箱应涨价4元或8元． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． （1）如图（1），若． ①填空： ；（用含α的式子表示） ②求证：． （2）将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①；②见解析 （2）成立，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解答本题的关键． （1）①根据题意得，得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出，得到，再根据外角的性质可得结论； ②连接，证明是等腰直角三角形即可； （2）过点D作于点H．证明、是等腰直角三角形，得到，再证明即可得到结论． 【小问1详解】 解：①∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，且， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； ②如图，连接． ∵，点O是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴． 【小问2详解】 解：成立 证明：如图，过点D作于点H． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴=， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 又， ∴， 又， 又， ∴， ∴，即（1）②中结论仍然成立 22. 某公司推出了两款人工智能（简称：）聊天机器人．有关人员开展了、B两款聊天机器人的使用满意度评分测验（百分制），并从中各随机抽取了20份，对数据进行收集、整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）．下面给出了部分信息： 收集整理 抽取的对款聊天机器人的评分数据中满意的数据： 84，86，86，87，88，89． 抽取的对款聊天机器人的评分数据： 66，68，69，79，85，86，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 描述分析 抽取的对A款聊天机器人的评分扇形统计图 抽取的对两款聊天机器人的评分统计表 聊天机器人 平均数 中位数 众数 非常满意所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 98 请根据以上信息，回答下列问题； （1）上述图表中的值为___________，的值为___________，的值为___________． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人会更受用户喜爱？请判断并说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次测验中，有480人对A款聊天机器人进行评分，600人对B款聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的人数． 【答案】（1）15，162，88.5 （2） 解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数为88.5分比B款的中位数87分高， A款聊天机器人更受用户喜爱． （3）138 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键 （1）先根据A款“满意”的人数求出“满意”所占百分比，用1减去其它三个所占百分比可得a值，根据各等级所占百分比判断中位数中“满意”组中，根据中位数的定义即可求出c值，由乘以“非常满意”占比，即可得出b值； （2）根据平均数相同，中位数大的更受用户喜爱解答即可； （3）先求出B款中“不满意”所占百分比，再用各款总人数乘以各款“不满意”所占百分比，求和即可得答案； 【小问1详解】 解：∵A款机器人的评分数据中“满意”的有6人， “满意”所占百分比为， “非常满意”所占百分比为，“不满意”所占百分比为， “比较满意”所占百分比为， ， ∴“非常满意”所占圆心角为：， ∴； “不满意”所占百分比为，“比较满意”所占百分比为， “不满意”与“比较满意”共有人， “满意”的有6人， 中位数在“满意”这组数据中， 第10和第11个数据为88、89， 中位数为， ， 故答案为：15，162，88.5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有人． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 如图1，正方形的顶点在直线上，点与点关于直线对称，直线与直线交于点，连接，，探究与的数量关系． 【特殊感知】（1）①如图2．当，时，_____，_____； ②如图3，当时，_____，_____； 【猜想论证】（2）猜想与的数量关系，并结合图1进行证明； 【拓展应用】（3）若正方形的边长为2，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①2，；②，； （2）解：，证明如下： 连接，，， 设． ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或． 【解析】 【分析】（1）①连接，，，根据轴对称的性质得出，，，，由正方形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，再得出，由邻补角的定义得出，进而可得出； ②同①解法得出，，进而得出，再根据角的和差关系得出，再证明，由相似三角形的性质进一步求解即可； （2）同（1）②求解过程一致； （3）分两种情况，①当点在线段上时和②当点在线段的延长线上时，利用正方形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①连接，，， ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ， ∴； ②连接，，， 设． ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）略 (3)①当点在线段上时，连接，如下图：． ∵， ∴． 又， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴； ②当点在线段的延长线上时，连接， 设， ∵， ∴． 又， ∴， ∵， ∴． 又，即， 由， ∴ 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质的，勾股定理等知识，正确连接辅助线以及掌握正方形的性质和轴对称的性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $