精品解析：福建省厦门市第三中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025-2026学年（上）厦门三中高一年段数学学科期中考试卷 （试卷总分：150分，考试时间：120分钟） 命卷人：李睿 审卷人：何龙 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可解出． 【详解】因为，，所以． 故选：A. 2. 函数的定义域为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 故函数的定义域为． 故选：B． 3. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的结构形式可求. 【详解】命题，为存在量词命题，其否定为全称量词命题， 且其否定为：，， 故选：C. 4. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反例可判断AB错误，根据定义域不对称可判断C错误，根据幂函数的性质可判断D正确. 【详解】对于A，设，则，， 故不是奇函数，故A错误； 对于B，设，则，， 故不是奇函数，故B错误； 对于C，由题设的定义域为，定义域不关于原点对称， 故该函数不是奇函数，故C错误； 对于D，为幂函数，且为正奇数，故为上的奇函数且为增函数， 故选：D. 5. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意构造幂函数以及指数函数，根据幂指函数的单调性即可逐一比较. 【详解】对于选项A:由在单调递增，且，所以，故选项A错误； 对于选项B: 由在单调递增，所以，由在单调递减，所以，故，故选项B错误； 对于选项C: 由,在单调递减，且在第一象限底大图高，所以,故选项C错误； 对于选项D: 由在单调递增，且，所以,故选项D正确； 故选：D. 6. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论． 【详解】的定义域是，关于原点对称， ，是偶函数，排除BC； 又时，，是增函数，排除A． 故选：D． 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法． 确定函数的定义域、值域，函数的奇偶性、单调性等性质，确定特殊的函数值，函数值的正负，函数值变化趋势．排除3个选项，得出一个正确的选项． 7. 已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由参变量分离法可得，，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】，，则，可得， 当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 即实数的取值范围是. 故选：A. 8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，计算可得出，然后分情况解不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】对任意的，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数的定义域上是奇函数，即， 则，所以偶函数， 所以函数在上为增函数，在上为减函数， 因为，则， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 综上：不等式的解集是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若集合，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由集合中元素为奇数，逐项判断即可. 【详解】，，，不是的子集， 所以AD错误，BC正确， 故选：BC 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. B. ， C. 的值域为 D. 为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由狄利克雷函数的定义，结合偶函数的概念，逐项判断即可. 【详解】对于A，，正确， 对于B，或，所以，，正确， 对于C，的值域为，错误， 对于D，当为有理数时，为有理数，则， 当为无理数时，为无理数，则， 故为偶函数，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数，以下结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 对任意，都有 C. 的值域是 D. 若规定，，其中，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：由奇函数定义即可判断；B：作出函数图像，根据凸函数性质判断；C：根据单调性、奇偶性即可求值域；D：根据已知条件推出，然后求解． 【详解】对于A，， 函数是奇函数，A正确， 对于C，当时，， ∴当时，时，， ，即函数的值域为，C正确， 对于B，，作出图像： 根据图像可知，在第一象限，f(x)是凸函数，， 在第三象限，f(x)是凹函数，则，故B错误； 对于D，∵， ， ，...... 对任意的恒成立， ∴故D正确﹒ 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若幂函数的图象经过点，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】将点的坐标代入幂函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式，代值计算可得的值. 【详解】由题意可得，故，所以，故. 故答案为：. 13. 计算：____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂和根式进行计算即可. 【详解】. 故答案为：. 14. 设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】考虑的对称轴与1比较，分与两种情况，结合函数的单调性，列出不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】当时，，对称轴为， 当，即时，此时存在，使得，满足题意； 当，即时，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 要想存在，且，使得， 则，解得：， 与取交集得：. 综上：的取值范圃为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合或，. （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合，利用并集的定义可得集合，利用补集的定义可得集合； （2）分、两种情况讨论，利用集合包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 又因为或，故或，. 【小问2详解】 因为，且， 当时，即当时，，满足， 当时，即当时，，因为，所以，解得，此时， 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知函数f（x）=x+（a＞0）． （1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断函数f（x）在（，+∞）上的单调性，并用定义证明． 【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，得到f（﹣x）＝﹣f（x），判断函数的奇偶性即可； （2）根据单调性的定义证明即可． 【详解】（1）f（x）的定义域是{x|x≠0}， f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x）， 故函数f（x）是奇函数； （2）函数在（，+∞）递增， 令＜m＜n， 则f（m）-f（n）=m+-n-=（m-n）+a• =（m-n）（1-）， ∵＜m＜n，∴m-n＜0，1-＞0， 故f（m）-f（n）＜0， 故f（x）在（，+∞）上递增． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查转化思想，是一道基础题． 17. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，有，两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销，商品所获得的收益分别为万元与万元，其中， （1）假设小王只经销产品，要获得收益7万元，需投入多少万元？ （2）如果小王计划投入10万元全部用经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益. 【答案】（1）2或8万元 （2）商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的解析式，让每段函数式等于7万元，求出对应范围内的. （2）设小王投入商品万元，则投入商品万元，然后根据的范围分别计算总收益，利用基本不等式的性质和二次函数的单调性求出对应的最大值，最后进行比较即可确定最大收益. 【小问1详解】 因为商品的收益为. 令，化简解得，符合题意； 令，化简得， 解得（舍去）或. 所以小王需投入2或8万元. 【小问2详解】 设小王投入商品万元，则投入商品万元，. 那么总收益为 当时，， 所以此时， 因为，所以根据基本不等式的性质可得， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以总收益的最大值为16万元； 当时，，， 所以此时， 易知在上单调递减，. 综上，当时取最大值，最大收益为16万元， 即商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 18. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）求不等式的解集； （3）若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出方程的根后可得不等式的解； （2）就、、分类讨论后可得不等式的解； （3）根据二次函数的对称轴可得不等式的三个不同的整数解，从而可得实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，， 所以方程的根为或－3， 所以不等式的解集为． 【小问2详解】 若，即，此时二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为； ②若，即，此时方程为， 只有一个根，不等式的解集为； ③若，即， 此时方程的两根分别为，， 不等式解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【小问3详解】 因为，故抛物线的对称轴为且开口向上， 而不等式的解集中恰有三个整数解， 故且，在不等式的解集中（、关于对称）， ，不在不等式的解集中（、关于对称）， 故， 故. 19. 已知定义在上的函数满足对任意的实数、都有，且当时，，. （1）求，； （2）判断并证明的奇偶性； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）， （2）为上的奇函数，证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 分析】（1）利用赋值法可求、； （2）利用奇函数的定义可证为上的奇函数； （3）利用函数单调性的定义可证为上的减函数，从而可得，再就的不同取值分类讨论后可得不等式的解集. 【小问1详解】 由题设有，， . 【小问2详解】 为上的奇函数，证明如下： 令，则，故， 令，则，故， 故为上的奇函数. 【小问3详解】 为上的减函数，证明如下： 证明：，由题设有， 故，而，故， 故即为上的减函数. 由题设有， 所以可化为： 即， 故即， 若，则，不等式的解为或； 若，则，不等式的解为或； 若，则不等式解为； 若，则，故不等式的解为； 若，则，故不等式的解为； 综上，若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（上）厦门三中高一年段数学学科期中考试卷 （试卷总分：150分，考试时间：120分钟） 命卷人：李睿 审卷人：何龙 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C D. 5. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若集合，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A B. ， C. 的值域为 D. 为偶函数 11. 已知函数，以下结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 对任意，都有 C. 的值域是 D. 若规定，，其中，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若幂函数的图象经过点，则___________. 13 计算：____________. 14. 设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知集合或，. （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围. 16 已知函数f（x）=x+（a＞0）． （1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断函数f（x）在（，+∞）上的单调性，并用定义证明． 17. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，有，两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销，商品所获得的收益分别为万元与万元，其中， （1）假设小王只经销产品，要获得收益7万元，需投入多少万元？ （2）如果小王计划投入10万元全部用经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益. 18. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）求不等式的解集； （3）若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 19. 已知定义在上的函数满足对任意的实数、都有，且当时，，. （1）求，； （2）判断并证明的奇偶性； （3）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $