福建省莆田锦江中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年莆田锦江中学高二上数学期中考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 2．直线，直线，若，则两直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列的前项和，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知是公比不为1的等比数列，，若成等差数列，则（ ） A． B． C．4052 D． 6．已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．生活中有各种不同的进制，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制．任何进制数均可转换为十进制数，例如八进制数转换为十进制数的算法为．若将三进制数转换为十进制数，则转换后的数是（   ） A．856 B．527 C．728 D．242 8．过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．数列有最小项 C．数列为递减数列 D． 10．下列命题正确的是（    ） A．直线在轴和轴上的截距相等，则直线的斜率为 B．直线过定点 C．若，是方程的两个实根，则点在圆外 D．若方程表示圆，则正数的取值范围是 11．已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，成等比数列，则 C．若，，数列中最小的项为 D．若，，则 三、填空题 12．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 13．已知等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为 ． 14．已知点，若直线上存在点M，使则实数k的取值范围是 . 四、解答题 15．（1）的三个顶点是，求边上的中线所在直线的方程； （2）的三个顶点是，，，求边上的高所在直线的方程； （3）求经过点，且平行于过和两点的直线的直线方程． 16．已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 18．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 19．已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年11月3日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C A D C C ACD BD 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】先分别找出两圆的圆心坐标和半径，再计算圆心距，最后根据比较结果得出两圆位置关系. 【详解】对于圆：方程为，其圆心，半径. 对于圆：方程为，其圆心，半径. 根据两点间距离公式，则圆心距. 两圆半径之和. 因为圆心距，恰好等于两圆半径之和. 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：B. 2．B 【分析】根据两直线的位置关系，求得，得到与的直线方程，结合两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】直线和，， 由，即，解得或， 当时，直线即，和， 此时与的距离为； 当时，和，此时与重合，不符合题意，舍去. 综上可得，当时，两平行线间的距离为. 故选：B. 3．A 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 又因为直线过点，所以所求直线方程为，即. 故选：A. 4．C 【分析】根据与之间的关系建立等式即可求解. 【详解】由可得：， 则，解得：. 故选：C. 5．A 【分析】由等差中项的性质结合等比数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为成等差数列，所以， 即，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 6．D 【分析】由点在圆外及方程表示圆，列出不等式求解. 【详解】由点在圆外，则，得． 又表示圆，得，得． 综上：，即实数的取值范围为． 故选：D 7．C 【分析】利用进位制的转化结合等比数列的求和公式求得结果即可. 【详解】由题意可得将三进制数转换为十进制数， 则转换后的数为. 故选：C． 8．C 【分析】根据直线方程和曲线方程，判断面积最大时的情况，进而列出直线满足的条件，列出方程，求出参数即可. 【详解】由，则，，即， 所以曲线，是以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，如图.    可知，因为， 则当面积取最大值时，，即， 半圆的圆心为，半径，此时， 所以圆心到直线的距离为. 设直线的斜率为，则直线的方程为，， 圆心到直线的距离， 解得，因为，所以. 故选：C. 9．ACD 【分析】由题意可求出等比数列的首项和公比，即可求出其通项公式以及前n项和公式，分别判断各选项，即可求得答案. 【详解】设正项等比数列公比为， 对于A，由题意得， 结合，解得或（舍去），故A正确； 对于B和C，，故数列为递减数列，无最小项，故B错误，C正确； 对于D，，则，故D正确， 故选：ACD． 10．BD 【分析】对于A，验证直线满足条件，但斜率不为，即可判断，对于B，将直线方程化为，求直线与直线的交点，由此确定直线所过的定点，判断B，对于C，由根与系数关系可得，，结合关系证明，由此判断C，对于D，结合圆的方程的特征列不等式求正数的范围，判断D. 【详解】对于A，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以直线在轴和轴上的截距相等，但直线的斜率为，A错误， 对于B，方程可化为， 由可得， 所以直线过定点，B正确， 对于C，由，是方程的两个实根，可得，， 所以， 所以点在圆内，C错误， 对于D，方程表示圆，则，所以，又， 所以正数的取值范围是，D正确， 故选：BD 11．AC 【分析】利用等差数列性质判断A，利用等比中项性质并结合题意建立方程求解参数判断B，利用等差数列前项和的性质判断C，逐步求出等差数列的前项，再求和判断D即可. 【详解】对于A，由等差数列性质得， 解得，故A正确； 对于B，因为，，成等比数列，所以， 可得， 解得或，故B错误； 对于C，由等差数列性质得，， 则，所以数列中最小的项为，故C正确； 对于D，因为为等差数列，且，， 所以，，则. 则 ，故D错误. 故选：AC 12．/ 【分析】先根据直线得出斜率进而得出倾斜角即可. 【详解】由可得直线的斜率为，则直线的倾斜角为． 故答案为：． 13．49 【分析】设公差为，利用等差数列项的基本量运算求得公差，求得其前n项和，利用二次函数的性质即得. 【详解】设公差为，因，，则， 即，解得， ， 当时，取得最大值，最大值为49． 故答案为：49. 14．或 【分析】根据题干条件先求出点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上，再利用直线与圆的位置关系即可求得结果. 【详解】设点，由，则， 整理得，即点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上， 若直线上存在点M，使，则直线与圆有交点， 故圆心到直线的距离小于等于半径；即， 解得：或， 故答案为：或 15．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）求得的中点坐标，结合点坐标求得斜率，代入点斜式即可求得中线方程； （2）先求得的斜率，从而根据垂直关系求得高的斜率，代入点斜式直线方程求得高的方程； （3）先求得的斜率，从而根据平行关系求得直线的斜率，代入点斜式直线方程求解即可. 【详解】（1）的中点坐标为，又， 则边上的中线所在直线的方程为，即； （2）边的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边上的高所在直线的方程为，即； （3）过和两点的直线斜率为， 则所求直线的斜率为， 又，所以所求直线的方程为即. 16．(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项的基本量运算列方程组，求出，即得数列通项公式； （2）利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由① 由， 即② 联立①②，解得， 则的通项公式为； （2）， 则 . 17．(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 18．(1) (2)或 【分析】（1）设点、，根据中点坐标公式化简得出，代入等式化简可得出点的轨迹方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得答案. 【详解】（1）设点、， 因为点是线段的中点，则，所以， 因为点在圆上，则，即， 化简得， 故点的轨迹方程为. （2）由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 19．(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用及求出，再结合，是和的等比中项可求出； （2）利用错位相减法即可求出； （3）由题可得对于恒成立，令，当时，， 当时，单调递减，又，从而可得. 【详解】（1）由，，解得， 所以；则， 由是和的等比中项，则，解得， 又由，所以，所以. （2）由（1）可得， 则， ， 将两式相减得：， 化简得. （3）若对于恒成立， 即对于恒成立， 化简得对于恒成立，令， 则，当时，； 所以当时，， 所以当时，单调递减，当时，， 所以，所以. 故实数的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $